阶段测评2(20.1-20.2)-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（人教版·新教材）

∴.DE=√AD+AE=3√2. ∴.设AB=3x,BC=4x,CA=5x. ,EC:CD=1:2,∴.EC=√2，CD=2√2. AB2+BC=(3x)2+(4x)2=25x2,CA2=(5.x)2 ,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC =25x. =∠DAE=90°， ∴AB2+BC=CA..△ABC是直角三角形. ∴.AB=AC,AD=AE,∠BAD=∠CAE. (2)由(1)可知，∠B=90°.根据题意，得 ,'.△ACE≌△ABD(SAS). 3x十4x十5x=36,解得x=3. ∴.AB=9cm,BC=12cm. ∴.CE=BD=√2，∠E=∠ADB=45°. 当运动了3秒时，PB=9-1×3=6(cm),BQ=2X ∴.∠BDC=∠ADB+∠ADE=90. 3=6(cm). .BC=√CD+BD=√(22)+(2)=√I0. 拓展在线 △BPQ的面积为=18(cm). 1 14.(1)60614850 14.220 (2)证明：，a=2n,b=n-1,c=n2+1, 微专题2利用勾股定理解决折叠问题 ∴.a2=(2n)2=4n2,b=(n2-1)2=n-2n2+1, 1.C2或5 c2=(n2+1)2=n+2n2+1. .a2+b2=4n2+n-2n2+1=n+2n2+1=c2. 3.(1)证明：在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD, ,n为正整数，且n≥3， ∠D=∠B=∠C=90°. .不论n为何值，a,b,c都是勾股数组。 ,将△ADE沿AE折叠至△AFE, 拓展在线 ∴.AD=AF,DE=FE,∠D=∠AFE=90 15.(1)延长AP交格点于点M,连接 ∴.AB=AF,∠B=∠AFG=90°. BM, 又，AG=AG,.Rt△ABG≌Rt△AFG(HL). 则PM=BM=√+2=√5，PB= (2),△ABG≌△AFG,∴.BG=FG. 设BG=FG=x,则GC=6一x. √/1+32=√/10， .E为CD的中点，∴.CE=DE=EF=3..EG=3十x .'PM+BM=PB2 .在Rt△CG中，3十(6-x)2=(3十x)2,解得x=2. .△PMB是等腰直角三角形，且∠PMB=90. ∴.BG=2 .∠MPB=∠MBP=45°. ∴.∠APB=180°-∠MPB=135. 4.(1)证明：由题意知，AF=CF,AE=CE,∠AFE= ∠CFE. (2)45° 第2课时勾股定理及其逆定理的综合应用 四边形ABCD是长方形， ∴.AD∥BC.∴.∠AEF=∠CFE. 基础在线 ∴∠AFE=∠AEF.∴.AE=AF. 1.A2.63.正南 ..AE=AF=CE=CF. 4.过点C作CE⊥AB于点E. (2)由题意知，AE=CE=a. 在△ABC中， 由∠D=90°知，ED+DC=CE,即b2+c2=a2. .'AC=24 cm,CB=18 cm,AB=30 cm, .AC+CB2=242+182=900,AB2= 5.A6.3√2-3 302=900. 20.2勾股定理的逆定理及其应用 ∴.AC+BC=AB2 第1课时勾股定理的逆定理 .△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°. 基础在线 1.BAC 2.B 3.B 4.D :Saw=7AC.BC=2CE·AB, 5.(1),a2+b=72+242=625,c2=252=625, .AC·BC=CE·AB,即24×18=CEX30, .a2+b2=c2 ∴由线段a,b,c组成的三角形是直角三角形. CE=24X18=14.4(cm. 30 (2a>b>c,8+=1+(）广-1+品-0。 ∴.点C到AB的距离为14.4cm. 5.A e-()-9. 6.在Rt△ABC中，AB=BC=4, ..AC=AB2 +BC=32. .b2+c2≠a2. .CD=6,AD=2,..CD2=36=AD2+AC ∴.由线段a,b,c组成的三角形不是直角三角形 6.52+122=132,.AC+AB2=BC. ∴.△ACD是直角三角形，且∠CAD=90°. ∴△ABC是直角三角形. Sm=号×4X4=8,Sm=号×4E×2=4E. 1 ∴Sm=合AB·AC=合BC·ADAD- 131 SAABC SAACD=SARO+SANCO SAAOD SAACO= 7.A8.C SARCO-SANOD=8-4V2. 能力在线 .△BOC与△AOD的面积相差8-4√2 9.B10.C11.(35,12,37)12.10150° 能力在线 13.(1)证明：AB:BC:CA=3:4:5, 7.D8.D9.135 一探究在线· 10.(1)R轮船沿西北方向航行.理由如下： :AD是△ABC的高，∠DAB=∠ABD=45° 由题意知，Q轮船每小时航行20海里，R轮船每小 ∴.AD=BD 时航行15海里， 在Rt△ABD中，AD2+BD=AB2,AB=3√2. .PQ=20×2=40(海里)，PR=15×2=30(海里). .'.AD=BD=3...CD=BD+BC=4. ,它们离开港口两小时后相距50海里，即QR= 在Rt△ACD中，AC=√JAD+CD=√32+4=5. 50海里， 15.(1)√/17√/13 又402+302=502，即PQ+PR2=QR, (2)如图所示，△DEF即为所求 ∴.△PQR为直角三角形，且∠QPR=90° Q轮船沿东北方向航行，可知∠1=45°， DE=√5，DF=5,EF=2√5， .∠2=∠QPR-∠1=45°. .'.DE+EF=DF. R轮船沿西北方向航行. .△DEF为直角三角形 (2)根据题意，两艘轮船速度和方向都不变继续航 △DEF的面积为号DE·EF=号×，5X2厅=5. 行2小时后，PQ=20×(2+2)=80(海里)，PR= 16.(1)是.理由如下： 15×(2十2)=60（海里）， ,CD2+DB2=42+32=25,CB2=25, 由(1)得△PQR为直角三角形，且∠QPR=90°， .CD+DB2=CB..△CDB是直角三角形. 根据勾股定理，RQ=802+602=1002, .CDLAB.CD是从小区C到公路最近的路. ∴.RQ=100. 答：两艘轮船航行的速度和方向都不变，再继续航 (25 行2小时两船相距100海里. 17.过点A作AD⊥BC于点D,如图②，设CD=x,则 11..在△BDC中，CB=1千米，CD=0.8千米，BD= AD2=b-x2=c2-(a-x)2, 0.6千米，BC=1,CD2+BD=0.82+0.62=1, 整理，得a2+b=c2+2ax, .CD+BD=BC.∴.△BDC是直角三角形. 2ax>0,∴.a2+b>c2; ∴.∠CDB=90°. 如图③，同理可得a+<c2 ,A,D,B在同一条直线上， ∴.∠ADC=180°-∠CDB=90°. △ADC是直角三角形. :A,B这两个取水点之间的距离为2.1千米， (∠ACB<90°) (∠ACB>90°) BD=0.6千米， 图② 图③ .AD=AB-BD=2.1-0.6=1.5(千米). 单元综合复习（二）勾股定理 在Rt△ADC中，AD=1.5千米，CD=0.8千米， 热门考点突破 由勾股定理，得 1.D2.C3.A4.A5.A6.D7.B8.√3-1 AC=√AD十CD=√/1.52+0.8=1.7（千米. 9.如图，过点A作AE⊥BC于点E, 答：原来的路线AC的长为1.7千米. ,AC=AB=25,BC=4, 拓展在线 BE-CE-BC-2. 12.2√13 微专题3利用勾股定理解决最短路径问题 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE=√AB一BE =4. 1.B2.33 .DE=CE+CD=2+5=7, 3.(1)1300 在Rt△AED中，由勾股定理，得AD=√AE十DE (2)如图，作点A关于直线MN的 北 对称点A',连接A'B交MN于点 C 十→东 =√65. P,则点P即为所求. 10.11411.45°12.南偏东50° 13.(1),AB⊥BC,.∠B=90° 此时PA'=PA, .PA十PB=PA'+PB,即PA+PB的最小值为A'B 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 的长. AC=√JAB2+BC=√92+122=15(km). 由题意知，A'D=AD=200米，∠ACB=90°， 答：无人机飞行路径AC的长为15km. (2)证明：，AD2=172=289,CD2+AC=82+15 .A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900(米). =289,.AD=CD2+AC. 在Rt△A'BC中，∠ACB=90°， ∴.△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°. .A'B2=A'C2+BC=9002+12002=2250000. ∴AC⊥CD. A'B>0,.AB=1500米. 核心素养提升 即PA+PB的最小值为1500米 4.B5.1306.13π 14.(1)√10元 2 阶段测评2(20.1一20.2) 1 1 1 1.C2.C3.A4.A5.B6.C7.B (2)s+s+s,+s+s+S+…+s+Sm 859g.3610.51.4012.号 13.135 1 1 99+√100 14.∠ABC=135°，∴.∠ABD=45. +++ 2 2 年级数学（下）一 19阶段测评2(2 (时间：45分钟 一、选择题（每小题4分，共24分） 1.（贵港期中)下列各组数是勾股数的是( A.0.6,0.8,1.0 B.1,√2,3 C.16,12,20 D.8,15,19 2.(唐山期末)在平面直角坐标系中，点(1，一2) 到原点的距离是 () A.√3 B.2 C.5 D.3 3.(贵阳期末)如图，有一块三角形空地，它的三 条边线分别长30m,40m和50m,已知40m 长的边线为南北向，则30m长的边线方向为 A.东西向 B.东北向 C.东南向 D.西北向 40m 50m 30m 第3题图 第4题图 4.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组 成的网格中，线段AB的两个端点都在正方形 网格的格点上，则AB的长不可能是() A.√3 B.√5 C.2√2 D.√10 5.如图，正方体的棱长为3，一只蚂蚁从点A出 发，沿正方体表面到点B处吃食物，那么它爬 行的最短路程是 () A.√45 B.35 C.√29 D.√53 B 第5题图 第6题图 6.如图，三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB =2,BC=√13.沿过点A的直线将纸片折叠， 0.1一20.2) 满分：100分) 使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片， 使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为 E,则AE的长是 () A B C n号 二、填空题（每小题4分，共28分） 7.(毕节阶段练习)若△ABC的三边分别是a,b, c,且满足a2十c2=b,则∠ =90°」 8.(湛江期中)如图，以原点O为圆心，OB长为 半径画弧交数轴于点A,则点A所表示的数是 A 第8题图 第9题图 9.(珠海期中)如图，图中所有三角形都是直角三 角形，所有四边形都是正方形，已知最大的正 方形的边长为6，则A,B,C,D四个正方形的 面积之和为 10.(大足期末)如图，一根木棍长18cm,斜放在 底面直径为5cm的圆柱形水杯中，水杯的高 AC为12cm,则露出水杯外的部分AD的长 为 cm. 第10题图 第11题图 11.如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD,相 交于点O.若AB=3CD=6,则AD+BC= 第二十章30 12.如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接 AD,AD=BC=8,AC=2√17，BD=3CD,E 是AB边上一动点，连接CE,则CE的最小 值为 第12题图 第13题图 13.(宿州阶段练习)如图，在3×3的正方形网格 中标出了∠1和∠2，则∠1十∠2= 三、解答题（共48分） 14.(10分)（襄阳期末）如图，在△ABC中， ∠ABC=135°，AD是高.若AB=3√2，BC= 1,求AC的长 15.(12分)（遵义期末）在如图①的网格中，每个 小正方形的边长均为1.△ABC的顶点均在 格点上.小雨同学利用勾股定理求出AB= √22+22=2√2. (1)填空：BC= ,AC= (2)在如图②的长方形网格中，每个小长方形 的长均为2，宽为1.格点上的点D,E如图， 点F在格点上，满足DF=5,EF=25.请在 网格中画出△DEF,并求△DEF的面积. D 图① 图② 31探究在线八年级数学（下） 16.(13分)（安康期末）如图，在一条东西走向的 公路一侧有两个新能源车的充电站A,B,点 C处是一个小区，其中AB=AC.由于道路施 工，由点C到A充电站的道路无法正常通 行.该小区为了方便居民充电，决定在公路旁 的点D处新建一个充电站（点A,B,D在同一 条直线上)，并新修一条公路CD,工作人员测 BC=5 km,BD=3 km,CD=4 km. (1)CD是不是从小区C到公路最近的路？请通 过计算说明； (2)新修的公路CD比原来的公路AC短 千米. 17.(13分)（创新意识）在△ABC中，BC=a,AC =b,AB=c,若∠ACB=90°，如图①，则 Rt△ABC的两条直角边的平方和等于斜边 的平方，即a2十b2=c2.若△ABC不是直角三 角形，如图②、图③，请你类比直角三角形三 边的这一关系式，猜想a2+b2与c2的大小关 系，并证明你的猜想 (∠ACB=90°)（∠ACB<90°） (∠ACB>90°) 图① 图② 图③