专题04 遇到角平分线如何添加辅助线模型（几何模型讲义）（山东专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学讲义聚焦中考角平分线辅助线添加核心考点，围绕“运用角平分线定理”“构造等腰三角形”“构造轴对称图形”三大模型系统梳理知识，通过考点解析、辅助线作法归纳、真题例题演练等环节，帮助学生建立知识联系，突破辅助线添加难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于模型化教学与分层训练结合，如构造等腰三角形模型中通过平行线构造等腰三角形培养几何直观与推理能力，配套单选、填空、解答题分层练习提升应用意识，助力学生高效掌握辅助线技巧，教师可据此精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04遇到角平分线如何添加辅助线模型 目录导航 目录 例题讲模型 .1 模型1.运用角平分线定理模型 1 模型2.构造等腰三角形模型 模型3.构造轴对称图形模型 .12 习题练模型 ..16 例题讲模型 模型1.运用角平分线定理模型 模型解读 条件：如图，P是∠MON的平分线上一点，已知PA⊥OM,垂足为A. 辅助线作法：过点P作PB⊥ON于点B. 结论：PA=PB. /M B N 模型运用 例1.如图，在ABC中，AM平分∠BAC,点D是BC的中点，且MD⊥BC,连接BM、CM, L∠BAC=a,则∠BMD的度数为 ·用含的式子表示) M D B 1/31 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【省案】900 【分析】过M作ME⊥AC于E,MF⊥AB于F,即可得到△MFB兰△MEC,得到LMBF=∠MCE,再由四 边形内角和可得∠8WC+∠B4C=180,即可根据∠8MD=B4C求解。 【详解】过M作ME⊥AC于E,MF⊥AB于F,则LMFB=∠MFA=LE=90° E 17 B F :AM平分∠BAC, .ME MF, :点D是BC的中点，且MD⊥BC, eMB=MC,∠BMD)LBAC .aMFB兰aMEC(HL), .∠MBF=∠MCE, .∠MBF+∠ACM=180°， :四边形ABMC中，∠MBA+∠BAC+∠ACM+∠BMC=360°， ∠BMC+∠BAC=180°， :∠BAC=a, i2BD-B4c-lso-al=90-4, 故答案为：90°-20： 1 例2.如图，OA=OB,AC=BD,OA⊥AC于点A,OB⊥BD于点B,OM⊥CD于点M.求证：OM平 分∠AOB. B M D 2/31 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握全等 三角形的判定方法和等腰三角形的性质是解题的关键 连接OC,OD,可证明△OAC≌△OBD,由此可得∠A0C=∠B0D,OC=OD,由OM⊥CD,利用等 腰三角形的三线合一可得∠MOC=LMOD,结合∠AOC=∠BOD即可得出结论. 【详解】如图，连接0C,OD, ◇B :OA⊥AC,OB⊥BD, .∠A=∠B=90°， 在△OAC和△OBD中， (OA=OB ∠A=∠B AC=BD △OAC≌aOBD(SAS, ∴.OC=OD,∠AOC=∠B0D, :OM⊥CD, ∴.OM平分∠COD,即LCOM=∠D0M, :.∠AOC+∠COM=∠BOD+∠DOM,即∠AOM=∠BOM, OM平分∠AOB. 例3.如图，ABC是等边三角形，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点O,且OD∥AB,交BC于点 D,OE∥AC,交BC于点E. E 3/31 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)试判定△ODE的形状，并说明理由； (2)求证：点0在∠A的平分线上. 【答案】（①）△ODE是等边三角形；理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的性质和判定， (1)根据平行线的性质和等边三角形的性质得出∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°，即可得出结 论： (2)过O点作OG⊥AB于G,0F⊥AC于F,OH⊥BC于H,根据角平分线的性质得出OG=OH, OH=OF,进而推出OG=OF,则点0在∠A平分线上. 【详解】(1)解：△ODE是等边三角形；理由如下： :△ABC是等边三角形， ∠ABC=∠ACB=60°， :OD∥AB,OE∥AC, ∴.∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°， aODE为等边三角形； (2)证明：过O点作OG⊥AB于G,0F⊥AC于F,OH⊥BC于H,如图， 4 OB平分∠ABC,0G⊥AB,0H⊥BC, B D H E ∴.OG=OH 同理可得OH=OF, ..OG=OF, ·点O在∠A平分线上， 例4.如图，OP平分∠AOB,LAOP=15°，PC∥OB,PD⊥OB于点D. 4/31 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：OC=CP; (2)若PC=8,求PD的长· 【答案】(1)见解析： (2)4. 【分析】本题考查了角的平分线定义与性质，平行线的性质，三角形外角和性质，直角三角形的性质，熟 练掌握平行线，直角三角形的性质是解题的关键， (1)先由角平分线的定义得到∠POB=∠AOP,再由PC∥OB得到∠CP0=∠P0B,最后等量代换，结合等 角对等边即可求解； (2)作PE⊥OA于点E,由角平分线的性质可知PD=PE,再由外角的性质求出∠PCA=30°，在 Rt△PCE中，根据30°所对的直角边等于斜边的一半即可求解PE,最后求出PD的长. 【详解】(1)证明：：OP平分∠A0B,∠A0P=15°， LP0B=LA0P=15°. PCIlOB, .∠CP0=∠POB=15°， :ZCPO ZAOP, :.0C=CP: (2)解：作PE⊥OA于点E,如图， E OP平分∠AOB,PD⊥OB,PE⊥OA, D -B .PD=PE,∠PEC=90° :∠CP0=∠C0P=15°， ∠PCA=30°. PC=8, :.PE=PC=4, 2 5/31 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PD=4. 例5.在四边形ABCD中，AD=CD,∠BAD+∠BCD=I80°，过点D作DE⊥BC垂足为E,且DE=2, 四边形ABCD的面积为8，求BE的长. 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，过点D作DF⊥BA交BA延长线于点F,连接BD,利用 AAS证明△AFD≌△CED,推出DF=DE，SAAFD=SACED,再利用HL证明RtABDF≌RtABDE,推出 S△BDF=S△BDE,再根据S图边形ABcD=S△ABD+S△BDE+SADEC,利用三角形面积公式列式计算即可求解 【详解】解：过点D作DF⊥BA交BA延长线于点F,连接BD, B 则∠DFA=90°， ,DE⊥AB, ∴.∠DEC=∠DFA=90°. :∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD+∠FAD=180°， .∠BCD=∠FAD. ·在△AFD和△CED中， ∠FAD=∠BCD ∠DFA=∠DEC, AD=CD △AFD≌△CED(AAS), :DF DE,SAAFD=SACED, 在Rt△BDF和Rt△BDE中， 6/31 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (BD=BD DF=DE RtaBDF≌Rta BDE(HL), S.BDF=S.ODE S四边形ABCD=S△4BD+S△BDE+S△DEC SAABD +SARDE SAADE =SABDF+S△BDE =2S△BDE· :S四边形4BCD=8, :2SABDE =8, ∴.S△BDE=4, DE=2, DE.BE=4, 2 .BE=4. 模型2.构造等腰三角形模型 模型解读 1.条件：如图1，点P是∠AOB平分线OC上一点. 辅助线作法：过点P作PQ∥OB,交OA于点Q.结论：△POQ是等腰三角形. A D 0 B N 图1 图2 图3 2.条件：如图2，OC是∠AOB的平分线，点D是OA上一点. 辅助线作法：过点D作DE∥OC,交BO的延长线于点E. 结论：△DOE是等腰三角形. 3.条件：如图3，P是∠MON平分线上一点，己知AP⊥OP. 辅助线作法：延长AP,交ON于点B. 结论：△AOB是等腰三角形，OP垂直平分AB 模型运用 例1.如图，在ABC中，已知BD是∠ABC的角平分线，点D是ABC内一点，且AD⊥BD, 7/31 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠DAC=20°，∠C=38°，那么∠BAD= B 【答案】58 【分析】本题考查三角形外角性质，等角的余角相等，解题的关键是掌握掌外角的性质。 【详解】解：延长AD交BC于点E, D BD是∠ABC的角平分线， E .∠ABD=∠EBD, AD⊥BD, ∴LBAD=LBED=∠DAC+∠C=20°+38°=58°， 故答案为：58. 例2.如图，在ABC中，AE平分∠BAC,D是BC的中点，AE⊥BE,AB=8,AC=5,则DE的长度 为」 B 【答1 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定(ASA与性质、三角形中位线定理，解题的关键 是通过延长线段构造全等三角形，将已知边的长度关系转化为新线段的长度，再利用中点条件确定中位线， 进而求出目标线段长度 延长AC、BE相交于点F,利用AE平分∠BAC得到∠BAE=∠FAE,结合AE⊥BE得出 ∠AEB=∠AEF=90°，再根据公共边AE=AE,通过ASA判定定理证明△ABE≌AAFE;由全等三角形的性 8/31 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 质可得BE=EF、AB=AF,结合已知AB=8、AC=5,计算出CF=AF-AC=AB-AC=3;因为D是 BC的中点且BE=EF,所以DE符合三角形中位线的定义，即DE是BCF的中位线，最后根据三角形中 位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，求出DE=CF=}×3=? 2 2 2 【详解】解：延长AC,BE,相交于点F, :AE平分∠BAC, .∠BAE=∠FAE, :AE⊥BE, ∴.LAEB=∠AEF=90°， 又AE=AE, △ABE≌△AFE(ASA, .BE EF,AB=AF, :AB=8,AC=5, .CF=AF-AC AB-AC=3, :D是BC的中点，BE=EF, DE是BCF的中位线， .DB-TCF 3 2 3 故答案为： 例3.如图在ABC中，AD是ABC中的∠BAC角平分线，BD⊥AD,点E是边BC的中点，如果AB=6 ,AC=14,求DE的长. D 【答案】4 9/31 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，延长BD交AC于F ,根据垂直的定义得到∠ADB=∠ADF=90°，根据角平分线的定义得到∠BAD=∠FAD,根据全等三角形 的性质得到BD=DF,AF=AB=6,求得CF=AC-AF=8,根据三角形中位线定理即可得到结论. 【详解】解：延长BD交AC于F,如图： D BD⊥AD, ∠ADB=∠ADF, :AD是ABC中的∠BAC角平分线， ∠BAD=∠FAD, 在△BAD与△FAD中， ∠BAD=∠FAD AD=AD, ∠ADB=∠ADF .△BAD≌△FAD(ASA), .BD=DF,AF AB=6, .CF=AC-AF=8, :点E是边BC的中点， .BE CE, .CF=AC-AF=8, .DE-TCF-4. 故DE的长为4. 例4.如图，在ABC中，AB=AC,∠A=90°，BE是角平分线，CD⊥BE交BE的延长线于点D.求证： BE=2CD. 10/31扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04遇到角平分线如何添加辅助线模型 目录导航 目录 例题讲模型 .1 模型1.运用角平分线定理模型 .1 模型2.构造等腰三角形模型 模型3.构造轴对称图形模型 .12 习题练模型 ..16 例题讲模型 模型1.运用角平分线定理模型 模型解读 条件：如图，P是∠MON的平分线上一点，已知PA⊥OM,垂足为A. 辅助线作法：过点P作PB⊥ON于点B. 结论：PA=PB. /M B N 模型运用 例1.如图，在ABC中，AM平分∠BAC,点D是BC的中点，且MD⊥BC,连接BM、CM, L∠BAC=a,则∠BMD的度数为 ·用含的式子表示) M D B 1/8 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例2.如图，OA=OB,AC=BD,OA⊥AC于点A,OB⊥BD于点B,OM⊥CD于点M.求证：OM平 分∠AOB. A◇ ◇B C M D 例3.如图，ABC是等边三角形，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点O,且OD∥AB,交BC于点 D,OE∥AC,交BC于点E. D (1)试判定aODE的形状，并说明理由； (2)求证：点0在∠A的平分线上. 例4.如图，OP平分∠AOB,∠AOP=15°，PC∥OB,PD⊥OB于点D. D (1)求证：0C=CP; (2)若PC=8,求PD的长· 例5.在四边形ABCD中，AD=CD,∠BAD+∠BCD=180°，过点D作DE⊥BC垂足为E,且DE=2, 四边形ABCD的面积为8，求BE的长， B 2/8 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 模型2.构造等腰三角形模型 模型解读 1.条件：如图1，点P是∠AOB平分线OC上一点. 辅助线作法：过点P作PQ∥OB,交OA于点Q.结论：△POQ是等腰三角形 Q 0 B N 图1 图2 图3 2.条件：如图2，OC是∠AOB的平分线，点D是OA上一点 辅助线作法：过点D作DE∥OC,交BO的延长线于点E. 结论：△DOE是等腰三角形. 3.条件：如图3，P是∠MON平分线上一点，已知AP⊥OP. 辅助线作法：延长AP,交ON于点B. 结论：△AOB是等腰三角形，OP垂直平分AB 模型运用 例1.如图，在ABC中，己知BD是∠ABC的角平分线，点D是ABC内一点，且AD L BD, ∠DAC=20°，∠C=38°，那么∠BAD= 例2.如图，在ABC中，AE平分∠BAC,D是BC的中点，AE⊥BE,AB=8,AC=5,则DE的长度 为」 例3.如图在ABC中，AD是ABC中的∠BAC角平分线，BD⊥AD,点E是边BC的中点，如果AB=6 ,AC=14,求DE的长. 3/8 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 例4.如图，在ABC中，AB=AC,∠A=90°，BE是角平分线，CD⊥BE交BE的延长线于点D.求证： BE=2CD A D B 模型3.构造轴对称图形模型 模型解读 1.截长法 条件：如图1，在△ABC中，点D在BC上，且AD平分∠BAC 辅助线作法：在AB上截取AF=AC,连接DF,结论：△ACD≌△AFD. D O 图1 图2 2.补短法 条件：如图2，在△ABC中，点D在BC上，∠ACB=2∠B,且AD平分∠BAC. 辅助线作法：延长AC至点E,使AE=AB,连接DE, 结论：△AED≌△ABD 模型运用 例1.如图，在ABC中，∠A=60°，∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O,BD交AC于点D, CE交AB于点E,若已知ABC周长为20，BC=7,AE:AD=5:4,则AE长为() E B 4/8 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8 0 A. 3 B. 3 e号 D.4 例2.如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,CA平分∠BCD,∠CAD= 24BAE. D (I)求证：CD=BC+DE; (2)若∠B=75°，求∠E的度数. B CA平分∠BCD, F 习题练模型 一、单选题 1.如图，在△ABC中，∠ABC=3LC=60°，AD平分∠BAC交BC于D,AC=a,AB=b,BP⊥AD于P ,则BP的长为() A.a-b Ba-月 C.a-b 2 D.a-b 3 2.如图，已知ABC,BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P,连接PC,若△BPC的面积为5Cm2,则 ABC的面积为() 5/8 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.5cm2 B.7.5c2 C.10cm2 D.12.5cm2 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,AD是∠BAC的平分线，若点P、Q分别是 AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是() A.4.8 B.7 c:20 D.2.4 4.如图，动点C与线段AB构成ABC,其边长满足AB=8,CA=2a+2,CB=2a-4.点D在∠ACB的平 分线上，且∠ADC=90°，则△ABD的面积的最大值为() D ◆ B A C A.12 B.13 C.14 D.15 5.如图，BC是O0的弦，连接OC,弦BC上有一点D,连接OD并延长与过点B的O0的切线交于点A, 且AD=AB,∠A=36°，则∠C的度数为() D B A.130 B.149 C.18 D.23° 二、填空题 6.如图，ABC中，AD为∠BAC的角平分线，作BD垂直AD于D,△ACD的面积为8，则ABC的面积 为 6/8 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D C 7.如图，在ABC中，AC=BC,∠C=90°，∠ABC的平分线BD交边AC于E,且AD⊥BD,若BE=6, 则AD=一· E 8.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB,过点B作BD⊥CD,垂足为D,连接AD,若 AB=6,BC=8,AC=10,则△ADB的面积为 D B 9.如图，点P是∠AOB平分线上一点，PN⊥OB交边OB于点N,过点P作PM∥OB交边OA于点M,若 PN=12,PM=13,则ON的值为一 A M P -B N 三、解答题 10.如图，∠BAD+∠C=180°，AD=CD,求证：BD平分∠ABC; M B 1I.如图，点D为ABC外一动点，连接BD并延长至点E,连接CD交AB于点F.过点A作BC的垂线于 7/8 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点O,AB=AC,已知∠ABD=∠ACD,证明：AD为∠EDC的平分线. 12.如图，在ABC中，∠ABC=2∠C,∠BAC的平分线交BC于点D,过点B作AD的垂线交AD于点F, 交AC于点E. D (1)求证：△ABE为等腰三角形； (2)若AC=11,AB=6,求BD的长. 13.如图，AD是ABC的角平分线，H,G分别在AC,AB上，且HD=BD H B G (I)求证：∠B与AHD互补： (2)若LB+2LDGA=180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明. 14.在ABC中，∠ABC=2∠ACB,BD为ABC的角平分线， D D B E B 图1 图2 图3 (I)如图1，若AB=BD,求∠A的度数； (②)如图2，若E为线段BC上一点，∠DEC=∠A,求证：AB=EC; (3)如图3，若AF⊥BD,垂足为F,求证：AC=2BF. 8/8