1.1 第3课时 多边形的内角和&第4课时 多边形的外角和-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（北师大版·新教材）

温警提示：清做完后再看答案！ 又：∠4=∠1+∠2，.∠3+∠4=90°. 又.PG⊥BC,∴.∠3+∠5=90°.∴.∠4=∠5. 即∠BPD=∠CPG. 参考答案 拓展在线 13.(1)∠ABC=∠A+∠ADC+∠C. 证明：如图①，连接DB,并延长至点E, 第一章三角形的证明及其应用 :∠A+∠ADB=∠ABE,∠C+∠CDB=∠CBE, 1三角形内角和定理 ,'∠ABC=∠ABE+∠CBE, 第1课时三角形内角和定理和全等三角形 .∠ABC=∠A+∠ADB+∠CDB+∠C 基础在线 ∴.∠ABC-=∠A+∠ADC+∠C. 1.两直线平行，内错角相等∠5平角定义等量代换 (2)【类比探究】如图②，连接CF, 2.B3.D4.B 由(1)可知，∠B=∠A+∠AFC+∠BCF,∠D=∠E十 5.∠A=∠D(或∠ACB=∠DFE或AB=DE) ∠EFC+∠DCF, 6.在△AOC和△BOD中， ∠B+∠D=150°，∠A+∠BCD+∠E=90°， ∠C=∠D, ∴.150°=∠A+∠AFC+∠BCF+∠E+∠EFC+ ∠AOC=∠BOD, ∠DCF AC=BD, ∴.150°=90°+∠AFC+∠EFC.∴.∠AFE=60° .∴.△AOC≌△BOD(AAS). 【拓展延伸】100 能力在线 7.C8.B9.A10.26°11.20°或60° 12.∠BCE=∠2， .∠BCE+∠ECA=∠2+∠ECA, 图① 图② 即∠BCA=∠ECD. 在△ABC和△DEC中， 第3课时 多边形的内角和 BC=EC. 基础在线 ∠BCA=∠ECD, 1.C2.2053.B4.B5.36 LAC=DC, 能力在线 6.B7.458.79.2 .∴.△ABC≌△DEC(SAS).∴.∠A=∠D. ∠3=∠4， 拓展在线 .∠1=∠2. 10.(1)(2)(3)如图所示.（答案不唯一） 13.(1)证明：，BD⊥CD于点D,EF⊥CD于点F. .∠BDC=∠EFC=90° .BD∥EF..∠3=∠2 :∠1=∠2，∠1=∠3.∴AD∥BC 图① 图② (2),∠1=∠2=(3x-20)°，∠BEF=(5x+40)°， (4)11或12或13 又.∠2+∠BEF=180°， 第4课时 多边形的外角和 ∴.3x-20+5x+40=180. 基础在线 解得x=20. 1.C2.B3.B4.10 .∴.∠2=(3X20-20)°=40°. 能力在线 又EF⊥CD,.∠CFE=90° 5.A6.D7.D8.45°9.120 .∠BCD=180°-∠CFE-∠2=50°. 拓展在线 拓展在线 10.(1)关系是∠1+∠2=∠3+∠4.理由如下： 14.36 ∠3，∠4，∠5，∠6是四边形的四个内角， 第2课时三角形内角和定理的推论 ∴.∠3+∠4+∠5+∠6=360. ∴.∠3+∠4=360°-（∠5+∠6）. 基础在线 1.D2.D3.C4.40 :∠1+∠5=180°，∠2+∠6=180°， .∠1+∠2=360°-（∠5+∠6）. 5..∠A=60°，∠ACD=25 .∠1+∠2=∠3+∠4. ∴.∠BDC=∠A+∠ACD=85° ∠ABE=35°， (2)四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两 .∠BOC=∠BDC+∠ABE=120° 个内角的和. (3)609 6.∠1<∠2<∠3 能力在线 2等腰三角形 7.B8.D9.A10.40 第1课时 等腰三角形的性质和等边三角形的特殊性质 11.(1)如图所示. 基础在线 (2)①∠EAD=∠CAD ②∠AED 1.100°2.B3.A4.C5.C6.55 ③∠B④大 7.'AB=AC,AD=AE,.∠B=∠C,∠ADE=∠AED 12.∠BPD=∠CPG.理由如下： :D为BC的中点，∴AD⊥BC,即∠ADC=90°. .'AD,BE,CF分别是∠BAC,∠ABC,∠ACB的平分线， ∴∠ADE+∠CDE=90°. :∠2=Z∠BAC,∠1=∠ABC,∠3=∠ACB :∠CAD=80,∴∠ADB=号(180°-∠CAD)=75 ∴∠1+∠2+∠3=Z(∠AC+∠BAC+∠ACB)=90 ∠EDC=∠ADC-∠ADE=15° 8.A9.D10.D 一探究在线·八年 11..△ABC是等边三角形， ∴.AB=CA,∠BAC=∠ACB=60° ∴.∠EAB=∠DCA=120°. 在△EAB和△DCA中， :AE=CD,∠EAB=∠DCA,AB=CA, .△EAB≌△DCA(SAS)..AD=BE 能力在线 12.C13.C14.28° 15.(1)证明：：△ABC为等边三角形，BC=AC BD=AC,∴.BD=BC ,BE平分∠DBC,∴∠DBE=∠EBC. BE=BE,∴.△DBE≌△CBE(SAS) (2):△ABC为等边三角形，∴.BC=AC,∠ACB=60°. ,CE=CE,EA=EB,∴△CAE≌△CBE(SSS). .∠ACE=∠BCE. ,∠ACB=∠ACE+∠BCE=60°， .∠ACE=∠BCE=30°. 由(1)知，△DBE≌△CBE, .∠BDE=∠BCE=30°. 拓展在线 16.B 第2课时等腰三角形的判定与反证法 基础在线 1.C2.23.等腰三角形 4.△ADB≌△ADC,∴∠BAD=∠CAD. .AB∥DE,.∠BAD=∠EDA..∠EDA=∠CAD AE=DE.∴.△ADE是等腰三角形 5.:等边三角形ABC的三个顶点都在坐标轴上， .OB⊥AC,∠BAC=∠CBA=60° BD⊥AB,.∠ABD=90° ∴∠BDA=90°-∠BAC=90°-60°=30°，∠C ∠ABD-∠CBA=90°-60°=30. ∴∠BDA=∠CBD.∴BC=DC ∴△BCD是等腰三角形. 6.B7.(3)(4)(1)(2)8.B 能力在线 9.C10.B11.D12.3 13.(1)AB=AC,∠B=72°，.∠ACB=∠B=72° 由作图可知，CD是∠ACB的平分线， ·∠BCD=∠ACD=?∠ACB=36. (2)在△BCD中，由三角形内角和定理，得∠BDC -∠B-∠BCD=72°， ..∠BDC=∠B..CD=BC. 在△ABC中，∠A=180°-∠B-∠ACB=36°. ∴.∠A=∠ACD.∴.AD=CD..AD=BC. BC=2.5,.AD=2.5. 14.(1)证明：如图，过点C作CG⊥AB于点G, ∴.∠DCG+∠CDG=90. BC=DC, ÷LBCG=∠DcG=名∠BCD D ,BF⊥CD, ∴.∠ABF+∠CDG=90° ∠ABF=∠DCG=Z∠BCD, (2)△BCF是等腰三角形.理由如下： ∠A=45°，CG⊥AB,∴.∠ACG=45. ",'∠ACB=∠ACG+∠BCG,∠BFC=∠A十∠ABF ∴∠ACB=45°+∠BCG,∠BFC=45°+∠ABF. I∠BCG=∠DCG=∠ABF,∴∠BCF=∠BFC, ∴.BF=BC.∴△BCF是等腰三角形 级数学（下）·BS一 拓展在线 15.D 微专题1“三线合一”巧解题 1..AB=AC,ADLBC,BC=12, BD=2BC=号×12=6. 在Rt△ABD中，AB=10, .AD=√AB-BD=√10-6=8. :SAC=2BC·AD=2AC·BE :BE=BC,AD=12X8=9.6. AC 10 2.(1):∠AOD=∠COB,∠ADC=∠ABC,AD=BC, .△AOD≌△COB(AAS). .∠DAO=∠BCO,OA=OC .∠OAC=∠OCA. ∴.∠DAO+∠OAC=∠BCO+∠OCA, 即∠PAC=∠PCA.∴PA=PC. (2).PA=PC,AO=CO,PO=PO, .△APO≌△CPO(SSS). .∠APO=∠CPO,即PE平分∠APC ∴.PE⊥AC. 3.如图，过点A作AM⊥CD交CD于点M :AD=AC,.∠DAM=∠CAD. 1 ∠BAE=Z∠CAD, .∠DAM=∠BAE. CD∥AB,AM⊥CD,.∠BAM=90. .∠BAE+∠MAE=∠DAM+∠MAE=∠DAE=90°， 即AE⊥AD. BD= 4.连接AD, :AB=AC,D是BC的中点， ∴.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD .∠ADB=∠ADC=90° ,'∠EAB=∠FAC ∴.∠EAB+∠BAD=∠FAC+∠CAD. 即∠DAE=∠DAF 在△AED和△AFD中， (AE=AF, ∠DAE=∠DAF LAD-AD. 180° .△AED≌△AFD(SAS)..∠ADE=∠ADF. ∴.∠ADB-∠ADE=∠ADC-∠ADF 即∠EDB=∠FDC. 第3课时等边三角形的判定与含30°角的 直角三角形的性质 基础在线 1.C2.C3.2 4.AD=AE,∠E=30°，∴.∠ADE=∠E=30° .∠BAC=∠E+∠ADE=60° G DF⊥BC,.∠EFC=90°..∠C=90°-∠E=60 ∴.∠B=180°-∠C-/BAC=180°-60°-60°=60° .∠BAC=∠B=∠C..△ABC为等边三角形 5.:△ABC是等边三角形，∴.AC=BC,∠C=60° ,BD⊥AC,AE⊥BC, :CE-BC,CD-AC.:.CE-CD. :∠C=60°，.△CDE是等边三角形. 6.D7.C8.D 能力在线 9.B10.B11.A12.43-4 17©第3课时 ① 基础在线》 知识要点分类练。 ● 知识点1多边形的内角和 1.一个多边形的内角和等于2700°，则这个多边 形的边数是 () A.15 B.16 C.17 D.18 2.(中考·长沙)如图，在五边形ABCDE中， ∠B=120°，∠C=110°，∠D=105°，则∠A+ ∠E= 第2题图 第3题图 知识点2正多边形 3.(中考·自贡)如图，正六边形与正方形的两邻 边相交，则α十B= () A.140°B.150° C.160° D.170 4.(陕西期末)如图，以正五边形ABCDE的边 CD为一边，向内作△OCD,若CD=OD, ∠CDO=60°，则∠BCO的度数为 () A.60° B.48 C.36 D.589 第4题图 第5题图 5.(中考·吉林)如图，正五边形ABCDE的边 AB,DC的延长线交于点F,则∠F的大小为 度、 21 能力在线》方法规律综合练 6.如图，在五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C =∠D=∠E,直线l与五边形的边BC,DE分 别相交于点F,G,则α一3= () A.35° B.36 C.37° D.38 5探究在线八年级数学（下）·BS 多边形的内角和 第6题图 第7题图 7.(中考·湖南)如图，左图为传统建筑中的一种窗 格，右图为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH 为正八边形，连接AC,BD,AC与BD交于点 M,∠AMB= 0 8.(教材P11习题T5变式)从六边形的一个顶 点出发，可以画m条对角线，它们将六边形分 成n个三角形，则m十n= 9.(中考·成都)正六边形ABCDEF的边长为 1,则对角线AD的长为 ③拓展在线》塔优拔尖提升然 10.(长春期中)如图所示，请你用一条直线去截 这个多边形，使得到的新多边形分别满足以 下条件.（画出图形，把截去的部分打上阴影） (1)在图①中画出的新多边形的内角和比原 多边形的内角和增加了180°； (2)在图②中画出的新多边形的内角和与原 多边形的内角和相等； (3)在图③中画出的新多边形的内角和比原 多边形的内角和减少了180°； (4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边 形的内角和为1800°，原多边形是 边形. 图① 图② 图③ ©第4课时 基础在线 知识要点分类练 知识点多边形的外角和 1.(成都期末)正多边形的一个外角等于40°，这 个多边形的边数是 ( A.3 B.6 C.9 D.12 2.(烟台期末)如图①是我 国古建筑墙上采用的八 角形空窗，其轮廓是一个 图① 图② 正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之 中.如图②是八角形空窗的示意图，它的一个 外角∠1= ( A.30° B.45° C.60° D.75° 3.(廊坊阶段练习)下列多边形中，内角和度数与 其外角和度数相等的是 4.(教材P9例5变式)已知一个多边形的内角和 是外角和的4倍，则这个多边形的边数是 2能力在线 、方法规律综合练 5.(教材P11习题T9变式)若一个多边形的边 数增加1，则这个多边形的内角和与外角和增 加的度数之和是 () A.180°B.90° C.60° D.360 6.如图，一个正n边形被树叶遮掩了一部分，若 直线a,b所夹锐角的度数为36°，则n的值是 A.8 B.7 C.6 D.5 30 30 第6题图 第9题图 多边形的外角和 7.小明在社会实践中想用不同的正多边形瓷砖 铺设地面，在一个顶点处有一个正三角形和一 个正十边形瓷砖，若想铺成平整无缝隙的地 面，则还需要的瓷砖形状是 () A.正十二边形 B.正十三边形 C.正十四边 D.正十五边形 8.从正n边形同一个顶点出发的所有对角线把 正n边形分成6个三角形，则这个正n边形的 每个外角的度数为 9.(深圳期末)如图，小明沿一个正多边形广场周 围的小路按顺时针方向跑步，从点O出发，前 进10米后向右转30°，再前进10米后又向右 转30°…这样一直跑下去，直到他第一次回 到出发点O为止，则这个正多边形广场的周长 为 米。 ③拓展在线》培优拔尖提升练 10.(1)如图①②，试探究∠1，∠2与∠3，∠4之 间的数量关系，并说明理由； (2)请你用文字语言描述(1)中的关系； (3)用你发现的结论解决下列问题： 如图③，AE,DE分别是四边形ABCD的外 角∠NAD,∠MDA的平分线，∠B+∠C 240°，∠E的度数为 451 6 6 2 图① 图② 图③ 第-章6