8.1平行四边形寒假预习讲义-2025-2026学年苏科版八年级下学期数学（4大知识点+11高频考点精析+27闯关检测）

8.1平行四边形八年级下学期数学寒假预习讲义（苏科版） ☟预习模块速览 1.预习素养★目标 2.基础知识★梳理归纳 3.高频考点★举一反三 4.牛刀小试★基础闯关 ☘预习素*养目标 1.掌握平行四边形的定义及构成元素； 2.理解平行四边形的性质定理和判定定理，初步感知平行四边形的简单判定思路， 3.能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角知识解决四边形问题. ✍基础知识*梳理归纳 【知识点1.平行四边形的定义】 1） 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2） 记作：▱ABCD, 读作平行四边形ABCD。其中A.B.C.D是平行四边形的4个顶点. 3） 平行四边形的构成要素： ●边：两组对边分别平行且相等，共4条边 ●角：两组对角分别相等，邻角互补，共4个内角（内角和360°） ●对角线：2条对角线，互相平分（无垂直/相等默认属性） ●顶点：4个顶点，为相邻边的交点 构成要素 主要内容 图示 边 邻边 AB和AD，AB和BC，BC和CD，AD和DC，共有四对 对边 AB和 DC AD和 BC，共有两对 角 邻角 ∠BAD和∠ADC，∠ADC和∠DCB, ∠DCB和∠ABC,∠BAD和∠ABC,共有四对 对角 ∠BAD和∠BCD,∠ABC和∠ADC,共有两对 对角线 AC和BD,共有两条。共有两条 【知识点2平行四边形的性质】 ●边的性质：平行四边形两组对边分别平行且相等； ●角的性质： 平行四边形邻角互补，对角相等； ●对角线性质：平行四边形对角线互相平分； ●平行四边形是中心对称图形，其对称中心是对角线的交点. 【知识点3平行四边形的判定】 ●两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ●两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ●一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ●两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ●对角线互相平分的四边形是平行四边形. ❗ 重点：性质与判定的区别 ●性质是由“平行四边形”推出“边、角、对角线的关系”。 ●判定是由“边、角、对角线的关系”推出“是平行四边形”。 【知识点4周长与面积公式】 周长：根据平行四边形对边相等，设相邻两边长为a,b则平行四边形的周长=2（a+b） 面积：平行四边形的面积=底×高（底为平行四边形的任意一边，高为这条边与其对边之间的距离） ⚠易错点提醒 提醒：做题时一定要看清题目是证明它是平行四边形（用判定），还是已知它是平行四边形求角度或长度（用性质）。 易错点：“一组对边平行，另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形（可能是等腰梯形）。 策略：证明平行四边形时，首选“一组对边平行且相等”或“对角线互相平分”，这两种方法在几何证明题中应用最广。 辅助线添加 ●当题目中出现平行四边形且涉及对角线时，通常连接对角线，利用“对角线互相平分”的性质。 ●当需要构造全等三角形时，常连接对角线或延长某条边 ✏高频考点*举一反三 【数图形中平行四边形的个数】 【典例1】．如图所示，在中，，，分别是，，上的点，且，，，则图中平行四边形共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】．如图，，，，图中共有 个平行四边形． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)将先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到，画出； (2)将绕点B逆时针旋转得到，画出； (3)从（1）中的两个三角形的六个顶点中任意选择四个顶点顺次连接可以得到______个平行四边形，写出其中一个平行四边形的面积______． 【利用平行四边的性质求解】 【典例2】．已知在中，，，则的周长为（    ） A．11cm B．28cm C．22cm D．44cm 【变式1】．小斌用一根50m长的绳子围成了一个平行四边形场地，其中一条边长为16m，则它的邻边长为 m． 【变式2】．如图，四边形是平行四边形． (1)用尺规作图作的平分线交于（保留作图痕迹，不要求写作法，不要求证明）； (2)求证：． 【利用平行四边形的性质证明】 【典例3】．在中，下列结论错误的是（    ）． A． B． C． D． 【变式1】．如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接．若，则的长为 ． 【变式2】．如图，在平行四边形中，点E，F在AB，CD边上，且．求证：． 【平行四边形性质的其他应用】 【典例4】．如图，已知点，将线段向左平移三个单位长度，则线段扫过的面积为（　　） A．3 B．6 C． D． 【变式1】．如图，中，，，点从点出发以秒速度向点运动，点从点出发以秒的速度向点A运动，连接，作线段的垂直平分线，交边和于、两点，设点的运动时间为（单位：秒，），当时，点的运动时间值是 秒． 【变式2】．已知四边形是平行四边形． (1)如图（1），对角线，相交于点，过点的直线与边，分别相交于点．求证． (2)如图（2），过点A作对角线的垂线，垂足为，交边于点．仅用无刻度的直尺在图中作，垂足为．（保留作图痕迹，不要求写作法．） 【证明四边形是平行四边形】 【典例5】．如图，已知，，，则图中的平行四边形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】．如图，已知，分别以，为圆心，， 的长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则四边形是平行四边形的依据是 ． 【变式2】．如图，在四边形中，，，，．求的长，并判断四边形是否为平行四边形． 【判断能否构成平行四边形】 【典例6】．如图，四边形的对角线，相交于点．已知，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．顺次连接平面上，，，四点得到一个四边形，从①，②，③，④，⑤，⑥六个条件中选取其中两个，在①②、③④、①③、⑤⑥、③⑥组合中不能得出“四边形是平行四边形”这一结论的是 （填序号）． 【变式2】．如图，是等边三角形，点D、点E分别在，上，且．连接． (1)将线段绕点D按顺时针方向旋转得到线段．请在图中利用尺规作图按上述要求补全图形： (2)在（1）条件下，连接、，证明：四边形为平行四边形． 【添一个条件成为平行四边形】 【典例7】．如图，在四边形中，与相交于点E，点E是的中点，要判定四边形是平行四边形，能添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在四边形中，已知，在不添加辅助线的情况下，请你再添加一个条件 （写出一个即可），则四边形是平行四边形． 【变式2】．如图，是四边形的对角线，点为的中点，．从①，②，③等三个选项中选择一个作为添加条件，使四边形为平行四边形，并说明理由． 【求与已知三点组成平行四边形的个数】 【典例8】．以不共线的三点为平行四边形的其中三个顶点作平行四边形，一共可作平行四边形的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】．以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形，最多能作 个不同的平行四边形． 【变式2】．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在小正方形的顶点上． (1)在图1中画出点（点在小正方形的顶点上），使以为顶点的四边形为平行四边形； (2)在图2中确定点（点在小正方形的顶点上），连接，使，且四边形面积为9，请在图中标出点的位置，则 ． 【全等三角形拼平行四边形问题】 【典例9】．用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个 【变式1】．如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【利用平行四边形的判定与性质求解】 【典例10】．如图，在中，将沿射线平移得到线段，A，C的对应点分别为点E，B．再将绕点A顺时针旋转，使得点C，B分别落在点D，F处，若D恰好为线段的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，已知与关于点对称，过点任意作直线分别交、于点、，下列结论中，正确的有 个． （1）点和点；点和点是关于点的对称点； （2）直线必经过点； （3）四边形是中心对称图形； （4）四边形和四边形的面积相等； （5）和成中心对称 【变式2】．如图，在中，分别是的中点，．求的度数． 【平行四边形性质和判定的应用】 【典例11】 ．如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 【变式1】．如图，以的三边为边分别作等边，等边，等边，其中，则以下结论：①；②；③四边形的面积是的2倍．其中正确的结论是 ． 【变式2】．如图，张雨同学想了一个测量池塘宽度AB的方法：过点A、B引直线、相交于点C，在上取点E、G，使，再在上分别取点F、H，使，测得．于是，她就得出了结论：池塘的宽为．你认为她说得对吗？请说明理由． ⛳牛刀小试*基础闯关 一、选择题 1．如图，中，，则图中共有平行四边形的个数为（　　） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 2．如图，直线，，，，E，G为垂足．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 4．为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（   ） A．点 B．的中点 C．的中点 D．边上的点，且 5．如图，已知点E、F、G、H分别是四边形各边的中点，则四边形是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 6．下面给出的是四边形中，，，的度数比．其中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．4∶3∶2∶1 B．3∶2∶3∶2 C．3∶3∶2∶2 D．3∶2∶2∶1 7．如图，在四边形中，，添加一个条件，能使四边形成为平行四边形的是（ ） A． B． C． D． 8．在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 10．如图，在中，，D是的中点，过点A，B分别作，．若，，则四边形的面积为（    ） A．5 B．6 C．10 D．12 11．已知，求作的中线，两位同学给出了如图所示的两种方案，对于方案、，说法正确的是（    ） 方案 作法： （1）分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，； （2）作直线，交于点，即为所求． 方案 作法： （1）分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧相交于点； （2）作直线，交于点，即为所求． A．可行、不可行 B．不可行、可行 C．、都可行 D．、都不可行 二、填空题 12．如图，线段相交于点，且图上各点把线段四等分，这些点可以构成的平行四边形的个数是 个． 13．如图中，，，，点P为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为 ． 14．如图，在平行四边形中，，作于点，点是的中点，连接，，关于下列四个结论：；；； 则所有正确结论的序号是 ． 15．如图，在中，是的中点，且，，，则的面积为 ． 16．如图，在四边形中，对角线、相交于点，，，，，则四边形的面积为 ． 17．如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，请你添加的一个条件是 ，使四边形是平行四边形． 18．在平面直角坐标系中，已知以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，其中，，，则点的坐标为 ． 19．如图，将直角沿边的方向平移到的位置，点、、的对应点分别为点、、，连接，若，，则的长为 ． 20．如图所示，线段与线段相交于点，连接，．若，，，则的最小值是 ． 三、解答题 21．如图，在四边形中，，E是上一点，且，P从A点出发以的速度向B点运动，同时Q从D点出发以的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止，设运动时间为，当以A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 22．如图，在中，是的一条对角线，于点于点．求证：． 23．如图，在平行四边形中，，，动点P沿边以每秒0.5个单位长度的速度从点A向终点D运动．设点P运动的时间为秒． (1)线段的长为______（用含t的代数式表示）； (2)当平分时，求t的值． (3)如图，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在上往返运动．P、Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．若以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值． 24．如图，在四边形中，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，，求四边形的面积． 25．如图，的对角线，相交于点，，，．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，连接并延长，交于点．设点的运动时间为． (1)求的长（用含的代数式表示）． (2)当四边形是平行四边形时，求的值． (3)当点在线段的垂直平分线上时，直接写出的值． 26．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，经过点C的另一条直线与x轴交于点． (1)求点B、C的坐标和直线的函数解析式； (2)在平面内是否存在点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 27．如图，在与中，点，，，在同一条直线上，连接，，且，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1平行四边形八年级下学期数学寒假预习讲义（苏科版） ☟预习模块速览 1.预习素养★目标 2.基础知识★梳理归纳 3.高频考点★举一反三 4.牛刀小试★基础闯关 ☘预习素养目标 1.掌握平行四边形的定义及构成元素； 2.理解平行四边形的性质定理和判定定理，初步感知平行四边形的简单判定思路， 3.能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角知识解决四边形问题. ✍基础知识*梳理归纳 【知识点1.平行四边形的定义】 1） 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2） 记作：▱ABCD, 读作平行四边形ABCD。其中A.B.C.D是平行四边形的4个顶点. 3） 平行四边形的构成要素： ●边：两组对边分别平行且相等，共4条边 ●角：两组对角分别相等，邻角互补，共4个内角（内角和360°） ●对角线：2条对角线，互相平分（无垂直/相等默认属性） ●顶点：4个顶点，为相邻边的交点 构成要素 主要内容 图示 边 邻边 AB和AD，AB和BC，BC和CD，AD和DC，共有四对 对边 AB和 DC AD和 BC，共有两对 角 邻角 ∠BAD和∠ADC，∠ADC和∠DCB, ∠DCB和∠ABC,∠BAD和∠ABC,共有四对 对角 ∠BAD和∠BCD,∠ABC和∠ADC,共有两对 对角线 AC和BD,共有两条。共有两条 【知识点2平行四边形的性质】 ●边的性质：平行四边形两组对边分别平行且相等； ●角的性质： 平行四边形邻角互补，对角相等； ●对角线性质：平行四边形对角线互相平分； ●平行四边形是中心对称图形，其对称中心是对角线的交点. 【知识点3平行四边形的判定】 ●两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ●两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ●一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ●两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ●对角线互相平分的四边形是平行四边形. ❗ 重点：性质与判定的区别 ●性质是由“平行四边形”推出“边、角、对角线的关系”。 ●判定是由“边、角、对角线的关系”推出“是平行四边形”。 【知识点4周长与面积公式】 周长：根据平行四边形对边相等，设相邻两边长为a,b则平行四边形的周长=2（a+b） 面积：平行四边形的面积=底×高（底为平行四边形的任意一边，高为这条边与其对边之间的距离） ⚠易错点提醒 提醒：做题时一定要看清题目是证明它是平行四边形（用判定），还是已知它是平行四边形求角度或长度（用性质）。 易错点：“一组对边平行，另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形（可能是等腰梯形）。 策略：证明平行四边形时，首选“一组对边平行且相等”或“对角线互相平分”，这两种方法在几何证明题中应用最广。 辅助线添加 ●当题目中出现平行四边形且涉及对角线时，通常连接对角线，利用“对角线互相平分”的性质。 ●当需要构造全等三角形时，常连接对角线或延长某条边。 ✏高频考点*举一反三 【数图形中平行四边形的个数】 【典例1】．如图所示，在中，，，分别是，，上的点，且，，，则图中平行四边形共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的定义即可得到平行四边形有：平行四边形，平行四边形，平行四边形．解题的关键是掌握：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 【详解】解：∵，，， ∴四边形，四边形和四边形都是平行四边形， ∴图中平行四边形共有个． 故选：C． 【变式1】．如图，，，，图中共有 个平行四边形． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据题意找出两组对边分别平行的四边形，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴图中的平行四边形有，共三个， 故答案为：． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)将先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到，画出； (2)将绕点B逆时针旋转得到，画出； (3)从（1）中的两个三角形的六个顶点中任意选择四个顶点顺次连接可以得到______个平行四边形，写出其中一个平行四边形的面积______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3； 【分析】本题主要考查作图——旋转变换与平移变换，掌握旋转变换和平移变换的定义与性质是解题的关键． （1）将三个顶点分别先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）将三个顶点分别绕点B逆时针旋转得到其对应点，再首尾顺次连接即可得； （3）结合平行四边形的性质分析求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，即为所求： （3）解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得从（1）中的两个三角形的六个顶点中任意选择四个顶点顺次连接可以得到3个平行四边形，分别为，，， ， ， ． 故答案为：3；． 【利用平行四边的性质求解】 【典例2】．已知在中，，，则的周长为（    ） A．11cm B．28cm C．22cm D．44cm 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，掌握对边相等是解题的关键. 根据平行四边形对边相等的性质，直接计算周长即可. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴周长. 故的周长为. 故选：C. 【变式1】．小斌用一根50m长的绳子围成了一个平行四边形场地，其中一条边长为16m，则它的邻边长为 m． 【答案】9 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形对边相等，周长等于两邻边之和的2倍是解题的关键． 根据平行四边形的性质，对边相等，因此周长等于两邻边之和的两倍． 【详解】解：设邻边长为， 则周长为， 解得， ． 故答案为：9． 【变式2】．如图，四边形是平行四边形． (1)用尺规作图作的平分线交于（保留作图痕迹，不要求写作法，不要求证明）； (2)求证：． 【答案】(1)画图见详解； (2)证明见详解： 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定，熟练结合图形性质推导角与边的关系是解答本题的关键． （1）利用尺规作角平分线的基本方法，结合平行四边形的边的位置关系，确定角平分线与的交点； （2）借助平行四边形 “对边平行” 的性质推导内错角相等，结合角平分线的定义得到等角，再利用“等角对等边”完成线段相等的证明． 【详解】（1）解：如图所示，以点为圆心，任意长为半径画弧，交、于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点距离为半径画弧，在四边形内交于点，作射线，交于点即可． （2）证明：， ， 又， ， ． 【利用平行四边形的性质证明】 【典例3】．在中，下列结论错误的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图，∵四边形是平行四边形， ∴，，，，， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 【变式1】．如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接．若，则的长为 ． 【答案】/2.5 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质，平行四边形的性质以及三角形全等的判定与性质，由平行四边形的性质得出，由等边三角形的性质得，延长交于点H，利用“”证明可得，，证出是等边三角形，最后求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形，G为的中点， ∴， 延长交于点H， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】．如图，在平行四边形中，点E，F在AB，CD边上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查平行四边形的性质和全等三角形的性质和判定，关键是根据平行四边形的性质得出解答． 根据平行四边形的性质得出，进而利用证明和全等，利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴． 【平行四边形性质的其他应用】 【典例4】．如图，已知点，将线段向左平移三个单位长度，则线段扫过的面积为（　　） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，根据平移的性质和平行四边形的面积公式即可得到结论． 【详解】∵点，将线段向左平移三个单位长度， ∴线段扫过的图形是一个底边长为3，高为2的平行四边形， ∴线段扫过的面积为， 故选：B． 【变式1】．如图，中，，，点从点出发以秒速度向点运动，点从点出发以秒的速度向点A运动，连接，作线段的垂直平分线，交边和于、两点，设点的运动时间为（单位：秒，），当时，点的运动时间值是 秒． 【答案】或 【分析】本题考查平行四边形性质、全等三角形判定及等边三角形判定与性质，解题关键是分类讨论与的位置关系，利用全等三角形建立含t的方程。 当时，可证，从而，解得；当不平行时，证明，可得是等边三角形，四边形是平行四边形，即有，解得． 【详解】解：当时，如图： 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ，，， 是的垂直平分线， ，， ， ， ， 由得：， ； 当不平行时，如图： ， 四边形是等腰梯形， ，， 是的垂直平分线， ，， ， ，， 在中，， ， 是等边三角形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得， 综上所述，为或． 【变式2】．已知四边形是平行四边形． (1)如图（1），对角线，相交于点，过点的直线与边，分别相交于点．求证． (2)如图（2），过点A作对角线的垂线，垂足为，交边于点．仅用无刻度的直尺在图中作，垂足为．（保留作图痕迹，不要求写作法．） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，是解题的关键． （1）根据平行四边形性质得，得，可得，即得； （2）根据平行四边形性质得，，可得，得，得,根据，得． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：连接交于点O，作射线交于点G，连接交于点H，点H即为所求作． 【证明四边形是平行四边形】 【典例5】．如图，已知，，，则图中的平行四边形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握根据平行条件逐一判定平行四边形的方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理，结合已知的平行线关系来确定图中的平行四边形． 【详解】解：， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴四边形是平行四边形． 综上，图中共有个平行四边形． 故选：B． 【变式1】．如图，已知，分别以，为圆心，， 的长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则四边形是平行四边形的依据是 ． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【分析】本题考查了尺规基本作图-作线段等于已知线段，平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 利用平行四边形的判定方法可直接求解． 【详解】解：分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点， ，， 四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）， 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【变式2】．如图，在四边形中，，，，．求的长，并判断四边形是否为平行四边形． 【答案】，四边形为平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握一组对边平行且相等四边形是平行四边形的判定方法是解决问题的关键．由勾股定理可得出即可证明四边形是平行四边形． 【详解】解：， ． 在中，，， ． ， ． 在中，，， ， ． 又， 四边形为平行四边形． 【判断能否构成平行四边形】 【典例6】．如图，四边形的对角线，相交于点．已知，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键； 先根据对角线互相平分判定四边形为平行四边形，再依据平行四边形的性质逐项分析即可． 【详解】解：， 即对角线、互相平分 ∴四边形是平行四边形 A、，平行四边形对边相等，不符合题意； B、，平行四边形对边平行，不符合题意； C、，平行四边形对边相等，不符合题意； D、平行四边形无对角线互相垂直的性质，符合题意； 故选：D ． 【变式1】．顺次连接平面上，，，四点得到一个四边形，从①，②，③，④，⑤，⑥六个条件中选取其中两个，在①②、③④、①③、⑤⑥、③⑥组合中不能得出“四边形是平行四边形”这一结论的是 （填序号）． 【答案】③⑥/⑥③ 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟悉平行四边形的判定是解题的关键；根据平行四边形的判定逐一进行判断即可． 【详解】解：由两组对边分别平行的四边形是平行四边形知，①②组合可判定四边形是平行四边形； 由两组对边分别相等的四边形是平行四边形知，③④组合可判定四边形是平行四边形； 由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形知，①③组合可判定四边形是平行四边形； 由两组对角相等的四边形是平行四边形知，⑤⑥组合可判定四边形是平行四边形； 一组对边相等，一组对角相等的四边形不能判定为平行四边形，即③⑥组合不能得出四边形是平行四边形； 故答案为：③⑥． 【变式2】．如图，是等边三角形，点D、点E分别在，上，且．连接． (1)将线段绕点D按顺时针方向旋转得到线段．请在图中利用尺规作图按上述要求补全图形： (2)在（1）条件下，连接、，证明：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）以为点D为顶点边顺时针作角即可； （2）先证是等边三角形，再证得即可解答． 【详解】（1）解：如图，为所求； （2）证明：连接， 由旋转性质得，，， ∴为等边三角形． ∴，． ∵是等边三角形， ∴，.     ∵，， ∴. ∴. ∴，. ∵，， ∴，． ∴． ∴四边形为平行四边形． 【添一个条件成为平行四边形】 【典例7】．如图，在四边形中，与相交于点E，点E是的中点，要判定四边形是平行四边形，能添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的判定定理，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判断即可，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故A正确； 选项B，C，D均不能证明四边形是平行四边形， 故选：A． 【变式1】．如图，在四边形中，已知，在不添加辅助线的情况下，请你再添加一个条件 （写出一个即可），则四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，准确理解题意是解题的关键． 根据已知条件，可根据一组对边平行且相等或两组对边分别相等的四边形是平行四边形判断即可； 【详解】， 当时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断；或当时，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判断； 故答案是：（答案不唯一）． 【变式2】．如图，是四边形的对角线，点为的中点，．从①，②，③等三个选项中选择一个作为添加条件，使四边形为平行四边形，并说明理由． 【答案】①，证明见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 先证明，得到，，推出，添加①，得到，可证明四边形是平行四边形；添加③， 由，可证明四边形是平行四边形． 【详解】解：点为的中点，， 在和中， ， ， ，， ， 添加①，理由如下， ， ， 四边形是平行四边形； 添加③，理由如下， ， 四边形是平行四边形． 【求与已知三点组成平行四边形的个数】 【典例8】．以不共线的三点为平行四边形的其中三个顶点作平行四边形，一共可作平行四边形的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．做题时需要分类讨论，以防漏解．如图，三点不共线，连接、、，分别以其中一条线段为对角线，另两边为平行四边形的边，可构成三个不同的平行四边形． 【详解】解：如图，三点不共线，连接、、， 分别以、、为平行四边形的对角线，另外两边为边， 可构成的平行四边形有三个：，，； 综上所述，可以作3个平行四边形， 故选：B． 【变式1】．以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形，最多能作 个不同的平行四边形． 【答案】3 【分析】连接三点，分别以三边作为平行四边形的对角线，作图即可得3个平行四边形． 【详解】解：如图， 以点，，能做三个平行四边形：，，． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法． 【变式2】．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在小正方形的顶点上． (1)在图1中画出点（点在小正方形的顶点上），使以为顶点的四边形为平行四边形； (2)在图2中确定点（点在小正方形的顶点上），连接，使，且四边形面积为9，请在图中标出点的位置，则 ． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析，， 【分析】本题考查平移，平行四边形的判定，等腰三角形的判定和性质： （1）利用平移思想，将点向右移动2个单位，再向下移动一个单位，得到点即可（或将点向左移动2个单位，再向上移动一个单位，也可得到点），此时，故四边形为平行四边形； （2）构造等腰三角形，利用三线合一，结合四边形面积为9，可得面积等于2，由此即可得到点在点下方第4个格点处．再根据勾股定理求出. 【详解】（1）解：如图，四边形（或）即为所求；   或 （2）如图，点即为所求；    由图可知四边形的面积为：． ， 【全等三角形拼平行四边形问题】 【典例9】．用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个 【答案】D 【分析】根据三角板不同形状分类讨论，分别以三组对应边为对角线拼成平行四边形，判断平行四边形数量． 【详解】解：三边互不相等三角板，如图，分别以三组对应边为对角线，可以拼成三个形状不同的平行四边形；    两直角边相等的三角板，如图中，平行四边形，形状一样，故分别以三组对应边为对角线，可以拼成两个不同形状的平行四边形；    故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，平行四边形的判定，注意根据三角板的不同形状分情况讨论是解题的关键． 【变式1】．如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识，证明是解题的关键． 由，得，而，，即可根据“”证明，得，则四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【利用平行四边形的判定与性质求解】 【典例10】．如图，在中，将沿射线平移得到线段，A，C的对应点分别为点E，B．再将绕点A顺时针旋转，使得点C，B分别落在点D，F处，若D恰好为线段的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的平移与旋转、平行四边形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是利用平移和旋转的性质得出线段之间的关系，再结合勾股定理进行求解。 通过平移得到四边形是平行四边形，得出；利用旋转性质得到，；过作交于，再根据设，则，，，分别在两个直角三角形中运用勾股定理表示出相关线段长度，进而求出所求线段的比值。 【详解】解：将沿射线平移得到线段， ，则四边形是平行四边形， ， 又将绕点顺时针旋转，使得点分别落在点处， ，， 过作交于，如图： 又， ， 又是的中点， ， 设，则，， 在中， ， 在中， ， ． 故选：C． 【变式1】．如图，已知与关于点对称，过点任意作直线分别交、于点、，下列结论中，正确的有 个． （1）点和点；点和点是关于点的对称点； （2）直线必经过点； （3）四边形是中心对称图形； （4）四边形和四边形的面积相等； （5）和成中心对称 【答案】/五 【分析】本题考查了中心对称的性质、平行四边形的判定与性质，由题意可得，，从而可得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得点就是平行四边形的对称中心，由此逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵与关于点对称， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴点就是平行四边形的对称中心， ∴（1）点和点；点和点是关于点的对称点，说法正确； （2）直线必经过点，说法正确； （3）四边形是中心对称图形，说法正确； （4）四边形和四边形的面积相等，说法正确； （5）和成中心对称，说法正确； 综上所述，正确的个数为个， 故答案为：． 【变式2】．如图，在中，分别是的中点，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键，直接证明四边形是平行四边形，进而根据平行四边形的对角相等即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，． ，分别是，的中点， ，， ，． 四边形是平行四边形． ． 【平行四边形性质和判定的应用】 【典例11】 ．如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过t秒，以点，，，为顶点组成平行四边形， ∵在边上运动， ∴， ∵以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴， 分以下情况：①点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不符合题意． ②点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；符合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；不合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不合题意． 故选：B． 【变式1】．如图，以的三边为边分别作等边，等边，等边，其中，则以下结论：①；②；③四边形的面积是的2倍．其中正确的结论是 ． 【答案】①② 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键．连接，证明．同理可证，则；即可判断①正确；证明四边形是平行四边形．则，即可判断②；若四边形的面积是的2倍．则，证明三点共线，即，但没法证明，即可判断③． 【详解】解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴． 同理可证，， ∴， 故①正确； 连接， ∵， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∴； 故②正确； 若四边形的面积是的2倍．则， ∵， ∴， ∴， 设的边上的高为，的边上的高为， ∵， ∴， 即点和点到的距离相等， ∴， ∵， ∴三点共线，即， 但没法证明， 故③错误， 故答案为：①②． 【变式2】．如图，张雨同学想了一个测量池塘宽度AB的方法：过点A、B引直线、相交于点C，在上取点E、G，使，再在上分别取点F、H，使，测得．于是，她就得出了结论：池塘的宽为．你认为她说得对吗？请说明理由． 【答案】说法正确，理由见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，过点作，交于点．只要证明四边形是平行四边形且即可． 【详解】解：正确． 理由：过点作，交于点，则， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． ⛳牛刀小试*基础闯关 一、选择题 1．如图，中，，则图中共有平行四边形的个数为（　　） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的定义，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可． 【详解】解：图中的平行四边形为：，，，，，，，，，共个， 故选：A． 2．如图，直线，，，，E，G为垂足．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定与性质，结合平行四边形性质推导线段关系是解题的关键． 结合平行与垂直的已知条件，通过判定平行四边形、利用平行线间距离相等的性质，逐一分析每个选项的推导逻辑，判断结论是否一定成立，从而找出不一定成立的选项． 【详解】解：A、由题意可证得四边形是平行四边形，所以，故A选项成立，不符合题意． B、由两条平行线间的平行线段相等可知，故B选项成立，不符合题意． C、，， ； ， ∴四边形是平行四边形， ，故C选项成立，不符合题意． D、与的大小关系不确定，故D选项不一定成立，符合题意． 故选：D． 3．如图，四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 无法判断， 故选：D． 4．为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（   ） A．点 B．的中点 C．的中点 D．边上的点，且 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：由平行四边形的性质结合题意得：小路除了经过点外，还经过的中点， 故选：B． 5．如图，已知点E、F、G、H分别是四边形各边的中点，则四边形是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形的中位线定理，熟悉平行四边形的判定是解题的关键．先借助三角形的中位线定理推出，，可证四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：连接， E、F、G、H分别是四边形各边的中点 ∴，， ，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 故选：D. 6．下面给出的是四边形中，，，的度数比．其中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．4∶3∶2∶1 B．3∶2∶3∶2 C．3∶3∶2∶2 D．3∶2∶2∶1 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定，运用了两组对角分别相等的四边形是平行四边形这一判定方法． 由“两组对角对边相等的四边形是平行四边形”进行判断即可． 【详解】解：∵对角相等的四边形是平行四边形， ∴能判定四边形是平行四边形的是． 故选：B． 7．如图，在四边形中，，添加一个条件，能使四边形成为平行四边形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据已知条件以及各个选项中所给的条件，逐项分析即可得出答案． 【详解】A.已知，添加条件，则四边形有可能是等腰梯形，不符合题意； B. 已知可得，故添加条件，不能判定四边形为平行四边形，不符合题意； C. 已知，添加条件，不能判定四边形为平行四边形，不符合题意； D. 已知可得,添加条件，则可得，由此可证得，因此可判定四边形为平行四边形，符合题意． 故选D． 8．在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可求解，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： 当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： ∴符合要求的点有个， 故选：． 9．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的判定，以及平行四边形的判定，由是由六个全等的正三角形拼成的，可得出是正六边形，进而可得出，则四边形是平行四边形，同理可得出四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形． 【详解】解：∵是由六个全等的正三角形拼成的， ∴是正六边形， ∴，，是正六边形的对角线， 可得， ∴四边形是平行四边形， 同理：四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，共6个， 故选C． 10．如图，在中，，D是的中点，过点A，B分别作，．若，，则四边形的面积为（    ） A．5 B．6 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查三角形中线的性质，平行四边形的判定及性质，理解题意是解决本题的关键． 先根据三角形的面积公式求出的面积，再根据三角形中线的性质得到的面积，判定四边形是平行四边形，即可得到． 【详解】解：，，， ， 点是的中点， ， ，， 四边形是平行四边形， ． 故选：B． 11．已知，求作的中线，两位同学给出了如图所示的两种方案，对于方案、，说法正确的是（    ） 方案 作法： （1）分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，； （2）作直线，交于点，即为所求． 方案 作法： （1）分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧相交于点； （2）作直线，交于点，即为所求． A．可行、不可行 B．不可行、可行 C．、都可行 D．、都不可行 【答案】C 【分析】本题考查了作图基本作图与平行四边形的判定和性质，掌握作已知线段的垂直平分线的基本作法和平行四边形的判定和性质是解题的关键．根据过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法，网格线的特征进行判断即可． 【详解】解：方案是作已知线段的垂直平分线的基本作法，故方案可行， 方案是先根据对边相等的四边形是平行四边形作出以、为邻边的平行四边形，再连接第二条对角线，根据平行四边形的对角线互相平分可知方案可行， 故选：C． 二、填空题 12．如图，线段相交于点，且图上各点把线段四等分，这些点可以构成的平行四边形的个数是 个． 【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的判定，先理解各点把线段四等分，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵线段相交于点，且图上各点把线段四等分， ∴ ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形， 故答案为：4 13．如图中，，，，点P为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，等面积法，利用等面积法求的长是解题的关键． 设，交于点，由四边形是平行四边形，得出，即求的最小值，再乘以2即可．点D是的中点，为定点，由垂线段最短可知，当时，取得最小值，即最小，过点作于点，当重合时，最小，据此即可求得的最小值． 【详解】解：如图，设，交于点，过点作于点， 连接， 四边形是平行四边形， ，， ∵点D是的中点，为定点， ∴由垂线段最短可知：当时，取得最小值，则最小， 即当重合时，最小， ∴的最小值为， ， ∴， ∵，即 ∴ ， ∴的最小值为 的最小值为 故答案为：． 14．如图，在平行四边形中，，作于点，点是的中点，连接，，关于下列四个结论：；；； 则所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等知识点，难度较大，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． 先根据平行四边形的性质证明，再由证明，则，即可等量代换证明①；延长，交于点，证明，根据直角三角形斜边中线得到，即可证明②；根据互余关系证明③；由，得到，由为中点，得到，即可证明④． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，，， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ，故正确； 延长，交于点， ∵， ∴， ∵点为中点， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ，故正确； ，， ， ， 即， ， ， ，故正确； ∵， ∴， ∵为中点， ∴，故④正确 故答案为： 15．如图，在中，是的中点，且，，，则的面积为 ． 【答案】40 【分析】过点D作交的延长线于点F，如图，先根据平行四边形的性质证明，进而得出三角形是直角三角形，且，然后过点D作于点G，利用等积法求出，再根据的面积的面积求解即可． 【详解】解：过点D作交的延长线于点F，如图， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵M是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在三角形中，∵， ∴三角形是直角三角形，且， 过点D作于点G， ∵， ∴， ∵， ∴的面积的面积=． 故答案为：40． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理以及平行四边形的面积等知识，正确作出辅助线、熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 16．如图，在四边形中，对角线、相交于点，，，，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的判定，利用勾股定理证得对角线互相平分是解题的关键． 利用勾股定理得出的长度，可发现四边形对角线互相平分，可证四边形为平行四边形，利用平行四边形公式计算面积即可． 【详解】在中，∵，，， 由勾股定理得，解得， 又∵， ∴，故对角线互相平分， ∴四边形为平行四边形， ， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 17．如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，请你添加的一个条件是 ，使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤．两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 根据平行四边形的判定方法作答即可． 【详解】解：添加条件：， 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：（答案不唯一）． 18．在平面直角坐标系中，已知以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，其中，，，则点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，平面直角坐标系点的特征，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 利用平行四边形的判定作出图象求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，已知，，，可作图如下： ∵四边形是平行四边形， 当，， ∴在点的基础上向左和向右平移两个单位即可得到和 ∴；； 当时，点向下平移1个单位向左平移1个单位可得到点， ∴在点的基础上向下平移1个单位并向左平移1个单位可得到点； 故答案为：或或． 19．如图，将直角沿边的方向平移到的位置，点、、的对应点分别为点、、，连接，若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查平移的性质，线段的和与差，平行四边形的判定和性质． 由平移的性质，结合线段的和与差，可得，由平移的性质可得四边形为平行四边形，即可得的长． 【详解】解：由平移可得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由平移可得，， ∴四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：． 20．如图所示，线段与线段相交于点，连接，．若，，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】过点B作，过点D作，与交于点F，连接，则四边形是平行四边形，推出，，当C，D，F三点共线时，的长最小，即最小，过点C作于点H，求出，得到，勾股定理求出，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：过点B作，过点D作，与交于点F，连接，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当C，D，F三点共线时，的长最小，即最小， 过点C作于点H， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，熟练掌握各性质是解题的关键． 三、解答题 21．如图，在四边形中，，E是上一点，且，P从A点出发以的速度向B点运动，同时Q从D点出发以的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止，设运动时间为，当以A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 【答案】当以A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或． 【分析】本题考查了平行四边形的判定，一元一次方程的应用，熟练掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．分点Q在的左侧和右侧两种情形，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，建立等式求解即可． 【详解】解：当点Q在的左侧时，设运动时间为， 根据题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴， 故当时，以 A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形， ∴ 解得． 当点Q在的右侧时，设运动时间为， 根据题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴， 故当时，以 A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形， ∴ 解得． 则当以A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或． 22．如图，在中，是的一条对角线，于点于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质. 根据平行四边形对边相等且相互平行，可得，，根据两直线平行，内错角相等可得：，利用可证，根据全等三角形的性质可得． 【详解】证明：，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ． 23．如图，在平行四边形中，，，动点P沿边以每秒0.5个单位长度的速度从点A向终点D运动．设点P运动的时间为秒． (1)线段的长为______（用含t的代数式表示）； (2)当平分时，求t的值． (3)如图，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在上往返运动．P、Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．若以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值． 【答案】(1) (2)6 (3)或8或 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）由题意可得，即可求解； （2）由平行线的性质和角平分线的性质可得，可求解； （3）利用平行四边形的性质，分类讨论可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：， ， ； （2）解：在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意可得： 当以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形时四边形是中心对称图形， ∵， ∴， 当点Q没有到达点B时， ∴（不合题意舍去）， 当点Q到达点B后，返回时， 当点Q到达点C后，返回时， ∴， 当点Q第二次到达点B后， 综上所述：t的值为或8或 24．如图，在四边形中，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定、勾股定理、等腰三角形的性质及平行四边形的判定等知识点，熟练掌握等边三角形的性质与判定、勾股定理、等腰三角形的性质及平行四边形的判定是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得是等边三角形，，则有，，然后根据勾股定理可得，进而证明得到四边形的面积等于的面积，则问题可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．如图，的对角线，相交于点，，，．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，连接并延长，交于点．设点的运动时间为． (1)求的长（用含的代数式表示）． (2)当四边形是平行四边形时，求的值． (3)当点在线段的垂直平分线上时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平行四边形对角线平分、对边平行的性质，证明与全等，得出，再结合的长度，用减去表示出； （2）根据平行四边形对边平行且相等的性质，结合的条件，列的方程求解； （3）由垂直平分线的性质得，先通过勾股定理算出的长度，再结合的长度，用勾股定理列方程求 ． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，， ． 在和中： ， ． 由题意得， ． ， ． （2）解：， 当时，四边形是平行四边形，即， 解得． 故当四边形是平行四边形时，的值为． （3）解：如图，过点作垂直平分分别交，于点，． ，， ， ． ， ， 易得． 是的垂直平分线， ，． 由勾股定理，得， 即， （负值已舍去）． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定、垂直平分线的性质与勾股定理的应用，掌握平行四边形的边与对角线性质、全等三角形的判定方法，及垂直平分线和勾股定理的综合应用是解题的关键． 26．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，经过点C的另一条直线与x轴交于点． (1)求点B、C的坐标和直线的函数解析式； (2)在平面内是否存在点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，D的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质．分类讨论是解（2）的关键． （1）分别令、可求出点B、C的坐标；用待定系数法求出直线的函数解析式即可； （2）先求出，根据平行四边形的性质得，，然后分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得， ∴． 当时，， ∴． 设直线的函数解析式为， 把代入，得 ， ∴， ∴； （2）解：存在， ∵，，， ∴． ∵以点A、B、C、D为顶点的四边形是以为边的平行四边形， ∴，， ∴，． 27．如图，在与中，点，，，在同一条直线上，连接，，且，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质是解题的关键． （1）根据得出，则，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，进而证明四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在与中 ， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $