精品解析：陕西省西安市莲湖区2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷

九年级数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 如图，工程师为了保证桥梁稳固，悬索结构设计成抛物线型．下列函数图像是抛物线的是（ ） A. 正比例函数 B. 一次函数 C. 反比例函数 D. 二次函数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵工程师为了保证桥梁稳固，悬索结构设计成抛物线型， ∴函数图像是抛物线的是二次函数， 故选：． 2. 如图，这是领奖台从正面看到的示意图，则此领奖台的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据从上面看到的图形是俯视图解答即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：这个几何体的俯视图为， 故选：． 3. 下列关于正方形对角线的结论中，错误的是（ ） A. 两条对角线互相平分 B. 两条对角线相等 C. 两条对角线互相垂直 D. 正方形面积等于对角线长的平方 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，根据正方形的性质，勾股定理逐一排除即可，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：、正方形的两条对角线互相平分，该选项正确，不符合题意； 、正方形的两条对角线相等，该选项正确，不符合题意； 、两条对角线互相垂直，该选项正确，不符合题意； 、设正方形边长为，对角线 ， ∴， ∴， ∴面积，即正方形面积等于对角线长平方的一半，该选项错误，符合题意； 故选：． 4. 如图，是河堤横断面的迎水坡，堤高，斜坡，则斜坡的坡度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，勾股定理，因为，所以，由勾股定理得，然后通过坡度概念即可求解，掌握坡度的概念是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴斜坡的坡度为， 故选：． 5. 某鱼塘里混养了180条鲤鱼、若干条草鱼和120条鲫鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验，发现捕捞到草鱼的频率稳定在0.4左右．若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲫鱼的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了频率、用频率估计概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据捕捞到草鱼的频率稳定在，可设草鱼数量为条，利用概率公式列出方程求解，再计算总鱼数，最后求捞到鲫鱼的概率． 【详解】解：设草鱼数量为条， 则总鱼数为：条， ∵ 捕捞到草鱼的频率为， ∴ ， 解得， ∴总鱼数为条， 则捞到鲫鱼的概率为． 故选：C． 6. 小明利用二次函数的图象估计方程x2－2x－2＝0的近似解，如表是小明探究过程中的一些计算数据．根据表中数据可知，方程x2－2x－2＝0必有一个实数根在( ) x 1.5 2 2.5 3 3.5 x2－2x－2 －2.75 －2 －0.75 1 3.25 A. 1.5和2之间 B. 2和2.5之间 C. 2.5和3之间 D. 3和3.5之间 【答案】C 【解析】 【详解】由表格得：2.5＜x＜3时，-0.75＜y＜1，二次函数y= x2－2x－2与x轴必有一个交点在2.5到3之间，所以x2－2x－2＝0必有一个实数根在2.5到3之间. 故选C. 点睛：要判断一元二次方程的实数根落在哪个范围内，即要判断二次函数与x轴的交点落在哪个范围，先判断出y=0落在哪两个y值之间，那么与x轴的交点落在两个y值对应的x值之间，即可确定出方程的实数根在哪两个数之间. 7. 如图，在菱形中，，对角线、相交于点，是对角线上的一动点，且于点，于点．由以下结论：①为等边三角形；②；③；④．其中正确的有（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．利用菱形的性质和等边三角形的判定可判断①；根据含30度角的直角三角形的性质、勾股定理可判断②④；根据三角形的内角和定理可判断③，进而可得结论． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴为等边三角形，，则， 故①②正确； ∵，， ∴， ∴，，， ∴，， 故③④正确， 综上，正确的有4个， 故选：D． 8. 已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且-2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为　　 A. 1或 B. -或 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由-2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x=1时，y=9，即可求出a． 【详解】∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量）， ∴对称轴是直线x=-=-1， ∵当x≥2时，y随x的增大而增大， ∴a＞0， ∵-2≤x≤1时，y的最大值为9， ∴x=1时，y=a+2a+3a2+3=9， ∴3a2+3a-6=0， ∴a=1，或a=-2（不合题意舍去）． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-，），对称轴直线x=-，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-时，y随x的增大而减小；x＞-时，y随x的增大而增大；x=-时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-时，y随x的增大而增大；x＞-时，y随x的增大而减小；x=-时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 9. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 将已知方程 变形为 ，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 即 ， 解得 ． 故答案为： ． 10. 若关于的一元二次方程有一个根为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和方程的根的应用，熟练掌握一元二次方程二次项系数不为且方程的根满足方程是解题的关键．将已知根代入方程求出的可能值，再根据一元二次方程的定义排除不符合的取值． 【详解】解：将代入方程，得 ， ， ， 解得或． 因为方程是一元二次方程， 所以二次项系数，即． 故答案为：． 11. 如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若，则的面积是__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意可得，再求出其相似比，最后利用相似三角形面积比与相似比的关系求出面积． 【详解】解：∵，， ∴， ∴与相似比是， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为：， 故答案为：． 12. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则的正切值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】连接AB，由勾股定理求得AB、AO、BO的长，判断△ABO是等腰直角三角形，即可求得答案． 【详解】解：连接AB， 由勾股定理得：AB＝，AO＝，OB＝， ∴AB＝AO，， ∴△ABO是以OB为斜边的等腰直角三角形， ∴， 故答案为：1． 【点睛】此题考查了勾股定理在网格中的应用、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 13. 已知反比例函数y＝的图象过点A（a-1，y1），B（a+1，），若＞，则a的取值范围为__________ 【答案】 【解析】 【分析】先判断比例系数的正负，再根据反比例的性质，确定a的不等式，并解不等式便可． 【详解】解：∵y＝中，k=1＞0， ∴在同一分支上，反比例函数y随x的增大而减小， ∵a-1＜a+1，＞， ∴点A，B不可能在同一分支上，只能为位于不同的两支上． ∴a-1＜0，且a+1＞0， ∴-1＜a＜1， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，关键是根据反比例函数的性质列出a的不等式． 14. 如图，在矩形中，，，，分别是 ，上的两个动点，，沿折叠形成，连接，，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，作点关于 的对称点，连接，由于四边形是矩形，所以，，，则，，在中，，从而得，故当共线时，的值最小，最小值，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作点关于 的对称点，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∵是定值， ∴ 当共线时，的值最小，最小值， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共12个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案． 【详解】解：原式 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 16. 解方程：． 【答案】 或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握其解法是解题的关键． 根据公式法解题即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴， ∴或． 17. 已知，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的基本性质，利用设k法是解题的关键． 由，得到，设  ，则，，然后代入求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 设  ，则，， ． 18. 如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】过点A作AD⊥BC于D，利用等角的余角相等可得到∠BAD=∠C，则可判断△ABD与△CAD相似． 【详解】如图，过点A作AD⊥BC于D，AD为所作． 【点睛】本题考查了作图-相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由一个图形放大或缩小得到，解决本题的关键是利用有一组锐角相等的两直角三角形相似进行作图． 19. 已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，，且．求证：矩形ABCD是正方形． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在△ABF和△DAE中， ∴， ∴， ∴矩形ABCD是正方形． 【解析】 【分析】先根据矩形的性质及余角证明，再利用AAS证明，推出，即可证明矩形ABCD是正方形． 【详解】略 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定等知识点，本题中证明是解题的关键． 20. 化学实验课上，邱老师带来了四个常考的实验，让同学们随机选择一个实验来制取氧气． A．高锰酸钾制取氧气： B．碳酸钙制取二氧化碳： C．电解水： D．一氧化碳还原氧化铜： （1）若小红从四个实验中任意选一个实验，则选到实验A．高锰酸钾制取氧气的概率为___________； （2）小红先从这四个实验中随机选一个实验，小明再从剩下的三个实验中随机选一个，利用列表或画树状图的方法求两个实验均能制取氧气的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率： （1）直接由概率公式求解即可； （2）根据题意，画出树状图，可得总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两个实验能制取氧气的结果有2种，再根据概率公式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：共有4个实验，小红选到实验A．高锰酸钾制取氧气的概率为； 故答案为：． 【小问2详解】 解：画树状图如图， 共有12种等可能结果，其中两个实验能制取氧气的结果有2种， ∴两个实验均能制取氧气的概率为． 21. 如图，点，分别在的边， 上，且． （1）求证：． （2）若，，求 的长． 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据两直线平行同位角相等，得出相等的角，然后根据相似三角形的判定定理即可得出结论； （2）根据相似三角形的对应边成比例进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 解得． 22. 某商店销售一款工艺品，每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过55元． （1）若销售单价为每件45元，求每天的销售利润； （2）要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？ 【答案】（1）1050元 （2）50元 【解析】 【分析】（1）根据每天的销售利润=每件的利润×每天的销售量，即可求出结论； （2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[80-2（x-40）]件，根据每天的销售利润=每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【22题详解】 解：（45-30）×[80-（45-40）×2]=1050（元）． 答：每天的销售利润为1050元． 【23题详解】 设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[80-2（x-40）]件， 依题意，得：（x-30）[80-2（x-40）]=1200， 整理，得：x2-110x+3000=0， 解得：x1=50，x2=60（不合题意，舍去）． 答：每件工艺品售价应为50元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23. 项目式学习名称 测量底部不能到达的古塔高度 学习工具 测倾器、平面镜、皮尺 步骤一 在塔底的水平线的点B处安装测倾器，测出塔顶端G的仰角． 步骤二 在水平线上沿方向从点B处前进到点D处，并在点E处放置平面镜，此时在太阳光下同学恰好在平面镜中看到塔顶点G． 测量说明 点B，D，E，F在同一水平线上，于点B，于点D，于点F，平面镜（大小忽略不计）用点E表示． 测量数据 测倾器高米，A处测得塔顶端G的仰角为，同学前进的距离米，同学的眼睛距地面米，平面镜放置位置离她的距离米．（，，） 请根据以上信息，求古塔的大致高度（精确到1米）． 【答案】23米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形测高，涉及矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，过点作于点，如图所示，先由矩形的判定得到四边形是矩形，进而由矩形性质求出相关线段长，再由三角形相似的判定得到，进而得到，在中，解直角三角形即可得到答案，熟记矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，是解决问题的关键． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ，，， ， 四边形是矩形， 米，米． 由题意得， 又， ， ，即， ， 在中，，， ， ， 解得米， 答：古塔的高度约为23米． 24. 如图，在矩形中，，，动点P以的速度从A点出发，沿 向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒． （1）t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ （2）在P、Q两点移动过程中，四边形与的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）t为或时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似；（2）四边形与的面积不能相等，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）先利用勾股定理计算出AC=10，由于∠PCQ=∠ACB，根据三角形相似的判定，当∠PQC=∠B时可判断CQP∽△CBA，利用相似比得到 ；当∠PQC=∠BAC时可判断△CQP∽△CAB，利用相似比得到，然后分别解方程求出t的值即可； （2）作PQ⊥BC于H，如图，先证明△CPH∽△CAB，利用相似比可得到PH=，再利用四边形ABQP与△CPQ的面积相等得到S△ABC=2S△CPQ，利用三角形面积公式得到2••6•8，然后解关于t的方程可判断四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等． 【详解】（1）在R中，， ∵， ∴当时，，则，即，解得； 当时，，则，即，解得； ∴t为或时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似； （2）四边形与的面积不能相等． 理由如下： 作于H，如图， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 当四边形与的面积相等时， ，即， ∴， 整理得，此时方程无实数解， ∴四边形与的面积不能相等． 【点睛】此题考查相似三角形的判定．解题关键在于熟练应用相似比计算线段的长． 25. 匹克球是一项结合了羽毛球、乒乓球和网球的新兴运动，近年来吸引了大量参与者．某校数学小组开展以“匹克球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】研究匹克球飞行路线所在的平面与球网垂直时，匹克球飞行高度与它距发球点水平距离的关系． 【收集数据】某次匹克球飞行的高度y（单位：m）与它距发球点的水平距离x（单位：m）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离 … 2 3 5 6 … 高度 … … 【探索发现】数学小组建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现匹克球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型及应用】 （1）当时，______． （2）求y与x的函数表达式（不要求写自变量的取值范围）． （3）匹克球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）飞行的高度不能达到，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了实际问题与二次函数——投球问题，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． （1）根据表格可以得出答案； （2）把，代入，用待定系数法求出函数解析式； （3）结合（2）根据函数的性质求出最大值与3比较即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴这个值表示的实际意义是匹克球从发球点飞出时的初始高度是 米； 故答案为： ； 【小问2详解】 解：把，代入， 得， ∴； ∴y与x的函数表达式为； 【小问3详解】 解：飞行的高度不能达到，理由如下： 由（）得：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∵， ∴匹克球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到． 26. 问题探究：如图1，在等边中，， 点M， N分别在边上， 且，过点C，M分别作的平行线，并交于点P，作射线． （1）证明：． （2）求的度数． 问题解决： （3）如图2，某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图3所示，是等腰三角形，四边形是矩形，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在 上，点N在 上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．求钢丝绳的长度最小值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、矩形的性质、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识和理解题干给的方法是解题关键． （1）先证出四边形是平行四边形，得到即可； （2）利用等腰三角形可得，即可； （3）参考上述思路构造平行四边形，过M、D作的平行线，将转化成，再求得，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过M、D作的平行线， 则四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 当时，最小， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故钢丝绳长度的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 如图，工程师为了保证桥梁稳固，悬索结构设计成抛物线型．下列函数图像是抛物线的是（ ） A. 正比例函数 B. 一次函数 C. 反比例函数 D. 二次函数 2. 如图，这是领奖台从正面看到的示意图，则此领奖台的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列关于正方形对角线的结论中，错误的是（ ） A. 两条对角线互相平分 B. 两条对角线相等 C. 两条对角线互相垂直 D. 正方形面积等于对角线长的平方 4. 如图， 是河堤横断面的迎水坡，堤高，斜坡，则斜坡 的坡度为（ ） A. B. C. D. 5. 某鱼塘里混养了180条鲤鱼、若干条草鱼和120条鲫鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验，发现捕捞到草鱼的频率稳定在0.4左右．若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲫鱼的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 小明利用二次函数的图象估计方程x2－2x－2＝0的近似解，如表是小明探究过程中的一些计算数据．根据表中数据可知，方程x2－2x－2＝0必有一个实数根在( ) x 1.5 2 2.5 3 3.5 x2－2x－2 －2.75 －2 －0.75 1 3.25 A. 1.5和2之间 B. 2和2.5之间 C. 2.5和3之间 D. 3和3.5之间 7. 如图，在菱形中，，对角线、相交于点， 是对角线上的一动点，且于点 ，于点 ．由以下结论：①为等边三角形；②；③；④．其中正确的有（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且-2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为　　 A. 1或 B. -或 C. D. 1 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 9. 已知，则的值为______． 10. 若关于的一元二次方程有一个根为，则________． 11. 如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为 ）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若，则的面积是__________ ． 12. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则的正切值是______． 13. 已知反比例函数y＝的图象过点A（a-1，y1），B（a+1，），若＞，则a的取值范围为__________ 14. 如图，在矩形中，，， ，分别是 ， 上的两个动点，，沿折叠形成，连接，，则的最小值是______． 三、解答题（本大题共12个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算：． 16. 解方程：． 17. 已知，，求的值． 18. 如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，，且．求证：矩形ABCD是正方形． 20. 化学实验课上，邱老师带来了四个常考的实验，让同学们随机选择一个实验来制取氧气． A．高锰酸钾制取氧气： B．碳酸钙制取二氧化碳： C．电解水： D．一氧化碳还原氧化铜： （1）若小红从四个实验中任意选一个实验，则选到实验A．高锰酸钾制取氧气的概率为___________； （2）小红先从这四个实验中随机选一个实验，小明再从剩下的三个实验中随机选一个，利用列表或画树状图的方法求两个实验均能制取氧气的概率． 21. 如图，点 ， 分别在 的边 ， 上，且． （1）求证：． （2）若，，求 的长． 22. 某商店销售一款工艺品，每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过55元． （1）若销售单价为每件45元，求每天的销售利润； （2）要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？ 23. 项目式学习名称 测量底部不能到达的古塔高度 学习工具 测倾器、平面镜、皮尺 步骤一 在塔底的水平线的点B处安装测倾器 ，测出塔顶端G的仰角． 步骤二 在水平线上沿方向从点B处前进到点D处，并在点E处放置平面镜，此时在太阳光下同学恰好在平面镜中看到塔顶点G． 测量说明 点B，D，E，F在同一水平线上，于点B，于点D，于点F，平面镜（大小忽略不计）用点E表示． 测量数据 测倾器 高米，A处测得塔顶端G的仰角为，同学前进的距离米，同学的眼睛距地面米，平面镜放置位置离她的距离米．（，，） 请根据以上信息，求古塔的大致高度（精确到1米）． 24. 如图，在矩形中，，，动点P以的速度从A点出发，沿 向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿 向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒． （1）t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ （2）在P、Q两点移动过程中，四边形与的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 25. 匹克球是一项结合了羽毛球、乒乓球和网球的新兴运动，近年来吸引了大量参与者．某校数学小组开展以“匹克球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】研究匹克球飞行路线所在的平面与球网垂直时，匹克球飞行高度与它距发球点水平距离的关系． 【收集数据】某次匹克球飞行的高度y（单位：m）与它距发球点的水平距离x（单位：m）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离 … 2 3 5 6 … 高度 … … 【探索发现】数学小组建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现匹克球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型及应用】 （1）当时，______． （2）求y与x的函数表达式（不要求写自变量的取值范围）． （3）匹克球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． 26. 问题探究：如图1，在等边 中，， 点M， N分别在边上， 且，过点C，M分别作的平行线，并交于点P，作射线． （1）证明：． （2）求的度数． 问题解决： （3）如图2，某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图3所示， 是等腰三角形，四边形是矩形，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在 上，点N在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．求钢丝绳的长度最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $