1.4 三角形的中位线定理-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（湘教版·新教材）

©1.4三角开 ①基础在线沙知识要点分类臻 知识点三角形的中位线定理 1.如图，在△ABC中，AC=4,点D,E分别是边 AB,CB的中点，那么DE的长为 () A.2 B.1.5 C.4 D.3 A E 第1题图 第2题图 2.(岳阳期末)如图，要测定被池塘隔开的A,B 两点的距离，可以在AB外选一点C,连接 AC,BC,并分别找出它们的中点D,E,连接 ED.现测得AC=42m,BC=63m,DE= 26m,则AB等于 () A.42mB.52mC.56mD.64m 3.(教材P25习题T2变式)（中考·山西）如图， 在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC 的中点，点E是边AD的中点，连接OE.下列 两条线段的数量关系中，一定成立的是() A.OE=7AD B.OE-7BC C.OE=7AB D.OE-7AC D 第3题图 第4题图 4.(教材P25练习T1变式)如图，在△ABC中， AB=4,BC=6,AC=8,点D,E,F分别为边 AB,AC,BC的中点.则△DEF的周长为() A.9 B.12 C.14 D.16 5.(中考·广东)如图，点D,E,F分别是△ABC 各边上的中点，∠A=70°，则∠EDF=() A.20° B.40° C.70° D.1109 的中位线定理 第5题图 第6题图 6.如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC的 中点，作BF平分∠ABC交DE于点F.若AB =10,EF=1,则BC的长为 () A.10 B.11 C.12 D.14 7.如图，在△ABC中，点D,E分别为边AB,BC 的中点，AF为高线，∠DEB=60°，则DE与 CF的长度大小关系是 () A.DE<CF B.DE=CF C.DE>CF D.无法确定 8.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D,E, F分别是边AB,BC,AC的中点.若DE=10, 求BF的长. 2 能力在线》方法规律综合练 9.(中考·宿迁)如图，在△ABC中，AB≠AC,点 D,E,F分别是边AB,AC,BC的中点，则下列 结论错误的是 A.DE∥BC B.∠B=∠EFC C.∠BAF=∠CAF D.OD=OE 第1章18 10.(教材P48复习题T6变式)（怀化期末）如 图，在四边形ABCD中，点G是对角线BD 的中点，点E,F分别是BC,AD的中点，AB =DC,∠ABD=100°，∠BDC=40°.则 ∠GEF的度数为 () A.10° B.20° C.30° D.40° G DE 第10题图 第11题图 11.（湖南模拟)如图，在Rt△ABC中，∠BAC= 90°，AB=3,BC=5,AD是△ABC的角平分 线，点E是斜边BC的中点，过点B作BG⊥ AD于点G,延长BG交AC于点F,连接 EG,则线段EG= 12.如图，在△ABC中，AB=AC,点E,F分别是 BC,AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC. (1)求证：FE=FD; (2)若∠CAD=∠CAB=24°，求∠EDF的度数. B E 19探究在线八年级数学（下）·灯 “培优拔尖提升练 ③拓展在线》培拔 … ●. 13.【阅读与思考】下面是一位同学的数学学习笔 记，请仔细阅读并完成相应任务 如图①，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别 是边AB,BC,CD,DA的中点，顺次连接E,F, G,H,得到的四边形EFGH是平行四边形，此结 论可借助图②证明如下： DG E 图① 图② 证明：如图②，连接AC,BD, 点H,G分别为AD,CD的中点，.HG∥AC :点E,F分别为AB,BC的中点，∴.EF∥AC. .HG∥EF.同理：HE∥GF 四边形EFGH是平行四边形. 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH 被称为瓦里尼翁平行四边形，瓦里尼翁平行四边 形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系. 【任务】 (1)如图②，猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH 的周长与对角线AC,BD长度的关系，并证 明你的结论； (2)已知四边形ABCD的对角线AC与BD 及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH,若四边 形ABCD的对角线AC与BD的夹角为35°， 请直接写出瓦里尼翁平行四边形EFGH中 ∠HEF的度数.又，多边形的外角和是360°， ,AB=AC,∴.FE=FD 360° 。2 六180文m-2=9,解得m=1. (2)由(1)知，EF为△ABC的中位线，.EF∥AB. .∠EFC=∠BAC=24°. 经检验，n=11是该方程的解。 ,点F是AC的中点，∠ADC=90°， .这个多边形的边数是11. ∴.FD=AF.∴.∠ADF=∠DAF=24 14.,□ABCD的对角线AC,BD相交于点O, .∠DFC=∠ADF+∠DAF=48°. .BO=DO,AO=CO. ∴∠EFD=∠DFC+∠EFC=72°. .AF=CE,..AF-OA=CE-OC...FO=EO. .FE=FD, :∠FOD=∠EOB,∴.△FOD≌△EOB(SAS). ∴.DF=BE.即BE=DF ∠PED=∠EDF=合(18O-∠EFD)=5 15.(1)如图，△A1B1C1为所求作的三角形. 拓展在线 13.(1)瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长等于对角线AC 与BD长度之和.证明如下： 点H,G分别为AD,CD的中点，HG-号AC “点E,F分别为AB,BC的中点，∴EF=号AC (2)四边形BC1B1C是平行四边形.理由如下： ∴HG=EF=号AC,同理HE=GF=分BD, 由作图知，点B与点B1,点C与点C1分别关于点O成中 ∴瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长为HG十EF十HE 心对称， ..OB=OB,OC=OCI. +GF-2AC+AC+BD+BD-AC+BD. .四边形BCB1C是平行四边形. (2)瓦里尼翁平行四边形EFGH中，∠HEF的度数为 16.(1):四边形ABCD是平行四边形， 35°或145° ∴.AB=CD,AB∥CD.∴∠ABE=∠CDF. 1.5矩形 ∠1=∠2，∴.∠AEB=∠CFD. 1.5.1矩形的性质 ∠ABE=∠CDF, 基础在线 在△ABE和△CDF中， ∠AEB=∠CFD, 1.矩有一个角是直角的平行四边形是矩形 AB-CD 2.B3.C .△ABE≌△CDF(AAS).,.BE=DF 4.,四边形ABCD和四边形ECGF都是矩形， (2)△ABE≌△CDF,∴AE=CF. .AD=BC,∠D=90°=∠ECG. ∠1=∠2，.AE∥CF 点B,C,G在一条直线上，且点C是BG的中点， .四边形AECF是平行四边形. ..CG=BC=AD. 1.4三角形的中位线定理 又：点E恰好在AG上，∴.∠AED=∠CEG. 基础在线 ∴.△AED≌△GEC.∴.AE=GE. 1.A2.B3.C4.A5.C6.C7.B 5.B6.A 8.点D,E分别是边AB,BC的中点，DE=10, 7.,四边形ABCD是矩形， ∴.AC=2DE=20. ,在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点F是边AC的中点， .AC-BD,OA-AC,OD-BD. BF=2AC=10, .OA=OD.∴.∠CAD=∠BDA. DE∥AC,∠CAD=∠EDA.∠BDA=∠EDA. 能力在线 8.C 9.c10.C1.2 能力在线 12.(1)证明：，点E,F分别是BC,AC的中点， 9.C10.D11.1012.33 EF为△ABC的中位线.∴EF=AB. 13.(1)作图如图所示. (2)四边形ABCD是矩形， :点F是AC的中点，∠ADC=90,FD=号AC ∴∠BAD=∠ABC=90°，OC=OB OA-OD. 探究在线·八年 由作图知，AE平分∠BAD,∴∠BAE=号∠BAD=45 .BC=2BF,AE-2AF. N2∠D=∠AFC=∠ABC+∠BAE,∠ABC=∠D, .∠AEB=90°-∠BAE=45°=∠BAE. ∠ABC=∠BAE..AF=BF ..AB=BE. .AE=BC..四边形ABEC是矩形 OC=BE,∴.OB=AB=OA. 能力在线 .△AB0是等边三角形.∴∠BAO=60°. .∠EAO=∠BAO-∠BAE=60°-45°=15. 7B&C9.D108 拓展在线 11.(1)证明：点O是AC的中点，.OA=OC. 14.(1)证明：：四边形ABCD是矩形， ,OD=OB,.四边形ABCD是平行四边形. ∴.AB∥CD,AD=BC,BD=AC. :∠ABC=90°，.四边形ABCD是矩形. ∴∠FAE=∠CDE. (2)2-=BO+OC+BC-(BO+AB+AO),AO= ,点E是AD的中点，AE=DE. OC, ∠FAE-∠CDE, ..-=BC-AB=b-a=2. 在△FAE和△CDE中，AE=DE, 四边形ABCD是矩形， ∠FEA=∠CED, ∴.AB=CD=a,AD=BC=b. ∴.△FAE≌△CDE(ASA)..CD=FA. ∴.a+a+b+b=28.∴a+b=14. 又CD∥AF, b-a=2, a=6, .四边形ACDF是平行四边形.AC=DF. 解得 a+b=14, b=8. .AC=BD,.BD=DF. ∠ABC=90°，.AC=√a+6=10. (2):四边形ABCD是矩形， 拓展在线 ∴.∠BCD=∠CDE=90° 12.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ,CF平分∠BCD,∴∠DCE=45. ∴.AB∥DC.∴.∠BAE=∠CFE. △CDE是等腰直角三角形.∴.CD=DE. 点E是边BC的中点，∴.BE=CE ,点E是AD的中点， ∠BAE=∠CFE, CD-DE-AD-BC-3. 在△ABE和△FCE中， ∠AEB=∠FEC, 1.5.2矩形的判定 BE-CE, 基础在线 .∴.△ABE≌△FCE(AAS). 1.如图，连接AC交BD于点O, (2)四边形ABFC是矩形.理由如下： ,四边形ABCD是平行四边形， :四边形ABCD是平行四边形，∴.AD=BC. ..OB-OD,AO-OC. :△ABE≌△FCE,AB=FC,AE=FEAE=AE .'BE=FD, ..OB+EB=OD+FD...OE=OF. AE=2AD∴AF=AD=BC .四边形AECF是平行四边形. AB∥DC,AB=FC,.四边形ABFC是平行四边形. AE⊥EC,∴.四边形AECF是矩形， :AF=BC,.四边形ABFC是矩形. 2.D 1.6菱形 3.AE⊥CD,CF⊥AB,∴∠AEC=∠AFC=90. 1.6.1菱形的性质 在□ABCD中，AB∥CD, 基础在线 .∠EAF=180°-∠AEC=90°， 1.AB=AD(答案不唯一) ∴.∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°. 2.D3.A4.A5.B6.C7.A8.C .四边形AECF为矩形. 9..四边形ABCD是菱形，.AB=BC 4.C5.B .AE=CF,..AB-AE=BC-CF,BE=BF. 6..四边形ABCD是平行四边形， BF=BE, ∴AB=CD,AB∥CD,∠ABC=∠D. 在△ABF和△CBE中，∠B=∠B, .CE=CD,..AB=CE. BA=BC, ∴四边形ABEC是平行四边形. ∴.△ABF≌△CBE(SAS)..AF=CE. 级数学（下）·X灯 15