专题02 双角平分线与角n等分线（北京专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦“双角平分线与角n等分线模型”专题，覆盖中考几何计算高频考点。按“双角平分线（无公共部分、有公共部分、周角三种情况）—角n等分线”构建知识体系，通过考点梳理、推导过程指导、真题例题与分层练习，帮助学生突破角平分线夹角计算难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于“推导过程自主化”和“例题分层化”设计，如引导学生自主推导双角平分线模型结论，培养推理意识与几何直观。练习题涵盖选择、填空、解答题，配合5分钟小测即时反馈，确保不同层次学生提升几何计算能力，助力教师精准把控复习节奏，高效备战中考。

专题02 双角平分线与角n等分线模型 目录 1 模型1.双角平分线模型 1 模型2.角n等分线模型 12 17 模型1.双角平分线模型 双角平分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 例1．如图，为直线上一点，，分别是，的角平分线平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是角平分线有关计算．熟练掌握角平分线定义，角的和差倍分计算，是解题的关键． 根据角平分线定义可得，结合可得的度数． 【详解】解：∵，分别是，的角平分线平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 例2．点为直线上一点，在直线同侧任作射线，，使得． (1)如下图，过点作射线，使为的角平分线，当时，的度数为_____； (2)如下图，过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，求的度数； (3)过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，当时，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的计算，根据题目已知条件并结合图形分析解题即可． （1）根据已知可得，再利用角平分线的定义求出的度数，最后利用平角是进行计算即可解答 （2）利用平角是，先求出，然后利用角平分线的定义进行计算即可解答． （3）当射线在射线左侧和右侧时，分别讨论，然后利用角平分线的性质即可解题 【详解】（1）解∶ 为的角平分线， ， 又， ， 故答案为：； （2）， ， 为的角平分线，平分， ，， ． （3）如图，当射线在射线左侧时， 是的角平分线， ， ， ， 是的平分线， ， ； 如图，当射线在射线右侧时， 同理可得， ， 综上，的度数为或． 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 例1．已知射线是钝角内部的一条射线，射线为的角平分线，射线为的角平分线，若，则 °. 【答案】40 【分析】本题考查角平分线的定义，角的计算．掌握从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线是解题关键．根据角平分线的定义结合题意可求出，，再根据求解即可． 【详解】解：如图， ∵射线为的角平分线，射线为的角平分线， ∴， ， ∴． 故答案为：40． 例2：如图，是外部的一条射线，、分别平分、，则与的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线，灵活利用角平分线的定义是解题的关键．根据角平分线得到，，最后根据求解即可． 【详解】解：∵、分别平分、， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 例3．已知，是内部的一条射线，且． (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，是直角，从点O出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； (3)如图3所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出和的数量关系； ②若，当，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键． （1）先求出，再根据角平分线的定义得到，由此即可得到答案； （2）先求出，则，进一步求出，由角平分线的定义得到，进而可得； （3）①先求出，，根据题意可得，由此求出，，则；②求出，再由，，得到，把代入方程求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：①∵， ∴， ∴， 由题意得：， ∴，， ∴； ②由①知， ∵， ∴， ∵，， ∴， 把代入得： 解得， ∴若，当时，． 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 例1．如图，点是直线上一点，以点为顶点作，且，位于直线两侧，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若是的平分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，补角、余角的性质等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据角的和差关系和平角定义求解即可； （2）先根据角平分线的定义得出，结合已知条件可得出，，然后根据角的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵是的平分线 ∴ ∴ （2）解：设 ∴ ∵是的平分线 ∴ ∴ ∵是的平分线， ∴ ∴． 例2．已知，． (1)如图，若是的平分线，求的度数； (2)如图，若射线平分，射线平分，求的度数； (3)在（1）的条件下，若将图中的绕点顺时针旋转得到，旋转过程中始终保持，设旋转角度为，请直接写出与的数量关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 本题考查角的和差运算，角平分线的性质，旋转的性质，熟练掌握相关知识是关键． （1）由角平分线的性质可得，，根据角的和差关系得出； （2）设，则，，根据角平分线的性质，表示出和，将、和相加可得； （3）根据是否超过，以及的范围进行分类讨论，分为，，，四种情况，计算每种情况下与的数量关系式，最后汇总即可． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴； （2）解：设， 则，， ∵射线平分，射线平分， ∴，， ∴； （3）解：如图， ①当时，由旋转的性质可知，， ∴； ②当时，如图， 由旋转的性质可知，， ∵， ∴； ③当时，如图， 由旋转的性质可知，， ∴； ④当时，如图， 由旋转的性质可知，， ∴； 综上所述，． 模型2.角n等分线模型 角n等分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线…，分别是和的平分线；结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 例1．如图，平行线，被直线所截，分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为，按此规律继续操作，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，数字类规律探究；根据题意得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，    ∵， ∴，， 又∵是和的角平分线， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴； 故答案为：． 例2．已知，如图1，在，、的角平分线交于点O，则．如图2，在中，、的两条三等分角线分别对应交于、，则，． 根据以上阅读理解，你能猜想（n等分时，内部有个点）（用n的代数式表示） ； ． 【答案】 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算等知识．根据三角形内角和得求出，，，，问题得解． 【详解】解： ， ， ， ……， ∴ ． 故答案为：；． 例3：（1）若中， ①如图1，若和的角平分线相交于点O，则________． ②如图2，若和的三等分线相交于点、，则________． （2）若中， ①如图1，若和的角平分线相交于点O，则用x表示________度． ②如图2，若和的三等分线相交于点、，则用x表示________度． ③如图3，若和的n等分线相交于点、、……、，则用x表示________度（结果不用化简）． 【答案】（1）①；②；（2）①；②；③． 【分析】（1）①利用三角形的内角和定理先求解；再结合角平分线的含义可得，从而可得答案；②利用三角形的内角和定理先求解；再结合角平分线的含义可得，从而可得答案； （2）①利用三角形的内角和定理先求解，再结合角平分线的含义可得，从而可得答案；②利用三角形的内角和定理先求解，再结合角平分线的含义可得，从而可得答案；③利用三角形的内角和定理先求解，再结合角平分线的含义可得，从而可得答案； 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∵和的角平分线相交于点O， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵和的三等分线相交于点、， ∴， ∴； （2）①∵， ∴， ∵和的角平分线相交于点O， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵和的三等分线相交于点、， ∴， ∴； ③∵， ∴， ∵和的n等分线相交于点、、……、， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的角平分线，三等分线，n等分线的含义，三角形的内角和定理的应用，熟记概念并灵活运用是解本题的关键． 一、单选题 1．如图所示，是的平分线，是的平分线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线定义和平面内角的相关计算，理解并掌握角平分线的定义是解题关键． 根据题意可知，结合角平分线的定义可得，由即可获得答案； 【详解】解：∵， ， ∵是的平分线， ， ∵是的平分线， ， ， 故选：B． 2．如图，在中，，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角和角平分线的性质，解题关键是熟练掌握三角形内角和定理、三角形外角和角平分线的性质． 根据三角形外角的性质和角平分线的定义求出，利用三角形的内角和定理求出，得到，从而求出，再次利用角平分线的性质与三角形的内角和定理进行解答即可． 【详解】解：如图所示： 、分别平分、， ，， ，， ， 、CE分别平分、， ， ， ， ， ， 、分别平分、， ， ， ， 故选：A． 3．（25-26七年级上·北京·期末）如图，是的平分线，是的平分线．若，，则下列说法错误的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的和差，角平分线的定义． 根据角平分线的定义得到，，，进而根据角的和差计算即可． 【详解】解：∵是的平分线，是的平分线，，， ∴，，， ∴，，． 可知D错误． 故选：D． 4．如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各个小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②与互补；③与互补；④其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角的平分线定义，平角的定义，角的和的定义，互余，互补定义解答即可． 本题考查了角的和，角的平分线，平角的定义，互余，互补，熟练掌握平角定义，角的平分线是解题的关键． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴与互余； 故①正确； 根据题意，得， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与互补； 故②正确； ∵， ∴， ∴与不是互补； 故③错误； ， 故④正确； 故选：C． 二、填空题 5．如图，，射线平分，射线平分，射线OE平分，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，先找角与角之间的关系，再运算．由角平分线的定义，则，，，直接求值即可． 【详解】解：∵，射线平分， ∴； ∵射线平分， ∴； ∵射线平分， ∴； ∴． 故答案为：． 6．已知分别是的角平分线．是内部的一条射线，若，则的度数为 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了角的计算，角平分线，利用角的加减，角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵分别是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．如图，是的平分线，是的平分线，已知，那么 （用含的式子表示）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查的是角的平分线的定义，“从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线”．运用角平分线的定义解题即可． 【详解】解：因为平分， 平分， 所以 ， ， 所以 ， ． 故答案为：． 8．如图，已知，，当在的外部时，分别在内部和内部画射线，，使，，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算，解题的关键是熟练掌握角度间的关系，数形结合．设，结合已知可求，，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：设，则， ， ∴， ， ∴， ∴． 故答案为：． 9．如图，点是的内角和的平分线的交点，点是的内角和的角平分线的交点，同样点是的内角和的角平分线的交点，若，那么 ． 【答案】 【分析】本题是找规律的题目，主要考查了三角形的外角性质及三角形的内角和定理，平分线的定义等知识，根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知，，…，依此类推可知的度数，即可求解． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴ ； 同理可得，， …， ∴， ∴ 故答案为：． 三、解答题 10．（25-26七年级上·北京·期末）补全下列解答过程． 已知：如图，，射线在的外部且，平分，平分．求的度数． 解：平分，平分， ， _______（_______）（填写推理依据）， ，， ，_______， _______， 的度数为． 【答案】；角平分线的定义；； 【分析】由角平分线的定义可得，，再通过角的和差即可求解；本题主要考查了角平分线的定义，角的和差运算，理解题中的逻辑关系，熟练运用角平分线与角的和差进行推理是解题的关键． 【详解】解：平分，平分， ， （角平分线的定义）， ，， ，， ， 的度数为． 11．如图，已知，平分，平分． (1)试分析与的数量关系，并说明理由； (2)求的度数． 【答案】(1)，理由见详解 (2)的度数为 【分析】本题主要考查等角的余角相等、等角代换，熟练运用余角相等、等角代换是解题的关键． （1）利用等角的余角相等即可推断； （2）利用角平分线结合等角代换即可求证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 12．如图，已知、是内部的两条射线，平分，平分． (1)若，，求的大小； (2)若，，求的大小．（用字母、的式子表示） 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要考查了角平分线定义，几何图形中角的计算，解题的关键是数形结合，注意整体思想应用． （1）首先求出，然后由角平分线的定义得到，，求出，进而求解即可； （2）同（1）的方法求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ∵平分，平分， ，， ， ； （2）解：，， ， ∵平分，平分， ，， ， ． 13．【问题背景】 已知，以为顶点，为一边顺次往外画两个锐角，和，并且，射线平分，射线平分．设． (1)如图1，若，求的值； 【问题推广】 (2)如图2，若是内的一条射线，且，试说明是否平分； 【拓展提升】 (3)随着的变化，探究的大小是否发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)射线平分，理由见解析； (3)不变，值为 【分析】本题考查角的和差运算，角平分线的性质，运用代数式表示每个角是解题关键． （1）先计算出，由射线平分．得出，进一步计算出； （2）先计算出，由射线平分．得出．由和，计算出和，再计算出，比较和得出结论； （3）类比（2）的解法，依次计算出和，作差后得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵射线平分， ∴， ∴． （2）解：射线平分．理由如下： ∵，， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴射线平分． （3）解：的大小不发生变化，且的值为．理由如下： 如图1，由（2）可知，，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴的大小不发生变化，的值为． 14．我们学过角的平分线的概念．类比给出新概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条． 例如：如图1，若，则是的一条三分线． (1)如图1，若，是的一条三分线，求的度数； (2)如图2，若，是的两条三分线．现以O为中心，将顺时针旋转度得到，当恰好是的三分线时，则 ． (3)如图3，若，是的一条三分线，分别是与的平分线，将绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若射线恰好是的三分线，则此时绕点旋转的时间是多少秒？（直接写出答案即可，不必说明理由） 【答案】(1)或； (2)或； (3)25，26，28或29秒 【分析】本题主要考查角的和差倍分运算，根据题意，画出图形，分类讨论，是解题的关键． （1）由是的一条三分线，分类讨论，即可求解； （2）以O为中心，将顺时针旋转n度得到，当恰好是的三分线时，分两种情况：当是的三分线，且时；当是的三分线，且时，分别求解即可； （3）由是的一条三分线，，得或，分两种情况讨论：当时；当时，分别求出绕点O沿顺时针方向旋转的度数，进而即可求解． 【详解】（1）解：，是的一条三分线， ，或， 或． （2）解：现以O为中心，将顺时针旋转n度得到，当恰好是的三分线时，分两种情况： 当是的三分线，且时，如图2②， ， ， ， 当是的三分线，且时，如图2③， ， 或50； 故答案为：或；． （3）解：是的一条三分线，， 或， ，分别是与的平分线， ， 当时，如图3， 或， 绕点O沿顺时针方向旋转或时，是的一条三分线， （秒）或（秒）； 当时，如图， 或， 绕点O沿顺时针方向旋转或时，是的一条三分线， （秒）或（秒）； 综上，绕点O沿顺时针方向旋转的时间是25，26，28或29秒． 故答案为：25，26，28或29秒． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02双角平分线与角n等分线模型 目录导航 目录 例题讲模型 .1 模型1.双角平分线模型 模型2.角n等分线模型 12 习题练模型 .17 例题讲模型 模型1.双角平分线模型 模型解读 双角平分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平 分线夹角。下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们 自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。 模型证明 1)双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC;结论：∠DOE=∠AOC。 证明：：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC,∴∠DOB=∠AOB,∠BOE=) ∠BOC, 1/11 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠DOB+∠BOE= 08+B0c=A0c,∠D0E=0C 2 模型运用 例1.如图，O为直线AB上一点，OD,OE分别是∠AOC,∠B0C的角平分线平分，若LAOD=35°， 则∠AOE的度数为() 0 B A.55° B.90° C.125 D.145 例2.点O为直线AB上一点，在直线AB同侧任作射线0C,OD,使得∠C0D=90°. (1)如下图，过点O作射线OE,使OE为∠AOC的角平分线，当∠C0E=25°时，∠BOD的度数为； (2)如下图，过点O作射线OE,当OE恰好为∠AOC的角平分线时，另作射线0F,使得0F平分∠BOD, 求LEOF的度数； D E O B (3)过点O作射线OE,当0C恰好为∠A0E的角平分线时，另作射线0F,使得OF平分∠COD,当 ∠EOF=10°时，求∠BOD的度数 2)双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图，已知：OD、OE分别平分∠4OB、∠BOC,结论：∠D0E=A0C 2/11 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC,.∠DOB= 2∠AOB,∠BOE= ∠BOC, 2 .∠BOE-∠DOB=∠BOC- 1 ∠AOB= ∠A0C,.∠DoE=∠A0C 1 2 2 2 模型运用 例1.已知射线OC是钝角∠AOB内部的一条射线，射线OD为∠AOB的角平分线，射线OE为∠BOC的角 平分线，若∠A0C=80°，则LD0E=°. 例2：如图，OC是∠AOE外部的一条射线，OB、OD分别平分∠AOC、∠E0C,则∠AOE与∠BOD的 数量关系为 A B 例3.已知，OC是∠AOB内部的一条射线，且∠A0B=3LAOC. 图1 图2 图3 (1)如图1所示，若∠A0B=120°，OM平分∠A0C,ON平分∠A0B,求∠MON的度数； (②)如图2所示，∠AOB是直角，从点O出发在∠B0C内引射线0D,满足∠B0C-LA0C=LC0D,若 OM平分∠COD,求LBOM的度数； (3)如图3所示，∠AOB=x°，射线OP,射线0Q分别从OC,OB出发，并分别以每秒1°和每秒2°的速度绕 着点O逆时针旋转，OP和O0分别只在∠AOC和∠BOC内部旋转，运动时间为t秒. ①直接写出∠A0P和∠COQ的数量关系； ②若∠A0B=10°，当∠P00=名∠B0P,求t的值. 3 3)拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角) 条件：如图，己知∠AOB+∠BOC+∠AOC-360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC; 结论：∠P0g=180-40B0 3/11 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B 证明：：0R平分∠A0C、OR,平分∠B0C.六∠P0c-A0c,∠P0C= ∠BOC, .∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴.∠BOC+∠AOC=360°.∠AOB, 六∠PoR=∠P0c-∠Roc-40c+5Boc-40c+∠B0c)=1so 2 2 ∠AOBg 模型运用 例1.如图，点P是直线AB上一点，以点P为顶点作∠CPD=90°，且PC,PD位于直线AB两侧，PE是 ∠APC的平分线. E B D (1)若∠CPB=60°，求∠BPE的度数； (2)若PF是∠BPD的平分线，求∠EPF的度数. 例2.已知∠A0B=120°，∠C0D=90°. 图1 图2 (1)如图1，若OC是∠AOB的平分线，求∠BOD的度数； (2)如图2，若射线OE平分∠AOC,射线0F平分∠BOD,求LE0F的度数； (3)在(1)的条件下，若将图1中的∠C0D绕点0顺时针旋转得到∠COD,旋转过程中始终保持 ∠C'OD'=90°，设旋转角度为a,请直接写出∠BOD'与a的数量关系式. 4/11 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 模型2.角n等分线模型 模型解读 角等分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平 分线夹角。下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们 自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。 模型证明 条件：如图，∠AOB=,OAOB,分别是∠AOM和∠MOB的平分线，OA2、OB2分别是∠A,OM和∠MOB,的 平分线，OA、OB,分别是∠A,OM和∠MOB2的平分线.，OAn,OBn分别是∠An-OM和∠MOB.-1的平分线； 结论：∠A,0B,=C 2” A2 As M Bs B 证明： ∠A0B=a,OA,、OB,分别是∠AOM和∠MOB的平分线， ∠AOM=∠40M,∠BOM-5∠B0M,∠AoB=∠A0M+∠B0M)-∠A0B- a, :04、OB,分别是∠A0M和∠M0B的平分线，∴∠A0M=∠40M,∠B,OM=∠BOM, ∠40a,=∠40M+∠a0M)=号A08=408=会， 22, :0A、0B分别是∠L0M和∠M0B,的平分线，∠40M=∠AOM,∠B0M=B,OM, _1×∠A0B,=222 40g,=240w+2B0w)-A08,- -x5x∠40B=, 23， 由此规律得： ∠A0B2 模型运用 例1.如图，平行线AB,CD被直线AC所截，分别作∠BAC和∠ACD的角平分线，交点记为P;分别作 ∠BAP和∠PCD的角平分线，交点记为E；分别作∠BAP和∠PCD的角平分线，交点记为B,按此规律继 续操作，则∠AP,C的度数为 5/11 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 例2.已知，如图1，在ABC,∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O,则 B0C=90°+A180°+乙A。如图2，在ABC中，∠ABC、LACB的两条三等分角线分别因园 2 交于Q、a.则∠B0C-x1o+4.0C-1s0+号4. 3 根据以上阅读理解，你能猜想(n等分时，内部有n-1个点)（用n的代数式表示） ∠BO,C=；∠BOn-C= A 0 B 图1 图2 图3 例3：(1)若ABC中，∠A=60 ①如图1，若∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O,则LB0C= ②如图2，若∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点O、Q,则∠BO,C= (2)若ABC中，∠A=x° ①如图1，若∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O,则用x表示∠B0C= 度 ②如图2，若∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点Q、O,则用x表示∠BO,C=度. ③如图3，若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点O、O、、O,则用x表示∠BO,C= 度 (结果不用化简)· 6/11 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A A 0 01 02 01 0n时 B C ⊙ C ⊙ 图1 图2 图3 习题练模型 一、单选题 1.如图所示，∠AOB=90°，∠BOC=60°，OM是∠A0C的平分线，ON是∠B0C的平分线，则∠M0N的度 数是() A M A.60° B.45° C.40° D.35° 2.如图，在ABC中，∠F=18°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB,M、N、Q分别在DB、DC、 BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN,BF、CF分别平分LEBC、∠ECQ,则∠A等于() A.36 B.48° C.52° D.60° 7/11 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26七年级上·北京·期末)如图，OB是∠A0C的平分线，0D是∠C0E的平分线.若∠A0B=40°， ∠C0E=60°，则下列说法错误的是() D A.∠B0C=40°B.∠B0D=70° C.∠A0D=110°D.∠B0E=90 4.如图，C为直线AB上一点，∠DCE为直角，CF平分LACD,CH平分LBCD,，CG平分LBCE,各个 小组经过讨论后得到以下结论：①LACF与LBCH互余；②LFCG与∠HCG互补；③LECF与∠GCH互 补；④LACD-LBCE=90°其中正确结论的个数为() B A. B.2 C.3 D.4 二、填空题 5.如图，A0⊥B0,射线0C平分∠A0B,射线0D平分∠B0C,射线OE平分∠A0D,则LC0E等于 B D 6.已知OD、OE分别是LA0B、∠AOC的角平分线.OC是∠AOB内部的一条射线，若 ∠D0C=20°，∠A0E=25°，则∠B0C的度数为】 8/11 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠C0E的平分线，已知LA0E=a,那么LB0D=(用含 的式子表示). D 8.如图，已知∠A0B=135°，∠C0D=45°，当∠C0D在∠A0B的外部时，分别在∠AOC内部和∠BOD内 部面射线OE,OF,使∠E0C=}∠A0C,∠D0F=B0D,则∠E0F的度数为一 3 E B D 9.如图，点A是ABC的内角∠ABC和LACD的平分线的交点，点A是△A,BC的内角∠A,BC和∠A,CD的 角平分线的交点，同样点An+1是△AnBC的内角∠A,BC和∠ACD的角平分线的交点，若∠A=a,那么 ∠A2025= D 三、解答题 10.(25-26七年级上·北京·期末)补全下列解答过程. 己知：如图，∠A0B=90°，射线0C在∠AOB的外部且∠A0C=30°，OE平分∠A0B,OD平分∠AOC.求 9/11 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠DOE的度数. B 解：：OE平分∠AOB,OD平分∠AOC, 1 .∠AOE=-∠AOB, 2 ∠AOD=1∠ ( (填写推理依据)， ∠A0B=90°，∠A0C=30°， ∴.∠AOE=45°，∠A0D= .∠DOE=∠AOE+∠ =60°， .∠D0E的度数为60°. 11.如图，已知∠A0B=∠E0F=90°，OM平分∠AOE,ON平分∠BOF, B M A (1)试分析∠AOE与∠B0F的数量关系，并说明理由： (2)求LM0N的度数. 12.如图，已知OB、OC是∠A0D内部的两条射线，OM平分∠A0B,ON平分∠COD. A M B D (1)若∠A0D=70,∠M0N=50°，求∠B0C的大小； (2)若LAOD=a,LM0N=B,求∠BOC的大小.（用字母a、B的式子表示） 13.【问题背景】 己知∠AOC=20°，以O为顶点，OA为一边顺次往外画两个锐角，A0B和∠BOD,并且∠B0D=2∠A0B, 10/11