1.1 第1课时 三角形内角和定理和全等三角形-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（北师大版·新教材）

第一章三角形的证明及其应用 三角形内角和定理 ©第1课时三角形内角和定理和全等三角形 ①基础在线 沙知识要点分类练 知识点3全等三角形的性质与判定 5.(新考向·条件开放性)如图，已知点B,F,C, 知识点1三角形内角和定理的证明 E在同一直线上，并且BF=CE,∠B=∠E. 1.现在通过平行线的性质与平角的定义证明“三 请你只添加一个条件（不再添加辅助线），使得 角形的内角和等于180°”这个结论， △ABC≌△DEF.你添加的条件是 已知：如图，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C= 180° 证明：如图，过点A作直线l,使l∥BC, .L∥BC, B F .∠2=∠4.( 6.(中考·云南)如图，AB与CD相交于点O, 同理，∠3= AC=BD,∠C=∠D.求证：△AOC≌△BOD. ,∠1，∠4，∠5组成平角， .∠1+∠4+∠5=180°.( .∠1+∠2+∠3=180°.( ∴.∠BAC+∠B+∠C=180° …451 了2 B A 第1题图 第3题图 ②能力在线沙方法规律综合然 ● 知识点2三角形内角和定理的应用 7.在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合 2.在△ABC中，∠A=100°，∠B-∠C=20°，则 实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不 ∠B的度数是 ( A.60° B.50° C.40° D.30° 能证明“三角形内角和是180°”的是() 3.一副三角尺按如图所示的方式摆放在一起， ∠CED=45°，∠BAC=30°，则图中∠EBC的 0 度数为 A.55° B.60° C.65° D.75 4.某品牌椅子的侧面图如图所示，DE与地面 A.如图①所示，过三角形一边上点D作ED∥ AB平行.若∠DEC=60°，∠ABD=60°，则 CB,DF∥AC ∠ACB= ( B.如图②所示，过三角形内部一点P作QR∥ BC,ST∥AC,MN∥AB C.如图③所示，过点C作CD⊥AB于点D D.如图④所示，过三角形外部一点P作QR∥ A.50 B.60° C.65° D.70 BC,ST∥AC,MN∥AB 1探究在线八年级数学（下）·BS 8.某哨兵在灯塔A处观察到船只B在灯塔的北 偏西38°方向上，船只C在灯塔的北偏东22°方 向上，船只B上的人观察到船只C在他的南 偏东78°方向上，则∠ACB的度数为() 北 13.如图，已知∠1=∠2，BD⊥CD于点D,EF⊥ A.70° B.80° C.90° D.100% CD于点F 9.(中考·山东)如图，小丽在公园里荡秋千，在 (1)求证：AD∥BC; 起始位置A处摆绳OA与地面垂直，摆绳长 (2)若∠1=(3x-20)°，∠BEF=(5x+40)°， 2m,向前荡起到最高点B处时距地面高度 求∠BCD的度数. 1.3m,摆动水平距离BD为1.6m,然后向后 摆到最高点C处.若前后摆动过程中绳始终拉 直，且OB与OC成90°角，则小丽在C处时距 离地面的高度是 ( A.0.9mB.1.3mC.1.6mD.2m 10.(教材P12习题T16变式)如图，在△ABC 中，AD⊥BC,垂足为D,AE平分∠BAC交 BC于点E,若∠C=3∠B=78°，则∠DAE 的度数为 3 拓展在线》培代拔尖提升蟋 14.定义：在一个三角形中，若 一个内角的度数是另一个 D 第10题图 第11题图 内角的度数的3倍，则这样 11.如图，AD∥BC,∠DAB=∠ACB,∠BAC= 的三角形称为“优美三角 2∠ACB+20°，在射线BC上存在点M,使 形”.例如：三个内角分别为100°，60°，20°的 三角形是“优美三角形”.如图，点D在 ∠CAM=2∠ACB,则∠AMB= △ABC的边AB上，连接DC,∠BDC>90°， 12.如图，AC=DC,∠BCE=∠2，CE=BC.求 作∠ADC的平分线，交AC于点E,在DC上 证：∠A=∠D,∠1=∠2. 取一点F,使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF =∠B.若△BCD是“优美三角形”，则∠B等 于 第-章2温警提示：清做完后再看答案！ 又：∠4=∠1+∠2，.∠3+∠4=90°. 又.PG⊥BC,∴.∠3+∠5=90°.∴.∠4=∠5. 即∠BPD=∠CPG. 参考答案 拓展在线 13.(1)∠ABC=∠A+∠ADC+∠C. 证明：如图①，连接DB,并延长至点E, 第一章三角形的证明及其应用 :∠A+∠ADB=∠ABE,∠C+∠CDB=∠CBE, 1三角形内角和定理 ,'∠ABC=∠ABE+∠CBE, 第1课时三角形内角和定理和全等三角形 .∠ABC=∠A+∠ADB+∠CDB+∠C 基础在线 ∴.∠ABC-=∠A+∠ADC+∠C. 1.两直线平行，内错角相等∠5平角定义等量代换 (2)【类比探究】如图②，连接CF, 2.B3.D4.B 由(1)可知，∠B=∠A+∠AFC+∠BCF,∠D=∠E十 5.∠A=∠D(或∠ACB=∠DFE或AB=DE) ∠EFC+∠DCF, 6.在△AOC和△BOD中， ∠B+∠D=150°，∠A+∠BCD+∠E=90°， ∠C=∠D, ∴.150°=∠A+∠AFC+∠BCF+∠E+∠EFC+ ∠AOC=∠BOD, ∠DCF AC=BD, ∴.150°=90°+∠AFC+∠EFC.∴.∠AFE=60° .∴.△AOC≌△BOD(AAS). 【拓展延伸】100 能力在线 7.C8.B9.A10.26°11.20°或60° 12.∠BCE=∠2， .∠BCE+∠ECA=∠2+∠ECA, 图① 图② 即∠BCA=∠ECD. 在△ABC和△DEC中， 第3课时 多边形的内角和 BC=EC. 基础在线 ∠BCA=∠ECD, 1.C2.2053.B4.B5.36 LAC=DC, 能力在线 6.B7.458.79.2 .∴.△ABC≌△DEC(SAS).∴.∠A=∠D. ∠3=∠4， 拓展在线 .∠1=∠2. 10.(1)(2)(3)如图所示.（答案不唯一） 13.(1)证明：，BD⊥CD于点D,EF⊥CD于点F. .∠BDC=∠EFC=90° .BD∥EF..∠3=∠2 :∠1=∠2，∠1=∠3.∴AD∥BC 图① 图② (2),∠1=∠2=(3x-20)°，∠BEF=(5x+40)°， (4)11或12或13 又.∠2+∠BEF=180°， 第4课时 多边形的外角和 ∴.3x-20+5x+40=180. 基础在线 解得x=20. 1.C2.B3.B4.10 .∴.∠2=(3X20-20)°=40°. 能力在线 又EF⊥CD,.∠CFE=90° 5.A6.D7.D8.45°9.120 .∠BCD=180°-∠CFE-∠2=50°. 拓展在线 拓展在线 10.(1)关系是∠1+∠2=∠3+∠4.理由如下： 14.36 ∠3，∠4，∠5，∠6是四边形的四个内角， 第2课时三角形内角和定理的推论 ∴.∠3+∠4+∠5+∠6=360. ∴.∠3+∠4=360°-（∠5+∠6）. 基础在线 1.D2.D3.C4.40 :∠1+∠5=180°，∠2+∠6=180°， .∠1+∠2=360°-（∠5+∠6）. 5..∠A=60°，∠ACD=25 .∠1+∠2=∠3+∠4. ∴.∠BDC=∠A+∠ACD=85° ∠ABE=35°， (2)四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两 .∠BOC=∠BDC+∠ABE=120° 个内角的和. (3)609 6.∠1<∠2<∠3 能力在线 2等腰三角形 7.B8.D9.A10.40 第1课时 等腰三角形的性质和等边三角形的特殊性质 11.(1)如图所示. 基础在线 (2)①∠EAD=∠CAD ②∠AED 1.100°2.B3.A4.C5.C6.55 ③∠B④大 7.'AB=AC,AD=AE,.∠B=∠C,∠ADE=∠AED 12.∠BPD=∠CPG.理由如下： :D为BC的中点，∴AD⊥BC,即∠ADC=90°. .'AD,BE,CF分别是∠BAC,∠ABC,∠ACB的平分线， ∴∠ADE+∠CDE=90°. :∠2=Z∠BAC,∠1=∠ABC,∠3=∠ACB :∠CAD=80,∴∠ADB=号(180°-∠CAD)=75 ∴∠1+∠2+∠3=Z(∠AC+∠BAC+∠ACB)=90 ∠EDC=∠ADC-∠ADE=15° 8.A9.D10.D 一探究在线·八年 11..△ABC是等边三角形， ∴.AB=CA,∠BAC=∠ACB=60° ∴.∠EAB=∠DCA=120°. 在△EAB和△DCA中， :AE=CD,∠EAB=∠DCA,AB=CA, .△EAB≌△DCA(SAS)..AD=BE 能力在线 12.C13.C14.28° 15.(1)证明：：△ABC为等边三角形，BC=AC BD=AC,∴.BD=BC ,BE平分∠DBC,∴∠DBE=∠EBC. BE=BE,∴.△DBE≌△CBE(SAS) (2):△ABC为等边三角形，∴.BC=AC,∠ACB=60°. ,CE=CE,EA=EB,∴△CAE≌△CBE(SSS). .∠ACE=∠BCE. ,∠ACB=∠ACE+∠BCE=60°， .∠ACE=∠BCE=30°. 由(1)知，△DBE≌△CBE, .∠BDE=∠BCE=30°. 拓展在线 16.B 第2课时等腰三角形的判定与反证法 基础在线 1.C2.23.等腰三角形 4.△ADB≌△ADC,∴∠BAD=∠CAD. .AB∥DE,.∠BAD=∠EDA..∠EDA=∠CAD AE=DE.∴.△ADE是等腰三角形 5.:等边三角形ABC的三个顶点都在坐标轴上， .OB⊥AC,∠BAC=∠CBA=60° BD⊥AB,.∠ABD=90° ∴∠BDA=90°-∠BAC=90°-60°=30°，∠C ∠ABD-∠CBA=90°-60°=30. ∴∠BDA=∠CBD.∴BC=DC ∴△BCD是等腰三角形. 6.B7.(3)(4)(1)(2)8.B 能力在线 9.C10.B11.D12.3 13.(1)AB=AC,∠B=72°，.∠ACB=∠B=72° 由作图可知，CD是∠ACB的平分线， ·∠BCD=∠ACD=?∠ACB=36. (2)在△BCD中，由三角形内角和定理，得∠BDC -∠B-∠BCD=72°， ..∠BDC=∠B..CD=BC. 在△ABC中，∠A=180°-∠B-∠ACB=36°. ∴.∠A=∠ACD.∴.AD=CD..AD=BC. BC=2.5,.AD=2.5. 14.(1)证明：如图，过点C作CG⊥AB于点G, ∴.∠DCG+∠CDG=90. BC=DC, ÷LBCG=∠DcG=名∠BCD D ,BF⊥CD, ∴.∠ABF+∠CDG=90° ∠ABF=∠DCG=Z∠BCD, (2)△BCF是等腰三角形.理由如下： ∠A=45°，CG⊥AB,∴.∠ACG=45. ",'∠ACB=∠ACG+∠BCG,∠BFC=∠A十∠ABF ∴∠ACB=45°+∠BCG,∠BFC=45°+∠ABF. I∠BCG=∠DCG=∠ABF,∴∠BCF=∠BFC, ∴.BF=BC.∴△BCF是等腰三角形 级数学（下）·BS一 拓展在线 15.D 微专题1“三线合一”巧解题 1..AB=AC,ADLBC,BC=12, BD=2BC=号×12=6. 在Rt△ABD中，AB=10, .AD=√AB-BD=√10-6=8. :SAC=2BC·AD=2AC·BE :BE=BC,AD=12X8=9.6. AC 10 2.(1):∠AOD=∠COB,∠ADC=∠ABC,AD=BC, .△AOD≌△COB(AAS). .∠DAO=∠BCO,OA=OC .∠OAC=∠OCA. ∴.∠DAO+∠OAC=∠BCO+∠OCA, 即∠PAC=∠PCA.∴PA=PC. (2).PA=PC,AO=CO,PO=PO, .△APO≌△CPO(SSS). .∠APO=∠CPO,即PE平分∠APC ∴.PE⊥AC. 3.如图，过点A作AM⊥CD交CD于点M :AD=AC,.∠DAM=∠CAD. 1 ∠BAE=Z∠CAD, .∠DAM=∠BAE. CD∥AB,AM⊥CD,.∠BAM=90. .∠BAE+∠MAE=∠DAM+∠MAE=∠DAE=90°， 即AE⊥AD. BD= 4.连接AD, :AB=AC,D是BC的中点， ∴.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD .∠ADB=∠ADC=90° ,'∠EAB=∠FAC ∴.∠EAB+∠BAD=∠FAC+∠CAD. 即∠DAE=∠DAF 在△AED和△AFD中， (AE=AF, ∠DAE=∠DAF LAD-AD. 180° .△AED≌△AFD(SAS)..∠ADE=∠ADF. ∴.∠ADB-∠ADE=∠ADC-∠ADF 即∠EDB=∠FDC. 第3课时等边三角形的判定与含30°角的 直角三角形的性质 基础在线 1.C2.C3.2 4.AD=AE,∠E=30°，∴.∠ADE=∠E=30° .∠BAC=∠E+∠ADE=60° G DF⊥BC,.∠EFC=90°..∠C=90°-∠E=60 ∴.∠B=180°-∠C-/BAC=180°-60°-60°=60° .∠BAC=∠B=∠C..△ABC为等边三角形 5.:△ABC是等边三角形，∴.AC=BC,∠C=60° ,BD⊥AC,AE⊥BC, :CE-BC,CD-AC.:.CE-CD. :∠C=60°，.△CDE是等边三角形. 6.D7.C8.D 能力在线 9.B10.B11.A12.43-4 17