1.7 正方形-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（湘教版·新教材）

©1.7 ①基础在线 >> :知识要点分类练 知识点1正方形的性质 1.(株洲期中)正方形具有而矩形不一定具有的 性质是 () A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.四个角都是直角 D.对角线互相垂直 2.(教材P43习题T1变式)如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE,则∠BAE为() A.145° B.150° C.155° D.1609 第2题图 第3题图 3.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O,则 ∠OAB的度数是 () A.30° B.45° C.60° D.90° 4.(长沙期中)如图，P是正方形ABCD的对角 线AC上一点，PE⊥AD于点E,PE=3,则点 P到直线AB的距离为 A.2 B.2√2 C.3 D.32 第4题图 第5题图 5.(株洲阶段练习)如图，在正方形ABCD中，点 E是BC边的中点，若AB=4,则DE的长为 6.(中考·浙江)【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD 上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线 BD上 正方形 【数学理解】 (1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成， 请写出△ABE≌△CBE的证明过程； (2)若裁剪过程中满足DE=DA,求“机翼角” ∠BAE的度数. 知识点2正方形的判定 7.(岳阳一模)数学活动课上，小明用四根长度相 同的木条制作成能够活动的菱形学具.要让这 个菱形学具成为正方形学具，需要添加的条件 可以是 () A.∠B=90° B.AB=BC C.AB∥CD D.∠B=∠D 8.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD平分 ∠BAC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F, 求证：四边形AEDF是正方形 第1章28 易错点对正方形的判定掌握不透导致出错 9.(中考·乐山)如图，在□ABCD中，对角线 AC与BD相交于点O.小乐同学欲添加两个 条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个 条件可供选择：①AC⊥BD;②AC=BD; ③∠ADC=90°，则正确的组合是 (只需填一种组合即可)， - ②能力在线》方法规律综合然 … 10.小明用四根长度相等的木条制作了能够活动 的菱形学具，他先活动学具成为图①所示的 菱形，并测得∠B=60°，接着活动学具成为图② 所示的正方形，并测得对角线AC=10√2，则 图①中菱形的对角线BD的长为 () 图① 图② A.10√3 B.10√2 C.10 D.15 11.如图，将边长为2cm的菱形ABCD沿边AB 所在的直线翻折得到四边形ABEF.若 ∠DAB=30°，则四边形CDFE的面积为 cm 第11题图 第12题图 12.(中考·北京)如图，在正方形ABCD中，点 E在边CD上，CF⊥BE,垂足为点F.若AB =1,∠EBC=30°，则△ABF的面积为 29探究在线八年级数学（下）·灯 13.如图，线段EF的端点分别在正方形ABCD 的边AD和边BC上，AE=FC. (1)请用无刻度的直尺和圆规作出一个以线 段EF为对角线的正方形EGFH,其中点G, H分别在AB和CD上；（不写作法，保留作 图痕迹) (2)证明(1)中得到的四边形EGFH是正方形. ③拓展在线》培优拔尖提升练… 14.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具.如 图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线， 点E,F分别为BC,CD的中点，AP⊥EF分 别交BD,EF于O,P两点，M,N分别为 BO,DO的中点，连接MP,NF,沿图中实线 剪开即可得到一副七巧板.则在剪开之前，关 于该图形，下列说法正确的有 () ①图中有7个等腰直角三角形；②四边形 MPEB是菱形；③S正方形ABCD=4S四边形PFDM; ④四边形OPFN是正方形. A.①②③ B.②③ C.①③④ D.①④10.4W3或2√3 AB⊥AC,∴.∠BAC=∠ACD=90° 能力在线 点E,F分别是边BC,AD的中点， 1.B12.D13.014.V AE=合BC=BC,CF=号AD=AR 15.(1)证明：：四边形ABCD是菱形， .'AD-BC,.'.AE-EC-CF=AF. .CB=CD,∠BCE=∠DCE. .四边形AECF是菱形.AC⊥EF. .CE=CE,∴.△BCE≌△DCE(SAS). 4.OA=OC(答案不唯一) ∴.BE=DE. 5.B (2)如图，连接BD交AC于点O, 6..AB=5,OA=4,OB=3, .四边形ABCD是菱形，AB=4, .0B2+0A2=32+42=25,AB2=52=25. ..AB=AD,AO=OC,OB=OD= ∴.OB2+OA2=AB2. 合BD,ACLBD, .∠AOB=90°.∴.AC⊥BD. 四边形ABCD是平行四边形，∴.口ABCD是菱形， :∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形. 7.D ∴.BD=AB=4,OB=OD=2,OC=OA=√AB2-OB2= 能力在线 23. 8.D9.D10.B11.A .BE⊥DE,.OE=OB=OD=2. 12.(1)证明：：△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转 ∴.CE=OC-OE=23-2. 60°而得， 拓展在线 .△BEC≌△BAD,∠ABE=60°. 16.(1)65 ∴.AB=BE,∠EBC=∠ABD,BC=BD,AD=EC. (2)证明：①，四边形ABCD是菱形， AB⊥BC,.∠ABC=90° .AB=AD,AB∥CD,AD∥BC ∠EBC=30°=∠ABD. .∠ABD=∠ADB. .∠DBE=∠ABE-∠ABD=30°=∠CBE. .AE⊥BC,AF⊥CD,.AE⊥AD,AF⊥AB. BE=BE,△BDE≌△BCE(SAS). .∠DAG=∠BAH=90°. (2)四边形ABED是菱形.理由如下： ∴.∠AHB=90°-∠ABD=90°-∠ADB=∠AGD. 由(1)可知，AB=BE,CE=AD, ..AH=AG. .'BE=CE,.'.AB=BE=CE=AD. ②BG=GH, ,△BDE≌△BCE,∴.DE=CE. .点G是Rt△ABH斜边BH的中点. .AB=BE=DE=AD..四边形ABED是菱形 .AG=BG=GH.由①知AH=AG, 拓展在线 .AG=AH=GH..△AGH是等边三角形 13.(1)证明：：点B,点D关于AC所在直线对称， ∴.∠AHG=60°..∠ABH=30°.∴.∠ABC=60°. .OD=OB,AC⊥BD. AF⊥AB,∴.∠BAP=90°.∴.∠APB=30°. :AB∥CD,∴.∠OAB=∠OCD,∠OBA=∠ODC. .△AOB≌△COD(AAS).∴.AB=CD. ∴PC=2FC.∴PF=√PC-F=√3CF. .四边形ABCD是平行四边形. 如图，连接AC,,∠ADC=∠ABC=60°，AD=CD, 又AC⊥BD,四边形ABCD是菱形. .△ADC是等边三角形 (2),四边形ABCD是菱形，AD=CD=BC=5. .AFCD,.'.CF=DF..'PF=3 DF. 由题意，得DE⊥CE, .DE=√CD2-CE=V52-32=4. ,BE=BC+CE=5+3=8, ∴.BD=√DE+BE=4W5. 1.6.2菱形的判定 基础在线 :ACLBD,号BDX-号-BCXDE. 1.B2.4 :.0C-BCX DE-5X4-5. 3.四边形ABCD是平行四边形， BD 45 .AD=BC,AB∥CD. 即线段OC的长为√5. 16 探究在线·八 1.7正方形 2.(1)证明：EF是线段AC的垂直平分线， 基础在线 ,∴.AF=CF,AE=CE,EF⊥AC 1.D2.B3.B4.C5.25 .△ACF是等腰三角形..∠AFO=∠CFO. 6.(1)证明：：四边形ABCD是正方形， ,四边形ABCD是平行四边形， .AB=CB,∠ABD=∠CBD. ∴.AD∥BC.∴.∠AFO=∠CEO. 又，BE=BE,∴.△ABE≌△CBE(SAS). ./CFO=∠CEO..CE=CF. (2)四边形ABCD是正方形， ∴.AF=CF=CE=AE..四边形AECF是菱形. .∠BAD=90°，∠ADB=45° (2)AC⊥AB,∠B=30°， .'DE-DA, .∠ACB=90°-∠B=60°，即∠OCE=60. ∴∠DAE=∠DBA=号×180°-45)=67.5 四边形AECF是菱形，AE=3, .CE=AE=3,EF⊥AC,S菱形AECF=4 SAOCE· ∴.∠BAE=∠BAD-∠DAE=22.5°. 在Rt△OCE中，∠OEC=90°-∠OCE=30°， 7.A 8.'∠BAC=90°，DE⊥AB,DF⊥AC, 0c=cE=号，0E=VCE-0C-3 2 ∴∠BAC=∠AED=∠AFD=90. S5m=45amE=4×号00.0E=-2×是×3Y9- 1 3 ∴.四边形AEDF是矩形. 2 :AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, 9y5.即四边形AECF的面积为9y 2 2 .DE=DF..四边形AEDF是正方形 3.(1)证明：，四边形ABCD是菱形， 9.①②或①③ .AB∥CD..∠AFE=∠DCE. 能力在线 点E是AD的中点，AE=DE. 10.A11.4128 在△AFE和△DCE中， 13.(1)如图，四边形EGFH即为所求正方形. ∠AFE=∠DCE, (2)证明：，四边形ABCD是正方形， ∠AEF=∠DEC, .AB=BC=CD=AD,∠A=∠B=∠C LAE=DE, =∠D. .△AFE≌△DCE(AAS)..AF=CD. 由作图可知，AE=DH=CF=BG, (2)BD⊥DF.理由如下： ∴.AG=BF=CH=DE 四边形ABCD是菱形，.AB=AD=CD. .△AEG≌△BGF≌△CFH≌△DHE. .AF=CD,..AB=AD=AF. .EG=GF=FH=EH,∠AGE=∠BFG ∴.∠ABD=∠ADB,∠ADF=∠AFD. .四边形EGFH是菱形. ∴∠BDP=∠ADB+∠ADF=号×I80°=90 :∠BFG+∠BGF=90°，.∠AGE+∠BGF=90. ∴.BD⊥DF ∠EGF=90°..四边形EGFH为正方形. (3)60° 拓展在线 4.(1)证明：过点E作EM⊥BC于点M, 14.C EN⊥CD于点N, 微专题2特殊平行四边形的性质与判定 :四边形ABCD是正方形，AC是对角线， 1.①或② ∴.∠ECN=∠ECM=45°. (1)选择①AB∥CD, 又.EN⊥CD,EM⊥BC, 证明：，AD∥BC,AB∥CD,∴.四边形ABCD是平行四边形. .EN=EM..四边形EMCN是正方形 ∠ABC=90°，，四边形ABCD是矩形. ∴.∠NEM=∠DEF=90°..∠DEN=∠FEM. 选择②证明略， ∠DNE=∠FME=90°， (2)四边形ABCD是矩形， 在△DEN和△FEM中，〈EN=EM, ∴.∠ABC=90°，BD=AC. N∠DEN=∠FEM, .△DEN≌△FEM(ASA). ZACB-30",AB-3,AB-7AC. .ED=EF. ∴.AC=2AB=6..BD=6. (2)2 年级数学（下）·X灯