1.5 第1课时 角平分线的性质定理及其逆定理-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（北师大版·新教材）

5 ©第1课时1 角平分线 ①基础在线沙知识要点分类练 知识点1角平分线的性质定理 1.(中考·青海)如图，OC平分∠AOB,点P在 OC上，PD⊥OB,PD=2,则点P到OA的距 离是 () A.4 B.3 C.2 D.1 第1题图 第2题图 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分 ∠ABC,DE⊥AB,垂足为E,AD=6,AC= 10,则DE的长是 () A.8 B.6 C.5 D.4 3.(揭阳期中)如图，O是△ABC内一点，BO平 分∠ABC,OD⊥BC于点D,连接OA,若OD =4,AB=20,则△AOB的面积是 () A.20 B.30 C.40 D.50 第3题图 第4题图 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分 ∠CAB,DE⊥AB于点E.若CD=3,BD=5, 则BE的长为 5.(天津期中)如图，在△ABC中，AD平分 ∠BAC,D是BC的中点，DE⊥AB于点E, DF⊥AC于点F.求证：∠B=∠C. 27探究在线八年级数学（下）·BS 角平分线 的性质定理及其逆定理 知识点2角平分线的判定定理 6.(杭州期末)在△ABC中，两个完全一样的三 角尺按如图所示的方式摆放，它们的一组对应 直角边分别在AB,AC上，且这组对应边所对 的顶点重合于点M处，则点M一定在() A.∠A的平分线上 B.边AC的高上 C.边BC的垂直平分线上 D.边AB的中线上 第6题图 第7题图 7.如图，DA⊥AC,DE⊥BC.若AD=5cm, DE=5cm,∠ACE=80°，则∠DCE=() A.30° B.40° C.50° D.609 8.如图，BE=CF,DE⊥AB,交AB的延长线于 点E,DF⊥AC于点F,且DB=DC,求证：AD 是∠BAC的平分线. ②能力在线》方法规律综合练 9.如图，∠AOE=15°，OE平分∠AOB,DE∥OB 交OA于点D,EC⊥OB,垂足为C.若EC=2, 则OD的长为 () A E C B A.2 B.23C.4 D.4+23 10.(教材P45习题T8变式)如图，两条公路OA 和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂 C和D,现要修建一个货站P,使货站P到两 条公路OA,OB的距离相等，且到两工厂C, D的距离相等，用尺规作出货站P的位置， (要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论) A ·D B 11.(西安期中)如图，AD∥BC,∠D=90°，P为 CD的中点，BP平分∠ABC. 求证：AP平分∠DAB. 12.【感知】如图①，AD平分∠BAC,∠B+∠C =180°，∠B=90°，易知DB=DC 【探究】(1)如图②，AD平分∠BAC,∠B+ ∠C=180°，∠B<90°，试说明：DB=DC; 【应用】(2)如图③，在四边形ABDC中，AD 平分∠BAC,∠B=45°，∠C=135°，DE⊥ AB,且BE=a,则AB-AC= (用含a 的代数式表示). 天 (1 图② ③拓展在线》塔代援尖提升然 …0 13.（襄阳期中)如图，OP平分 A ∠AOB,PD⊥OB于点D,点 C在OD上，CD=1,OD=4,Q CD B 是OA上一动点，当PQ=PC 时，OQ的长是 第-章2812.如图，△ABC即为所求作的三角形， 6.A7.B 8.DE⊥AB,DF⊥AC,,∠BED=∠CFD=90° 在Rt△BDE和Rt△CDF中， “8e-c 第12题答图 第13题答图 ∴.Rt△BDE≌Rt△CDF.∴.DE=DF. 13.(1)证明：如图，连接OA,OB,OC, AD是∠BAC的平分线. ,·DM垂直平分线段AB,EN垂直平分线段AC, 能力在线 ..OB=OA,OA=OC...OB=OC. 9.C .点O在边BC的垂直平分线上 10.如图，①连接CD,作CD的垂直平分线；②作∠AOB的平 (2)20 分线，交CD的垂直平分线于点P,即货站P的位置. 拓展在线 A 14.B 阶段测评2(1.3~1.4) 1.D2.A3.C4.A5.C6.D7.B8.C E 9.合格10.2711.45°12.5013.√5-114.5或10 第10题答图 第11题答图 15.如图，作AC的垂直平分线交AB 11.如图，过点P作PE⊥AB于点E, 于点D,则D点即为所求作. ,AD∥BC,∠D=90°，∴.∠C=180°-∠D=90°， 16.(1)由题意知，∠BDC=∠ACB= 即PC⊥BC. 90°，.∠A=90°-∠ABC= :BP平分∠ABC,PE⊥AB,PC⊥BC,PC=PE. ∠BCD. P是CD的中点，∴PD=PC.PE=PD. (2)易知∠ABC=90°-∠A=60° 又PE⊥AB,PD⊥AD,.AP平分∠DAB, :BE平分∠ABC,∴∠ABE- 12.(1)证明：如图②，过点D作DE⊥AB于点E,作DF⊥AC ∠ABC=30° 交AC的延长线于点F, .∠CEF=∠A+∠ABE=60°. :AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,.DE=DF (3)= :∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°， 17.如图，过点A作AH⊥DE于点H, .∠B=∠FCD. .CD=2,BD=3, :∠F=∠DEB=90°， ∴.BC=5. .△DFC≌△DEB(AAS).∴.DC=DB. :DA平分∠CDE,∠ACD=90° AH⊥ED, .∠ADC=∠ADH,∠C=∠AHD=∠AHE=90 .'AD=AD,∴.△ADC≌△ADH(AAS). ..AC=AH,CD=DH=2. 图② 图③ ,'AB=AE,∴.Rt△ABC≌Rt△AEH(HL) (2)2a提示：如图③，作DF⊥AC交AC的延长线于点F .BC=EH=5...DE=DH+HE=7. AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,DE=DF. 18.(1)DE⊥DP. :∠B=45°，∠ACD=135°，.∠B+∠ACD=180° 理由如下：，PD=PA,∠A=∠PDA, :∠ACD+∠FCD=180°，∴.∠B=∠FCD. EF是BD的垂直分线，∴BE=DE..∠B=∠EDB. 同理可证△DFC≌△DEB(AAS). ∠C=90°，∠A+∠B=90° .DC=DB,CF=BE. .∠PDA十∠EDB=90°. 在Rt△ADF和Rt△ADE中， ∴.∠PDE=180°-90°=90°.∴.DE⊥DP (AD=AD, (2)连接PE,设DE=x,则BE=x, DF-DE, CE=8-x. .Rt△ADF≌Rt△ADE(HL)..∴.AF=AE. .AC=6,PA=2, ..AB=AE+BE=AC+CF+BE=AC++2BE. .PD=PA=2,PC=AC-PA=4. ∴.AB-AC=2BE=2a. ∠C=∠PDE=90°， 拓展在线 ∴.PC十CE2=PE=PD十DE, 13.3或5 即42+(8-x)2=22+x2,解得x=4.75. 第2课时三角形三个内角的平分线 .DE=4.75. 基础在线 5角平分线 1.C2.B3.A4.55 第1课时角平分线的性质定理及其逆定理 5.过点O分别作OE⊥AB,OF⊥AC,垂足 基础在线 分别为E,F, 1.C2.D3.C4.4 .OA平分∠BAC,OE⊥AB,OF⊥AC 5..'AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, ..OE=OF. .DE=DF,∠BED=∠CFD=90° 同理，OD=OE,OD=OF D是BC的中点，BD=CD. ..OD=OE=OF=3. 在Rt△BDE和Rt△CDF中， SAANC-SANOB+SABC+SAAOC (BD=CD, S=AB X OE+号BCX OD+-号ACXOF= DE=DF, ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∠B=∠C. 合(AB+BC+ACX0D-合×20X3=30. 一探究在线·八年 6.C ,∴.Rt△ADF≌Rt△BDE(HL).'.AF=BE. 7.如图所示，点P为小亭中心的位置 (2)2cm 微专题4构造等腰三角形的常用方法 1.(1)证明：如图，过点P作PF∥AC交 BC于点F 点P,Q同时出发，且速度相同， 能力在线 .BP=CQ. 8.D9.110.10 PF∥AQ, 11.,中转站要到三条公路的距离都相等， ∴.∠PFB=∠ACB,∠DPF=∠DQC ∴·货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内 又AB=AC,∠B=∠ACB. 角或外角平分线的交点. ∴.∠B=∠PFB.∴.BP=FP..FP=CQ .满足条件的点P有四个，图略 在△PFD和△QCD中， 12.·PD⊥AC,PE⊥AB,PF⊥BC,PD=PE=PF, ∠DPF=∠DQC,∠PDF=∠QDC,FP=CQ, ∴.P是△ABC三个内角平分线的交点. ∴.△PFD≌△QCD(AAS).∴.PD=QD. ∴.CP平分∠ACB,BP平分∠ABC. (2)线段ED的长度保持不变.理由如下： ∴∠PCB=∠ACB,∠PBC=号∠ABC 由(1)知，PB=PF :PE⊥BF,∴.BE=EF.由(I)知，△PFD≌△QCD ∴∠BPC=180°-∠PCB-∠PBC=180°- ∠ACB ∴FD=CD.∴ED-EF+FD=BE+CD=2BC, 合∠ABC=180-合（∠ACB+∠ABC)=180:- .线段ED的长度保持不变 2.如图，延长BA,CD相交于点Q. 合(180°-∠BAC=90+号∠BAC '∠CAQ=∠BAE=∠BDC=90°， .∠ACQ十∠Q=90°， 拓展在线 13.(1)EF⊥AB,.∠AFE=90° ∠ABE+∠Q=90. ∴.∠EAF=90°-∠AEF=90°-50°=40° .∠ACQ=∠ABE. :∠BAD=100°，∠DAE=180°-100°-40°=40. I∠ABE=∠ACQ, (2)证明：如图，过点E作 在△ABE和△ACQ中，AB=AC, ∠BAE=∠CAQ: EM⊥AD于点M,ENI ∴.△ABE≌△ACQ(ASA)..BE=CQ. BC于点N, :BE平分∠ABC,EF⊥ BD平分∠ABC,∠CBD=∠QBD. .'∠BDC=90°，.∠BDC=∠BDQ=90° BA,.'.EF=EN. ∠EAF=∠DAE=40°，.AE平分∠DAF. BD=BD,△BCD≌△BQD(ASA), ∴.CD=QD.∴.BE=CQ=2CD .EF=EM..EM=EN. ,EM⊥AD,EN⊥CD,∴.DE平分∠ADC. 3.方法1：（截长法）如图，在BC上取点E, (3)SAACD=SAADE+SAODE 使BE=BA,连接DE. ,BD平分∠ABC, ∴2AD,EM+2CD·EN=18, .'.∠ABD=∠EBD 由(2)知，EM=EN=EF, (AB=EB, 在△ABD和△EBD中，∠ABD=∠EBD 7(AD+CD),EM=18.分×(4+8)XEM=18. BD-BD, ∴.EM=3.∴.EF=3. ∴△ABD≌△EBD(SAS).∴.∠BAC=∠BED=108. ∴SAE=7ABEF=合X6X3=9, .∠DEC=72° AB=AC,.∠C=∠ABC=36°.∴.∠CDE=72° 微专题3线段的垂直平分线与角平分线的综合 ∠CDE=∠CED.∴.CD=CE. 1.D2.43./134.D 则BC=EB+CE=AB十CD. 5.(1)垂直平分线平分线 方法2：（补短法）如图，延长BA至点E,使 (2)过点E作EM⊥AD于点M,如图②. BE=BC,连接DE 因为射线AE是∠DAC的平分线，EG 根据SAS证明△EBD≌△CBD,可得DE ⊥AC,EG=1, =DC,再由三角形内角和求证∠EAD= 所以EM=EG=1, ∠EDA=72°，∴.EA=ED=CD. D ×4×1 所以Sam=号AD·EBM=号 图② 即可证明BC=AB+CD. 4.如图，延长FD至点H,使FD=HD,连 =2. 接BH. 6.(1)证明：如图，连接AD,BD, AD为中线，∴.BD=CD. PD垂直平分AB,∴.AD=BD. 在△BDH和△CDF中， ,CD平分∠ACE,DE⊥BC,DF⊥ BD=CD, AC, ∠BDH=∠CDF, .DE=DF,∠AFD=∠BED=90° HD=FD, 在Rt△ADF和Rt△BDE中， .△BDH≌△CDF(SAS).∴∠H=∠CFD,CF=BH. (AD=BD, .'AE=EF,∴.∠EAF=∠AFE. DF-DE, '∠AFE=∠CFD,∴∠EAF=∠H. ∴.AB=BH.∴.AB=CF. 级数学（下）·BS一 19