第一章 整式的乘除章节复习课件-2025-2026学年北师大版数学七年级下册

该初中数学单元复习课件系统梳理了整式的乘除知识，涵盖幂的运算、整式乘除及乘法公式等核心内容，通过导图指引构建“系统概述-核心-模块-流程”的知识框架，分点梳理公式法则与易错点，帮助学生建立完整知识网络。 其亮点在于采用“题型讲练-分层训练-真题实战”模式，如结合几何图形讲解平方差公式的面积意义培养几何直观，设计基础夯实与培优拔高题分层提升运算能力，助力学生巩固知识，教师可精准把握学情提升复习效率。

第一章 整式的乘除 北师大版数学七年级下册章节复习培优精讲练 目 录 1. 导图指引 知识点梳理 2. 3. 4. 重点难点考点讲练 难度分层训练 5. 真题实战演练 导图指引 01 导图指引 知识点梳理 02 知识点梳理01：幂的运算 1.同底数幂的乘法： ( 为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方： ( 为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方： ( 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法： ( ≠0, 为正整数，并且 ). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 5.零指数幂： 即任何不等于零的数的零次方等于1. 【易错点拨】 公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 知识点梳理02：整式的乘法和除法 1.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即 ( 都是单项式). 3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即 . 【易错点拨】 运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式： . 知识点梳理02：整式的乘法和除法 4.单项式相除 把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 5.多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即： 知识点梳理03：乘法公式 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【易错点拨】 在这里， 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2. 完全平方公式： ； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 【易错点拨】 公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 重点难点考点讲练 03 （2025七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中． 解：原式 ． 当时，原式=． 典例精讲 题型1：幂的乘方运算 （23-24七年级下·上海浦东新·期中）若，，则 ． 解：． 故答案为：． 变式训练 题型1：幂的乘方运算 （24-25七年级下·上海青浦·期末）计算： ． 解：计算 ：根据幂的乘方法则，， 原式变为， 计算乘法：系数相乘，；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，， 故答案为：． 典例精讲 题型2：积的乘方运算 （25-26七年级下·上海普陀·月考）计算的结果是（ ） A． B． C． D． 解： ， 故选：C． 变式训练 题型2：积的乘方运算 （24-25七年级下·全国·课后作业）某种液体中每升含有个有害细菌，某种灭菌剂1滴可杀死个此种有害细菌．现要将2L液体中的有害细菌杀死，要用这种灭菌剂 滴． 解：2升液体中的有害细菌总数为个， 每滴灭菌剂可杀死个细菌， 故需要灭菌剂滴数为（滴）. 故答案为：2000. 典例精讲 题型3：同底数幂的除法运算 （24-25七年级下·河南平顶山·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 解：A、，原运算错误，故本选项不符合题意； B、，原运算正确，故本选项符合题意； C、，原运算错误，故本选项不符合题意； D、，原运算错误，故本选项不符合题意； 故选：B． 变式训练 题型3：同底数幂的除法运算 （24-25七年级下·全国·课后作业）比较大小： （填“＞”“＜”或“＝”）． 解：∵ ，. ∴， ∴ . 故答案为：. 典例精讲 题型4：零指数幂 （2025七年级下·全国·专题练习）等于（   ） A．0 B．1 C．4 D． 解：． 故选：B． 变式训练 题型4：零指数幂 （25-26七年级下·全国·课后作业）计算： ， ． 解：，， 故答案为：，． 典例精讲 题型5：负整数指数幂 （25-26七年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A．3 B． C． D． 解：， 故选：． 变式训练 题型5：负整数指数幂 （24-25七年级下·江西·月考）计算： (1) （1）解： ； 典例精讲 题型6：幂的混合运算 (2) （2）解： . （24-25七年级下·河北石家庄·期末）计算： (1)； (2)． （1）解：原式； 变式训练 题型6：幂的混合运算 （2）解：原式． （24-25七年级下·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中． 解： ， 当时，原式． 典例精讲 题型7：计算单项式乘多项式及求值 （24-25七年级下·全国·单元测试）下列运算不正确的是（　　） A． B． C． D． 解：A、，正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，原式错误，符合题意； D、，正确，不符合题意； 故选：C． 变式训练 题型7：计算单项式乘多项式及求值 （24-25七年级下·江苏盐城·期中）如果一个长方形的长是，宽是，则这个长方形的面积为 ． 解：∵长方形的长是，宽是， ∴这个长方形的面积为， 故答案为：． 典例精讲 题型8：单项式乘多项式的应用 （24-25七年级下·陕西·期中）如图，李伯伯家有一块长为，宽为的长方形土地，李伯伯准备空出两块长都为，宽都为的小长方形土地以备他用，其余部分用来种植蔬菜． (1)用含a，b的代数式表示种植蔬菜的面积；（结果化到最简） (2)若，，且种植蔬菜每平方米的成本为10元，请计算种植蔬菜所需的总成本． （1）解： ， 即种植蔬菜的面积为． （2）解：当，时， ， （元）， 即种植蔬菜所需的总成本为15500元． 变式训练 题型8：单项式乘多项式的应用 （24-25七年级下·陕西咸阳·期中）幸福小区有一块长方形空地，该小区物业计划在这块空地的两个角留边长相同的正方形地块修建两个鱼池，然后在剩余部分（阴影部分）铺上草坪，相应的长度如图所示． (1)用含，的代数式表示铺草坪的面积； (2)如果铺草坪每平方米的价格是元，那么当，时，铺这块草坪一共需要花费多少元？ （1）解：由题意得，铺草坪的面积为： ； 典例精讲 题型9：多项式乘多项式与图形面积 （2）解：由题意得，当，时，铺这块草坪一共需要的总费用为： （元）， 当，时，铺这块草坪一共需要花费元． （25-26七年级下·山东淄博·月考）若多项式，则 ． 解：∵， ， ， ∴， 故答案为：1． 典例精讲 题型10：(x+p)(x+q)型多项式乘法 （25-26七年级下·全国·单元测试）若 ，则的值为（  ） A． B． C．1 D．3 解：， 又， 所以，， 所以， 故选：B． 变式训练 题型10：(x+p)(x+q)型多项式乘法 （24-25七年级下·江苏宿迁·期末）计算结果中不含的一次项，则 ． 解： ，且的计算结果中不含的一次项， ， 解得， 故答案为：． 典例精讲 题型11：已知多项式乘积不含某项求字母的值 （23-24七年级下·福建泉州·期中）若的展开式中不含x项，则实数m的值为（　　） A． B．0 C．3 D．6 解：， 展开式中不含项， ， ， 故选：D． 变式训练 题型11：已知多项式乘积不含某项求字母的值 （25-26七年级下·全国·单元测试）根据，，，．所包含的规律，回答下列问题． （1）的值为 ． （2）的个位数字是 ． 解：（1）观察题干式子，得， 故答案为：63； （2） ， ∵的个位数是，的个位数是， 的个位数是，的个位数是，的个位数是……， ∵ ∴的个位数是3． 故答案为：3. 典例精讲 题型12：多项式乘法中的规律性问题 （25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式的计算是否正确？如果不正确，请改正过来． (1)； (2)； (3)． （1）解：∵， ∴原计算错误，正确结果为； （2）解：∵， ∴原计算错误，正确结果为； （3）解：∵， ∴原计算错误，正确结果为． 典例精讲 题型13：运用平方差公式进行运算 （24-25七年级上·江苏南通·期中）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分面积为． (1)用含有字母a和b的式子分别表示与的面积：________，________． (2)①根据图1与图2的面积相等关系，写出得到的等式． ②运用以上等式可以简化一些乘法计算．例如，计算，可作如下变形： ． 运用上述方法计算． 典例精讲 题型14：平方差公式与几何图形 （1）解：图1中的阴影面积可以看作两个正方形的面积差， ∴， 图2中的阴影面积为长方形的面积，其长为，宽为， ∴； （2）①∵， ∴； ②． 典例精讲 题型14：平方差公式与几何图形 （24-25七年级下·全国·课后作业）老师在黑板上写了一道题目：已知，求的值． 针对这道题目小涛和小玲的讨论如下图所示． (1)你认为谁说得对？请说明理由． (2)如果，，求这个式子的值． （1）解：小玲说得对．理由如下： 原式 ． 经过化简，原式的结果只与x的取值有关，所以小玲说得对． （2）解：由（1）得，原式． 当时，原式． 典例精讲 题型15：运用完全平方公式进行运算 这道题只知道x的值，没有告诉y的值，无法求出答案． 这道题与y的取值无关，可以求出答案． （24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． （1）解：原式 ． 变式训练 题型15：运用完全平方公式进行运算 (2)． （2）解：原式 ． （22-23七年级下·河南郑州·月考）图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形． (1)你认为图中的阴影部分的正方形的边长等于__________； (2)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．（只需列出，不必化简） 方法1：__________，方法2：__________； (3)观察图你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？ 代数式的关系是__________． (4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，求． 典例精讲 题型16：完全平方公式在几何图形中的应用 （1）解：由题意可得图b中阴影部分的小正方形的边长为：； 故答案为：； （2）解：方法1：由（1）可知阴影部分的小正方形的边长为， 阴影部分小正方形的面积为：； 方法2：由题意可得图b中大正方形的边长为：， 阴影部分小正方形的面积为：； 故答案为：； （3）解：由（2）可得：小正方形的面积， 三个式子间的数量关系为：； 故答案为：； （4）解：根据题意得：， 由（2）中所得数量关系可得：． 故答案为：29． 典例精讲 题型16：完全平方公式在几何图形中的应用 （24-25七年级下·江苏苏州·月考）求代数式的值，其中． 解： ， 当时， 原式 ． 典例精讲 题型17：多项式乘多项式——化简求值 （24-25七年级下·江苏无锡·月考）先化简，再求值：，其中． 解： ∵ ∴ ∴ 当时，原式． 变式训练 题型17：多项式乘多项式——化简求值 （23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图，长为a，宽为b的长方形的周长为16，面积为10，则的值为（   ） A．160 B．84 C．80 D．44 解：由题意知，． ∴． ∴． 故选：D． 典例精讲 题型18：通过对完全平方公式变形求值 （25-26七年级下·全国·课后作业）若，则等于（   ） A．1 B．9 C．11 D．23 解：， ， ， ， ， 故选：． 变式训练 题型18：通过对完全平方公式变形求值 （23-24七年级下·江西九江·期中）若是一个完全平方式，那么m的值是 ． 解：∵是一个完全平方式， ∴， 即， 解得或. 故答案为：21或. 典例精讲 题型19：求完全平方式中的字母系数 （24-25七年级下·江苏南京·月考）若多项式是一个完全平方式，则的值为 ． 解：多项式是一个完全平方式， 多项式写成， 或， 或， ． 故答案为：． 变式训练 题型19：求完全平方式中的字母系数 （24-25七年级下·安徽宿州·期中）计算： (1)． （1）解： ； 典例精讲 题型20：整式四则混合运算 (2)； （2）解： ． （24-25七年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)． 变式训练 题型20：整式四则混合运算 （1）解： ； （2）解： ； 变式训练 题型20：整式四则混合运算 （3）解： ． （24-25七年级下·全国·单元测试）计算题： (1)； (2)； (3) 典例精讲 题型21：整式的混合运算 （1）解： ； （2）解： ； （3）解： 典例精讲 题型21：整式的混合运算 （25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中，． 解：原式 ． 当，时， 原式． 变式训练 题型21：整式的混合运算 真题实战演练 04 1．（2024·安徽合肥·中考真题）下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 解：A．，原式计算错误，故不符合题意， B．，原式计算错误，故不符合题意， C．，原式计算正确，故符合题意， D．，原式计算错误，故不符合题意， 故选：C． 中考真题 2．（2024·全国·中考真题）若多项式是完全平方式，则 ． 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 中考真题 3．（2024·江苏南京·中考真题）在整式中，■表示运算符号“－”“×”中的某一个，▲表示一个整式． (1)若，求出整式▲． (2)已知的计算结果是二次单项式，当▲是常数项时，直接写出■表示的运算符号及▲的值． （1）解：由题意，得 ． （2）解：■表示的运算符号是“×”，▲的值为4． 中考真题 难度分层训练 05 1．（24-25七年级下·江西南昌·期中）人体内一种细胞的直径约为微米，相当于米，数字用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． ． 故选：C． 基础夯实 2．（24-25七年级下·全国·周测）计算： ． 解：原式 ． 故答案为：． 基础夯实 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； （1）解： ； 基础夯实 (2)． （2）解： ． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将四个长为a、宽为b的小长方形纸片拼成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为（    ） A． B． C． D． 解：， 即．故选：D. 培优拔高 2．（22-23七年级下·河北秦皇岛·期中）若，则 ． 解： ∴， 解得， ∴ 故答案为：． 培优拔高 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 培优拔高 （1）解： ； （2）解： ； 培优拔高 （3）解： ； （4）解： ． 谢谢大家 $