1.1 第2课时 三角形内角和定理的推论-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（北师大版·新教材）

温警提示：清做完后再看答案！ 又：∠4=∠1+∠2，.∠3+∠4=90°. 又.PG⊥BC,∴.∠3+∠5=90°.∴.∠4=∠5. 即∠BPD=∠CPG. 参考答案 拓展在线 13.(1)∠ABC=∠A+∠ADC+∠C. 证明：如图①，连接DB,并延长至点E, 第一章三角形的证明及其应用 :∠A+∠ADB=∠ABE,∠C+∠CDB=∠CBE, 1三角形内角和定理 ,'∠ABC=∠ABE+∠CBE, 第1课时三角形内角和定理和全等三角形 .∠ABC=∠A+∠ADB+∠CDB+∠C 基础在线 ∴.∠ABC-=∠A+∠ADC+∠C. 1.两直线平行，内错角相等∠5平角定义等量代换 (2)【类比探究】如图②，连接CF, 2.B3.D4.B 由(1)可知，∠B=∠A+∠AFC+∠BCF,∠D=∠E十 5.∠A=∠D(或∠ACB=∠DFE或AB=DE) ∠EFC+∠DCF, 6.在△AOC和△BOD中， ∠B+∠D=150°，∠A+∠BCD+∠E=90°， ∠C=∠D, ∴.150°=∠A+∠AFC+∠BCF+∠E+∠EFC+ ∠AOC=∠BOD, ∠DCF AC=BD, ∴.150°=90°+∠AFC+∠EFC.∴.∠AFE=60° .∴.△AOC≌△BOD(AAS). 【拓展延伸】100 能力在线 7.C8.B9.A10.26°11.20°或60° 12.∠BCE=∠2， .∠BCE+∠ECA=∠2+∠ECA, 图① 图② 即∠BCA=∠ECD. 在△ABC和△DEC中， 第3课时 多边形的内角和 BC=EC. 基础在线 ∠BCA=∠ECD, 1.C2.2053.B4.B5.36 LAC=DC, 能力在线 6.B7.458.79.2 .∴.△ABC≌△DEC(SAS).∴.∠A=∠D. ∠3=∠4， 拓展在线 .∠1=∠2. 10.(1)(2)(3)如图所示.（答案不唯一） 13.(1)证明：，BD⊥CD于点D,EF⊥CD于点F. .∠BDC=∠EFC=90° .BD∥EF..∠3=∠2 :∠1=∠2，∠1=∠3.∴AD∥BC 图① 图② (2),∠1=∠2=(3x-20)°，∠BEF=(5x+40)°， (4)11或12或13 又.∠2+∠BEF=180°， 第4课时 多边形的外角和 ∴.3x-20+5x+40=180. 基础在线 解得x=20. 1.C2.B3.B4.10 .∴.∠2=(3X20-20)°=40°. 能力在线 又EF⊥CD,.∠CFE=90° 5.A6.D7.D8.45°9.120 .∠BCD=180°-∠CFE-∠2=50°. 拓展在线 拓展在线 10.(1)关系是∠1+∠2=∠3+∠4.理由如下： 14.36 ∠3，∠4，∠5，∠6是四边形的四个内角， 第2课时三角形内角和定理的推论 ∴.∠3+∠4+∠5+∠6=360. ∴.∠3+∠4=360°-（∠5+∠6）. 基础在线 1.D2.D3.C4.40 :∠1+∠5=180°，∠2+∠6=180°， .∠1+∠2=360°-（∠5+∠6）. 5..∠A=60°，∠ACD=25 .∠1+∠2=∠3+∠4. ∴.∠BDC=∠A+∠ACD=85° ∠ABE=35°， (2)四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两 .∠BOC=∠BDC+∠ABE=120° 个内角的和. (3)609 6.∠1<∠2<∠3 能力在线 2等腰三角形 7.B8.D9.A10.40 第1课时 等腰三角形的性质和等边三角形的特殊性质 11.(1)如图所示. 基础在线 (2)①∠EAD=∠CAD ②∠AED 1.100°2.B3.A4.C5.C6.55 ③∠B④大 7.'AB=AC,AD=AE,.∠B=∠C,∠ADE=∠AED 12.∠BPD=∠CPG.理由如下： :D为BC的中点，∴AD⊥BC,即∠ADC=90°. .'AD,BE,CF分别是∠BAC,∠ABC,∠ACB的平分线， ∴∠ADE+∠CDE=90°. :∠2=Z∠BAC,∠1=∠ABC,∠3=∠ACB :∠CAD=80,∴∠ADB=号(180°-∠CAD)=75 ∴∠1+∠2+∠3=Z(∠AC+∠BAC+∠ACB)=90 ∠EDC=∠ADC-∠ADE=15° 8.A9.D10.D 一探究在线·八年 11..△ABC是等边三角形， ∴.AB=CA,∠BAC=∠ACB=60° ∴.∠EAB=∠DCA=120°. 