1.2.2 第2课时 平行四边形的判定定理3-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（湘教版·新教材）

©第2课时 平行 基础在线 目知识要点分类练 知识点1对角线互相平分的四边形是平行 四边形 1.综合实践课上，爱动脑筋的锦润同学先画出 △ABD,再利用尺规作图找一点C,使得四边 形ABCD为平行四边形.图①~图③是他的 作图过程，那么这位同学作出的图形是平行四 边形的数学依据是 ( (1)作BD的垂直平 (2)连接A0,在AO的延长 (3)连接DC,BC,四边形 分线交BD于点O: 线上作出0C=AO: ABCD即为所求 图2 家3 A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等 C.对角线互相平分 D.一组对边平行且相等 2.如图给出了四边形ABCD的部分数据，则a 的值为 ( A.35° B.32° C.28 D.25° 25o 6 D 第2题图 第3题图 3.如图，BD是△ABC的中线，延长BD至点E, 使DE=BD,连接AE,CE.求证：四边形 ABCE是平行四边形.下面是被打乱的证明步 骤，则正确的顺序是 () ①∴.四边形ABCE是平行四边形 ②∴.AD=CD ③BD是△ABC的中线， ④DE=BD, A.①②③④ B.②①④③ C.③②④① D.④②③① 四边形的判定定理3 4.如图，四边形EFGH是平行四边形，对角线 EG,FH相交于点O,分别延长OE,OF,OG, OH至点A,B,C,D,使点E,F,G,H分别为 OA,OB,OC,OD的中点，连接AB,BC,CD, DA.若AB=3cm,BC=4cm. (1)求证：四边形ABCD为平行四边形； (2)四边形ABCD的周长为 知识点2两组对角分别相等的四边形是平 行四边形 5.如图，已知∠CBE=38°，要使四边形ABCD 为平行四边形，则四边形ABCD的各内角的 度数依次为 A.48°，132°，48°，132° D B.142°，142°，38°，38° C.38°，38°，142°，142° A D.38°，142°，38°，142° 6.在四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠B+ 2∠C=225°，∠B-∠C=90°.求证：四边形 ABCD是平行四边形. 第1章10 易错点对平行四边形的判定方法掌握不牢 导致判断错误 7.在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于 点O,给出六组条件：①AB=DC,AD∥BC; ②AB=CD,AB∥CD;③AB∥CD,AD∥BC; ④OA=OC,OB=OD;⑤AB=CD,AD=BC; ⑥AD∥BC,∠ABC=∠ADC.能判定此四边 形是平行四边形的有 () A.5组 B.4组 C.3组 D.2组 ②能力在线沙方法规律综合练… 8.如图，在□ABCD中， D 已知两条对角线相交 于点O,E,F,G,H分 别为AO,BO,CO,DO 的中点，以图中的点（包括口ABCD的四个顶 点)为顶点，最多可以画出个平行四边形 (□ABCD除外)，它们分别是 9.(一题多解)如图，在平行四边形ABCD中， DE平分∠ADC交CB的延长线于点E,BF 平分∠ABC交AD的延长线于点F.求证：四 边形BFDE是平行四边形 10.（娄底期末)如图，□ABCD的对角线AC,BD 相交于点O,点E,F在AC上，且AE=CF. 连接DE,BE,BF,DF (1)求证：四边形DEBF是平行四边形； 11探究在线八年级数学（下）·灯 (2)若∠CBD=90°，OA=4,BD=6,求BC的长. 3拓展在线 》培优拔尖提升练 …● 11.如图，☐ABCD的对角线相交 于点O,EF过点O且分别交 AD,BC于点E,F,在BD上 找点M,N(点N在点M下方)，使以点E, F,M,N为顶点的四边形为平行四边形 (1)在甲、乙、丙三个方案中，正确的方案是 甲方案： 乙方案： 丙方案： 在BD上找点M,N :作EM⊥BD于点M, :作∠DEF的平分线交 使BN=DM 作FN⊥BD于点N BD于点M,作∠BFE的 :平分线交BD于点N A.甲、乙、丙 B.只有甲、乙 C.只有甲、丙 D.只有乙、丙 (2)选择(1)中一个正确的方案进行证明.拓展在线 .△BFO≌△DEO(ASA)..OF=OE. 14.D .BN=DM,OB=OD,..ON=OM. 第2课时平行四边形的判定定理3 四边形EMFN为平行四边形. 基础在线 乙、丙方案证明略。 1.C2.D3.C 微专题1平行四边形的性质和判定 4.(1)证明：：☐EFGH的对角线EG,FH相交于点O, 1.DE⊥AC,BF⊥AC, ..OE=OG,OF=OH. .∠DEC=∠BFA=90 :点E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点， (CD=AB, 在Rt△CDE和Rt△ABF中， ..OA=20E,OC=20G,OB=20F,OD=20H. DE-BF, ..OA=OC,OB=OD. ∴，△CDE≌△ABF(HL)」 .四边形ABCD是平行四边形， .∠DCE=∠BAF.AB∥CD. (2)14cm ,AB=CD,.四边形ABCD是平行四边形. 5.D .AD∥CB. ∠B+2∠C=225°，1∠B=135°， 2.(1)证明：，∠ACB=∠CAD=90°，.AD∥CE. 6.由《 得 ∠B-∠C=90°， (∠C=45° 又AE∥DC,.四边形AECD是平行四边形. ∠A=45°，.∠D=360°-∠A-∠B-∠C=135. (2),四边形AECD是平行四边形，∠D=60°， ∠A=∠C,∠B=∠D. .∠AEC=∠D=60°. ∴四边形ABCD是平行四边形. :AE=BE∠B=号∠AEC=30 7.A 能力在线 ∠CAD=90°，∠D=60°，AD=3, 8.3□EFGH,□AFCH,□BGDE .CD=2AD=6,AC=√CD-AD=3√5. 9.四边形ABCD是平行四边形， :∠ACB=90°，∠B=30°，∴AB=2AC=63. ∴.∠ADC=∠ABC,AD∥CB. 3.(1)①②④ .DE平分∠ADC,BF平分∠ABC, (2)选择①. :∠ADE=号∠ADC,∠CBF=Z∠ABC 证明：：AE⊥BD,CF⊥BD, .AE∥CF,∠AEB=∠CFD=90°. ∠ADE=∠CBF.∠EDF=∠EBF, 四边形ABCD是平行四边形， 又'AD∥CB,∴∠F=∠CBF,∠E=∠ADE .AB=CD,AB∥CD ∴∠F=∠E.四边形BFDE是平行四边形. ∠ABE=∠CDF. 注：本题证法不唯一，其他证明方法略 I∠ABE=∠CDF, 10.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， 在△ABE和△CDF中，∠AEB=∠CFD, ..OD=OB,OA=OC...AE+OE=OF+CF. AB-CD, AE=CF,..OE=OF. △ABE≌△CDF(AAS)..AE=CF. 四边形DEBF是平行四边形. AE∥CF, (2).OA=4,BD=6,OD=OB,OA=OC, .四边形AECF是平行四边形. ..OC=OA=4,2BO-BD=6...OB=3. 选择②④证明略。 :∠CBD=90°，.BC+BO=OC. 4.,四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=√OC-BO=√I6-9=√7. .CD=AB,AD=BC,∠DAB=∠BCD. 拓展在线 又·，△ADE和△BCF都是等边三角形， 11.(1)A .DE=AD=AE,CF=BF=BC,∠DAE=∠BCF=60 (2)选择甲方案证明： .'BF=DE=CF=AE. :在平行四边形ABCD中，OB=OD,DE∥BF, ,∠DCF=∠BCD-∠BCF,∠BAE=∠DAB-∠DAE ∴.∠EDO=∠FBO. ∠DCF=∠BAE. ∠FBO=∠EDO, CD-AB, 在△BFO和△DEO中，3OB=OD, 在△DCF和△BAE中， ∠DCF=∠BAE, ∠FOB=∠EOD, CF=AE, 14 探究在线·) .△DCF≌△BAE(SAS).∴.DF=BE. (∠AOE=∠COF, 又：BF=DE,∴四边形BEDF是平行四边形 在△AOE和△COF中，OA=OC, 5.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∠OAE=∠OCF, .AB=CD,AD∥BC..∠DAE=∠BEA ∴.△AOE2△COF(ASA)..OE=OF. .BE=CD,∴.AB=BE..∠BAE=∠BEA. ②四边形AECF是平行四边形.理由如下： ∴.∠BAE=∠DAE..AE是∠BAD的平分线. 如图②，连接AF,CE. (2)证明：AB=BE,BF平分∠ABE,∴.AF=EF 四边形ABCD是平行四边形，∴.OA=OC. AD∥BC,.∠ADF=∠ECF. 由①可得OE=OF, ∠AFD=∠EFC, ∴.四边形AECF是平行四边形 在△AFD和△EFC中， ∠ADF=∠ECF, 1.3中心对称和中心对称图形 AF-EF, 基础在线 .△AFD≌△EFC(AAS)..DF=CF. 1.(1)0(2)D(3)是2.C3.A4.92°35.C .四边形ACED是平行四边形. 6.如图，△A'B'C为所求作 (3)AB=BE=6,BF⊥AE, '.BF平分∠ABE 由(2)得四边形ACED是平行四边形， :AD=CE=CB=号BE=3. 7.C8.B :∠EBF=∠ABF=30°， 能力在线 .∠ABE=2∠ABF=60. 9.D10.B11.C12.5 ∴△ABE是等边三角形. 13.(1)如图，中线AD即为所求 AC⊥BE..∠ACB=90° (2)如图，延长AD至点E,使DE=AD, .AC=√JAB2-CB=√62-3=3√5. 连接CE,则△CDE即为所求. .SDABCD=CB.AC=3X3V3=9/3. (3):△CDE和△BDA关于点D成中 6.(1)两部分的面积始终相等.理由如下： 心对称，.CE=AB,DE=AD. 设细木条与AB交于点G,与CD交于点H,如图①. 在△ACE中，CE-AC<AE<CE+AC, ,四边形ABCD是平行四边形， CE=AB=8,AC=6,.8-6<AE<8+6. ∴.AB∥CD,OA=OC,OB=OD. 即2<2AD<14.∴.1<AD<7. ∴.∠OAG=∠OCH,△AOB的面积=△BOC的面积= 拓展在线 △COD的面积=△AOD的面积. 14.如图所示.（答案不唯一） ∠OAG=∠OCH, 在△AOG和△COH中，OA=OC, /AOG=∠COH, .'.△AOG≌△COH(ASA),同理△BOG≌△DOH(ASA). 是轴对称图形， 是中心对称图形， 不是中心对称图形 不是轴对称图形 '.△AOG的面积+△AOD的面积十△DOH的面积= △COH的面积+△BOC的面积+△BOG的面积： 即四边形AGHD的面积=四边形BGHC的面积. .在拨动细木条的过程中，两部分的面积始终相等。 既是轴对称图形。 既不是轴对称图形， 又是中心对称图形 又不是中心对称图形 阶段测评1(1.1~1.3) 图① 餐图2 1.C2.D3.B4.B5.B6.C (2)①OE与OF始终相等.理由如下： 7.四边形具有不稳定性 ,四边形ABCD是平行四边形， 8.PB9.210.411.4512.60 ∴.AD∥BC,OA=OC. 13.设这个多边形的边数为n, ∠OAE=∠OCF, .多边形的内角和是180°×(n一2). 年级数学（下）·X灯