专题03 遇到中点如何添加辅助线模型（几何模型讲义）（山东专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦“中点辅助线模型”专题，覆盖中考几何高频考点，系统梳理构造中位线、中线、倍长中线三大模型，通过情形分析、辅助线作法归纳、结论总结构建知识体系，设计考点梳理、方法指导、真题训练教学环节，帮助学生突破几何辅助线难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于模型化教学与核心素养融合，以“倍长中线法构造全等三角形”为例，培养学生几何直观和推理意识，结合中考真题例题解析与分层练习设计，确保学生掌握辅助线添加策略，提升空间观念和问题解决能力，助力教师精准把控复习节奏，实现高效备考。

专题03 遇到中点如何添加辅助线模型 目录 1 模型1.构造中位线模型 1 模型2.构造中线模型 5 模型3.构造倍长中线(或类中线)模型 11 16 模型1.构造中位线模型 情形1：当图形中出现两个中点时，考虑构造中位线. 条件:如图,在△ABC中,点D,E分别为AB,AC的中点. 辅助线作法：连接DE. 结论： 情形2：当图形中出现一个中点时，考虑过中点作已知长度边的平行线构造中位线. ①条件:如图1,在△ABC中,D是边AB 的中点，且已知底边BC的长. 辅助线作法：过点 D 作 BC 的平行线，交AC于点E(或取AC的中点E,连接DE). 结论： ②条件:如图2,在△ABC中,D 是边AB的中点.辅助线作法:过点A作AF∥CD,交BC的延长线于点 F. 结论：DC= AF;△BDC∽△BAF. 例1.如图，在四边形中，点，分别是边，的中点，连接，若，，且，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线定理和勾股定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．连接，根据三角形中位线定理求出，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接，如图： ∵点，分别是边，的中点， ∴，， ∵，， ∴， 即， 在中，． 故选：B． 例2.如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，若△CEF的面积为12cm2，则S△DGF的值为（    ） A．4cm2 B．6cm2 C．8cm2 D．9cm2 【答案】A 【分析】取CG的中点H，连接EH，根据三角形的中位线定理可得EH//AD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠GDF=∠HEF，然后利用“角边角”证明△DFG和△EFH全等，根据全等三角形对应边相等可得FG=FH，全等三角形的面积相等可得S△EFH=S△DGF，再求出FC=3FH，再根据等高的三角形的面积比等于底边的比求出两三角形的面积的比，从而得解． 【详解】解：如图，取CG的中点H，连接EH， ∵E是AC的中点， ∴EH是△ACG的中位线， ∴EH//AD， ∴∠GDF=∠HEF， ∵F是DE的中点， ∴DF=EF， 在△DFG和△EFH中， ， ∴△DFG≌△EFH（ASA）， ∴FG=FH，S△EFH=S△DGF， 又∵FC=FH+HC=FH+GH=FH+FG+FH=3FH， ∴S△CEF=3S△EFH， ∴S△CEF=3S△DGF， ∴S△DGF=×12=4（cm2）． 故选：A． 例3．如图，是的中位线，F是的中点，的延长线交于点G，若的面积为，则的值为 ． 【答案】4 【分析】取的中点H，连接，根据三角形的中位线定理可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形的面积相等可得，再求出，再根据等高的三角形的面积比等于底边的比求出两三角形的面积的比，即可得解答案； 【详解】解：取的中点H，连接， ∵点H是的中点，是的中位线， ∴，， ∴， ∵F是的中点，， 在和中， ∵ ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， 故答案为：4． 模型2.构造中线模型 情形1：当遇到直角三角形斜边上的中点时，考虑作斜边上的中线. 条件:如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,D为斜边AC的中点. 辅助线作法：连接BD. 结论： 情形2：当遇到等腰三角形底边上的中点时，考虑作底边上中线，利用“三线合一”解题. 条件:如图,在等腰△ABC 中,D 为底边 BC的中点. 辅助线作法：连接AD. 结论:AD⊥BC,∠BAD=∠CAD. 例1.如图，中，、、分别是、、的中点．一个小球在区域内自由滚动，它恰好停在空白区域内的概率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中线分别求出，，，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、、   、、分别是、、的中点 在中得， 在中得， 同理得，， 故选D． 例2．如图，中，，，，线段的两个端点分别在边上滑动，且，若点分别是的中点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短，根据勾股定理得到，根据直角三角形斜边中线的性质求得，，当在同一直线上时，取最小值，即可求得的最小值为，根据两点之间线段最短得到在同一直线上时取最小值是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，点分别是的中点， ∴，， 当在同一直线上时，取最小值， ∴的最小值为． 故选：． 例3．如图，已知，点在上，点在上，连接与相交于点． (1)问题1：若是的中线，，则= ． (2)问题2：若是的中线，，则的值是 ． (3)问题3：若是的中线，的面积与的面积之比是，且，则 ． (4)问题4：若是的中线，且，求证：． 【答案】(1) (2) (3)12 (4)见解析 【分析】本题主要考查了三角形的中线，平行线的性质，三角形的面积，根据题意合理做出辅助线是解题关键． （1）过点作交于点，利用平行线的性质得到，； （2）过点作交于点，利用平行线的性质得到，设，则，进一步解答即可； （3）过点作交于点，利用平行线的性质得到，由的面积与的面积之比得到，由推导出，利用计算即可得解； （4）过点作，得到是的中位线，，；进一步推导出，得到，． 【详解】（1）解：如图1，过点作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故答案为：． （2）解：如图2，过点作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 设，则， ∴， 故答案为：． （3）解：如图3，过点作交于点， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∵的面积与的面积之比是， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：12； （4）证明：如图4，过点作， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 模型3.构造倍长中线(或类中线)模型 情形1：当遇到三角形中存在中线时，考虑延长中线，作与中线相等的线段构造全等三角形. 条件:如图1,在△ABC中,AD 是BC 边的中线. 辅助线作法1:延长AD 至点E,使DE=AD,连接BE. 辅助线作法2:过点B作BE∥AC,交AD 的延长线于点 E. 结论:△ACD≌△EBD,AD=DE,BE=AC等. 情形2：当遇到三角形中存在一条线段过一边的中点时，考虑延长这条线段，作等线段构造全等三角形. 条件:如图2,在△ABC 中,D 是 BC 边的中点,点 E 是AB 上一点,连接DE. 辅助线作法1:延长ED 至点 F,使 DF=DE,连接CF. 辅助线作法2:过点 C作 CF∥AB 交 ED 的延长线于点 F. 结论:△BDE≌△CDF,CF∥AB, BE=CF等 例1．如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形的三边关系以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．延长至E，使，连接，易证得，可求得的长，证得，然后由三角形三边关系，求得答案． 【详解】解：如图，延长至E，使，连接， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ∵，， ∵， ∴ ∴， 的取值范围是：． 故答案为：． 例2．如图，在中，交于点D，点E是的中点，交的延长线于点F，交于点G，．求证：为的角平分线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形中的倍长中线模型，延长到M，使，连接，证即可． 【详解】证明：如图，延长到M，使，连接 ∵点E是的中点 ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 即为的角平分线 例3．【模型呈现】：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．倍长中线也是全等三角形中的重要模型．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【模型应用】：（1）如图1，中，为边上的中线，过B点作，过A点作，交于点E，若，，，求的长； 小明受倍长中线法的启发：认为如果没有平行线夹中点就直接倍长中线；中点夹在两条平行线之间直接延长与对边相交于点G；解答（1）需要延长交BE的延长线于G点，通过证明就可得到，再用勾股定理求出，进而求出的长． 请您参考小明的思路求出的长 【变式迁移】：（2）如图2，中，为边上的中线，分别以和为边在外部作等腰直角三角形和等腰直角三角形，，，，；连接EF．试探究与的数量关系，并说明理由； 【答案】（1）；（2），见解析； 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，掌握倍长中线构造全等是解题的关键； （1）延长交的延长线于点G，根据勾股定理求出，证明，求出，再根据勾股定理求出，即可得解； （2）延长到H使得，连接，证明，再证明，即可得证． 【详解】解：（1）延长交的延长线于点G， ∵， ∴， ∵，； ∴， ∵， ∴， ∵，； ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2），理由如下： 延长到H使得，连接， ∵，，； ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 一、单选题 1．如图，已知是边的中线，是边的中线，F为的中点，若的面积为2，则的面积为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的等积转换；由“等底同高的三角形面积相等”得，，同理可求，即可求解；理解三角形的中线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 是边的中线， ， ， F为的中点， ， 是边的中线， ， ； 故选：C． 2．如图，直角三角形中，，中线中线，且相交于，已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，先证，得，进而有，，，再利用勾股定理构造方程即可得解． 【详解】解：如下图，连接， ∵，是边上的中线，是边上的中线， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵中线中线， ∴即， 解得，（负值舍去）， 故选：B. 3．如图，已知是线段的中点，是线段的中点，连接并延长交于点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，添加平行线辅助线构造相似三角形和全等三角形是解题的关键．过点作交于点，先证明得到，再证明得到，即可求出的值． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4．如图，在矩形中，，点在边上，连接，过点作交于，已知，点是的中点，是的中点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，则，即，可求，作，使，连接，作于，则，，证明，则，为的中点，由点是的中点，可得，由勾股定理得，，进而可求． 【详解】解：矩形，， ， ∴， 又， ， ，即， 解得，， 如图，作，使，连接，作于，则，， ，，， 在和中， ， ， ，为的中点， 点是的中点， ， 由勾股定理得，， ， 故选：D． 二、填空题 5．三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心．如图，分别是边的中线，则 ． 【答案】/0.5 【分析】连接，如图所示，由三角形中位线的判定与性质得到，进而得到，再由相似三角形的判定与性质求解即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 分别是边的中线， ∴是的中位线， ， 则， ， ， ， 故答案为：． 6．在中，是中线，已知，，则中线的取值范围是 ． 【答案】 【分析】通过倍长中线，构造，从而得到，利用三角形三边关系可得，再通过即可求解． 【详解】解：如图，延长至E，令，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，根据三角形的三边关系可得， 即， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 7．如图，在中，是中位线，是中线，则与的关系是 ． 【答案】互相平分 【分析】本题主要考查的是三角形中位线的性质及平行四边形的判定、性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键， 首先根据题意画出图形，连接、，由是的中点，是的中点，得到是的中位线，根据中位线的性质得到，同理可证，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可判定四边形是平行四边形，再根据平行四边形对角线互相平分的性质即可得到和的关系. 【详解】解：连接、， ∵是边上的中线， ∴是的中点， ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 8．在中，点E为的中点，过点D作于点G，若点F为的中点，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线的性质，矩形的性质和判定，勾股定理；连接，取中点M，连接，，得出是的中位线，得出，，，，再由得出四边形是矩形，最后通过勾股定理即可求出. 【详解】解：连接，取中点M，连接，，交于点，如图所示， ∵E是中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理：，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 故答案为：． 9．如图，在中，是边上的中线，是中边上的中线，若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形的中线性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线．延长交于点，延长，使，连接，根据题意可得，，进而可求出，根据勾股定理求出，证明，得到，推出，得到，根据勾股定理求出，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，延长，使，连接， ， ， ， ， ，是中边上的中线， ， ， 在中，由勾股定理得：， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 三、解答题 10．如图，在中，，是的中线，点D在的延长线上，连接，平分． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）由题意易得，，然后可得，进而问题可求证； （2）延长到点F，使得，连接，易证，然后可得，进而可证，最后问题可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：延长到点F，使得，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， ∵， ∴（SAS）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴（AAS）， ∴， ∴． 11．【教材回顾】 （1）如图1，在中，若D为边中点，E为边中点，则为的中位线，与边的数量关系为 ，与边的位置关系为 ； 【拓展探究】 （2）如图1，若D为边中点，．求证：E为边中点； 【综合运用】 （3）如图2，在四边形中，，，点E是的中点，点F在边上，且，与交于点G，求证：．    【答案】（1）；；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质与判定、直角三角形的性质、等边对等角，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据三角形中位线定理即可求解； （2）延长到点F，使，连接，通过证明得到，，则有，推出四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质即可证明； （3）取的中点M，连接，，利用三角形中位线定理得到，，根据直角三角形斜边中线定理得到，得到，再结合推出，推出四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质即可证明． 【详解】（1）解：∵D为边中点，E为边中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴与边的数量关系为，与边的位置关系为； 故答案为：；； （2）证明：如图，延长到点F，使，连接，    ∵D为边中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴点E为的中点； （3）证明：取的中点M，连接，，    ∵点E是的中点，点M是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 12．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接． 请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是_____． A． B． C． D． （2）由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是_____． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【初步运用】 如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，则线段的长_____． 【灵活运用】 如图③，在中， ，D为中点，交于点交于点F，连接，试猜想线段三者之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）B；（2）；；，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系以及勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定定理解答； （2）根据三角形的三边关系计算； 初步运用  延长到M，使，连接BM，证明，根据全等三角形的性质解答； 灵活运用  延长到点G，使，连结，证明，得到，根据勾股定理解答． 【详解】解：（1）在和中， ， ∴， 故选B； （2）∵， ∴， 在中， ， ∴ ∴， 故答案为； 【初步运用】延长AD到M，使，连接， ∵， ∴， ∵AD是中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 【灵活运用】线段之间的等量关系为：． 证明：如图3，延长到点G，使，连结， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴中，， ∴． 13．【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．此方法在解决几何问题中有着广泛的应用． 【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题： (1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接，可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，再利用三角形的三边关系，即可求出中线的取值范围． 请你直接写出的取值范围：______； (2)如图2，，点D为的中点，，，求； (3)如图3，在和中，，，．连接，，点F是的中点，连接并延长，与相交于点G．请猜想和的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，平行线的判定和性质，三角形三边关系，同角的补角相等，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据三角形三边关系进行作答，即可求解； （2）如图2，延长交的延长线于H，根据中点得，证得，求得，证得为线段的垂直平分线，然后即可求解； （3）延长至点H，使，连接，先证得，得，，再根据平行线的性质证得，再证，然后即可求解； 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：如图2，延长交的延长线于H， ， ∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为线段的垂直平分线， ∴； （3）解：； 理由如下：延长至点H，使，连接，如图： ， ∵F是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 14．【教材呈现】： （1）如图，在中，点D、E分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想：，且对此，我们可以用演绎推理给出证明． 【结论应用】 （2）如图，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点，求证：； （3）如图，四边形中，，M是中点，N是中点，连接，延长交于点E：若，则的大小为______． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 （3） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，四边形的内角和等知识点．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题． (1)延长至点G，使，连接，证明，再证明四边形是平行四边形，即可得出结论； (2)根据教材呈现中的结论，得出，，再利用，即可得出结论； (3)连接，取的中点P，连接，得出，进而求出，由，， 得，，根据三角形的内角和以及等量代换即可求解． 【详解】(1)证明：延长至点G，使，连接，如图， 点D、E分别是的边与的中点， ，， 在和中， ， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， ，， 且； (2)证明：是的中点，M是的中点， ， 是的中点，N是的中点， ， ， ， ； (3)解：连接，取的中点P，连接，如图2， 是中点，N是中点，， ，，， ， ， ， ，， ，， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03遇到中点如何添加辅助线模型 目录导航 目录 例题讲模型 .1 模型1.构造中位线模型 模型2.构造中线模型 模型3.构造倍长中线（或类中线）模型 .11 习题练模型 .....16 例题讲模型 模型1.构造中位线模型 模型解读 情形1：当图形中出现两个中点时，考虑构造中位线 条件：如图，在△ABC中，点D,E分别为AB,AC的中点 辅助线作法：连接DE 结论： DE=BC,DEll BC. 情形2：当图形中出现一个中点时，考虑过中点作已知长度边的平行线构造中位线。 ①条件：如图1，在△ABC中，D是边AB的中点，且已知底边BC的长 辅助线作法：过点D作BC的平行线，交AC于点E(或取AC的中点E,连接DE). 结论：DE=BC ②条件：如图2，在△ABC中，D是边AB的中点.辅助线作法：过点A作AF∥CD,交BC的延长线于点F. 结论：DC=专AF;△BDC∽△BAF 1/10 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 模型运用 例1如图，在四边形ABCD中，点E,F分别是边AB,AD的中点，连接EF,若EF=2,CD=3,且 EF⊥CD,则BC的长为() B A.12 B.5 C.7 D.6 例2.如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G,若△CEF的面积为12cm?, 则SADG的值为() y D A.4cm2 B.6cm2 C.8cm2 D.9cm2 例3.如图，DE是ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G,若△CEF的面积为 12cm2,则Spor的值为 cm2. A G 模型2.构造中线模型 模型解读 情形1：当遇到直角三角形斜边上的中点时，考虑作斜边上的中线. 2/10 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 条件：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为斜边AC的中点. 辅助线作法：连接BD. 结论：BD=CD=AD=专AC D 情形2：当遇到等腰三角形底边上的中点时，考虑作底边上中线，利用“三线合一”解题， 条件：如图，在等腰△ABC中，D为底边BC的中点！ 辅助线作法：连接AD. 结论：AD⊥BC,∠BAD=∠CAD. 模型运用 例1.如图，ABC中，D、E、F分别是AF、BD、CE的中点.一个小球在ABC区域内自由滚动，它 恰好停在空白区域内的概率为() 1 A. B. 5 C. 6 D号 例2.如图， ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6,线段DE的两个端点D、E分别在边AC,BC上滑动， 且DE=6,若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为() M EB A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 例3.如图，己知ABC,点D在BC上，点E在AC上，连接AD,BE,AD与BE相交于点F. 3/10 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()向题1：若BE是ABC的中线，BF=3FE,则BD DC (2)问题2：若AD是ABC的中线， D4,则E 的值是 AC (3)问题3：若AD是ABC的中线，△ABF的面积与aDBF的面积之比是1：3，且AE=2,则EC=-· (4)问题4：若AD是ABC的中线，且AE=FE,求证：AC=BF. 模型3.构造倍长中线（或类中线模型 模型解读 情形1：当遇到三角形中存在中线时，考虑延长中线，作与中线相等的线段构造全等三角形 条件：如图1，在△ABC中，AD是BC边的中线. 辅助线作法I:延长AD至点E,使DE=AD,连接BE, 辅助线作法2：过点B作BE∥AC,交AD的延长线于点E. 结论：△ACD≌△EBD,AD=DE,BE=AC等. 图1 图2 情形2：当遇到三角形中存在一条线段过一边的中点时，考虑延长这条线段，作等线段构造全等三角形 条件：如图2，在△ABC中，D是BC边的中点，点E是AB上一点，连接DE. 辅助线作法1：延长ED至点F,使DF=DE,连接CF, 辅助线作法2：过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F. 结论：△BDE≌△CDF,CFIAB,BE=CF等 模型运用 例1.如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，AC=3,AD=5,则AB的取值范围是 4/10 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例2.如图，在△ABC中，AD交BC于点D,点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F,交AB于 点G,BG=CF,求证：AD为△ABC的角平分线. G B D 例3.【模型呈现】：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线 法”添加辅助线.倍长中线也是全等三角形中的重要模型.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍， 以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法， 【模型应用】：(1)如图1，ABC中，AD为BC边上的中线，过B点作BE∥AC,过A点作AE⊥BE, 交BE于点E,若AB=10,BE=6,AC=7,求AD的长： 小明受倍长中线法的启发：认为如果没有平行线夹中点就直接倍长中线；中点夹在两条平行线之间直接延 长AD与对边相交于点G;解答(1)需要延长AD交BE的延长线于G点，通过证明△ADC≌△GDB就可 得到AD=DG,再用勾股定理求出AG,进而求出AD的长. 请您参考小明的思路求出AD的长 【变式迁移】：(2)如图2，ABC中，AD为BC边上的中线，分别以AB和AC为边在ABC外部作等 腰直角三角形BAE和等腰直角三角形ACF,AB=AE,∠BAE=90°，AF=AC,∠CAF=90°；连接EF.试 探究EF与AD的数量关系，并说明理由； G B D 图1 图2 习题练模型 一、单选题 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.如图，已知CD是AB边的中线，BE是CD边的中线，F为DE的中点，若△ADF的面积为2，则ABC 的面积为() E B A.12 B.14 C.16 D.18 2.如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，中线AD⊥中线CE,且相交于F,已知AC=4,则AB的长 为() B A.25 B.43 c. D. 3 3知图，已D是线段BC的中点，M是线段4D的中点，连接W并延长交4C于点N,则C的值是() A.月 B. c D.} 4.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点E在AD边上，连接BE,过点A作AF⊥BE交CD于F,己 3 知E=2点G是BE的中点，H是F的中点，连接GH，则GH的长为(） A E A.√41 B. V41 C.√29 D.29 4 4 二、填空题 5.三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心，如图，AE,CF分别是ABC边BC,AB的中 6/10 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 线，则 EG AG 4 G B E 6.在ABC中，AD是中线，己知AB=7,AC=4,则中线AD的取值范围是 B D 7.如图，在ABC中，DE是中位线，AF是中线，则DE与AF的关系是 D B 8.在口ABCD中，点E为CD的中点，过点D作DG⊥BC于点G,若点F为BG的中点，DG=6,BC=I0 ,，则EF的长为 9.如图，在ABC中，BD是AC边上的中线，AE是△ABD中BD边上的中线，若∠CBD=60°， ∠AEB=150°，BD=4,则AB= E D 三、解答题 1O.如图，在ABC中，AB=AC,BE是AC的中线，点D在AC的延长线上，连接BD,BC平分∠EBD 7/10 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E (I)求证：∠ABE=∠D; (2)求证：BD=2BE. 11.【教材回顾】 (1)如图1，在ABC中，若D为AB边中点，E为AC边中点，则DE为ABC的中位线，DE与BC边 的数量关系为_，DE与BC边的位置关系为-； 【拓展探究】 (2)如图1，若D为AB边中点，DE∥AC.求证：E为AC边中点； 【综合运用】 (3)如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠BCD=90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，且 BG=FG,EF与BD交于点G,求证：AD=2CF. A D E 图1 图2 12.【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，ABC中，若AB=IO,AC=8,求BC边上的中线AD的取值范围 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E,使DE=AD,连接BE. E 图① 图② 图③ 请根据小明的方法思考： (1)由己知和作图能得到ADC≌EDB,依据是。 8/10 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.SSS B.SAS C.AAS D.HL (2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的己知条件和所求 证的结论集中到同一个三角形之中. 【初步运用】 如图②，AD是ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF,若EF=4,EC=3,则线段BF的 长=· 【灵活运用】 如图③，在ABC中，∠A=90°，D为BC中点，DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接 EF,试猜想线段BE、CF、EF三者之间的等量关系，并证明你的结论. 13.【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一.在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中 线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求 的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍 长中线法”.此方法在解决几何问题中有着广泛的应用. 【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题： (I)如图1，在ABC中，AB=5,AC=9,D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围.经过合作 交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,可以判定ADC≌EDB,从而得 到AC=EB=9.这样就能把线段AB,AC,2AD集中在△ABE中，再利用三角形的三边关系，即可求出 中线AD的取值范围. 请你直接写出AD的取值范围：； (2)如图2，∠ABD=∠ECD=∠ADE=90°，点D为BC的中点，AB=I0,CE=22,求AE; (3)如图3，在△ABD和△ACE中，∠DAB=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE.连接DE,BC,点F是 BC的中点，连接FA并延长，与DE相交于点G.请猜想DE和AF的数量关系并说明理由， E 0 B D D B F C 图1 图2 图3 14.【教材呈现】： 9/10 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)如图①，在ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，根据画出的图形，可以猜想：DE∥BC, 且DE=BC.对此，我们可以用演绎推理给出证明。 图① 图② 图③ 【结论应用】 (2)如图②，在四边形ABCD中，AD=BC,P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点， 求证：∠PMN=∠PNM; (3)如图③，四边形ABCD中，AD=BC,M是DC中点，N是AB中点，连接NM,延长BC、NM交于 点E:若∠D+∠DCB=236°，则∠E的大小为· 10/10