第02讲 整式及因式分解（复习讲义，5考点7题型3重难）（天津专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“整式与因式分解”专题，覆盖中考高频的整式运算、幂的运算、乘法公式及因式分解考点，以“考情剖析-知识导航-考点解析-题型突破-分层训练”为架构，通过真题梳理、法则归纳与典例变式，系统构建知识网络，精准突破运算难点。 亮点在于“命题点-题型-变式”三阶训练模式，如通过2025天津中考幂的运算真题（T14）强化运算能力，数式规律探索题培养抽象意识，分层练习适配不同学情。融合新课标核心素养，助力学生高效掌握考点，教师可依此把控复习节奏，提升备考实效。

第一章 数与式 第02讲 整式与因式分解 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 11 命题点一 代数式 题型01求代数式的值 命题点二 整式的运算 题型01去括号与合并同类项 题型02幂的混合运算 题型03整式的乘除运算 题型04乘法公式 题型05整式的混合运算 命题点三 因式分解 题型01选用合适的方法分解因式 05·重难突破·思维进阶 18 突破一 数式类规律探索问题 突破二 图形类规律探索问题 突破三 整式化简求值问题 06·优题精选·练能提分 26 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 整式的运算 T14 掌握合并同类项、整式加减乘除运算，能进行简单整式运算 幂的混合运算 T14 T14 掌握幂的乘方、积的乘方、同底数幂运算，能进行幂的混合运算 乘法公式 T15 T15 T15 掌握平方差、完全平方公式，能运用公式进行代数式变形 命题预测 以填空 / 选择基础题（如 T14、T15）为主，整式运算、幂的混合运算为高频考点（侧重同底数幂、乘方 / 积的乘方的运算准确性）；乘法公式（平方差、完全平方）连续 3 年考查，2025 年已结合二次根式综合命题，后续或融入分式化简；因式分解多为提公因式法 + 公式法的简单组合（极少涉及分组分解），偶与整式运算结合出现在化简求值题中。 备考建议 先通过基础题强化幂的运算、乘法公式的计算速度与准确率，再总结乘法公式的变形及跨知识点题型（公式+二次根式/分式），因式分解需熟练 “提公因式优先” 的步骤，配套练习近 5 年真题的基础题型即可。 考点一 代数式及求值 代数式 用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式. 列代数式 把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，这就是列代数式. 常用公式：路程=速度×时间，利润=售价-成本，工作量=工作效率×工作时间 总价=数量×单价，售价=标价×折扣等. 求代数式的值 1.直接代入法:把已知字母的值直接代入计算； 2.整体代入法:利用提公因式法、平方差公式完全平方公式等对所求代数式进行恒等变形，把已知代数式看成一个整体代入变形后的代数式中求值. 1．（2025河西区二模）若，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，得出条件的等价形式是解题关键． 由，得，根据对求值式子进行变形，再代入可得答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：11． 2．（2025·天津红桥·一模）若一元二次方程的两个根分别为，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据，代入数值计算，然后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025·天津市·二模）已知，，则整式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式加减的化简求值，去括号，添括号，利用整体代入的思想求解是解题的关键． 先化简再把、整体代入到所求代数式中进行求解即可． 【详解】解：原式． 故选：B． 考点二 整式的相关概念 整式 单项式 单项式的定义：由数字与字母、字母与字母的乘积组成的式子叫单项式. 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 【补充】一个单项式的次数是几次就叫做几次单项式，如中a，b的指数的和为7，则它是七次单项式. 多项式 多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式. 多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项. 多项式的次数：一个多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. 【补充】一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式. 1．（2025·南开区·模拟预测）下列说法中正确的是（    ） A．单项式的次数为4次 B．是二项式 C．关于x的代数式是三项式 D．是单项式 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的定义，单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及整式的定义，根据单项式次数和系数的定义，多项式的定义和单项式的定义逐一判断即可．表示数与字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数；整式是单项式和多项式的统称． 【详解】解：A．单项式的次数为次，故A错误； B．含有两个单项式，是二项式，故B正确； C．当时，关于x的代数式是二项式，故C错误； D．是分式，不是单项式，故D错误； 故选：B． 2．（2025·河北区·模拟预测）观察下列一组单项式：，，，，，…。按你发现的规律继续写下去，第n个单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式规律题，解决本题的关键是明确题意，发现单项式的变化特点． 分别从符号、符号后的数字、以及字母的指数三方面找规律即可． 【详解】解：根据一系列单项式，可以发现系数的符号由奇偶性决定，所以为，其后的数字为，字母为， 第个单项式为 ． 故选：B． 考点三 合并同类项和去括号法则 1.同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 2.合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 3.合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，而字母与字母的指数不变.（简称：一相加两不变） 4. 去括号法则 去括号法则：如果括号前面是“＋”号，那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号前面是“－”号，那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反； 5. 添括号法则 添括号法则：若所添括号前面是“+”号，则括到括号里的各项与原来的符号相同； 若所添括号前面是“-”号，则括到括号里的各项都要改变符号. 【总结】添（去）括号法则：括号外是“+”，添(去)括号不变号；括号外是“-”，添(去)括号都变号. 1．（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 2．（2025·天津南开·二模）计算的结果为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的加减．先去括号，再合并同类项，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（2025·东丽区·模拟）若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算，根据题意“一个多项式加上，结果是”，进行列出式子：，再去括号合并同类项即可． 【详解】解：依题意这个多项式为 ． 故答案为： 考点四 整式运算 1.整式的加减运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 2.幂的运算 法则（m，n都是整数） 示例 同底数幂的乘法 底数不变，指数相加，即 幂的乘方 底数不变，指数相乘，即 积的乘方 积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即 同底数幂的除法 底数不变，指数相减，即（a≠0） 3.整式的乘法 单项式乘单项式 单项式与单项式相乘，把它们的系数，同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 单项式乘多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即. 乘法 公式 平方差公式： 完全平方公式： 【解题技巧】完全平方公式常用的变式： ① ② ③ ④ ⑤ 5.整式的除法 单项式除以单项式 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 多项式除以单项式 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即 1．（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】60 【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：60． 2．（2024·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法，底数不变，指数相减是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（2025·天津南开·三模）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算和合并同类项，掌握同底数幂的除法运算是解题的关键．根据同底数幂的除法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 考点五 因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 2.因式分解的基本方法： 1）提公因式法： 2）公因式法： 平方差公式逆用： 完全平方公式逆用： 3.因式分解的一般步骤： 1．（2025西青区四模）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，同时考查了因式分解，注意灵活应用．把的因式分解，再代入计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．（2025天津市模拟预测）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】先提公因式，再逆用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解是解决本题的关键． 3．（2025·天津河西·一模）化简的结果等于（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的化简，分子将括号打开，再合并同类项，最后提取公因式，分母根据完全平方公式分解因式，最后约分即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 命题点一 代数式 ►题型01求代数式的值 有些题只给出代数式中几个字母之间的关系，并不直接给出各字母的值，对于这类题，一般是把所要求的代数式进行恒等变形，将其转化成用已知关系表示的形式，再代入计算. 【典例1】（2025·天津模拟预测）若，是方程的两个根，则的值为（    ） A．5 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求代数式的值，一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由一元二次方程根与系数的关系得出，，再代入计算即可得出答案． 【详解】解： ，是方程的两个根， ，， ， 故选：A． 【变式1-1】（2025·天津模拟预测）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（　　） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系得到，，然后代入求解即可． 【详解】解：根据根与系数的关系得到，， 所以． 故选：A． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程 的两根时，，． 【变式1-2】（2025·西青区·模拟预测）已知为方程的根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值， 由一元二次方程根的定义得到，进而得到，然后代入所求代数式得到，最后合并计算即可． 【详解】解：为方程的根， ， ， 即， ， ． 故答案为：． 命题点二 整式的运算 ►题型01 去括号与合并同类项 添（去）括号法则：括号外是“+”，添(去)括号不变号；括号外是“-”，添(去)括号都变号. 1）系数相加(减)，所得的结果作为系数，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)； 2）若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0； 3）合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项，而且合并同类项结果可能是单项式，也可能是多项式. 【典例2】（2025天津模拟预测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算、合并同类项．根据相关运算法则逐项求解判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意， 故选：C． 【变式2-1】（2025·天津南开·三模）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，利用单项式乘以多项式法则，去括号法则，合并同类项法则计算即可． 【详解】解∶原式， 故答案为∶． 【变式2-2】（2025·天津河西·一模）计算的结果等于 ． 【答案】 【分析】根据合并同类项的方法即可求解 【详解】原式 【点睛】此题主要考查合并同类项，解题的关键是熟知整式的加减运算法则． 【变式2-3】（2025·天津市·模拟预测）如果代数式为单项式，则p的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查单项式的概念，将代数式化为，根据单项式的概念即可得到答案． 【详解】解：， 要使其为单项式，则只可能为， 故， 故答案为：5． ►题型02 幂的混合运算 在幂的混合运算中，先算积的乘方，再算幂的乘方、同底数幂的乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的. 【典例3】（2025·天津·模拟预测）计算的结果等于 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了积的乘方和幂的乘方．根据积的乘方和幂的乘方进行运算即可． 【详解】解：． 故答案为： 【变式3-1】（2025·天津·一模）小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项，科学记数法，积的乘方，负整数指数幂，掌握相关的运算法则是解题的关键． 分别根据合并同类项，科学记数法，积的乘方，负整数指数幂逐项判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项的计算错误； B、，故本选项的计算错误； C、，故本选项的计算错误； D、，故本选项的计算正确． 故选：D 【变式3-2】（2025·天津和平·三模）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，根据同底数幂的除法法则，进行计算即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3-3】（2025·南开区·模拟预测）下列计算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算，包括同底数幂相乘、相除，幂的乘方以及合并同类项．需逐一计算各选项，判断结果是否为即可． 【详解】A、根据同底数幂相乘法则，指数相加：，故A不符合题意； B、根据同底数幂相除法则，指数相减：，故B不符合题意； C、合并同类项，系数相加：，故C不符合题意； D、根据幂的乘方法则，指数相乘：，故D符合题意； 故选：D． ►题型03 整式的乘除运算 1）计算过程要注意符号；2）最后有同类项时，必须合并，从而得到最简结果. 【典例4】（2025·天津和平·二模）计算的结果为 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，根据运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式4-1】（2025·天津红桥·二模）计算的结果等于 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的运算法则计算即可，掌握单项式除以单项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式4-2】（2025·天津红桥·二模）计算的结果等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法运算，根据完全平方公式以及单项式乘以多项式进行计算，然后合并同类项，即可求解． 【详解】解： 【变式4-3】（2025·河北区·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的乘法运算，涉及多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，巧用平方差公式和完全平方公式进行计算是解题的关键． 根据运算法则和完全平方公式、平方差公式逐项判断即可． 【详解】解：A、，故错误； B、，故正确； C、，故错误； D、，故错误； 故选：B． ►题型04 乘法公式 应用乘法公式进行计算首先要掌握好乘法公式，熟悉公式特征，同时注意灵活运用公式，既能正用，又能逆用，而且还能结合整体思想以及乘法运算律对算式进行适当的变形或重组，综合应用公式 【典例5】（2025·天津南开·三模）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的运算，掌握知识点是解题的关键． 根据完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】解：． 故答案为． 【变式5-1】（2025·天津河西·一模）计算的结果为 ． 【答案】23 【分析】本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键．运用平方差公式计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：23． 【变式5-2】（2025和平区模拟）已知是完全平方式，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据，计算求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式．解题的关键在于熟练掌握：． ►题型05 整式的混合运算 在进行每一种运算时，都要弄清它的运算法则，不要混淆整式加减法、整式乘除法法则与幂的各种运算性质，同时要注意运算顺序，适当运用乘法公式简化运算，计算过程或结果中若有同类项，要及时合并同类项. 【典例6】（2025·北辰区·一模）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简，熟练掌握运算法则是解题关键 先根据完全平方公式去括号，再计算加减即可 【详解】解： 故答案为： 【变式6-1】（2025·津南区·一模）定义新运算：，则的运算结果是 ． 【答案】 【分析】此题考查了整式混合运算新定义问题的解决能力，关键是能准确理解并运用运算定义进行代入、求解．运用计算定义进行代入、求解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【变式6-2】（2025·红桥区·模拟预测）如果，那么 ． 【答案】2 【分析】该题主要考查了整式化简求值以及解一元二次方程，解题的关键是掌握以上知识点． 化简得出为，再解即可； 【详解】解： ， ， ， 或， （舍）或， 故答案为：2． 【变式6-3】（2025天津市模拟预测）若正方形边长由减小到，则面积减小了 （用含的式子表示）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，掌握正方形的面积计算公式是解决问题的关键． 依据正方形的面积计算公式，即可得到两个正方形的面积，进而得出面积减少的量． 【详解】解：∵正方形边长由减小到， ． ∴面积减小了． 故答案为：． 命题点三 因式分解 ►题型01 选用合适的方法分解因式 方法一 提公因式法分解因式 1）提取公因式后，括号内的各项是用这个多项式的各项除以公因式得到的商，特别注意不要漏项 2）公因式要提“全”、提“净”，使系数不含公约数，字母不含公因式. 3）当多项式的首项系数为负数时，要把“-”提出来，使括号内的首项系数变为正数. 方法二 公式法分解因式 1）要熟练掌握公式的结构特征并牢记这些公式. 2）看项数选公式：“二项”考虑平方差公式，“三项”考虑完全平方公式， 3）在运用公式前要先判断一个多项式是否符合公式的特点. 若符合，则把多项式写成公式的结构，再去套公式，否则不能套公式. 【典例7】（2025天津市模拟预测）已知，则的值为 ． 【答案】1 【分析】先用平方差公式进行变形，代入之后再进行整理，再次代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：1． 【点睛】本题考查了因式分解的应用和代数式求值，利用整体代入的思想是解题的关键． 【变式7-1】（2025·天津河西·三模）把多项式分解因式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法或公式法求因式分解，掌握提公因式或公式法分解因式是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为： ． 【变式7-2】（2025天津市模拟预测）因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 利用平方差公式因式分解． 【详解】解：． 故答案为：． 突破一 数式类规律探索问题 1．（2025天津市模拟）一列单项式按以下规律排列：x，，，，，，，…，则第2024个单项式是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的单项式总结出存在的规律．分析所给的单项式可得到第n个单项式为：，即可求第2024个单项式． 【详解】解：∵， ， ， ， …， ∴第n个单项式为：， ∴第2024个单项式为：． 故选：C． 2．（2025天津模拟预测）古希腊数学家毕达哥拉斯发现：数量为的圆点，可以排成三角形，如图所示，我们把这样的数称为“三角形数”．根据图中点的数量规律，第n个“三角形数”可表示为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律问题，根据数列得出第n个数为是解题的关键． 【详解】解：根据所给的数据发现：第1个三角形数是1， 第2个三角形数是， 第3个三角形数是，…， 第n个三角形数， ∴第n个三角形数为． 故答案为：． 3．（2025天津模拟预测）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如表所示，它揭示了为非负整数展开式的各项系数的规律． 有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③当代数式的值是时，有理数的值是；④如果今天是星期一，那么天后是星期二．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查了“杨辉三角”与展开式的规律的应用，熟练掌握“杨辉三角”的规律是解题的关键． 依次对每个结论进行分析判断，利用“杨辉三角”揭示的展开式的规律，结合相关数学知识进行推理． 【详解】解：展开式有项，令，，则系数和为，故结论①错误． ，故结论②正确． ，当时，，解得或，故结论③错误． ，根据二项式定理展开，除最后一项外，其余项都含有因数，所以除以的余数为，今天是星期一，天后是星期日，故结论④错误． 故选：A． 4．（2024河北区模拟）有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下： 则第n次的运算结果是 (用含字母x和n的代数式表示)． 【答案】 【分析】此题考查了分式的规律题，根据分式的除法法则逐项计算，得到规律即可． 【详解】解：根据题意得； ； ； …… 根据以上规律可得：． 5．（2024·天津·模拟预测）当n为正整数时，定义阶乘运算，例如 (1)证明 (2)化简 (3)若用[x]表示不超过x的最大整数，如，，记，求 【答案】(1)见解析 (2) (3)1 【分析】本题考查对新定义阶乘的理解，归纳法的运用，裂项法的运用； （1）按照阶乘的定义展开等式的左右两边，即可发现左右两边是完全一样的算式； （2）运用归纳法从算式中归纳出规律从而得出结果； （3）这种分数形式的加法首先考虑裂项相消的方法，由题意得，然后将原式扩大得到，然后即可裂项相消，得出，所以. 【详解】（1）证明：∵ ∴ （2）解：∵， ， ， ， ∴， ， ， ， ……， 以此类推可知，， ∴. 故答案为：. （3）解：∵ ∴ ∵ ∵ ∴ 综上所述 ∴. 故答案为：1. 突破二 图形类规律探索问题 1．（2025·河南郑州·三模）烷烃是一类由碳、氢元素组成 的有机化合物，如图是这类化合物中前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种化合物的分子结构模型中有4个氢原子，第2种化合物的分子结构模型中有6个氢原子，第3种化合物的分子结构模型中有8个氢原子……按照这一规律，这类化合物中某种化合物的分子结构模型中碳原子和氢原子的个数之和不可能是（   ） A．101 B．251 C．300 D．380 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化类—规律型，根据图形总结出第种化合物的分子结构模型中氢原子和碳原子个数和为， 从根据所给图形发现氢原子的个数依次增加个是解题的关键． 根据所给图形，依次求出模型中氢原子和碳原子的个数，总结规律即可解决问题． 【详解】解：第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：，碳原子个数为1， 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：，碳原子个数为2， 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：，碳原子个数为3， 第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：，碳原子个数为4， ， 第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：，碳原子个数为n， ∴第种化合物的分子结构模型中氢原子和碳原子个数和为， 由得， 由得， 由得， 由得， 故选C ． 2．（2025·山西临汾·二模）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼出下列图案，其中第1个图案用了11根木棍，第2个图案用了14根木棍，第3个图案用了21根木棍，第4个图案用了24根木棍……按此规律拼下去，第11个图案用的木棍根数是 ． 【答案】61 【分析】此题考查了图形类规律的探究．根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案． 【详解】解：第1个图案用了根木棍， 第2个图案用了根木棍， 第3个图案用了根木棍， 第4个图案用了根木棍， 第5个图案用了根木棍， 第6个图案用了根木棍， ……， 第个图案用了， 第个图案用了， 当时，解得， ∴第11个图案用的木棍根数是根， 故答案为：61． 3．（2024·天津·模拟预测）如图， 图1 中有1 个正三角形， 图2 中有4个正三角形， 图3中有7个正三角形，依次规律， 图n中有 个正三角形 【答案】 【分析】本题主要考查了图形类规律的探索，解题的关键是抽象归纳出图形的规律． 根据图形的变化归纳出图形个数代数式即可． 【详解】解：图1 中有1 个正三角形， 图2 中有个正三角形， 图3中有个正三角形， …… 则图中正三角形的个数为， 故答案为：． 4．（2025·陕西·模拟预测）苯是一种有机化合物，是结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物．如图为小轩用小棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第个图形用了根小棒，第个图形用了根小棒，第个图形用了根小棒，，按照此规律，第个图形要用 根小棒．    【答案】 【分析】本题考查了图形类的规律变化问题，由已知图形可得第个图形用了根小棒，进而即可求解，由已知图形找到规律是解题的关键． 【详解】解：∵第个图形用了根小棒， 第个图形用了根小棒， 第个图形用了根小棒， ， ∴第个图形用了根小棒， 当时，， ∴第个图形要用根小棒， 故答案为：． 突破三 整式的化简求值 1．（2025·和平区·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值．先用平方差公式和完全平方公式、单项式乘以多项式化简．再合并同类项，最后代入求值即可. 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 2．（2025·南开区·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先利用完全平方公式和平方差公式化简整式得，再将，代入计算即可． 【详解】解：原式， 当，时，原式． 3．（2025·天津市·模拟预测）先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】， 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，绝对值的非负性．利用完全平方公式和平方差公式进行化简可得化简结果，根据绝对值的非负性和平方的非负性求解的值，然后代入求解即可． 【详解】解： ∵，即， ∴，， 解得，， 将，，代入原式． 1．（2025·天津红桥·二模）若一元二次方程的两个根分别为，，则的值为（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查根与系数的关系，掌握二元一次方程中，两根、有如下关系：成为解题的关键． 由根与系数的关系可得，将展开为，最后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为，， ∴， ∴． 故选A． 2．（2025天津模拟预测）计算： ； 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，先进行同底数幂的乘法运算，再化简结果，即可求解；掌握是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 3．（2025·天津河西·一模）计算的结果为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，熟练掌握积的乘方运算法则，是解题的关键．根据积的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 4．（2025·天津红桥·三模）计算的结果等于 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．利用平方差公式，进行计算即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 5．（2025天津模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，将式子变形为，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 6．（2025滨海新区一模）计算： ． 【答案】 【分析】根据，，进行运算，即可． 【详解】 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查幂的有关计算，解题的关键是掌握同底数幂的除法和同底数幂的乘法运算法则． 7．（2025·天津·模拟预测）定义一种新运算：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义下的运算，完全平方公式，解题的关键是理解新定义运算．根据新定义运算法则和完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 8．（2025·湖南张家界·三模）若，互为相反数，，互为倒数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数和相反数的性质，零指数幂，求代数式的值．先根据相反数，倒数的定义求出，，再代入原式，根据任何不等于零的数的次幂都等于，即可得到结果． 【详解】解：∵，互为相反数，，互为倒数， ∴，， 故． 故答案为：． 1．（2025·天津·模拟预测）“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”．比如化学中，醇类物质的分子中碳原子和氢原子的数目满足一定的数学规律，甲醇中碳原子的数目为，化学式为；乙醇中碳原子的数目为，化学式为；丙醇中碳原子的数目为，化学式为，按照此规律，碳原子的数目为的醇的化学式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字变化的规律，能根据所给化学式发现和个数之间的关系是解题的关键．根据所给化学式，发现碳原子和氢原子的数目规律为：氢原子的数目（碳原子的数目），由此计算即可得出结果． 【详解】解：甲醇中碳原子的数目为，化学式为，其氢原子的数目为； 乙醇中碳原子的数目为，化学式为，其氢原子的数目为； 丙醇中碳原子的数目为，化学式为，其氢原子的数目为； ， 按照此规律，醇中碳原子的数目为，其氢原子的数目为，化学式为， 碳原子的数目为的醇的化学式为． 故答案为：． 2．（2025·天津·模拟预测）大衍数列：，…，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，对于按一定规律排列的数：，…，依此规律排列，则大衍数列的第11个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字规律，乘方的运算，理解材料的计算方法，找出规律是关键，根据材料提示的计算方法，设为序号（的正整数），即第个数，其计算规律为：当序号是奇数时，第个数为，当序号是偶数时，第个数为，第11个数为奇数，由此代入计算即可求解． 【详解】解：设为序号（的正整数），即第个数， ∴，即第1个数，序号为奇数，对应的数字为：， ，即第2个数，序号为偶数，对应的数字为：， ，即第3个数，序号为奇数，对应的数字为：， ，即第4个数，序号为偶数，对应的数字为：， ，即第5个数，序号为奇数，对应的数字为：， ， 当，即第11个数，序号为奇数，对应的数字为：， 故答案为：． 3．（2025·天津·模拟预测）分别观察如图四组图形，在每个图形的下方，都有一个等式，其中图形与等式之间的对应关系表达相符的有 （填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，完全平方公式，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键．分别用两种方法表示图形面积，用大长方形的面积等于几个小的长方形或正方形的面积和，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：图①，整体长方形的长为，宽为，因此面积为， 整体长方形由三个长方形构成的，这三个长方形的面积和为、、， 所以有：， 因此图①符合题意； 图②，整体长方形的长为，宽为，因此面积为， 整体长方形由四个长方形构成的，这四个长方形的面积和为， 所以有：， 因此图②符合题意； 图③，整体正方形的边长为，因此面积为， 整体正方形由四个部分构成的，这四个部分的面积和为， 所以有：， 因此图③符合题意； 图④，整体正方形的边长为，因此面积为， 整体正方形由四个部分构成的，其中较大的正方形的边长为，因此面积为，较小正方形的边长为，因此面积为， 另外两个长方形的长为，宽为，则面积为， 所以有， 即， 因此图④符合题意； 四个表示都是相符合的， 故答案为：①②③④． 4．（2025·和平区·一模）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式与完全平方公式．熟练掌握平方差公式与完全平方公式是解题的关键． 先利用平方差公式求出的值，再根据完全平方公式求出的值即可． 【详解】解：设， 则 ， 则， ， ， 则， ， ， ． 故答案为：． 1．（2025·黑龙江·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的运算，包括幂的乘方、合并同类项、积的乘方和平方差公式．根据同底数幂乘法、合并同类项，单项式的乘法运算，积的乘方，平方差公式逐一计算各选项的正确性即可． 【详解】A．，故选项A计算错误，不合题意； B．与是不同类项，无法合并为，故选项B计算错误，不合题意； C．，选项运算正确，符合题意； D．，故选项D计算错误，不合题意； 故选C． 2．（2025·青海·中考真题）下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程．按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是 ． 【答案】或243（两个答案均可得分） 【分析】本题考查了图形的变化类问题，找到图形的变化规律，即可得出答案． 【详解】解：∵第1个图案中有个， 第2个图案中有个， 第3个图案中有个， 第4个图案中有个， …， 按此规律，第⑥个图案中有个涂有阴影的三角形． 故答案为：或243． 3．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为 【答案】 【分析】本题考查了整式规律探究，根据展开，即可求解． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 4．（2025·甘肃·中考真题）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有 个正方形． 【答案】31 【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，第一个图形有1个正方形，第2个图形有个正方形，第3个图形有个正方形，依次类推求出第5个图形中小正方形的个数即可． 【详解】解：由图可知：第一个图形有1个正方形， 第2个图形有个正方形， 第3个图形有个正方形， ∴第5个图形中共有个正方形， 故答案为：31． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第02讲 整式与因式分解 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 8 命题点一 代数式 题型01求代数式的值 命题点二 整式的运算 题型01去括号与合并同类项 题型02幂的混合运算 题型03整式的乘除运算 题型04乘法公式 题型05整式的混合运算 命题点三 因式分解 题型01选用合适的方法分解因式 05·重难突破·思维进阶 10 突破一 数式类规律探索问题 突破二 图形类规律探索问题 突破三 整式化简求值问题 06·优题精选·练能提分 13 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 整式的运算 T14 掌握合并同类项、整式加减乘除运算，能进行简单整式运算 幂的混合运算 T14 T14 掌握幂的乘方、积的乘方、同底数幂运算，能进行幂的混合运算 乘法公式 T15 T15 T15 掌握平方差、完全平方公式，能运用公式进行代数式变形 命题预测 以填空 / 选择基础题（如 T14、T15）为主，整式运算、幂的混合运算为高频考点（侧重同底数幂、乘方 / 积的乘方的运算准确性）；乘法公式（平方差、完全平方）连续 3 年考查，2025 年已结合二次根式综合命题，后续或融入分式化简；因式分解多为提公因式法 + 公式法的简单组合（极少涉及分组分解），偶与整式运算结合出现在化简求值题中。 备考建议 先通过基础题强化幂的运算、乘法公式的计算速度与准确率，再总结乘法公式的变形及跨知识点题型（公式+二次根式/分式），因式分解需熟练 “提公因式优先” 的步骤，配套练习近 5 年真题的基础题型即可。 考点一 代数式及求值 代数式 用基本的__________把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.单独的一个__________或一个__________也是代数式. 列代数式 把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，这就是列代数式. 常用公式：路程=速度×__________，利润=__________-成本，工作量=__________×工作时间 总价=数量×__________，售价=标价×__________等. 求代数式的值 1.直接代入法:把已知字母的值直接代入计算； 2.整体代入法:利用提公因式法、平方差公式完全平方公式等对所求代数式进行恒等变形，把已知代数式看成一个整体代入变形后的代数式中求值. 1．（2025河西区二模）若，则 ． 2．（2025·天津红桥·一模）若一元二次方程的两个根分别为，，则的值为 ． 3．（2025·天津市·二模）已知，，则整式的值为（    ） A． B． C． D． 考点二 整式的相关概念 整式 单项式 单项式的定义：由数字与字母、字母与字母的__________组成的式子叫单项式. 单项式的系数：单项式中的__________叫做单项式的系数. 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的__________叫做这个单项式的次数. 【补充】一个单项式的次数是几次就叫做几次单项式，如中a，b的指数的和为__________，则它是__________次单项式. 多项式 多项式的定义：几个单项式的__________叫做多项式. 多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含__________的项叫做常数项. 多项式的次数：一个多项式中__________的项的次数，叫做这个多项式的次数. 【补充】一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是__________次__________项式. 1．（2025·南开区·模拟预测）下列说法中正确的是（    ） A．单项式的次数为4次 B．是二项式 C．关于x的代数式是三项式 D．是单项式 2．（2025·河北区·模拟预测）观察下列一组单项式：，，，，，…。按你发现的规律继续写下去，第n个单项式是（　　） A． B． C． D． 考点三 合并同类项和去括号法则 1.同类项的概念：所含__________相同，并且相同字母的_________也相同的项叫做同类项. 2.合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 3.合并同类项法则：同类项的系数__________，所得的结果作为__________，而字母与字母的__________不变.（简称：一相加两不变） 4. 去括号法则 去括号法则：如果括号前面是“＋”号，那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号__________； 如果括号前面是“－”号，那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号__________； 5. 添括号法则 添括号法则：若所添括号前面是“+”号，则括到括号里的各项与原来的符号__________； 若所添括号前面是“-”号，则括到括号里的各项都要__________. 【总结】添（去）括号法则：括号外是“+”，添(去)括号__________；括号外是“-”，添(去)括号都__________. 1．（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 2．（2025·天津南开·二模）计算的结果为 ． 3．（2025·东丽区·模拟）若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ． 考点四 整式运算 1.整式的加减运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 2.幂的运算 法则（m，n都是整数） 示例 同底数幂的乘法 底数不变，指数相加，即 幂的乘方 底数不变，指数相乘，即 积的乘方 积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即 同底数幂的除法 底数不变，指数相减，即（a≠0） 3.整式的乘法 单项式乘单项式 单项式与单项式相乘，把它们的系数，同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 单项式乘多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即. 乘法 公式 平方差公式： 完全平方公式： 【解题技巧】完全平方公式常用的变式： ① ② ③ ④ ⑤ 5.整式的除法 单项式除以单项式 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 多项式除以单项式 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即 1．（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 2．（2024·天津·中考真题）计算的结果为 ． 3．（2025·天津南开·三模）计算的结果为 ． 考点五 因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 2.因式分解的基本方法： 1）提公因式法： 2）公因式法： 平方差公式逆用： 完全平方公式逆用： 3.因式分解的一般步骤： 1．（2025西青区四模）已知，则 ． 2．（2025天津市模拟预测）在实数范围内分解因式： ． 3．（2025·天津河西·一模）化简的结果等于（   ） A．3 B． C． D． 命题点一 代数式 ►题型01求代数式的值 有些题只给出代数式中几个字母之间的关系，并不直接给出各字母的值，对于这类题，一般是把所要求的代数式进行恒等变形，将其转化成用已知关系表示的形式，再代入计算. 【典例1】（2025·天津模拟预测）若，是方程的两个根，则的值为（    ） A．5 B． C．3 D． 【变式1-1】（2025·天津模拟预测）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（　　） A． B．4 C． D． 【变式1-2】（2025·西青区·模拟预测）已知为方程的根，则的值为 ． 命题点二 整式的运算 ►题型01 去括号与合并同类项 添/去括号法则：括号外是“+”，添(去)括号不变号；括号外是“-”，添(去)括号都变号. 1）系数相加(减)，所得的结果作为系数，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)； 2）若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0； 3）合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项，而且合并同类项结果可能是单项式，也可能是多项式. 【典例2】（2025天津模拟预测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·天津南开·三模）计算的结果为 ． 【变式2-2】（2025·天津河西·一模）计算的结果等于 ． 【变式2-3】（2025·天津市·模拟预测）如果代数式为单项式，则p的值为 ． ►题型02 幂的混合运算 在幂的混合运算中，先算积的乘方，再算幂的乘方、同底数幂的乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的. 【典例3】（2025·天津·模拟预测）计算的结果等于 ． 【变式3-1】（2025·天津·一模）小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·天津和平·三模）计算的结果为 ． 【变式3-3】（2025·南开区·模拟预测）下列计算结果为的是（   ） A． B． C． D． ►题型03 整式的乘除运算 1）计算过程要注意符号；2）最后有同类项时，必须合并，从而得到最简结果. 【典例4】（2025·天津和平·二模）计算的结果为 【变式4-1】（2025·天津红桥·二模）计算的结果等于 ． 【变式4-2】（2025·天津红桥·二模）计算的结果等于 ． 【变式4-3】（2025·河北区·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． ►题型04 乘法公式 应用乘法公式进行计算首先要掌握好乘法公式，熟悉公式特征，同时注意灵活运用公式，既能正用，又能逆用，而且还能结合整体思想以及乘法运算律对算式进行适当的变形或重组，综合应用公式 【典例5】（2025·天津南开·三模）计算的结果为 ． 【变式5-1】（2025·天津河西·一模）计算的结果为 ． 【变式5-2】（2025和平区模拟）已知是完全平方式，则的值是 ． ►题型05 整式的混合运算 在进行每一种运算时，都要弄清它的运算法则，不要混淆整式加减法、整式乘除法法则与幂的各种运算性质，同时要注意运算顺序，适当运用乘法公式简化运算，计算过程或结果中若有同类项，要及时合并同类项. 【典例6】（2025·北辰区·一模）化简： ． 【变式6-1】（2025·津南区·一模）定义新运算：，则的运算结果是 ． 【变式6-2】（2025·红桥区·模拟预测）如果，那么 ． 【变式6-3】（2025天津市模拟预测）若正方形边长由减小到，则面积减小了 （用含的式子表示）． 命题点三 因式分解 ►题型01 选用合适的方法分解因式 方法一 提公因式法分解因式 1）提取公因式后，括号内的各项是用这个多项式的各项除以公因式得到的商，特别注意不要漏项 2）公因式要提“全”、提“净”，使系数不含公约数，字母不含公因式. 3）当多项式的首项系数为负数时，要把“-”提出来，使括号内的首项系数变为正数. 方法二 公式法分解因式 1）要熟练掌握公式的结构特征并牢记这些公式. 2）看项数选公式：“二项”考虑平方差公式，“三项”考虑完全平方公式， 3）在运用公式前要先判断一个多项式是否符合公式的特点. 若符合，则把多项式写成公式的结构，再去套公式，否则不能套公式. 【典例7】（2025天津市模拟预测）已知，则的值为 ． 【变式7-1】（2025·天津河西·三模）把多项式分解因式的结果是 ． 【变式7-2】（2025天津市模拟预测）因式分解： ． 突破一 数式类规律探索问题 1．（2025天津市模拟）一列单项式按以下规律排列：x，，，，，，，…，则第2024个单项式是( ) A． B． C． D． 2．（2025天津模拟预测）古希腊数学家毕达哥拉斯发现：数量为的圆点，可以排成三角形，如图所示，我们把这样的数称为“三角形数”．根据图中点的数量规律，第n个“三角形数”可表示为 ．    3．（2025天津模拟预测）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如表所示，它揭示了为非负整数展开式的各项系数的规律． 有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③当代数式的值是时，有理数的值是；④如果今天是星期一，那么天后是星期二．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（2024河北区模拟）有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下： 则第n次的运算结果是 (用含字母x和n的代数式表示)． 5．（2024·天津·模拟预测）当n为正整数时，定义阶乘运算，例如 (1)证明 (2)化简 (3)若用[x]表示不超过x的最大整数，如，，记，求 突破二 图形类规律探索问题 1．（2025·河南郑州·三模）烷烃是一类由碳、氢元素组成 的有机化合物，如图是这类化合物中前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种化合物的分子结构模型中有4个氢原子，第2种化合物的分子结构模型中有6个氢原子，第3种化合物的分子结构模型中有8个氢原子……按照这一规律，这类化合物中某种化合物的分子结构模型中碳原子和氢原子的个数之和不可能是（   ） A．101 B．251 C．300 D．380 2．（2025·山西临汾·二模）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼出下列图案，其中第1个图案用了11根木棍，第2个图案用了14根木棍，第3个图案用了21根木棍，第4个图案用了24根木棍……按此规律拼下去，第11个图案用的木棍根数是 ． 3．（2024·天津·模拟预测）如图， 图1 中有1 个正三角形， 图2 中有4个正三角形， 图3中有7个正三角形，依次规律， 图n中有 个正三角形 4．（2025·陕西·模拟预测）苯是一种有机化合物，是结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物．如图为小轩用小棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第个图形用了根小棒，第个图形用了根小棒，第个图形用了根小棒，，按照此规律，第个图形要用 根小棒．    突破三 整式的化简求值 1．（2025·和平区·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 2．（2025·南开区·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 3．（2025·天津市·模拟预测）先化简，再求值：，其中x，y满足． 1．（2025·天津红桥·二模）若一元二次方程的两个根分别为，，则的值为（   ） A． B． C．3 D．5 2．（2025天津模拟预测）计算： ； 3．（2025·天津河西·一模）计算的结果为 ． 4．（2025·天津红桥·三模）计算的结果等于 ． 5．（2025天津模拟预测）计算： ． 6．（2025滨海新区一模）计算： ． 7．（2025·天津·模拟预测）定义一种新运算：，则 ． 8．（2025·湖南张家界·三模）若，互为相反数，，互为倒数，则 ． 1．（2025·天津·模拟预测）“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”．比如化学中，醇类物质的分子中碳原子和氢原子的数目满足一定的数学规律，甲醇中碳原子的数目为，化学式为；乙醇中碳原子的数目为，化学式为；丙醇中碳原子的数目为，化学式为，按照此规律，碳原子的数目为的醇的化学式是 ． 2．（2025·天津·模拟预测）大衍数列：，…，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，对于按一定规律排列的数：，…，依此规律排列，则大衍数列的第11个数是 ． 3．（2025·天津·模拟预测）分别观察如图四组图形，在每个图形的下方，都有一个等式，其中图形与等式之间的对应关系表达相符的有 （填序号）． 4．（2025·和平区·一模）已知，，则 ． 1．（2025·黑龙江·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·青海·中考真题）下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程．按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是 ． 3．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】已知，则m的值为 4．（2025·甘肃·中考真题）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有 个正方形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $