6.4 实践与探索（课件）-2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

华东师大版数学7年级下册培优精做教学课件 6.4 实践与探索 第六章 一次方程组 授课教师： Home . 班 级： 七年级（*）班 . 时 间： . 2026年1月27日 2026年1月27日星期二4时20分42秒 2026年1月27日星期二4时20分43秒 问题 1 要用 20 张白卡纸做长方体的包装盒，准备把这些白卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面. 已知每张白卡纸可以做 2 个侧面，或者做 3 个底面. 如果 1 个侧面和 2 个底面可以做成一个包装盒，那么如何分才能使做成的侧面和底面正好配套？请你设计一种分法. 新课导入 本题有哪些已知量？ 要求的问题是什么？ 可以用什么知识进行解答？ 解：若设用 x 张白卡纸做侧面，y 张白卡纸做底面. 分析：白卡纸张数和 = 20 张，底面数量 = 侧面数量×2. 侧面 底面 纸的数量（张） x y 总个数（个） 2x 3y 根据题意列出方程组： x + y = 20， 3y = 2×2x 解方程组得： x = ， 8 4 7 11 3 7 y = 想一想，最多可以做多少个包装盒？ 1. 如图，在长方形 中，放入六 个形状大小相同的小长方形，则图中 的阴影部分的面积是( ) D A. B. C. D. 中考考法 4 2. 某元宵生产商受原料保质期影响，在购买元宵主要原料糯 米粉和黄油时分三次购买，每次购买单价不变，购进原料的 总金额和数量如下表所示： 第一次 第二次 糯米粉/千克 10 12 黄油/千克 2 3 总金额/元 310 405 若第三次购进糯米粉20千克，黄油5千克，则第三次购买的 总金额为多少元？ 中考考法 5 【解】设糯米粉每千克的价格为元，黄油每千克的价格为 元， 依题意得解得 第三次购买的总金额为 （元）. 中考考法 6 练一练 某机械厂共有 120 名生产工人，每名工人每天可生产螺柱 50 个或螺母 20 个，如果一个螺柱与两个螺母配成一套，那么每天安排多少名工人生产螺柱，多少名工人生产螺母，恰好能使每天生产出来的产品配套？ 解:设每天安排 x 名工人生产螺柱，y 名工人生产螺母. 答:每天安排 20 名工人生产螺柱，100名工人生产螺母，恰好能使每天生产出来的产品配套. 由题意，得 解得 x + y = 120， 2×50x = 20y x = 20， y = 100 问题 2 小明在拼图时，发现 8 个大小一样的长方形，恰好可以拼成如图所示的一个大长方形. 小红看见了，说:“我来试一试.”结果小红七拼八凑，拼成如图所示的正方形，咳，怎么中间还留下了一个洞，恰好是边长为 2 mm 的小正方形！ 你能求出这些长方形的长和宽吗？ 探 索 设长方形的长和宽分别为 x mm、y mm. x y S大正方形 － 8×S长方形 = 22， 即 (x + 2y)2 － 8xy = 4 . 这是我们还没有研究过的方程！ 你有其他办法来解决这个问题吗？ 解：设长方形的长和宽分别为 x mm、y mm. 3x = 5y， x + 2y = 2x + 2. 由题意，得 解得 x = 10， y = 6. 所以长方形的长为 10 mm，宽为 6 mm. x y 3. 水是人类生命之源，为了鼓励居民节约用 水，相关部门实行居民生活用水阶梯式计量水价政策.若每户 每月用水量不超过10立方米，每立方米按现行居民生活用水 水价收费（现行居民生活用水水价基本水价 污水处理 费）；若每户每月用水量超过10立方米，则超过部分每立方 米在基本水价基础上加价 ,每立方米污水处理费不变.甲 用户4月份用水8立方米，缴水费27.6元；乙用户4月份用水12 立方米，缴水费46.3元.（注：污水处理的立方数 实际生活 用水的立方数） 中考考法 12 （1）求每立方米的基本水价和每立方米的污水处理费各是 多少元. 【解】设每立方米的基本水价为 元，每立方米的污水处理 费为 元.根据题意，得 解得 答：每立方米的基本水价为2.45元，每立方米的污水处理费 为1元. 中考考法 13 （2）如果某用户7月份生活用水水费为64元，那么该用户7 月份用水量为多少立方米？ 根据题意可知，该用户7月份用水量超过10立方米．设该用 户7月份用水量为 立方米．根据题意，得 ,解得 . 答：该用户7月份用水量为15立方米. 中考考法 14 练一练 在长方形 ABCD 中放置 8 个形状和大小都相同的小长方形（尺寸如图），求小长方形的长和宽. A B C D 7 cm 3y x 2y 3y x 15 cm 解：设长方形的长和宽分别为 x cm、y cm. 3y + 7 = x + 2y， x + 3y = 15. 由题意，得 解得 x = 9， y = 2. 所以长方形的长为 9 cm，宽为 2 cm. 新学年开始，某校三个年级为地震灾区捐款. 经统计，七年级捐款数占全校三个年级捐款总数的 ，八年级捐款数是全校三个年级捐款数的平均数，九年级捐款数为 1964 元. 求七、八年级的捐款数. 做一做 （5.3 节的问题 2） 2 5 七年级捐款数 = ×三个年级捐款总数 2 5 八年级捐款数 = 三个年级捐款总数 3 设七年级捐款 x 元，八年级捐款 y 元，根据题意，得 x = （x + y + 1964）， y = . 2 5 x + y + 1964 3 解得 x = 2946， y = 2455. 所以七年级捐款 2946 元，八年级捐款 2455 元. 鸡兔同笼 今有雉兔同笼，上有三十五头， 下有九十四足，问雉兔各几何？ 方法一：半其足 金鸡独立，玉兔双足，这时共有足数为：94÷2 = 47. 鸡的头、足数相等，而每只兔的头数却比足数少一. 所以兔数为 47－35 = 12， 鸡数为 35－12 = 23. 阅读材料 鸡兔同笼 今有雉兔同笼，上有三十五头， 下有九十四足，问雉兔各几何？ 方法二：列方程 解：设 x 为鸡数，y 为兔数. x + y = 35， 2x + 4y = 94， 根据题意，得 x = 23， y = 12. 解得 答：鸡数为 23 只，兔数为 12 只. 阅读材料 1. 为了更有效地利用水资源，鼓励居民节约用水，某市规定，居民生活用水按三档分段计价. 第一段：每户每月用水不超过 A m3，水价为 2.91 元/m3；第二段：每户每月用水超过 A m3 但不超过 B m3，超过部分水价按 3.71元/m3 计算；第三段：每户每月用水超过 B m3，超过部分水价按 6.11 元/m3 计算. 用水量  A A < 用水量  B 用水量 > B 2.91 元/m3 3.71 元/m3 6.11 元/m3 A 组 随堂练习 已知小红家上月用水 20 m3，并没有超过 B m3，缴纳水费 59.80 元. 问：该市规定的用水标准 A 是多少？小红家按第二段计费的用水量是多少？ 解得 A = 18 第二段计费的用水量是 20－18 = 2(m3) 用水量  A A < 用水量  B 用水量 > B 2.91 元/m3 3.71 元/m3 6.11 元/m3 解：因为 20×2.91 = 58.20＜ 59.80，所以用水量达到了第二段，则 2.91A + (20－A)×3.71 = 59.80 答：该市规定的用水标准A是18m3，小红家按第二段计费的用水量是2m3. 随堂练习 2. 某山区盛产一种野果，极具市场前景. 一家经销公司一次收购 23 t. 经市场预测，若直接销售，则每吨可获利 500 元；若经过粗加工并包装，则每吨可获利 2500 元；若制成罐头出售，则每吨可获利 4000 元，该公司每天可粗加工并包装 4 t 或制罐头 1.5 t. 同一天两种加工方式不能同时进行，且全部原料必须不超过 7 天全部销售或加工完毕. 为此，公司研究了三种方案： （1）全部进行粗加工并包装； 23÷4 = 5.75（天） 5.75 < 7 23×2500 = 57500（元） 随堂练习 2. 某山区盛产一种野果，极具市场前景. 一家经销公司一次收购 23 t. 经市场预测，若直接销售，则每吨可获利 500 元；若经过粗加工并包装，则每吨可获利 2500 元；若制成罐头出售，则每吨可获利 4000 元，该公司每天可粗加工并包装 4 t 或制罐头 1.5 t. 同一天两种加工方式不能同时进行，且全部原料必须不超过 7 天全部销售或加工完毕. 为此，公司研究了三种方案： （2）尽可能多地制作罐头，余下的直接销售； 1.5×7 = 10.5（t） 23－10.5 = 12.5（t） 10.5×4000 = 42000（元） 12.5×500 = 6250（元） 42000 + 6250 = 48250（元） 随堂练习 （3）部分制作罐头，其余进行粗加工并包装，且正好 7 天完成. 2. 某山区盛产一种野果，极具市场前景. 一家经销公司一次收购 23 t. 经市场预测，若直接销售，则每吨可获利 500 元；若经过粗加工并包装，则每吨可获利 2500 元；若制成罐头出售，则每吨可获利 4000 元，该公司每天可粗加工并包装 4 t 或制罐头 1.5 t. 同一天两种加工方式不能同时进行，且全部原料必须不超过 7 天全部销售或加工完毕. 为此，公司研究了三种方案： 设 x 天制作罐头，y 天进行粗加工并包装 根据题意，得 x + y = 7， 1.5x + 4y = 23. 解得 x = 2， y = 5. 2×1.5×4000 + 5×4×2500 = 62000（元） 随堂练习 （1）全部进行粗加工并包装； （2）尽可能多地制作罐头，余下的直接销售； （3）部分制作罐头，其余进行粗加工并包装，且正好 7 天完成. 方案（1）获利：57500 元 方案（2）获利：48250 元 方案（3）获利：62000 元 因此选择方案（3）：安排2天制作罐头，5天进行粗加工并包装，获利最大. 随堂练习 B 组 3. 长风乐园的门票价格如下表所示： 购票人数/人 1~50 51~100 100以上 门票价/（元/人） 13 11 9 某校七年级（1）（2）两个班共 104 人去游长风乐园，其中（1）班人数少，不到 50 人，（2）班人数较多，有 50 多人. 经估算，如果两个班都以班为单位分别购票，那么一共应付 1240 元；如果两个班联合起来，作为一个团体购票，那么可以节省不少钱. 问：两个班各有多少人？ 随堂练习 购票人数/人 1~50 51~100 100以上 门票价/（元/人） 13 11 9 解 设（1）班有 x 人，（2）班有 y 人，根据题意，得 13x + 11y = 1240 x + y = 104 解得 x = 48， y = 56. 答 七年级（1）班有 48 人，七年级（2）班有 56 人. 随堂练习 4. 在第3题中，如果不知道两个班的总人数，其他条件不变， 你能求出各班的人数吗？ 购票人数/人 1~50 51~100 100以上 门票价/（元/人） 13 11 9 解 设（1）班有 x 人，（2）班有 y 人 由题意知，x < 50，50 < y < 60. 13x + 11y = 1240 因为人数是整数，x 和 y 只能取正整数值 若 y = 51，x = 52.2（舍） 若 y = 52，x = 53.4（舍） 随堂练习 4. 在第3题中，如果不知道两个班的总人数，其他条件不变， 你能求出各班的人数吗？ 购票人数/人 1~50 51~100 100以上 门票价/（元/人） 13 11 9 若 y = 53，x = 50.5（舍） 若 y = 54，x = 49.7（舍） 若 y = 55，x = 48.8（舍） 若 y = 56，x = 48 答 七年级（1）班有 48 人，七年级（2）班有 56 人. 随堂练习 （第4题） 4. 用图①中的长方形和正方形纸板为 侧面和底面，做成如图②的竖式和横 式的两种无盖纸盒（图②中两种纸盒 朝上的一面不用纸板）.现在仓库里有 D A. 2 021 B. 2 023 C. 2 024 D. 2 025 张长方形纸板和 张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个， 恰好使库存的纸板用完，则 的值可能是( ) 中考考法 30 （第5题） 5. 李老师逛超市时看中一套碗， 她将碗叠成一列（如图），测量后发现：2只碗 叠放时总高度为 ，4只碗叠放时总高度为 .则8只碗叠放时总高度为( ) B A. B. C. D. 【点拨】设一只碗的高度为，增加一只碗高度增加 ， 由题意得解得 只碗叠放时总高度为 . 中考考法 31 6. 《九章算术》中的 算筹图是竖排的，为看图方便，我们 C A. B. C. D. 把它改为横排，如图.图中各行从左到右列出的算筹数分别表 示未知数， 的系数与相应的常数项.把图①所示的算筹图用 我们现在所熟悉的方程组形 式表述出来，就是 在 图②所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图②所 表示的方程组中 的值为3，则被墨水所覆盖的图形为( ) 中考考法 32 课堂小结 通过本节课的学习，你有哪些收获呢？给大家分享一下。 1. 在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们 往往可以借助列方程组的方法来处理这些问题. 2. 处理实际问题的方法往往是多种多样的，应根据具体问题 灵活选用. 自主探索与同伴合作讨论、交流是学习数学的 重要方式. $