泰安市泰山中学2025-2026学年高一上学期期末考试模拟数学卷

泰安市泰山中学2025-2026学年高一上学期期末考试模拟卷 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）设，则（   ） A． B． C． D．1 2．（本题5分）已知为正数，，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D． 3．（本题5分）若命题：“，”，则为（ ） A．， B．， C．， D．， 4．（本题5分）已知全集，，则集合 （ ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知函数，记，则（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）若定义在上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（   ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知函数（）在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知函数的定义域为，对于任意实数，满足：，当时，，则下列结论错误的是（    ） A． B．为偶函数 C．为上的减函数 D．若则的取值范围为 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则的取值范围是 D．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 10．（本题6分）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．在区间上单调递减 C．的图象关于直线对称 D．将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则为奇函数 11．（本题6分）已知是奇函数，则（    ） A． B．在上单调递增 C．的值域为 D．的解集为 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知，则 . 13．（本题5分）已知函数，则 . 14．（本题5分）已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是 . 四、解答题（共77分） 15．（本题15分）计算： (1). (2) 16．（本题17分）已知函数． (1)当时，求函数的值域； (2)若的定义域为，求实数的取值范围； (3)若在上单调递增，求实数的取值范围. 17．（本题13分）已知集合，或，． (1)当时，求，； (2)若，求实数a的取值范围． 18．（本题17分）已知函数 (1)求函数的增区间 (2)直接写出取得最大值时的集合； (3)若关于的方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围． 19．（本题15分）某自来水水源地污染超标，当地自来水公司对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为的药剂后，经过天该药剂在水中释放的浓度（毫克/升）满足：，其中，当药剂在水中的浓度不低于5（毫克/升）时称为有效净化：当药剂在水中的浓度不低于5（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化. (1)如果投放的药剂的质量为，试问自来水达到有效净化总共可以持续多少天？ (2)如果投放的药剂的质量为，为了使在前9天（从投放药剂时算起到第9天结束）之内的自来水达到最佳净化标准，试确定应该投放的药剂质量的最大值. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】将分子上的1用，然后分子分母同除以，化为只含的式子，再代值计算即可. 【详解】因为， 所以 . 故选：A 2．C 【分析】，然后根据基本不等式常数代换的解题方法求解即可. 【详解】因为为正数，，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C 3．C 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题求解即可. 【详解】命题：“，”，则为“，”， 故选：C. 4．D 【分析】根据题意得出集合中没有元素，，再根据、分类讨论即可. 【详解】由题意可知，集合中没有元素，，故AC错误； 若，则， 又，则，不符合题意，排除选项B， 若，则， 又，则，符合，故D正确． 故选：D 5．A 【分析】先判断函数的奇偶性将转化为，再利用指数、对数函数性质比较自变量大小，结合时函数的单调性，得出、、的大小关系. 【详解】因为函数，定义域为，而且， 所以为偶函数，所以. 由指数函数与对数函数的性质可得，. 因为时，在上单调递增， 所以，所以. 故选：A 6．C 【分析】分别分析出的性质，将的零点数转化成函数的交点个数进行求解即可. 【详解】因为，则是周期为的周期函数， 又，所以在上的图象如图所示. 由的解析式可知，单调递增，； 在上单调递减，上单调递增，， 所以的图象如图所示. 令，将所求零点问题转化为函数交点问题， 则在上的交点个数即为所求零点个数. 如图所示，在时，有个交点，在时，有个交点， 综上共有个交点，即有个零点. 故选：. 7．C 【分析】由题意，利用正弦函数的零点和单调性求出的取值范围 【详解】当，， 函数（）在上单调递增， 所以，所以 当，， 且， 在上有且仅有1个零点， 所以或， 所以或， 综上的取值范围为， 故选：C 8．B 【分析】令，可求得，判断A；令，并结合的值，由函数奇偶性的定义可判断B；根据函数单调性的定义可判断C；结合函数的单调性和奇偶性可解不等式，求得的取值范围，判断D. 【详解】对于A，令，则，所以，所以A正确； 对于B，令，则，所以. 又因为函数的定义域为，所以函数的定义域为，所以是奇函数，所以B错误； 对于C，设任意且，则.由题意得，即. 因为， 所以，即. 所以函数为上的减函数，所以C正确； 对于D，由选项的分析可知，函数是奇函数，由C选项可知函数是上的减函数. 若，则. 所以，即，，解得，所以D正确. 故选：B. 9．BCD 【分析】利用作差法分析不等式判断A；利用同向不等式可加性判断B；利用同向正数不等式可乘性判断C；利用一元一次不等式的解集得到系数关系，再解一元二次不等式即可． 【详解】由，可得或，而无法确定恒正或恒负，故A错误； 由可得，根据同向不等式可加性有，故B正确； 由可得，根据同向正数不等式可乘性有，故C正确； 已知关于的不等式的解集为，可得，即， 则关于的不等式可化简为，解得，故D正确. 故选：BCD． 10．AC 【分析】先根据周期以及最值求出的解析式即可判断A；根据得出，结合正弦函数的性质以及复合函数的单调性判断B；检验是否为判断C；根据变换求出的解析式即可判断D. 【详解】由题意可得，，则， 因在取得最大值，则， 得， 因，则，故A正确； 由A选项知，， 因，则， 因正弦函数图象在上单调递增，故B错误； ，故C正确； 由题意得，， 则，故为偶函数，故D错误. 故选：AC 11．AC 【分析】由恒成立即可求得；化简，由复合函数的单调性可判断出在上单调递减；利用指数函数的值域结合不等式性质可得的值域；利用函数在上单调递减可解不等式. 【详解】因为是奇函数，定义域， 所以当时，恒成立， 即，A正确； 所以， 记， 当时，单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性可知在上单调递减，B错误； 因为且， 所以且， 所以或 所以或 所以的值域为，C正确； 因为，且在上单调递减 所以等价于 又因为单调递减， 所以 所以的解集为.D错误. 故选：AC 12．/ 【分析】利用诱导公式和余弦的二倍角公式即可求解. 【详解】因为，所以 由 ， 故答案为： 13．2 【分析】根据给定的分段函数，依次判断代入计算得解. 【详解】函数，， 所以. 故答案为：2. 14． 【分析】根据分段函数定义，利用一次函数和指数函数单调性，限定端点处的取值列出不等式组即可解出的取值范围. 【详解】因为函数是上的增函数， 所以得不等式组：，解得. 故答案为：. 15．(1)121 (2)7 【分析】（1）根据指数式运算法则对式子进行化简求解即可. （2）根据对数的运算法则进行化简求解. 【详解】（1）. （2）. 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）代入，由，利用对数型复合函数单调性求值域； （2）将条件转化为在上恒成立，利用计算即可； （3）根据对数型复合函数的单调性进行判断计算. 【详解】（1）当时，， 令，则， 对数函数在上单调递增，所以， 所以函数的值域为. （2）若的定义域为，则在上恒成立， 所以. 所以实数的取值范围是. （3）二次函数开口向上，对称轴为， 对数函数在上单调递增， 若在上单调递增， 则. 所以实数的取值范围是. 17．(1)或， (2) 【分析】（1）根据交集，并集和补集的定义，即可求解； （2）分和两种情况，讨论当时，的取值范围. 【详解】（1）当，，或， 或， ，所以； （2）当，，得， 当时，若，则，解得：， 综上可知的取值范围为. 18．(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据余弦函数的图像性质即可求解； （2）由题意，可得的最大值为，令，解方程即可求解； （3）将函数的解析式代入方程，结合三角恒等变换，化简可得，通过换元法结合函数图像性质分析，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数， 令，解得， 故函数的单增区间为； （2）由题意，可得，即的最大值为， 令，即， 故，解得， 故取得最大值时的集合； （3）由， 可得， 即， 即， 即， 又根据题意，方程在上有四个不同的实数根， 即方程在上有四个不同的实数根， 令，则， 又，则，所以，即， 令，则，如图， 所以要使在上有四个不同的实数根， 则需要在上有两个不相等的实数根 故， 由于时，无解，故， 则， 令则且， 故， 由于在单调递减，此时至多一个实数根，不符合题意， 故，如图： 当时，， 当且仅当时，取等号， 故. 19．(1)21 (2) 【分析】（1）当时，求出的表达式，自来水达到有效净化只需，讨论求解不等式即可； （2）分析函数的单调性从而求得函数值域，根据最佳净化标准的要求，列不等式求解即可． 【详解】（1）当时，， ①当时，恒成立， 即当时，自来水达到有效净化的标准； ②当时，由，解得， 即当时，自来水达到有效净化的标准. 由①②可知当时，自来水均能达到有效净化的标准， 也即自来水达到有效净化一共可持续21天. （2）因为从投放药剂第1天算起到第9天结束， 所以， ③当时，，设， 则，即， 则函数在区间上为增函数，故，即， ④当时，，设. 则，即， 则函数在区间上为减函数， 故，即； 由③④得， 又因为从投放药剂第1天算起到第9天结束，期间自来水要达到最佳净化标准， 所以必有，解得， 所以投放的药剂质量的最大值为. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $