精品解析：四川省达州市通川区2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025年秋季期末素养测评 八年级数学试题 （考试时间：共120分钟；满分：150分） A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分） 1. 的算术平方根是（ ） A. B. C. 2 D. 8 2. 在 中，的对边分别为， 下列所给数据中， 能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是2025年9月3日阅兵式机群的一个飞行队形，如果最后两架飞机的平面坐标分别为，，那么第一架飞机C的平面坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将沿着平行于的直线折叠，得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 一次函数中，若，且y随着x的增大而减小，则其图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，真命题的是（ ） ①若，则；②已知点和点关于原点对称，则的值为14；③若一组数据，极差为，则x的值是或．④． A. ①③ B. ②④ C. ①② D. ③④ 7. 王红同学在学校贯彻落实“双减”政策后，对本班同学一周七天，每天完成课外作业所用时间（平均时间）进行了调查统计，并将统计结果绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是（ ） A. 每天完成课外作业所用时间的中位数是60分钟 B. 每天完成课外作业所用时间的众数是45分钟 C. 这一周完成课外作业所用时间的平均数是约为50分钟 D. 每天完成课外作业所用时间的极差是70分钟 8. 甲、乙两位同学周末相约骑自行车去游玩，沿同一路线从A地出发前往B地，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，甲比乙早出发5分钟．甲骑行20分钟后，乙以原速的1.5倍继续骑行，经过一段时间，乙先到达B地，甲一直保持原速前往B地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：m）与甲骑行的时间x（单位：）之间的关系如图所示，则下列说法中正确的有（ ）个 ①甲的骑行速度是，乙的原速度是；②A，B两地的总路程为；③乙出发后追上甲；④甲比乙晚到达B地． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 与最接近的整数是__________． 10. 若是方程的一个解，则______． 11. 如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则___________． 12. 如图，点，点，点，点，…按照这样的规律下去，点的坐标为______． 13. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答题应写出必要的步骤、文字说明或证明过程） 14. 计算： （1） （2） （3）解方程组： 15. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，． （1）在图中作出关于x轴对称的图形，并写出D，E，F的坐标； （2）求的面积． 16. 人工智能（）是当今科技领域最热门的话题之一，某学校组织学生参加以人工智能（）为主题的知识竞赛，为了解该校学生在本次竞赛中的情况，现随机抽取了九年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，且x为整数，单位：分），将测试成绩按以下5组进行整理：A（优秀）：；B（良好）：；C（中等）：；D（合格）：；E（待合格）：．并绘制了这些学生的竞赛成绩的频数直方图和扇形统计图，部分信息如下： 已知C等级学生的成绩分别为72，72，74，74，74，75，75，75，76，76，76，76，76，78，78． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）本次抽查样本容量为______，扇形统计图中的值为______°，m的值为______． （2）请补全频数直方图． （3）学生小涛和小涵对本次成绩进行了讨论： 小涛：这次抽取成绩的中位数是75分． 小涵：我们学校九年级800名学生中，不低于75分的估计有450人． 你认为以上两位同学谁的观点正确？并说明理由． 17. 如图，已知正方形，分别以，为斜边在正方形内作直角和直角，且． （1）求证：； （2）连接，猜想线段与线段之间的位置关系，并说明理由． 18. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式→利用函数图象研究其性质→运用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象，学习了一次函数之后，现在来解决下面的问题： 在函数中，下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 … y … … （1）由上表可知，______，______； （2）在给出的平面直角坐标系中，描出以上表格中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象，观察函数图象可得： ①该函数的最小值为______；②写出该函数的另一条性质______； （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集______． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 在箱线图中，上下四分位数之间的高度反映了中间50％数据的集中程度，中位数越靠近下四分位数，说明中间50％的数据中的________部分越集中（填“后半”或“前半”），这组数据的平均数________中位数（填“大于”或“小于”） 20. 若点关于x轴对称，则_____． 21. 一副三角板按如图所示放置，已知，，，过点的直线与过点的直线相互平行，设，，则，满足的等量关系式是__________． 22. 我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为__________． 23. 如图，在平面直角坐标系中, 点A的坐标为, 点B的坐标为，点为轴上方一动点，且，以点为直角顶点构造等腰直角三角形，当线段取最大值时，______，点的坐标为______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 随着2024年巴黎奥运会的火热进行，作为本届奥运会官方吉祥物的“弗里热”也迅速火遍全球．它是法国传统的弗里吉亚帽的拟人化形象，颜色有红、蓝、白，与法国国旗颜色吻合．奥林匹克官方旗舰店上架了以“弗里热”为图案的各种商品均深受人们的喜爱．尤其是在全国第40个教师节来临之际，“弗里热”的玩偶和“弗里热”的钢笔作为教师节礼品销量更好，8月售出了玩偶200个和钢笔100支，销售总额为32000元．9月售出了玩偶300个和钢笔200支，销售总额为52000元． （1）求“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的销售单价； （2）已知“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的成本分别为90元/个和60元/支．进入2024年十月后，这两款商品持续热销，于是旗舰店再购进了这两款商品共600个，其中玩偶的数量不少于200个．为回馈新老客户，旗舰店决定对玩偶降价后再销售，若十月份购进的这两款商品全部售出，则玩偶购进多少个时该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润． 25. 已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过F点作交延长线于点M，作、的角平分线交于点N，交于点P，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交于点Q，交于点K．若，直接写出的值． 26. 如图，直线经过点，点，与直线交于点C，点D为直线AB上一动点，过D点作x轴的垂线交直线OC于点E． （1）求直线AB的表达式和点C的坐标； （2）当时，求的面积； （3）连接，当沿着折叠，使得点A的对应点落在直线上，直接写出此时点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季期末素养测评 八年级数学试题 （考试时间：共120分钟；满分：150分） A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分） 1. 的算术平方根是（ ） A. B. C. 2 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的定义，先化简，再根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是． 故选C． 2. 在 中，的对边分别为， 下列所给数据中， 能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断A和B；根据三角形的内角和定理即可判断C和D． 【详解】解：A、∵，，∴，∴不是直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵，∴，∴，∴是直角三角形，故此选项符合题意； C、∵，设，则，，∴，解得，，，，∴不是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵，设，，，∴，解得，∴，，，∴不是直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理等知识点，能熟记勾股定理的逆定理的内容和三角形内角和定理等于180°是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两条边a、b的平方和等于第三边c的平方，即，那么这个三角形是直角三角形． 3. 如图是2025年9月3日阅兵式机群的一个飞行队形，如果最后两架飞机的平面坐标分别为，，那么第一架飞机C的平面坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系，解题的关键是掌握坐标方法的简单运用．根据，的坐标，可得原点的位置，进而即可得到第一架飞机C的平面坐标． 【详解】解：∵，， 如图，建立平面直角坐标系， ∴第一架飞机的坐标为． 故选：A． 4. 如图，将沿着平行于的直线折叠，得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，结合三角形内角和定理可得，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：由题意得，， 又∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质和折叠的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 5. 一次函数中，若，且y随着x的增大而减小，则其图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质．由一次函数中y随着x的增大而减小，可得，由，可得，此一次函数的图象过二、三、四象限，即可解答． 【详解】解：∵一次函数中，随的增大而减小， ∴， ∵， ∴， ∴一次函数的图象过二、三、四象限，A选项符合题意． 故选：A． 6. 下列命题中，真命题的是（ ） ①若，则；②已知点和点关于原点对称，则的值为14；③若一组数据，极差为，则x的值是或．④． A. ①③ B. ②④ C. ①② D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】判断每个命题的真假：①由等式得，与结论矛盾；②由对称点坐标求和，计算；③极差为时可能为或；④计算化简后等式成立. 【详解】∵命题①：==，∴，即，与结论矛盾，故为假命题； ∵命题②：点与关于原点对称，∴且，解得，，∴，故为假命题； ∵命题③：数据2，4，x，的极差为7，最小值可能为或，最大值可能为或. 若为最大值，则，；若为最小值，则，；其他情况极差不为7，∴或，故为真命题； ∵命题④：，与右边相等，故为真命题； ∴真命题为③④． 故选D. 7. 王红同学在学校贯彻落实“双减”政策后，对本班同学一周七天，每天完成课外作业所用时间（平均时间）进行了调查统计，并将统计结果绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是（ ） A. 每天完成课外作业所用时间的中位数是60分钟 B. 每天完成课外作业所用时间的众数是45分钟 C. 这一周完成课外作业所用时间的平均数是约为50分钟 D. 每天完成课外作业所用时间的极差是70分钟 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数，中位数，极差的定义解答即可． 【详解】由图可知，王红这一周课外作业所用时间这组数据中出现45两次， 所以众数是45， 把数据从小到大排列，中位数是第4个数， 所以中位数是45， 平均数是， 所以平均数是， 最大为120，最小为0，极差为， 故A、C、D错误，B正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了折线统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，也考查了极差、中位数、平均数、众数的相关知识． 8. 甲、乙两位同学周末相约骑自行车去游玩，沿同一路线从A地出发前往B地，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，甲比乙早出发5分钟．甲骑行20分钟后，乙以原速的1.5倍继续骑行，经过一段时间，乙先到达B地，甲一直保持原速前往B地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：m）与甲骑行的时间x（单位：）之间的关系如图所示，则下列说法中正确的有（ ）个 ①甲的骑行速度是，乙的原速度是；②A，B两地的总路程为；③乙出发后追上甲；④甲比乙晚到达B地． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键．根据函数与图象的关系依次计算即可判断． 【详解】解：①甲骑行，故速度为， 设乙的速度为，则有， 解得， ∴乙原来的速度为，故①正确； ②甲骑行20分钟后，乙以原速的1.5倍，即继续骑行， ∵乙先到达B地， ∴由题意可得两地的总路程为，故②错误； ③依题意可得， ∴乙出发后追上甲，故③正确； ④甲的路程为， ∴甲比乙晚到达B地，故④正确； ∴正确的结论有①③④共3个． 故选：B． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 与最接近的整数是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，利用夹逼法求出的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴与最接近的整数是． 故答案为：2． 10. 若是方程的一个解，则______． 【答案】7 【解析】 【分析】把方程的解代入得3a+b=1，从而确定9a+3b=3，整体代入计算即可． 【详解】∵是方程的一个解， ∴3a+b=1， ∴9a+3b=3， ∴7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了二元一次方程解的定义即使得二元一次方程左右相等的一组未知数的值，熟练掌握定义，灵活变形计算是解题的关键． 11. 如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】因为是的平分线，且，所以可求出的度数．因为是的平分线，且，所以可求出的度数，进而得到的度数和的度数，即可计算． 【详解】解：∵是的平分线，， ∴，． ∵是的平分线，， ∴，． 对，， ∴． 对，， ∴． ∴ ． 12. 如图，点，点，点，点，…按照这样的规律下去，点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查点的坐标规律，根据图形准确找到平面内点的坐标的变化规律是解答此题的关键． 观察图形可得奇数点的规律为：，，…．．，偶数点的规律为：，，……，根据规律求解即可． 【详解】解：由图象可得，奇数点的规律为：，，…．．， 偶数点的规律为：，，……， ∵2025是奇数，即， ， 的坐标为， 故答案为：． 13. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算大正方形的边长，然后即可计算出小正方形的面积，再根据图形可知的值等于小正方形的面积的2倍，本题得以解决. 【详解】解：， ， 小正方形的面积为：， 由图可得，的值等于小正方形的面积的2倍，即， ， 故答案为：. 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解答本题的关键是明确的值等于小正方形的面积的2倍. 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答题应写出必要的步骤、文字说明或证明过程） 14. 计算： （1） （2） （3）解方程组： 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了零次幂，实数的混合运算，二次根式的混合运算，解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，以及运算零次幂，化简绝对值，乘方，再进行加减运算，即可作答． （2）先根据二次根式的性质化简，再运算加法，然后运算除法，最后运算减法，即可作答． （3）先把方程组整理得，再运用加减消元法进行解方程组，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， 整理得， ∴， 得， 解得， 把代入，得， ∴， ∴方程组的解为． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，． （1）在图中作出关于x轴对称的图形，并写出D，E，F的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）画图见解析，，， （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了作图—轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型． （1）利用轴对称的性质分别作出，，的对应点， ， ，然后顺次连接即可得出； （2）根据三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：所画图形如下所示，其中即为所求，，，的坐标分别为：，，． 【小问2详解】 解：． 16. 人工智能（）是当今科技领域最热门的话题之一，某学校组织学生参加以人工智能（）为主题的知识竞赛，为了解该校学生在本次竞赛中的情况，现随机抽取了九年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，且x为整数，单位：分），将测试成绩按以下5组进行整理：A（优秀）：；B（良好）：；C（中等）：；D（合格）：；E（待合格）：．并绘制了这些学生的竞赛成绩的频数直方图和扇形统计图，部分信息如下： 已知C等级学生的成绩分别为72，72，74，74，74，75，75，75，76，76，76，76，76，78，78． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）本次抽查样本容量为______，扇形统计图中的值为______°，m的值为______． （2）请补全频数直方图． （3）学生小涛和小涵对本次成绩进行了讨论： 小涛：这次抽取成绩的中位数是75分． 小涵：我们学校九年级800名学生中，不低于75分的估计有450人． 你认为以上两位同学谁的观点正确？并说明理由． 【答案】（1）80；22.5；31.25 （2） 补全频数直方图如图所示． （3） 小涵的观点正确，小涛的观点错误，理由如下． 理由：本次抽样调查的样本容量是80，待合格和合格共30人，72分至75分的有8人， ∴第40人和第41人都是76分，所以这次抽取成绩的中位数是76分，所以小涛的观点错误． ∵ （人）， ∴九年级800名学生中，不低于75分的估计有450人，所以小涵的观点正确． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图与扇形统计图，中位数的概念，解决本题的关键是能读懂频数分布直方图与扇形统计图中的相关信息． （1）根据良好与中等所对应的圆心角可得总人数，再由圆心角计算公式以及人数计算即可． （2）根据中等学生人数与良好学生人数补全频数直方图即可． （3）根据中位数的概念计算中位数即可判断小涛的说法，计算不低于75分的人数即可判断小涵的说法． 【小问1详解】 解：由扇形统计图可知，良好与中等所对应的圆心角为， ∴待合格，合格与优秀所对应的圆心角为， 即占总人数的， 由频数直方图可知，待合格，合格与优秀的人数为（人）， 即总人数为（人）； 待合格对应的圆心角为； 合格所占百分比为． 故答案为：80；22.5；31.25． 【小问2详解】 解：C等级即中等学生人数为15人， ∴良好学生人数为（人）， 补全频数直方图略 【小问3详解】 略 17. 如图，已知正方形，分别以，为斜边在正方形内作直角和直角，且． （1）求证：； （2）连接，猜想线段与线段之间的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）证明，，再证明，可得，证明，可得． （2）由（1）可知，，可得，，，，则，再证明，可得，结合四边形是正方形，可得结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ∴， ∴． 在正方形中，∵， ∴， ∴． 在和中， ∴． 【小问2详解】 ．理由如下： 由（1）可知，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练的确定全等三角形是解本题的关键． 18. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式→利用函数图象研究其性质→运用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象，学习了一次函数之后，现在来解决下面的问题： 在函数中，下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 … y … … （1）由上表可知，______，______； （2）在给出的平面直角坐标系中，描出以上表格中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象，观察函数图象可得： ①该函数的最小值为______；②写出该函数的另一条性质______； （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集______． 【答案】（1）1， （2）①；②当时，y随x的增大而增大； （3）或 【解析】 【分析】（1）观察表格，函数图象经过点，，将这两点的坐标分别代入，利用待定系数法即可求出a、b的值； （2）根据表格数据，描点连线即可画出该函数的图象． ①函数图象的最低点的纵坐标即为该函数的最小值； ②根据图象即可写出该函数的另一条性质； （3）根据图象，找出的图象落在直线的上方的部分对应的自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：观察表格，函数图象经过点，， 将和点代入中， ，解得， 故答案为：1，； 【小问2详解】 解：该函数图像如下所示： ①根据图象可知，该函数的最小值为． 故答案为：； ②该函数的另一条性质：当时，y随x的增大而增大； 故答案为：当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：根据图象可知，当或时，的图象落在直线的上方， 所以不等式的解集为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了两条直线的交点问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．也考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与性质，画出函数的图象利用数形结合是解题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 在箱线图中，上下四分位数之间的高度反映了中间50％数据的集中程度，中位数越靠近下四分位数，说明中间50％的数据中的________部分越集中（填“后半”或“前半”），这组数据的平均数________中位数（填“大于”或“小于”） 【答案】 ①. 前半 ②. 大于 【解析】 【分析】本题考查箱线图（箱形图）的统计意义，涉及知识点：四分位数、中位数、平均数与数据分布的关系．解题技巧是理解箱线图中 “上四分位数 - 下四分位数” 代表中间 50% 数据的范围，中位数靠近下四分位数说明前半部分数据更集中；解题关键是结合数据偏态判断平均数与中位数的大小，易错点是混淆数据偏态对平均数和中位数的影响． 【详解】箱线图的中间 50% 数据是下四分位数（Q1）到上四分位数（Q3）之间的数据．中位数（Median）靠近下四分位数，说明从 Q1 到 Median 的距离小于 Median 到 Q3 的距离，即中间 50% 数据的前半部分（Q1 到 Median）更集中．中位数靠近下四分位数，说明数据呈右偏分布（大部分数据集中在左侧，右侧有长尾）．在右偏分布中，平均数会被右侧的长尾拉高，因此平均数大于中位数． 故答案为：前半；大于． 20. 若点关于x轴对称，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化－轴对称，关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得m，n的值，进而可得答案． 【详解】解：∵点关于x轴对称， ∴， ∴． 故答案为：4． 21. 一副三角板按如图所示放置，已知，，，过点的直线与过点的直线相互平行，设，，则，满足的等量关系式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质及角的和差的运用.熟练掌握平行线的性质是解题的关键．直接利用平行线的性质及特殊直角三角形角的特征求解即可． 【详解】∵ ∴ 由已知三角板可知， ∴， ∴ ∴． 故答案为： 22. 我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，利用勾股定理列出方程是解题的关键． 设的长为x，在直角三角形中，利用勾股定理可建立关于x的方程，进而可求出该矩形的面积． 【详解】解：由已知可得，，， ∴， 设的长为x， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 即， 整理得，， ∴ ∴ 而矩形面积为：， 故答案为：． 23. 如图，在平面直角坐标系中, 点A的坐标为, 点B的坐标为，点为轴上方一动点，且，以点为直角顶点构造等腰直角三角形，当线段取最大值时，______，点的坐标为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由圆的定义可知点A的运动轨迹是以点A为圆心，为半径的半圆（不包含H、N两点），再由瓜豆原理（由相似三角形的性质与判定所推导的几何模型）得到点P的运动轨迹是以点S（为等腰直角三角形）为圆心，长为半径的半圆（不包括T、Q两点），即可求得取得最大值时的位置，从而求得此时的长度和点的位置，再由瓜豆原理得到，作轴于点W，连接，由可求得，即可求得点的坐标． 【详解】解：如图，点M的运动轨迹是以点A为圆心，为半径的半圆（不包含H、N两点），假设点M在点N处，则此时点P在点Q的位置，假设点M在点H处，则此时点P在点T的位置，所以点P的运动轨迹是以点S（为等腰直角三角形）为圆心，长为半径的半圆（不包括T、Q两点）， 延长线段与弧相交于点，即为的最大值， A的坐标为, 点B的坐标为， 最大值为， 由题可知，此时点在如图所示的位置，且为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形， ， ， 由瓜豆原理可知， 作轴于点W，连接， 则，， ， ． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了瓜豆原理求最值的问题，涉及到相似三角形的性质和判定、圆的知识和等腰直角三角形的性质，找到动点的运动轨迹是解决本题的关键． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 随着2024年巴黎奥运会的火热进行，作为本届奥运会官方吉祥物的“弗里热”也迅速火遍全球．它是法国传统的弗里吉亚帽的拟人化形象，颜色有红、蓝、白，与法国国旗颜色吻合．奥林匹克官方旗舰店上架了以“弗里热”为图案的各种商品均深受人们的喜爱．尤其是在全国第40个教师节来临之际，“弗里热”的玩偶和“弗里热”的钢笔作为教师节礼品销量更好，8月售出了玩偶200个和钢笔100支，销售总额为32000元．9月售出了玩偶300个和钢笔200支，销售总额为52000元． （1）求“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的销售单价； （2）已知“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的成本分别为90元/个和60元/支．进入2024年十月后，这两款商品持续热销，于是旗舰店再购进了这两款商品共600个，其中玩偶的数量不少于200个．为回馈新老客户，旗舰店决定对玩偶降价后再销售，若十月份购进的这两款商品全部售出，则玩偶购进多少个时该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1）“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的销售单价分别为120，80元 （2）“弗里热”玩偶购进200个时该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为11600元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出函数解析式． （1）设“弗里热”玩偶的销售单价为x元，“弗里热”钢笔的销售单价为y元，利用销售总额=销售单价×销售数量，结合8月售出了玩偶200个和钢笔100支，销售总额为32000元．9月售出了玩偶300个和钢笔200支，销售总额为52000元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据总利润=“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的利润之和列出函数解析式，根据函数的性质求最值，即可作答． 【小问1详解】 解：设“弗里热”玩偶的销售单价为x元，“弗里热”钢笔的销售单价为y元， 依题意得： ， 解得： ， 答：“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的销售单价分别为120，80元 【小问2详解】 解：设购进“弗里热”玩偶为m个， 则购进“弗里热”钢笔个，该旗舰店当月销售利润为w元， 依题意得：， 依题意，， 解得：， ∵， ∴当时，w最大，最大值为11600， ∴“弗里热”玩偶购进200个时该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为11600元． 25. 已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过F点作交延长线于点M，作、的角平分线交于点N，交于点P，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交于点Q，交于点K．若，直接写出的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题是平行线的综合题目，考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、角平分线定义等知识；综合性强，熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解题的关键． （1）由平行线的性质得，再由内错角相等得出； （2）过点N作，设角度，由平行线的性质和角平分线的性质即可得出结论； （3）设，，则，由，结合前面（2）的结论，求出角度可得的值． 【小问1详解】 解：证明：， ， 又， ， ； 【小问2详解】 解：如图2，过点N作， ∵， ， ，， 、分别平分，, ∴设，， ，， 又， ， 又， ∴， ， ， ； 【小问3详解】 解：设，，则， ，即， ， ，， ∵； ∴， 和是角平分线， ∴， ， 又， ， 故答案为：． 26. 如图，直线经过点，点，与直线交于点C，点D为直线AB上一动点，过D点作x轴的垂线交直线OC于点E． （1）求直线AB的表达式和点C的坐标； （2）当时，求的面积； （3）连接，当沿着折叠，使得点A的对应点落在直线上，直接写出此时点D的坐标． 【答案】（1）直线AB的解析式为，点C的坐标为 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法法求得k和b，联立方程组求解即可求得直线AB的表达式和点C的坐标； （2）设D点横坐标为m，结合求出，即可得关于m的方程，求出m即可求解； （3）分点A落在射线CO上的A1和点A落在射线OC上的A2时两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质求解即可． 【小问1详解】 ∵直线经过点，点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 解方程组得：， ∴点C的坐标为； 【小问2详解】 ∵， ∴， 设D点横坐标为m，则点D坐标为， ∵平行于y轴， ∴点E坐标为 ， ∴， ∵， ∴， 解得或， 当时，的面积为； 当，的面积为； 综上所述：的面积为； 【小问3详解】 过点C作于点G， ∵点C的坐标为(12，9)， ∴，，， ∴， ∴，， ，， ∴， ∴，即， 当沿着折叠，且点A落在射线上的A1时，设交x轴于点H，如图： 根据折叠的性质，，， 又， ∴， ∴， ， ∴轴， 当时， ∴， ∴点D的坐标为； 当沿着折叠，且点A落在射线OC上的A2时，延长交x轴于点I，如图： 根据折叠的性质，，， 又， ∴， ∴，， ∴轴， 当时， ∴， ∴点D的坐标为； 综上所述：点D的坐标为或． 【点睛】本题考查的是两条直线相交或平行问题，涉及到一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、折叠的性质、勾股定理及其逆定理等，注意分类求解，避免遗漏． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $