微专题1 二次根式的运算及化简求值技巧-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（人教版·新教材）

微专题1二次根式 类型① 二次根式的运算 1.计算： (1)23÷V2×1 (2)3+√12×3-(3-1)： 3 (3)v2+a.5-(√日+)： (4)√27×√50÷26； (5)W6X√2-√27+√18÷√6； (6)v2-8÷√层++2)5-2： 的运算及化简成值技巧 )1-+×(5-后)+（½）厂， (8)(5+√2)(5-√2)-√3(3-1)+√24÷ √8； g)5-6: √5 (101+3(3-√6)+8. √2-1 类型②与二次根式有关的化简（求值） 2.(襄阳期末)先化简，再求值： 2(a+√3)(a-√3)-a(a-2)十6，其中a=√2-1. 第十九章12 3.(长沙期中)已知a=√5+2，b=√5-2，求下列 代数式的值. (1)a2-b2; (2)a2+b2+ab. 4.(马鞍山期中)若x,y为实数，且y= 2=9+9-之+2，求Vx十y·-y的值. x十3 13探究在线八年级数学（下） 5(齐齐哈尔期末)先化简，再求值：() 与)3其中=5+2=5-2 6.请先阅读下列材料，再解决问题： 数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通 过完全平方公式及二次根式的性质化去外面的 一层根号.例如：√3十2√2=√1十2X1X√2+2 =W12+2×1×(W2)+(2)2=√(1+√2)2= 1+√2. 解决问题： (1)在横线上填上适当的数：√14+6√5= W9+2×3×√5+①=√(3+②)2=③： ①： ,②：，③： (2)根据上述思路，化简并求出√28一10√3+ √7+4√3的值.1 √m+√n-I √m-√n-I(Wn-√n-I)(Wn+√n-I) x-y =√n+√n-I. -a2是] :√n+I>√n-I, -2y .√n+I+√n>√m+√n-I. x+2”·(+)=-2 y 1 1 当x=√5+2，y=√5-2时， √n十I-√m√m-√n-I 原式= 2(5-2) 2(W5-2) ∴.√n+I-√n<√m-√n-I. √5+2-(W5-2)√5+2-√5+2 微专题1二次根式的运算及化简求值技巧 1g式-25×号X- =-25-2=-5-2_2-5 4 2 2 6.(1)5√53+√5 (2)原式=√3+6-3+2√3-1=33+2. (2)√28-10√3+√7+4√3 ③)原式=26+号-要-后=后+要 =√25-2×5×5+3+√4+2×2×√5+3 （④原式=35X5v反÷25=155÷2后-号 =√(5-√3)2+√(2+√3) =5-√3+2+3 (5)原式=√12-√27+√3=23-3√3+√3=0. =7. (6)原式=26-√8×多+(3-2)=26-2+1 阶段测评1(19.1-19.3) 1.B2.B3.B4.B5.A6.D =2√6-2√3+1. 7.<3且z18<-万-反9. (7)原式=2-1+3×3-3×2+2=2-1+ 10.y√-x11.6W612.27+16√313.2 3-1+2=√2+3. 14.(1)原式=14√3.(2)原式=6√2. (8)原式=5-2-3+√3+√3=2√3. (3)原式=2-43.(4)原式=-3. (9)原式=25+5-25=35-25=3-25. 15.(1)x=2-√3，y=2+√3. 5 5 (2)由(1)得x+y=2-√3+2+√3=4，xy=(2 2+1 (10)原式=2-1)W2+1 +3-3√2+22=√2+ √3)(2+√3)=1， :.x-zy+y=(x+y)2-2xy-zy=(x+y)2- 1+3-3√2+2√2=4. 3xy=42-3×1=13. 2.原式=2(a2-3)-a2+2a+6 =2a2-6-a2+2a+6 16.a(6侵-21）)-(3√号-3v)=6×9 =a2+2a. 2X3V2-3×5+3X22=36-6,2-6+62 当a=√2-1时， 3 原式=(2-1)+2（√2-1） =2√6. =3-2√2+2√2-2 (2)设“■”处的数字为a, =1. 则原式-（√月-2）-(3√层-3w) 3.:a=√5+2，b=√5-2， .a+b=√5+2+√5-2=2√5， -ay5-5=0,解得a=2. 2 a-b=√5+2-√5+2=4， 故原题中“■”表示的数是2. ab=(W5+2)(√5-2)=1. 17.(1)a+(n-1)Wb (1)a2-b=(a+b)(a-b)=2√5×4=8√5. (2)猜想：S+1-S.=(2n-1)b+2a6. (2)a2+b+ab=(a+b)2-ab=20-1=19. 证明：Sn+1-S.=(a十nw6)2-[a+(n-1)b] 4.由题意可知，x2-9≥0,9-x2≥0，x十3≠0， =[a+n8+a+(n-1)/B]La+n6-a-(n-1)B] 解得x=3, “y=9+Y9-2+29-g+9-9+2 =[2a+(2n-1)Wb]Wb=(2n-1)b+2a√6. x+3 3+3 (3)当a=1,b=3时， T=i十2+6十…十to=S2-S1+S-S2+S4- S…+S1-S0=S1-S,=(1十50W/3)°-1=7500+ √x+y·√x-y=√(x+y)(x-y)=√x-y 1003. 单元综合复习（一）二次根式 31 热门考点突破 1.D2.B3.A4.a5.5 18 一探究在线· 6.B7.A8.C9.C10.A11.-62 第2课时勾股定理的实际应用 12.(1)原式=5√3-3√6+4√6-6√3=(5-6)√3+ 基础在线 1.D2.C3.A4.2.45.2 (-3+4)√6=√6-√3. 6.在Rt△BCD中，由勾股定理，得 (2)原式=[(23)”-(3√2)2]÷√3=(12-18)÷ BC=√/CD-BD=√/102-62=8(m), √5=-6÷3=-2√3 ∴.AB=BC+AC=8+2.5=10.5(m). (3)原式=9-5-(3-2√5+1)=4-(4-2√3)= .电线杆的高度AB为10.5m. 4-4+2√3=2√3. 能力在线 (0原式-如√品× 6 7.A8.A9.B10.0.511.17 =-3a =-36. 12.由题意，得AD:CD=1:2.4=5:12,AD:BD= 13.D14.1920w6 1:1.6=5:8,AC=13m, 设AD=5x,则CD=12x, 15.(1)第n个等式是/1 2n-了=n一1(n是正整 n2 在Rt△ACD中，由勾股定理，得(5x)2+(12x)2= 132, 数).证明如下： 解得x1=1,x2=一1（舍去）. V1-2n-T /m-(2n-1) (n-1)产_n-1 .AD=5,CD=12. n n n ,AD:BD=5:8,.BD=8. (2)N 199 2×100-1 100-1 .BC=CD-BD=12-8=4(m). 10000 1002 100 故改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为4m. 99 100 13.(1)由题意，得∠ABD=90°，设AB=x,则AD= x+2, 核心素养提升 又BD=8,在Rt△ABD中，AB2+BD=AD, 16.C ∴.x2+82=(x十2)2，解得x=15. 第二十章勾股定理 答：旗杆AB的长为15m. 20.1勾股定理及其应用 (2)由(1)得AD=17m,延长BA至点 A 第1课时勾股定理 A',使AA'=4,连接A'D,则A'B=A'A 基础在线 +AB=4+15=19(m). 1.D2.A3.A4.5125.√34 在Rt△A'BD中，A'D=√AB+BD 6.(1)4√38(2)3√23√2 =√192+82=5√/17≈20.6(m), 7.(1):∠C=90°，a=40,b=9, 则绳子至少要加长20.6-17=3.6(m). ∴.c=√a+6=√402+92=41. 答：绳子至少要加长3.6m (2)a:b=8:15,∴.设a=8x(x>0),则b=15x. 拓展在线 ∠C=90°， 14.13 c=√a2+6=√(8x)2+(15x)=17x. 第3课时利用勾股定理作图 又c=34,∴.17x=34,解得x=2, 基础在线 .a=16,b=30. 1.A 8.(1)由勾股定理，得AB=√AC+BC=25, 2.(1)√/13 (2)如图，取OE=3,EF=1.点D即为所求作的点. (2)△ABC的面积为2 BCXAC=-150. (3)由三角形的面积公式，得 0 2 ABXCD=-150,则CD=2X150-12. 5-43-2-1012345 25 3.AD 4.A 9.B 5.(1)如图所示 能力在线 10.A11.7√212.±3 (2)S△ABc=2X4- ×21-×2 13.(1)14-x (2)由勾股定理，得AD2=AB2-BD=AC-CD, x2-2×4×1=8-1-2-2=8. 即152-x2=132-(14-x)2,解得x=9. 6.C7.< 14.(1).∠ABC=90°， 能力在线 .BC=√AC-AB=√132-12=5. 8.D9.-√510.-111.1212.3 BD=√JAD-AB=√/152-12=9， 13.连接BD, .CD=BD-BC=9-5=4. :△ADE是等腰直角三角形， AE=3, (2)AB的长为18. .AD=AE=3,∠E=∠ADE= 拓展在线 45°. 15.D 年级数学（下）一