1.4 第2课时 三角形三边的垂直平分线-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（北师大版·新教材）

©第2课时 三角引 ①基础在线> 知识要点分类练 …● 知识点1有关线段垂直平分线的几何作图 1.观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定 是△ABC的 A.角平分线 B.高线 C.中位线 D.中线 2.如图，已知线段AB,分别以点A和点B为圆 心，大于？AB的长为半径作弧，两弧相交于 C,D两点，作直线CD交AB于点E,在直线 CD上任取一点F,连接FA,FB.若FA=5, 则FB的长为 米C 米D A.3 B.4 C.5 D.6 3.如图，已知△ABC,按以下步骤作图：①分别以 点B,C为圆心，以大于号BC的长为半径作 弧，两弧相交于M,N两点；②作直线MN交 AB于点D,连接CD.若CD=AC,∠A=50°， 则∠ACB的度数为 A.105° B.100° C.95 D.90° 23探究在线八年级数学（下）·BS 形三边的垂直平分线 4.如图，已知△ABC,请用尺规过点A作一条直 线，使其将△ABC分成面积相等的两部分. (不写作法，保留作图痕迹) 知识点2三角形三边的垂直平分线 5.如图所示，线段AB,AC的垂直平分线相交于 点P,则PB与PC的关系是 () A.PB>PC B.PB=PC C.PB<PC D.PB=2PC A 第5题图 第6题图 6.(枣庄阶段练习)如图，是一块三角形的草坪， 现要在草坪上建一谅亭，要使凉亭到草坪三个 顶点的距离相等，凉亭应选的位置是() A.△ABC的三条中线的交点 B.△ABC三条角平分线的交点 C.△ABC三边的垂直平分线的交点 D.△ABC三条高所在直线的交点 7.如图，P为△ABC三边垂直平分线的交点，若 ∠PAC=20°，∠PCB=30°，求∠PAB的度数 易错点忽视对三点的位置进行分类而致错 8.在平面内，到三点A,B,C距离相等的点() A.只有一个 B.有两个 C.有三个或三个以上 D.有一个或没有 ②能力在线沙方法规律综合鳞 9.(晋中期末)如图，在△ABC中，AB=AC,∠A =120°，分别以点A,C为圆心，大于2AC的长 为半径作弧，两弧相交于点P和点Q,作直线 PQ,分别交BC,AC于点D和点E.若CD= 5,则BD的长为 () A.8 B.10 C.5√2 D.5√/3 P o> 第9题图 第10题图 10.(中考·辽宁)如图，在△ABC中，AB=16, BC=12,CA=10,∠ABC的平分线BP与 AC相交于点D.在线段AD上取一点K,以 点C为圆心，CK长为半径作弧，与射线BP 相交于点M和点N,再分别以点M和点N 为圆心，大于2MN的长为半径作弧，两弧相 交于点Q,作射线CQ,与AB相交于点E,连 接DE,则△DAE的周长为 () A.12 B.14 C.16 D.18 11.如图，在△ABC中，AB,AC的垂直平分线 l1,l2相交于点O.若∠BAC=82°，则∠OBC 12.尺规作图：如图，已知线段a,b,求作等腰三角 形，使腰长为b,底边上的高为a(a<b).(不 写作法，保留作图痕迹) 13.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线DM 分别交AB,BC于点M,D,边AC的垂直平 分线EN分别交AC,BC于点N,E,直线 DM,EN交于点O. (1)求证：点O在边BC的垂直平分线上； (2)若∠BAC=100°，则∠DAE的大小为 0 ③拓展在线》培优拨尖提升紫 14.(威海期中)如图，在△ABC中，AI平分∠BAC, BI平分∠ABC,点O是AC,BC的垂直平分 线的交点，连接AO,BO.若∠AOB=a,则 ∠AIB的大小为 () A.90+20 B.90°+1。 C.g0 D.180+8 第-章2413.(1)30°30 .BC=5 cm,..AB=BC+3=8 cm; (2)证明：由(1)得∠B=∠C (2)当(BC+CD)-(AB+AD)=3cm时， :DE⊥AB,DF⊥AC,∠BED=∠CFD=90 则BC-AB=3cm. D是BC边的中点，BD=CD '.'BC=5 cm,.'AB=BC-3=2 cm. ∴，△BDE≌△CDF(AAS). 但是当AB=2cm时，三边长分别为2cm,2cm,5cm,而 (3)△DEF是等边三角形.证明如下： 2十2<5，不合题意，舍去 由(2)得△BDE≌△CDF,∠BED=∠CFD=90°， 故腰长为8cm. .DE=DF 7.8 由(1)得∠B=∠C=30°， 阶段测评1(1.1~1.2) ∴∠BDE=∠CDF=90°-30°=60°. 1.C2.B3.D4.C5.D6.C ∠EDF=180°-∠BDE-∠CDF=180°-60°-60°=60° 7.在△ABC中，AC=BC .△DEF是等边三角形. 8.59.5.510.511.6 14.(1)证明：：△ABC是等边三角形， 12.:∠EFA十∠EAF+∠E=180°，∠EAF=100°，∠EFA ∴.AC=BC,∠A=∠BCF=60° =20°， ,AE=CF,.△ACE≌△CBF(SAS). ∴∠E=180°-∠EFA-∠EAF=60°， ∴∠ACE=∠CBF. :EF∥DC,∴.∠ECD=∠E=60°. (2)由(1)知，∠ACE=∠CBF, :∠BCD=130°，.∠ACB=∠BCD-∠ECD=70°. ∴·∠BPE=∠CBF+∠BCE=∠ACE+∠BCE=∠ACB ,∠EAF=∠B+∠ACB, =60°. .∠B=∠EAF-∠ACB=30° EG⊥BF,即∠PGE=90°，.∠GEP=30°. 13.(1)设此多边形的边数为n,则 ∴.在Rt△PGE中，PE=2PG. (n一2)·180°=2340°，解得n=15, .PG=1,∴.PE=2. 故此多边形的边数为15. 拓展在线 (2)设多边形的一个内角为3x°，则一个外角为2x, 15.C .3x十2x=180,解得x=36. 微专题2分类讨论思想在等腰三角形中的应用 2x=2×36=72,360°÷72°=5 1.C2.D3.6 故这个多边形的边数为5. 4.设△ABC为等腰三角形，AB=AC,分两种情况讨论： 14.(1).AB∥CD,.∠BAC=∠ACD ①若∠A<90°，如答图①所示. .CA平分∠BCD,.∠BCA=∠ACD. .BD⊥AC,.∠A+∠ABD=90° .∠BAC=∠BCA..AB=BC. ∠ABD=36°，∠A=90°-36°=54°. (2):∠CAB=30°，∠BAC=∠ACD=∠ACB=30° :AB=AC,∠ABC=∠C=2×(180-54)=63, AM⊥CD于点M, ②若∠A>90°，如答图②所示. ∴∠MAC+∠MCA=90,AM=2AC 同①可得∠DAB=90°-36°=54°， ∴∠MAC=60°. :AB=AC,∠ABC=∠C=号X54°=27 :AB=BC,BNLAC,.∴AN=号AC.AN=AM 综上所述，这个等腰三角形底角的度数为63°或27°. ∴.△AMN是等边三角形. D 15.(1)∠BAC=∠DAE=90°， .∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE, 即∠EAC=∠DAB, 3答图① 答图② :△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， 5.当∠ABC为锐角时，过点A作AD=AB,交BC于点D,如 ..AB=AC,AD=AE. 答图①所示， 在△ACE和△ABD中， .AB=AD,AH⊥BC,∠ABH=70°， (AC=AB, ∴.∠ADB=∠ABH=70°，BH=DH ∠EAC=∠DAB, .AB+BH=CH,CD+DH=CH, LAE-AD, ∴AB=CD=AD.∴∠C=∠CAD=号∠ADB=35, ∴.△ACE≌△ABD(SAS). (2)过点D作DF⊥AB,垂足为F,如图 .∠BAC=180°-∠ABH-∠C=75° 所示. 当∠ABC为钝角时，如答图②所示. ∠CAE=∠BAD=30°，DF⊥AB, .'AB+BH=CH,BC+BH-CH,..AB-BC. ∴.AD=2DF. 又：∠ABH=70,∠BAC=∠ACB=合∠ABH=35 ,△ABC是等腰直角三角形， .∠C=∠ABC=45°. 综上所述，∠BAC的度数为75°或35° 由(1)知，△ACE≌△ABD, .∠DBA=∠C=45° ∴△BFD为等腰直角三角形，BF=FD. .由勾股定理可得BD=BF2十DF=2DF2 H D AD-2DF,..AD=4DF-2BD 答图① 答图② 3直角三角形 6.,BD为AC边上的中线，AD=CD. (1)当(AB+AD)-(BC+CD)=3cm时， 第1课时直角三角形的性质与判定 则AB-BC=3cm. 基础在线 1.A2.D3.(4,3) 18 一探究在线·八 4.BE平分∠ABC交AC边于点E, ..AE-AC. ∴∠ABE=2 ∠ABC=25.∴∠ABC=50°. AB=AE+EB,∴.AB=AC+EB .AC=AF+CF,..AB=AF+CF+EB=AF+2BE. ∴.∠C=180°-∠ABC-∠BAC=180°-50°-60°=70°， 拓展在线 AD⊥BC,∠ADC=90° 16.B ∴.∠DAC=90°-∠C=90°-70°=20°. 4 线段的垂直平分线 ∠DAC的度数为20° 第1课时 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理 5.B6.√67.128.C 基础在线 9.三个角都相等的三角形是等边三角形真 1.B2.C3.C4.D 能力在线 5.DE是AB的垂直平分线，.DA=DB=10. 10.A11.D12.B13.①14.135° .∠DAB=∠B=15°..∠ADC=∠DAB+∠B=30. 15.(1),∠C=90°，∠A=60°， ∠B=90°-∠A=30°..AB=2AC. 又：∠C=90,AC=AD=号×10=5. .DE⊥AB,∴.BD=2DE=2×4=8 6.A7.C .BC=CD+BD=10+8=18. 8..'AB=AD, .AC+BC=AB2,..AC+182=(2AC)2. ∴.∠ABD=∠ADB,且点A在线段BD的垂直平分线上. 解得AC=6√3（负值舍去）： .'∠ABC=∠ADC, (2)BD=8,DE=4,DE⊥AB .∴·∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB. ∴.BE=√BD-DE=4√5. 即∠CBD=∠CDB, .四边形ACDE的面积=SAABC一SADE= 1×63×18 ∴.CB=CD ∴点C在线段BD的垂直平分线上 -×4×45-465. ∴.直线AC是对角线BD的垂直平分线 能力在线 16.(1)证明：.AB:BC:CA=3:4:5, 9.C10.A11.4 ,'.设AB=3x,则BC=4x,CA=5x. 12.(1)证明：如图，连接AE, AB+BC=(3x)2+(4x)2=25x2,CA2=(5x)2=25x2 AD⊥BC,D为BE的中点， ∴.AB2十BC=CA2,.△ABC是直角三角形. .AD垂直平分BE (2)由(1)可知∠B=90°.根据题意，得 ..AB-AE. 3x十4x+5x=36,解得x=3. :EF垂直平分AC ..AB=9 cm,BC=12 cm. ∴.AE=CE..AB=CE 当运动了3秒时，PB=9-1×3=6(cm),BQ=2×3=6(cm). (2)AE=CE,.∠CAE=∠C=32°.∠AEB=64° △BPQ的面积为2×6X6=18(cm). ,AB=AE,∴.∠B=∠AEB=64° ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=84 拓展在线 13.(1)∠ABC=∠ACB,.AB=AC 17.√13 点A在线段BC的垂直平分线上 第2课时直角三角形全等的判定 OB=OC,.点O在线段BC的垂直平分线上 基础在线 AE垂直平分BC. 1.C2.C3.B (2)由(1)知，AB=AC,∠BAC=60, 4.AC=BD(或BC=AD) .△ABC是等边三角形. 5.:AB=AC,AD平分∠BAC, .AB=BC=AC,∠ABC=∠ACB=60°. ·ADLBC,BD=CD=号BC.∴∠ADB=90 由(1)知，AE垂直平分BC, CD=CE.BD=CE.EC⊥BC,∠BCE=90°. E为BC的中点.EC-2BC 又.'AB=BE,.Rt△ABD≌Rt△BEC(HL). 6.D 7.AAS :BDLAC,CD=号AC.EC=CD 8.DM⊥AB,.∠EDM=90°. ∴△CDE是等边三角形 ∠C=90°，∴.∠EDM=∠C=90°. 拓展在线 .ME∥BC,∴.∠DEM=∠B. 14.n-m 在△MED和△ABC中， 第2课时 三角形三边的垂直平分线 ∠EDM=∠C=90°， 基础在线 ∠DEM=∠B, 1.B2.C3.A MD-AC, 4.如图，直线AD即为所求作. ∴.△MED≌△ABC(AAS)..ME=AB 5.B6.C 能力在线 7.:P为△ABC三边垂直平分线的交点， 9.A10.B11.A12.A13.3cm14.3 ..PA=PC=PB. 15.(1),AD是∠BAC的平分线，∠DAC=∠DAE. .∠PAC=∠PCA=20°，∠PBC=∠PCB=30°，∠PAB= .DE⊥AB,∴.∠C=∠AED=90° ∠PBA. 又，'AD=AD,.△ADC≌△ADE(AAS) ..CD=ED. ∴∠PAB=号×(180°-2X20°-2X30)=40 又.DF=BD,∠C=∠DEB=90°， 8.D Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).∴.CF=EB. 能力在线 (2)由(1)知，△ADC≌△ADE,CF=EB, 9.B10.B11.8° F级数学（下）·BS 12.如图，△ABC即为所求作的三角形， 6.A7.B 8.DE⊥AB,DF⊥AC,,∠BED=∠CFD=90° 在Rt△BDE和Rt△CDF中， “8e-c 第12题答图 第13题答图 ∴.Rt△BDE≌Rt△CDF.∴.DE=DF. 13.(1)证明：如图，连接OA,OB,OC, AD是∠BAC的平分线. ,·DM垂直平分线段AB,EN垂直平分线段AC, 能力在线 ..OB=OA,OA=OC...OB=OC. 9.C .点O在边BC的垂直平分线上 10.如图，①连接CD,作CD的垂直平分线；②作∠AOB的平 (2)20 分线，交CD的垂直平分线于点P,即货站P的位置. 拓展在线 A 14.B 阶段测评2(1.3~1.4) 1.D2.A3.C4.A5.C6.D7.B8.C E 9.合格10.2711.45°12.5013.√5-114.5或10 第10题答图 第11题答图 15.如图，作AC的垂直平分线交AB 11.如图，过点P作PE⊥AB于点E, 于点D,则D点即为所求作. ,AD∥BC,∠D=90°，∴.∠C=180°-∠D=90°， 16.(1)由题意知，∠BDC=∠ACB= 即PC⊥BC. 90°，.∠A=90°-∠ABC= :BP平分∠ABC,PE⊥AB,PC⊥BC,PC=PE. ∠BCD. P是CD的中点，∴PD=PC.PE=PD. (2)易知∠ABC=90°-∠A=60° 又PE⊥AB,PD⊥AD,.AP平分∠DAB, :BE平分∠ABC,∴∠ABE- 12.(1)证明：如图②，过点D作DE⊥AB于点E,作DF⊥AC ∠ABC=30° 交AC的延长线于点F, .∠CEF=∠A+∠ABE=60°. :AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,.DE=DF (3)= :∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°， 17.如图，过点A作AH⊥DE于点H, .∠B=∠FCD. .CD=2,BD=3, :∠F=∠DEB=90°， ∴.BC=5. .△DFC≌△DEB(AAS).∴.DC=DB. :DA平分∠CDE,∠ACD=90° AH⊥ED, .∠ADC=∠ADH,∠C=∠AHD=∠AHE=90 .'AD=AD,∴.△ADC≌△ADH(AAS). ..AC=AH,CD=DH=2. 图② 图③ ,'AB=AE,∴.Rt△ABC≌Rt△AEH(HL) (2)2a提示：如图③，作DF⊥AC交AC的延长线于点F .BC=EH=5...DE=DH+HE=7. AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,DE=DF. 18.(1)DE⊥DP. :∠B=45°，∠ACD=135°，.∠B+∠ACD=180° 理由如下：，PD=PA,∠A=∠PDA, :∠ACD+∠FCD=180°，∴.∠B=∠FCD. EF是BD的垂直分线，∴BE=DE..∠B=∠EDB. 同理可证△DFC≌△DEB(AAS). ∠C=90°，∠A+∠B=90° .DC=DB,CF=BE. .∠PDA十∠EDB=90°. 在Rt△ADF和Rt△ADE中， ∴.∠PDE=180°-90°=90°.∴.DE⊥DP (AD=AD, (2)连接PE,设DE=x,则BE=x, DF-DE, CE=8-x. .Rt△ADF≌Rt△ADE(HL)..∴.AF=AE. .AC=6,PA=2, ..AB=AE+BE=AC+CF+BE=AC++2BE. .PD=PA=2,PC=AC-PA=4. ∴.AB-AC=2BE=2a. ∠C=∠PDE=90°， 拓展在线 ∴.PC十CE2=PE=PD十DE, 13.3或5 即42+(8-x)2=22+x2,解得x=4.75. 第2课时三角形三个内角的平分线 .DE=4.75. 基础在线 5角平分线 1.C2.B3.A4.55 第1课时角平分线的性质定理及其逆定理 5.过点O分别作OE⊥AB,OF⊥AC,垂足 基础在线 分别为E,F, 1.C2.D3.C4.4 .OA平分∠BAC,OE⊥AB,OF⊥AC 5..'AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, ..OE=OF. .DE=DF,∠BED=∠CFD=90° 同理，OD=OE,OD=OF D是BC的中点，BD=CD. ..OD=OE=OF=3. 在Rt△BDE和Rt△CDF中， SAANC-SANOB+SABC+SAAOC (BD=CD, S=AB X OE+号BCX OD+-号ACXOF= DE=DF, ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∠B=∠C. 合(AB+BC+ACX0D-合×20X3=30. 一探究在线·八年 6.C ,∴.Rt△ADF≌Rt△BDE(HL).'.AF=BE. 7.如图所示，点P为小亭中心的位置 (2)2cm 微专题4构造等腰三角形的常用方法 1.(1)证明：如图，过点P作PF∥AC交 BC于点F 点P,Q同时出发，且速度相同， 能力在线 .BP=CQ. 8.D9.110.10 PF∥AQ, 11.,中转站要到三条公路的距离都相等， ∴.∠PFB=∠ACB,∠DPF=∠DQC ∴·货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内 又AB=AC,∠B=∠ACB. 角或外角平分线的交点. ∴.∠B=∠PFB.∴.BP=FP..FP=CQ .满足条件的点P有四个，图略 在△PFD和△QCD中， 12.·PD⊥AC,PE⊥AB,PF⊥BC,PD=PE=PF, ∠DPF=∠DQC,∠PDF=∠QDC,FP=CQ, ∴.P是△ABC三个内角平分线的交点. ∴.△PFD≌△QCD(AAS).∴.PD=QD. ∴.CP平分∠ACB,BP平分∠ABC. (2)线段ED的长度保持不变.理由如下： ∴∠PCB=∠ACB,∠PBC=号∠ABC 由(1)知，PB=PF :PE⊥BF,∴.BE=EF.由(I)知，△PFD≌△QCD ∴∠BPC=180°-∠PCB-∠PBC=180°- ∠ACB ∴FD=CD.∴ED-EF+FD=BE+CD=2BC, 合∠ABC=180-合（∠ACB+∠ABC)=180:- .线段ED的长度保持不变 2.如图，延长BA,CD相交于点Q. 合(180°-∠BAC=90+号∠BAC '∠CAQ=∠BAE=∠BDC=90°， .∠ACQ十∠Q=90°， 拓展在线 13.(1)EF⊥AB,.∠AFE=90° ∠ABE+∠Q=90. ∴.∠EAF=90°-∠AEF=90°-50°=40° .∠ACQ=∠ABE. :∠BAD=100°，∠DAE=180°-100°-40°=40. I∠ABE=∠ACQ, (2)证明：如图，过点E作 在△ABE和△ACQ中，AB=AC, ∠BAE=∠CAQ: EM⊥AD于点M,ENI ∴.△ABE≌△ACQ(ASA)..BE=CQ. BC于点N, :BE平分∠ABC,EF⊥ BD平分∠ABC,∠CBD=∠QBD. .'∠BDC=90°，.∠BDC=∠BDQ=90° BA,.'.EF=EN. ∠EAF=∠DAE=40°，.AE平分∠DAF. BD=BD,△BCD≌△BQD(ASA), ∴.CD=QD.∴.BE=CQ=2CD .EF=EM..EM=EN. ,EM⊥AD,EN⊥CD,∴.DE平分∠ADC. 3.方法1：（截长法）如图，在BC上取点E, (3)SAACD=SAADE+SAODE 使BE=BA,连接DE. ,BD平分∠ABC, ∴2AD,EM+2CD·EN=18, .'.∠ABD=∠EBD 由(2)知，EM=EN=EF, (AB=EB, 在△ABD和△EBD中，∠ABD=∠EBD 7(AD+CD),EM=18.分×(4+8)XEM=18. BD-BD, ∴.EM=3.∴.EF=3. ∴△ABD≌△EBD(SAS).∴.∠BAC=∠BED=108. ∴SAE=7ABEF=合X6X3=9, .∠DEC=72° AB=AC,.∠C=∠ABC=36°.∴.∠CDE=72° 微专题3线段的垂直平分线与角平分线的综合 ∠CDE=∠CED.∴.CD=CE. 1.D2.43./134.D 则BC=EB+CE=AB十CD. 5.(1)垂直平分线平分线 方法2：（补短法）如图，延长BA至点E,使 (2)过点E作EM⊥AD于点M,如图②. BE=BC,连接DE 因为射线AE是∠DAC的平分线，EG 根据SAS证明△EBD≌△CBD,可得DE ⊥AC,EG=1, =DC,再由三角形内角和求证∠EAD= 所以EM=EG=1, ∠EDA=72°，∴.EA=ED=CD. D ×4×1 所以Sam=号AD·EBM=号 图② 即可证明BC=AB+CD. 4.如图，延长FD至点H,使FD=HD,连 =2. 接BH. 6.(1)证明：如图，连接AD,BD, AD为中线，∴.BD=CD. PD垂直平分AB,∴.AD=BD. 在△BDH和△CDF中， ,CD平分∠ACE,DE⊥BC,DF⊥ BD=CD, AC, ∠BDH=∠CDF, .DE=DF,∠AFD=∠BED=90° HD=FD, 在Rt△ADF和Rt△BDE中， .△BDH≌△CDF(SAS).∴∠H=∠CFD,CF=BH. (AD=BD, .'AE=EF,∴.∠EAF=∠AFE. DF-DE, '∠AFE=∠CFD,∴∠EAF=∠H. ∴.AB=BH.∴.AB=CF. 级数学（下）·BS一 19