在△EAB和△DCA中， :AE=CD,∠EAB=∠DCA,AB=CA, .△EAB≌△DCA(SAS)..AD=BE 能力在线 12.C13.C14.28° 15.(1)证明：：△ABC为等边三角形，BC=AC BD=AC,∴.BD=BC ,BE平分∠DBC,∴∠DBE=∠EBC. BE=BE,∴.△DBE≌△CBE(SAS) (2):△ABC为等边三角形，∴.BC=AC,∠ACB=60°. ,CE=CE,EA=EB,∴△CAE≌△CBE(SSS). .∠ACE=∠BCE. ,∠ACB=∠ACE+∠BCE=60°， .∠ACE=∠BCE=30°. 由(1)知，△DBE≌△CBE, .∠BDE=∠BCE=30°. 拓展在线 16.B 第2课时等腰三角形的判定与反证法 基础在线 1.C2.23.等腰三角形 4.△ADB≌△ADC,∴∠BAD=∠CAD. .AB∥DE,.∠BAD=∠EDA..∠EDA=∠CAD AE=DE.∴.△ADE是等腰三角形 5.:等边三角形ABC的三个顶点都在坐标轴上， .OB⊥AC,∠BAC=∠CBA=60° BD⊥AB,.∠ABD=90° ∴∠BDA=90°-∠BAC=90°-60°=30°，∠C ∠ABD-∠CBA=90°-60°=30. ∴∠BDA=∠CBD.∴BC=DC ∴△BCD是等腰三角形. 6.B7.(3)(4)(1)(2)8.B 能力在线 9.C10.B11.D12.3 13.(1)AB=AC,∠B=72°，.∠ACB=∠B=72° 由作图可知，CD是∠ACB的平分线， ·∠BCD=∠ACD=?∠ACB=36. (2)在△BCD中，由三角形内角和定理，得∠BDC -∠B-∠BCD=72°， ..∠BDC=∠B..CD=BC. 在△ABC中，∠A=180°-∠B-∠ACB=36°. ∴.∠A=∠ACD.∴.AD=CD..AD=BC. BC=2.5,.AD=2.5. 14.(1)证明：如图，过点C作CG⊥AB于点G, ∴.∠DCG+∠CDG=90. BC=DC, ÷LBCG=∠DcG=名∠BCD D ,BF⊥CD, ∴.∠ABF+∠CDG=90° ∠ABF=∠DCG=Z∠BCD, (2)△BCF是等腰三角形.理由如下： ∠A=45°，CG⊥AB,∴.∠ACG=45. ",'∠ACB=∠ACG+∠BCG,∠BFC=∠A十∠ABF ∴∠ACB=45°+∠BCG,∠BFC=45°+∠ABF. I∠BCG=∠DCG=∠ABF,∴∠BCF=∠BFC, ∴.BF=BC.∴△BCF是等腰三角形 级数学（下）·BS一 拓展在线 15.D 微专题1“三线合一”巧解题 1..AB=AC,ADLBC,BC=12, BD=2BC=号×12=6. 在Rt△ABD中，AB=10, .AD=√AB-BD=√10-6=8. :SAC=2BC·AD=2AC·BE :BE=BC,AD=12X8=9.6. AC 10 2.(1):∠AOD=∠COB,∠ADC=∠ABC,AD=BC, .△AOD≌△COB(AAS). .∠DAO=∠BCO,OA=OC .∠OAC=∠OCA. ∴.∠DAO+∠OAC=∠BCO+∠OCA, 即∠PAC=∠PCA.∴PA=PC. (2).PA=PC,AO=CO,PO=PO, .△APO≌△CPO(SSS). .∠APO=∠CPO,即PE平分∠APC ∴.PE⊥AC. 3.如图，过点A作AM⊥CD交CD于点M :AD=AC,.∠DAM=∠CAD. 1 ∠BAE=Z∠CAD, .∠DAM=∠BAE. CD∥AB,AM⊥CD,.∠BAM=90. .∠BAE+∠MAE=∠DAM+∠MAE=∠DAE=90°， 即AE⊥AD. BD= 4.连接AD, :AB=AC,D是BC的中点， ∴.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD .∠ADB=∠ADC=90° ,'∠EAB=∠FAC ∴.∠EAB+∠BAD=∠FAC+∠CAD. 即∠DAE=∠DAF 在△AED和△AFD中， (AE=AF, ∠DAE=∠DAF LAD-AD. 180° .△AED≌△AFD(SAS)..∠ADE=∠ADF. ∴.∠ADB-∠ADE=∠ADC-∠ADF 即∠EDB=∠FDC. 第3课时等边三角形的判定与含30°角的 直角三角形的性质 基础在线 1.C2.C3.2 4.AD=AE,∠E=30°，∴.∠ADE=∠E=30° .∠BAC=∠E+∠ADE=60° G DF⊥BC,.∠EFC=90°..∠C=90°-∠E=60 ∴.∠B=180°-∠C-/BAC=180°-60°-60°=60° .∠BAC=∠B=∠C..△ABC为等边三角形 5.:△ABC是等边三角形，∴.AC=BC,∠C=60° ,BD⊥AC,AE⊥BC, :CE-BC,CD-AC.:.CE-CD. :∠C=60°，.△CDE是等边三角形. 6.D7.C8.D 能力在线 9.B10.B11.A12.43-4 17©第2课时 三角1 ①基础在线》 知识要，点分类练 知识点1三角形的外角 1.如图，下列关于外角的说法正确的是() A.∠FBA是△ABC的外角 B.∠FBG是△ABC的外角 C.∠DCE是△ABC的外角 D.∠GBA是△ABC的外角 GB CD B C D 第1题图 第2题图 知识点2三角形内角和定理的推论1 2.(教材P6随堂练习T1变式)如图，D是线段 BC延长线上的一点，∠ACD=108°，∠B= 3∠A,则∠A的度数为 () A.36°B.70° C.829 D.72° 3.(中考·辽宁)如图，点C在∠AOB的边OA 上，CD⊥OB,垂足为D,DE∥OA,若∠EDB =40°，则∠ACD的度数为 () A.50°B.120°C.130° D.140° A A< O D 第3题图 第4题图 4.(北京期中)如图，AB∥CD,CE交AB于点F, ∠C=55°，∠AEC=15°，则∠A= 5.如图，在△ABC中，D,E分别是边AB,AC上 的点，BE,CD相交于点O.如果∠A=60°， ∠ACD=25°，∠ABE=35°，求∠BDC和 ∠BOC的度数. 3探究在线八年级数学（下）·BS 形内角和定理的推论 知识点3三角形内角和定理的推论2 6.（嘉定期末)如图，将∠1，∠2，∠3按由小到大 的顺序可以排列为 A 第6题图 第7题图 ②能力在线》方法规律综合然 7.(中考·福建)某数学兴趣小组为探究平行线 的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式 摆放，其中点A,E,C,F在同一条直线上， ∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠DEF= 60°.当AD∥BC时，∠ADE的大小为() A.5° B.15° C.25 D.35 8.(常州期末)将三角形纸片ABC与量角器按如 图所示方式放置，∠1，∠2，∠3是△ABC的外 角，则计算∠1十∠2的结果为 () A.225° B.270° C.300° D.315° B 第8题图 第9题图 9.如图，∠A十∠B十∠C十∠D十∠E的度数为 () A.180°B.210° C.360° D.270° 10.如图所示，∠ACD是△ABC的一个外角，CE 平分∠ACD,F为CA延长线上一点，FG∥ CE,交AB于点G,若∠1=70°，∠2=30°，则 ∠3= 12 G 11.(重庆期中)如图，通过直观观察发现：在 △ABC中，AB大于AC,AB边所对的∠C 大于AC边所对的∠B.为了证明这一发现， 解决思路是构造全等三角形，将∠C转化为 一个三角形的外角，利用三角形的外角大于 不相邻的内角使问题得以证明， 请根据以上思路，完成以下作图与填空： 已知：如图，在△ABC中，AB>AC. 求证：∠C>∠B, (1)尺规作图：作∠A的平分线AP,交BC于 点D,在AB上截取AE=AC,连接DE;(保 留作图痕迹) (2)证明：，AP平分 ∠BAC, ① 在△EAD和△CAD中， (AE=AC, ∠EAD=∠CAD, AD-AD, .△EAD≌△CAD(SAS). ∴.∠C=② .'∠AED>③ .∠C>∠B. 通过研究发现，得出如下命题：在同一个三角 形中，大边所对角比小边所对角④ 12.如图，在△ABC中，P为内角平分线AD, BE,CF的交点，过点P作PG⊥BC于点G, 试说明∠BPD与∠CPG的大小关系并说明 理由. 473 DG ③拓屐在线》培拔尖提升练 犹拔尖提升练。 ●4 13.【问题背景】研究了三角形内角和定理及其推 论后，观察飞镖可以抽象成图①，我们把这个 图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴 含着角的数量关系， (1)如图①，探究∠A,∠B,∠C,∠D之间的 数量关系，并证明； (2)请利用上述结论或解题方法，解决下面的 问题： 【类比探究】 如图②，已知∠A十∠C+∠E=90°，∠B+ ∠D=150°，求∠AFE的度数； 【拓展延伸】 如图③，已知AM∥EN,∠B+∠D=150°， ∠C+∠E=50°，则∠MAB的度数为 M D N 图① 图② 图③ 第一章4