3.4 用待定系数法确定一次函数的表达式&3.5 一次函数与二元一次方程的关系-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（湘教版·新教材）

©3.4用待定系数法 基础在线沙知识要点分类练 知识点1用待定系数法确定一次函数的表 达式 1.(长沙期末)正比例函数y=kx(k≠0)的图象 经过点（一1,2），则的值是 () A.-1 B.-2C.1 D.2 2.(教材P106习题T2变式)一次函数y=kx十b 满足x=3时，y=0;x=一2时，y=10,则这个 一次函数的表达式为 () A.y=2x+6 B.y=-2x+6 C.y=-2x-6 D.y=2x-6 3.已知一个函数的因变量y与自变量x的几组对 应值如表，则这个函数的表达式可以是 () x…-1012… y…-2024 A.y=2x B.y=x-1 C.y- D.y=x2 4.一次函数y=kx十b的图象如图所示，则() =- A.3 B. k一3 6=-1 b=1 k=3, C. D. b=1 b=-1 051015U/W 第4题图 第6题图 5.(教材P106练习T1变式)（邵阳期末）已知一个 一次函数的图象经过点A(1,5)和B(一1,9). (1)求这个函数的表达式； (2)若点(a,1)是该函数图象上的一点，求a的值. 67探究在线八年级数学（下）·灯 确定一次函数的表达式 知识点2利用一次函数表达式解决实际问题 6.(跨学科)（中考·内蒙古）在闭合电路中，通过 定值电阻的电流I(单位：A)是它两端的电压 U(单位：V)的正比例函数，其图象如图所示， 当该电阻两端的电压为15V时，通过它的电流 为 () A.12A B.8A C.6A D.4A 7.经验表明，种子在发芽阶段，适当的光照时长 对种子发芽的数量有一定的影响.通过对某种 植物种子进行光照时长研究，发现这种植物的 种子发芽数量y(颗)是光照时长x(h)的一次 函数.已知当光照时长为2h时，该植物种子 有5颗发芽；光照时长为8h时，该植物种子 有11颗发芽. (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当该植物种子有27颗发芽时，光照时长是 多少？ 易错点考虑不周全而致错 8.已知一次函数y=k.x十b的自变量的取值范围 是一3≤x≤6，相应的函数值的范围是一5≤y ≤一2，则这个函数的表达式是 2 能力在线》方法规律综合练 9.(传统文化)象棋起源于中国，中国象棋文化历 史悠久.如图所示是某次对弈的残图的一部 分，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位 于点（一2，一1）的位置，则在同一坐标系下，经 过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数表达 式为 鞦冥 细岗 马 0帅 第9题图 第11题图 10.（中考·西宁)在平面直角坐标系xOy中，点 A(4,0),点P在过原点的直线l上，且AP= OP=4,则直线1的表达式是 11.在“探索一次函数y=kx十b的系数k,b与图 象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的三 个点：A(0,2),B(3,1),C(4,4),如图所示，同 学们画出了经过这三个点中每两个点的一次 函数图象，并得到对应的函数表达式为y1= 1x十b1,y2=k2x十b2,y3=k3x+b3.分别计 算2k1+b1,2k2+b2,2k3十b3的值，其中最大 的值是 A. B专 C.5 D.3 12.(中考·上海)已知学校热水器有一个可以储 存200L水的储水装置，且水在装满储水装 置时会自动停止.如图所示为储水量y与加 水时间x的关系，已知温度t(单位：℃)与x 的关系为t=20x十100 x十2 (1)求y关于x的函数表达式并写出自变量 的取值范围； (2)当水加满时，储水装置内水的温度为多少？ y 200 160外 80A 0 3 拓展在线沙培优拔尖提升练 13.(中考·北京)在平面直角坐标系xOy中，函 数y=x十b(k≠0)的图象经过点(1,3)和 (2,5). (1)求k,b的值； (2)当x<1时，对于x的每一个值，函数y= mx(m≠0)的值既小于函数y=kx十b的值，也 小于函数y=x十k的值，直接写出m的取值 范围。 第3章68 ©3.5一次函数与 ①基础在线沙 知识要点分类练 知识点一次函数与二元一次方程的关系 1.以方程2x十3y=5的解为坐标的点组成下列 哪个函数的图象 () A.y=5-2x B.y=-2x+2 C.y--t + D.y=- 215 3x+3 2.下列是以方程2x一y=2的解为坐标的点组成 的图象的是 B -2 -3 3.若二元一次方程3x-2y=1所对应的直线是 1,则下列各点不在直线1上的是 () A.(1,1) B.(-1,1) C.(-3,-5) D(2,2) 4.已知二元一次方程3x一y=1的一个解是 x=a, 。那么点P(a,b)一定不在 (y=b, A.第一、三象限 B.第四象限 C.第二象限 D.坐标轴上 ②能力在线 > ,方法规律综合练 …● 5.若以二元一次方程x十2y一b=0的解为坐标 的点(x,y)都在直线y=一 x十1上，则常数 1 6= () 1 A.2 B.1 C.-1 D.2 69探究在线八年级数学（下）·灯 二元一次方程的关系 6.已知二元一次方程ax+by=一1的一个解是 [x=3, y=-2, 则3a-2b-2026的值为 () A.-2024 B.-2025 C.-2026 D.-2027 7.（教材P110例2变式)在平面直角坐标系中， 已知一条直线经过A(2,4),B(0,2)两点，且与 x轴交于点C. (1)求表示这条直线的二元一次方程； (2)求出点C的坐标； (3)画出二元一次方程所表示的直线，并求 △AOC的面积. 31 拓展在线》培优拔尖提升练 ● 8.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直 观，形缺数时难人微”.请用这句话提到的数学 思想方法解决下面的问题： 「x+1(x≥0)， 已知函数y= -x-1(x<0), 且关于x,y的 二元一次方程ax-2a-y=0有两组解，则a 的取值范围是 () A<a< R-<a< C.-1<a≤-2 D.-1<a≤-33.3一次函数的图象 第1课时正比例函数的图象和性质 987 基础在线 1.(1)如表 0 12 1 432可0123456m 0-1-2… (2)描点并连线如图所示， 拓展在线 11.A 3.2一次函数 45名 基础在线 1.D2.B3.D 4.(1)当函数y=(m-3)x2-+(m十n)是一次函数时， 2.A3.A4.A5.C6.B7.B 2-n=1,且m-3≠0，解得n=1,m≠3， 8.(1)观察表格发现，漏水时间每增加5min,漏水量增加4mlL, 所以当m≠3，n=1时，函数y=(m-3)x2-+(m十n)是 一次函数 所以y= 5x(x≥0). (2)当函数y=(m-3)x2-"+(m十n)是正比例函数时， (2)函数的图象如图 2-n=1,m+n=0,且m一3≠0， /ml 解得n=1,m=一1， 20 16 所以当m=一1，n=1时，函数y=(m一3)x2-十(m十n) 12 是正比例函数， 6 4 5.B6.C o51015202530x/min 7.(1)根据题意，得y=x2,y不是x的一次函数，也不是x的 能力在线 正比例函数 9.D10.D11.C12.B (2)根据题意，得y=0.53x,y是x的一次函数，也是x的 13.(1)如图所示. 正比例函数. Jy=-2x1 (3)根据题意，得y=50-2x,y是x的一次函数，但不是x 的正比例函数 8.109.A 能力在线 10.B11.A12.y=4x13.2 (2)观察这些函数的图象可以发现，随着|的增大，直线 14.(1y=号BC·x=号×8·=4红它是正比例函数. 与y轴的夹角减小. (3)k1>k2 (2)列表如下： 拓展在线 9 10 14.(1)2 20 24 28 32 36 40 (2)k的值不会发生变化.理由如下： (3)由(2)可知，当x每增加1时，面积y增加4. 正方形ABCD的边长为a,AB=a. 拓展在线 15.(1)3892 在直线y=2x中，当y=a时，x=, (2)根据题意和所给图形可得 ∴B(g,a),A(号0)月 y=20+(20-2)(x-1)=18.x十2，为一次函数. (3)令x=50,则y=18×50+2=902. 0A=号，0D=是a∴c(aa) .50张白纸粘连后的总长度是902cm. 将（受a,a)代入y=x,得a=×号a, (4)令y=2036,则2036=18x+2,解得x=113. .需要113张白纸。 解得为=号k的值不会发生变化 20 探究在线·八 第2课时 一次函数的图象和性质 11.129012.21012 基础在线 13.(1)图象如图所示 1.A2.D 3.作图如图所示. y y=1x+2 5-4-3-2-1 4 =2-2 (2)当x>2时，y>0 由图象可知， (3)当一1≤x≤1时，y的取值范围为一6≤y≤一2. 直线y=方x十2直线y子x和直线)=分。一2互相平行。 14.(1)离家的距离离开家的时间(2)625010 4.A5.B6.B7.A (3)0至15min的速度为6000÷15=400(m/min), 8.(1)10(2)15(3)7.5 30至35min的速度为(6250-4000)÷(35-30)= (4)如图所示. 450(m/min), +路程/m 所以小潘骑车最快的速度是450m/min. 400 300 15.(1)A(0,3),B(3,6) 200 (2)设直线AB与x轴交于点E,如图，则 100 学校 E(-3,0), 0 510152025时间/min 9.D 把直线y=x十3向下平移7个单位长度 得到的直线为y=x十3一7，即y=x一4. 能力在线 在y=x一4中，令y=0,得x一4=0，解得x=4, 10.D11.C12.D13.D .C(4,0)..CE=7. 14.(1)(3,0)(-1,0) (2)由(1)得OC=1,OA=OB=3,AC=OA+OC=3+1 ∴Sae=SaEm-Sa0E=合CB·g-合CE·% =4, .∠OBA=∠OAB=45. 2CE.00-w）=号×7×(6-3)=头 :将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD, 3.4用待定系数法确定一次函数的表达式 ∴.∠DAB=∠BAC=45°，AD=AC=4. 基础在线 .∠DAC=∠BAC+∠DAB=90. 1.B2.B3.A4.D ∴点D的坐标为(3,4). 5.(1)设该函数的表达式为y=kx十b(飞，b为常数，k≠0)，把 拓展在线 A(1,5),B(-1,9)分别代人，得 15.(1)2 k+b=5, 解得k=一2，b=7, (2)根据表格可得图象如图所示！ -k+b=9, 所以这个函数的表达式为y=一2x十7. (2)把(a,1)代人y=-2x+7,得-2a+7=1, 解得a=3. 45 6.A 7.(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx十b(k≠0)， 12k+b=5, (k=1, 根据题意，得 (3)①0-2 8k+b=11, 解得， b=3. ②该函数当x>0时，y随着x的增大而增大.（答案不唯一） y与x之间的函数表达式为y=x十3. 微专题8函数图象信息题 (2)当y=27时，x+3=27,解得x=24. 1.D2.C3.A4.C5.C6.2 ∴.当该植物种子有27颗发芽时，光照时长是24h. 阶段测评3(3.1一3.3) 8.y=3x-4或y=-3x-3 1.C2.B3.D4.C5.D6.D 能力在线 7.x≤88.-39.-510.y=10x+60 9.y=x+110.y=√3x或y=-3x11.D 年级数学（下）·X灯 12.(1)设y关于x的函数表达式为y=kx十b(k≠0)，把(0， C(-2,0),∴0C=2.Sawc=7×2×4=4. 80),(2,160)代入y=kx+b(k≠0)中，得 2k+b=160, (k=40, 拓展在线 b=80, 8.C 1b=80. .y关于x的函数表达式为y=40x十80. 3.6 一次函数的应用 当y=40x十80=200时，x=3.∴.0≤x≤3. 第1课时 一次函数的应用(1) (2)由(1)可得当y=200时，x=3, 基础在线 .加满水时，x=3. 1.(1)设y与x的函数关系式为y=kx十b(≠0)， .=20x+100=20×3t100=32. 596=25k+b, 1k=2, x+2 3+2 则 解得 606=30k+b, b=546. 答：当水加满时，储水装置内水的温度为32℃. 故y与x的函数关系式为y=2x十546. 拓展在线 (2)令y=700L, 13.(1):在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx十b(k≠0) 则2x十546=700，解得x=77. 的图象经过点(1,3)和(2,5)， 答：停止加热时的气体温度为77℃ 1k+b=3, (k=2, 解得 2.1500km (2k+b=5, （b=1. 3.(1)由题意可得，y1=4000+(x一1)×4000×(1-15%) (2)2≤m≤3.提示：由(1)可得函数y=kx十b(k≠0)的表 =3400x+600, 达式为y=2x十1，函数y=x十k的表达式为y=x十2. y2=4000×(1-10%)x=3600x(x为正整数). 画出图象如图所示. (2)由y<y2,得3400x+600<3600x,解得x>3; y=2x+1 4 /=x+2 由y1=y2,得3400x+600=3600x,解得x=3; 由y>y2,得3400x+600>3600x,解得x<3. 综上所述，当x>3时，在甲商场购买更省钱；当x=3时， 2-12x 742 在两家商场购买一样省钱；当x=1或x=2时，在乙商场 购买更省钱， .y=x十2与y=2x十1都经过点(1,3). 能力在线 当x<1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的 4.B5.D 值既小于函数y=x十b的值，也小于函数y=x十k的值， 6.(1)设线段AB,DE的表达式分别为yz=k1x十b1,y甲= 当y=mx经过点(1,3)时，即m=3时，满足题意； k2x十b2. 当y=mx平行于y=2x十1，即m=2时，满足题意。 .2≤m≤3. :AB经过点(0,2)和(4,14)，DE经过(0,12)和(6,0)， 3.5 b=2, k1=3, 一次函数与二元一次方程的关系 解得{ 4k1+b1=14, b1=2. 基础在线 1b2=12, 1k2=-2, 1.D2.C3.B4.C 解得 6k2+b2=0, b2=12. 能力在线 5.D6.D .当0≤x≤4时，y甲和yz与x之间的关系式分别为y甲 =-2x+12,yz=3x+2. 7.(1)设表示这条直线的二元一次方程为y=kx十b, (2)y甲=yz时，即3x+2=-2x+12,解得x=2. 把A(2,4),B(0,2)代入y=x十b,得 ∴.当注水2min时两个水槽中水面一样高. 12k+b=4, 1k=1, 解得 b=2, (b=2. 拓展在线 7.(1)设购买B型芯片m颗，则购买A型芯片(8000一m)颗， ∴表示这条直线的二元一次方程为y=x十2. 所需资金为w元.由题意，得 (2)令y=0,得0=x+2,解得x=一2..C(一2,0) w=350(8000-m)+200m=-150m+2800000, (3)画图如图所示 .k=一150<0，.w随m的增大而减小. ,购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍， ∴.8000-m≥3m,解得m≤2000， m取正整数， ∴.当m=2000时，w取最小值，w最少=一150×2000十 探究在线·八年 2800000=2500000(元). 又：2.67×(100+400)+3.15×(1200+200-500)= 此时8000一m=6000. 4170>3855,且2.67×(100+400)=1335<3855. 答：当该公司购买A型芯片6000颗时，所需资金最少，最 ∴.乙户该年的用气量达到第二阶梯，但未达到第三阶梯. 少资金是2500000元. 设乙户年用气量为am3,则有 (2)①80②1.5或4.5或6.5 2.67×500+3.15(a-500)=3855,解得a=1300. 第2课时一次函数的应用(2) 1300-1273.6≈26(m3). 基础在线 答：该年乙户比甲户多用约26m的燃气. 1.A2.C3.B 微专题9一次函数图象与字母系数的关系 4.(1)2 1.D2.D3.A4.B5.D (2)设y=kx十b(k≠0)，把(3,150)，(5,190)代入，得 微专题10一次函数与几何图形的综合 3k+b=150, (k=20, 解得 1.(1)直线AB的函数表达式为y=-x+5. 15k+b=190, b=90. (2)存在. ∴.乙厂停工后，y与x的函数关系式为y=20x十90. y=-x十5， x=2, (3):甲厂每天加工190二150=20（万片），合作时甲、乙两 联立 解得 5-3 y=2x-1, （y=3, .D(2,3). 厂每天共加工150=50（万片）， 3 设点P的坐标为(m,一m十5)， ∴.乙厂每天加工50-20=30（万片）. 'S△AED=2S△AEP, ∴.甲厂一共加工芯片20×5=100（万片），乙厂一共加工 AEX Ixol=2X7AEXIzp. 芯片3×30=90（万片）. 甲厂生产的芯片多. .|xD|=2|xp.即2|m|=2, 能力在线 .m=士1. 5.A6.C .P(1,4)或(-1,6). 7.(1)由图象可得，线段AB与线段CD互相平行. 2.(1)A(4,0),B(0,2). (2)设线段AB所在直线的函数表达式为hA船=kt十b, (2)C(0,4),A(4,0),.OC=OA=4. ·点(0,27)和点(3,9)在该函数图象上， 当0<1<4时，0M=OA-AM=4-t,Samw=2X b=27, (k=一6， 解得 4×(4-t)=8-2t; 3k+b=9, b=27. 即线段AB所在直线的函数表达式为hB=一6t十27. 当>4时，OM=AM-0A=t-4,SamN=2X4X(u-4) (3)设线段CD所在直线的表达式为h=一6t+a, =2t-8. (3,21)在该函数图象上， (8-2t(0≤t<4), ∴.21=-6×3十a,解得a=39, 综上，SACOM= 2t-8(t>4). 即线段CD所在直线的函数表达式为h=一6t十39， (3)点M的坐标为(2,0)或(-2,0). 将h=0代入h=-6t+39,得 3.(1)5 0=-6+39,解得1=号 (2),四边形ABCO是菱形， .0C=0A=5,即C(5,0). 即净水区水面与言水区水面重合时：的值为号 设直线AC的表达式为y=x+b(k≠0)，将A(一3,4)， 拓展在线 （k=一2 1 5k十b=0, 8.(1)534 C(5,0)代人，得 -3k+b=4 解得 b=2' 5 (2)根据题意，得y=400×2.67+(1200-400)×3.15+ 3.63(x-1200)=3.63x-768, ∴y与x的函数表达式为y=3.63x-768(x>1200). 直线AC的函数表达式为y=一之十号 (3),400×2.67+(1200-400)×3.15=3588<3855, (38)由y=-2x+号，令x=0,可得y-号， 1 ∴.甲户该年的用气量达到了第三阶梯， 由(2)知，当y=3855时，3.63x-768=3855, 则M0,号)，OM=, 解得x≈1273.6. 四边形ABC0是菱形，∴.OC=AB=5,AB∥OC. 级数学（下）·X灯 21