精品解析：广东省广州市天河区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025学年第一学期学业水平调研 九年级数学 本试卷共6页，满分120分．调研时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 下列图形中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径为，点在外，则的长可能是（ ） A. B. C. D. 3. 已知方程．的两个根分别是，，则的值是（ ） A. 5 B. C. 2 D. 4. 如图，已知A，B均为上的点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 与轴的交点是 B. 开口向下 C. 对称轴是直线 D. 当时，随的增大而增大 6. 某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（ ） 累计抽测的学生数 近视学生数与的比值 A. B. C. D. 7. 如图①是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图②所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绕点逆时针旋转得到，其中点恰好落在边上，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 10. 某商场销售某种纪念品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为扩大销售，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，纪念品单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批纪念品每天盈利1250元，那么纪念品的单价降了多少元？设纪念品的单价降了元，则满足的方程为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分．） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________． 12. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是_____． 13. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到新抛物线解析式为____________． 14. 在一个盒子中，装有若干个形状、大小相同的白球和黄球，如果盒子中有4个黄球且摸到黄球的概率为，那么盒子中白球的个数为____________． 15. 若是关于的方程的解，则的值为________． 16. 如图，中，，，在下方有一点D，，且，则的度数为____________． 三、解答题（本大题有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 17. 解方程：． 18. （1）在平面直角坐标系内，画出关于点O中心对称的； （2）若点B坐标为，填空：点B绕点O顺时针旋转对应点的坐标为____________． 19. 已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的其中一个交点为． （1）求这条抛物线的解析式； （2）填空：当时，y的取值范围为____________． 20. 在深入贯彻德智体美劳全面发展的育人理念下，某校在劳动教育课程体系中开设了“种植”“陶艺”“木工”三门实践类课程．小天和小河从这三门课程中随机选择一门进行学习，每门课程被选中的可能性相同． （1）填空：小河恰好选中“木工”课程的概率为____________； （2）用列举法求至少一人选中“木工”课程概率． 21. 为提升初三学生的数字化学习效率，学校上线了云端错题本工具，学生可自主上传错题、生成个性化错题卷．开学第一周，全年级使用该工具的学生有200人．经过两周的推广与同学的分享，第三周使用云端错题本的学生数量增长至242人． （1）求每周使用云端错题本的学生人数的平均增长率． （2）按照（1）中的平均增长率，估算第四周使用该工具的学生人数． 22. 如图，四边形中，，平分．以为直径的经过C点，与的另一交点为E． （1）证明：直线是的切线； （2）若，，求的长． 23. 小天利用一面墙（长度不限）用长为24米的篱笆进行花圃园林设计，设计图由五段篱笆组成，如图①所示，每一段篱笆所在的直线与墙平行或垂直．已知整体设计图（图②）可以分割成两个矩形图案，且其中一个矩形可以由另一个矩形绕某一点旋转得到，设，． （1）求y与x的函数关系式； （2）求这个设计图花圃面积S与x的函数关系式； （3）小河认为小天设计的花圃面积不能达到90平方米，试通过计算判断小河的结论是否正确． 24. 在平面直角坐标系中，点在直线上．抛物线的顶点为P，与x轴交点为M，N（点M在点N的左边），与y轴交于点Q． （1）求点P的横坐标； （2）当点Q的坐标为时，求m的值； （3）点A为抛物线上任意一点（不与M，N重合），过A作x轴的垂线，垂足为B，直线与y轴交于点C．若，且与始终相等，求m的值． 25. 如图，半圆O的直径，点C是半圆弧上一点，点D为的中点，延长交于点G．在射线上取一点E，使得． （1）当点E为中点时，求的长； （2）过点E作直线的垂线，垂足为F，连接．证明，并求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期学业水平调研 九年级数学 本试卷共6页，满分120分．调研时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 下列图形中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 已知的半径为，点在外，则的长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，熟悉点和圆的位置关系是关键：点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．根据点和圆的位置关系判断即可． 【详解】解：的半径为，点在外， ， 选项中只有， 的长可能是， 故选：D． 3. 已知方程．的两个根分别是，，则的值是（ ） A. 5 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理），涉及知识点：韦达定理中两根之和的公式．解题方法是直接应用韦达定理，即对于一元二次方程，两根之和为；解题关键是准确识别方程中、的值，易错点是符号混淆（误将两根之和算成）．解题思路：确定方程中、的系数，代入韦达定理的两根之和公式计算． 【详解】∵方程的两根为， ∴由根与系数的关系，得． 故选：A 4. 如图，已知A，B均为上的点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键； 利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：A，B均为上的点，， ． 故选：C． 5. 对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 与轴的交点是 B. 开口向下 C. 对称轴是直线 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，理解二次函数的性质是解答关键. 通过二次函数的性质，分析开口方向、对称轴、与轴交点等判断各选项. 【详解】∵ 二次函数 ， ∴ , , . A.当 时，，∴ 与轴交点为 ，故此项正确，不符合题意； B.∵ ，∴ 开口向下，故此项正确，不符合题意； C.对称轴 ，∴ 对称轴是直线 ，不是 ，故此项错误，符合题意； D.∵ 开口向下，对称轴 ，∴ 当 时， 随 的增大而增大，故此项正确，不符合题意. 故选：C. 6. 某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（ ） 累计抽测的学生数 近视学生数与的比值 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据频率估算概率，根据大量重复试验的结果，频率逐渐趋向于概率，由此即可求解，理解频率和概率之间的关系是解题的关键． 【详解】解：根据表格信息，近视学生数与的比值逐渐趋向于， 故选：． 7. 如图①是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图②所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，解题的关键是掌握弧长公式．利用弧长公式，代入圆心角和半径计算即可． 【详解】解：由弧长公式，其中，， 则的长为（）． 故选：B． 8. 如图，将绕点逆时针旋转得到，其中点恰好落在边上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理，由旋转的性质可得，，，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，从而得出，即可得解． 【详解】解：由旋转的性质可得：，，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式．根据图象可以直接回答即可． 【详解】解：观察图象得：当时，二次函数的图象位于一次函数的图象的下方， ∴当时，取值范围是， 故选：B． 10. 某商场销售某种纪念品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为扩大销售，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，纪念品的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批纪念品每天盈利1250元，那么纪念品的单价降了多少元？设纪念品的单价降了元，则满足的方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．设纪念品的单价降了元，则每件盈利元，平均每天可售出件，根据每天盈利平均每天的销售量每件盈利建立方程即可得． 【详解】解：设纪念品的单价降了元，则每件盈利元，平均每天可售出件， ∵降价后商场销售这批纪念品每天盈利1250元， ∴可列方程为， 故选：C． 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分．） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是； 故答案为：． 12. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积公式，掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键． 直接运用圆锥的侧面积公式求解即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为，母线长为， ∴这个圆锥的侧面积是． 故答案为． 13. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到新抛物线的解析式为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象平移，根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”，先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，通过计算新顶点坐标得到新解析式． 【详解】解：原抛物线向上平移3个单位长度，得到： ； 再向右平移5个单位长度，用替换，得到： ． 故答案为：． 14. 在一个盒子中，装有若干个形状、大小相同的白球和黄球，如果盒子中有4个黄球且摸到黄球的概率为，那么盒子中白球的个数为____________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查了根据概率公式求数量，根据概率公式，摸到黄球的概率等于黄球数量与总球数的比值，已知黄球数量为4，概率为，可求出总球数，再减去黄球数即得白球数量． 【详解】解：设总球数为，则， 解得：， 经检验是原方程的解， 故白球数量为：． 故答案为：16． 15. 若是关于的方程的解，则的值为________． 【答案】2024 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，解答本题的关键要明确：方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程求出的值，代入计算即可求出值． 【详解】解：把代入方程得：，即， ， 故答案为：2024． 16. 如图，中，，，在下方有一点D，，且，则的度数为____________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形内角和等，解题关键是取的中点，证明是等边三角形． 取的中点，连接、，可得，由此判定是等边三角形，、是等腰三角形，再根据等腰三角形的两底角相等和三角形内角等于求解即可． 【详解】解：取的中点，连接、， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为． 三、解答题（本大题有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．用因式分解法，解一元二次方程即可． 【详解】解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 18. （1）在平面直角坐标系内，画出关于点O中心对称的； （2）若点B坐标为，填空：点B绕点O顺时针旋转的对应点的坐标为____________． 【答案】（1）画图见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称、轴对称图形，在坐标系中利用轴对称得到对应点的坐标是解题的关键． 每一问均利用轴对称画出对称或旋转后的对应图形或点，即可求解． 【详解】解：（1）如图，即为所求作； （2）如图，将点B绕点O顺时针旋转得到点， ∴， 故答案为：． 19. 已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的其中一个交点为． （1）求这条抛物线的解析式； （2）填空：当时，y的取值范围为____________． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数图像的性质， 对于（1），根据抛物线的对称轴求出m，再将点代入关系式可得答案； 对于（2），根据抛物线的开口方向和顶点坐标可得最小值，再根据离对称轴的远近求出最大值即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得，则． ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线的开口向上，对称轴是，顶点坐标是， ∴当时，函数有最小值为． ∵， ∴当时，函数有最大值， ∴当时，． 故答案为：． 20. 在深入贯彻德智体美劳全面发展的育人理念下，某校在劳动教育课程体系中开设了“种植”“陶艺”“木工”三门实践类课程．小天和小河从这三门课程中随机选择一门进行学习，每门课程被选中的可能性相同． （1）填空：小河恰好选中“木工”课程的概率为____________； （2）用列举法求至少一人选中“木工”课程的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）直接利用概率计算公式求解即可； （2）先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两人至少一人选中“木工”的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 小问1详解】 解：∵共有“种植”“陶艺”“木工”三门实践类课程， ∴小河恰好选中“木工”课程的概率为． 故答案为：； 小问2详解】 解：“种植”“陶艺”“木工”三门实践类课程分别记为A、B、C． 画树状图如图： 由树状图可以看出，小天和小河从这三门课程中随机选择一门进行学习，共有9种等可能结果， 其中至少有一人选中“木工”（C）的结果有5种， （至少有一人选中“木工”）． 21. 为提升初三学生的数字化学习效率，学校上线了云端错题本工具，学生可自主上传错题、生成个性化错题卷．开学第一周，全年级使用该工具的学生有200人．经过两周的推广与同学的分享，第三周使用云端错题本的学生数量增长至242人． （1）求每周使用云端错题本的学生人数的平均增长率． （2）按照（1）中的平均增长率，估算第四周使用该工具的学生人数． 【答案】（1） （2）266人 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握题中的数量关系是解答本题的关键． （1）设从第一周到第三周使用云端错题本工具的学生人数平均增长率是x，根据题意列出方程，解方程即可求解 （2）按照（1）中的平均增长率，估算第四周使用该工具的学生人数即可． 【小问1详解】 解：设每周使用云端错题本的学生人数的平均增长率为x，根据题意得， 解得，，（舍） 答：每周使用云端错题本的学生人数的平均增长率为； 【小问2详解】 解：（人） 即第四周使用该工具的学生人数约为266人． 22. 如图，四边形中，，平分．以为直径的经过C点，与的另一交点为E． （1）证明：直线是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查切线的判定，垂径定理，三角形中位线定理以及勾股定理，正确作辅助线是解答本题的关键． （1）连接，证明，可得，故可得结论； （2）连接交于点F，证明，由勾股定理得，证明是的中位线，得；设为x，则为，根据勾股定理得，即，求得，得，故可得结论． 【小问1详解】 证明：连接， 平分， ， 又， ， ， ， ， ， 又为半径， ∴直线是切线； 【小问2详解】 解：连接交于点F， 为的直径， ， ， ， ， ， ∴点是的中点， 又点是的中点， ∴是的中位线， ∴； 在中，， 设为x，则为，则： ， ∴， 解得，， ∴， ． 23. 小天利用一面墙（长度不限）用长为24米的篱笆进行花圃园林设计，设计图由五段篱笆组成，如图①所示，每一段篱笆所在的直线与墙平行或垂直．已知整体设计图（图②）可以分割成两个矩形图案，且其中一个矩形可以由另一个矩形绕某一点旋转得到，设，． （1）求y与x的函数关系式； （2）求这个设计图花圃面积S与x的函数关系式； （3）小河认为小天设计的花圃面积不能达到90平方米，试通过计算判断小河的结论是否正确． 【答案】（1） （2） （3）正确，见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，函数关系式，旋转的性质等知识点，正确求解函数关系式是解题的关键． （1）根据旋转和平移的性质可得，，，再由周长为24米建立函数关系式，化简即可； （2）根据即可建立函数关系式； （3）令，则，然后解一元二次方程，再根据，求出，即可判断小河的结论是否正确． 【小问1详解】 解：依题意得，，， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：则； 【小问3详解】 解：令，则，即 ， 解得，， 又， ，即 ∴花圃面积不能达到90平方米 ∴小河的结论是正确的． 24. 在平面直角坐标系中，点在直线上．抛物线的顶点为P，与x轴交点为M，N（点M在点N的左边），与y轴交于点Q． （1）求点P的横坐标； （2）当点Q的坐标为时，求m的值； （3）点A为抛物线上任意一点（不与M，N重合），过A作x轴的垂线，垂足为B，直线与y轴交于点C．若，且与始终相等，求m的值． 【答案】（1）点P横坐标为2 （2）值应为 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． （1）把代入，得出，再求出顶点P的横坐标即可； （2）把代入抛物线解析式得：，求出，，根据，得出，从而得出答案； （3）设点A坐标为：，求出解析式为，求出点，根据，得出，得出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：把代入，得： ， ， 故抛物线的对称轴为， 即点P横坐标为2； 【小问2详解】 解：， ∴把代入，得：， 解得：，， ，即， 的值应为； 【小问3详解】 解：由已知可得：，， 设点A坐标为：， 设解析式为：，则： ， 解得：， 解析式为， 当时，， ， ， 轴，， ， ， ∴， ， ， ， ． 25. 如图，半圆O的直径，点C是半圆弧上一点，点D为的中点，延长交于点G．在射线上取一点E，使得． （1）当点E为中点时，求的长； （2）过点E作直线的垂线，垂足为F，连接．证明，并求的最大值． 【答案】（1） （2）证明见解析，的最大值为 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，切线的性质， 对于（1），设，则，可得，再根据勾股定理列出方程求出解即可； 对于（2），连接，作，，再根据“角角边”证明，可得，然后证明，可得，最后根据角平分线性质的逆定理得出答案； 过C作的平行线，可得，作，可得四边形为矩形，进而得出，再说明，然后根据圆心O到直线的距离半径，即，，可知当N与C重合，即与圆相切时，取得最大值为5，此时的最大值为，最后根据等腰直角三角形的性质得出答案． 【小问1详解】 解：设，则， ， 为直径， ， ， 即， 解得， ； 【小问2详解】 证明：连接，作，垂足为H，，交延长线于点I， ， ． 又，， ， ． 为直径， ． ，， ， ， ， 平分 ； 过C作的平行线，交延长线于M，则， 作于N，交于P， 则，四边形为矩形， ，为中点， ， ． ∵直线与必有交点C， ∴圆心O到直线的距离半径，即，， ∴当N与C重合，即与圆相切时，取得最大值为5， 的最大值为． ， ∴在等腰直角三角形中，， 的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $