专题02 双角平分线与角n等分线模型（几何模型讲义）（山东专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦“双角平分线与角n等分线模型”专题，覆盖中考几何计算核心考点，按“模型推导-例题解析-分层训练”架构系统梳理。通过考点梳理构建知识网络，方法指导突破推导难点，真题训练强化应用能力，助力学生掌握角平分线夹角计算规律。 亮点在于“模型化+探究式”复习策略，如引导学生自主推导双角平分线夹角公式，培养推理意识与几何直观。设置选择、填空、解答分层练习，配合中考真题即时反馈，确保高效突破。教师可依此精准把控复习节奏，提升学生数学语言表达与问题解决能力。

专题02 双角平分线与角n等分线模型 目录 1 模型1.双角平分线模型 1 模型2.角n等分线模型 8 13 模型1.双角平分线模型 双角平分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 例1．如图，点、、在同一条直线上，平分，平分，则的度数为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．由角平分线，得出，代入数据即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ， 故选：B． 例2．如图，为直线上一点，在的上方依次引射线，，，且． (1)当时，是的平分线吗？试说明理由． (2)若，．求的度数． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了平角的定义，角的和差关系，角平分线的判定以及角度的计算． （1）根据平角、直角的和差关系推导出角平分线判定的条件； （2）利用直角拆分求中间角，再结合倍数关系和平角定义，逐步计算即可． 【详解】（1）解：是的平分线，理由如下： ， ，， ， ， 是的平分线； （2）解：，， ， ， ， 的度数为． 例3：如图，已知，是内任意一条射线，平分，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系是解题的关键． （1）利用角平分线的定义和角的和差关系可得，即可得到的度数； （2）利用角平分线的定义和角的和差关系求得的度数，进而求得的度数． 【详解】（1）解：平分， ， 平分， ， ， ，， ， 即的度数为； （2）解：平分，， ， ， 平分， ， 的度数为． 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 例1．已知内部有三条射线，，． (1)如图1，若，，平分，平分．求的度数； (2)如图2，若，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，以及角度的计算，正确理解角平分线的定义是解题的关键． （1）首先根据角平分线的定义求得，然后求得的度数，根据角平分线的定义求得，然后根据求解； （2）根据，，得出，，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵，平分， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴ ． 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 例1．如图，点为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，下列结论：①与互余；②与互补；③与互补；④．其中正确的有 （    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】①由角平分线及邻补角计算即可判断；②由角平分线及互补的条件即可判断；③结合图形及各角之间的关系即可判断；④由各角之间的关系即可判断． 【详解】解：解：①，平分平分， ∴ , ， ∴， ∴与互余，故正确；②∵平分平分， ∴ ， ∴， ∴ 与互补，故正确； ③， ∵ ， ∴， 不互补，故错误； ④， ∴ ，故正确， 故选：B． 例2．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．若∠BOF=30°，则∠DOE= °． 【答案】40 【分析】利用角平分线定义列式计算即可求出所求． 【详解】解：∵OE平分∠BOD， ∴∠BOE=∠DOE， 设∠BOE=∠DOE=x，则有∠COE=180°-x， ∵OF平分∠COE， ∴∠EOF=（180°-x）=90°-x， 由题意得：∠EOF-∠BOE=∠BOF=30°，即90°-x-x=30°， 解得：x=40°， 则∠DOE=40°． 故答案为：40． 例3：如图，直线与相交于点O，，是内的一条射线，平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂直定义、角平分线的定义、等角的余角相等，理解角平分线的定义是解答的关键． （1）先根据角平分线的定义得到，再根据垂直定义和余角性质得到，进而可得结论； （2）先求得，再根据角平分线和邻补角性质得到 ，再根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴平分． （2）解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴． 模型2.角n等分线模型 角n等分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线…，分别是和的平分线；结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 例1．已知，在内部作射线，使得． (1)如图，在内部作射线，使得；作射线平分，求的度数； (2)如果过点作射线，使得，则的度数为______．（不需写演推过程） 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意可求出．再根据和平分，可求出，，进而可求出； （2）分类讨论：当在内部时，设，则，由，可列出关于x的方程，解出x的值，即得出的大小，最后由计算即可；②当在外部时，设，则，由，可列出关于y的方程，解出y的值，即得出的大小，最后由计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵，， ∴． ∵平分， ∴， ∴． （2）分类讨论：①如图，当在内部时， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． ∵， ∴； ②如图，当在外部时， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴． ∴． 故答案为：或． 例2．如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数． ②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)①；②， 【分析】本题考查角的计算，角平分线性质，熟练掌握基本知识点是解题关键； （1）先算出的度数，即可求解； （2）①先算出的度数，再通过角平分线算出，进而可求解；②同①的方法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴， ∴； ②∵的度数是，的度数是， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴， 又∵平分，平分， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴． 一、单选题 1．如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为（　　） A．50° B．60° C．65° D．70° 【答案】D 【详解】∵OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，∠AOB=40°，∠COE=60°， ∴∠BOC=∠AOB=40°，∠COD=∠COE=×60°=30°， ∴∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°． 故选D． 2．如图，直线，一个直角三角板，其中，将三角板按如图所示方式放置，顶点，分别落在直线，上，是角平分线，则的度数为（   ） A．45° B．35° C．30° D．25° 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角板中角度计算问题，角平分线的有关计算，两直线平行同旁内角互补等知识点，熟练掌握三角板中角度计算问题是解题的关键．／ 由角平分线的定义可得，由两直线平行同旁内角互补可得，进而可得，然后由角的和差关系可得，由此即可求出的度数． 【详解】解：是的角平分线， ， ， ， ， ， 故选：． 3．如图，平行线，被直线所截，分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为．．．．．按此规律维续操作，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，数字类规律探究；根据题意得出，即可求解． 【详解】如图所示，过点作，    ∵， ∴， 又∵是和的角平分线 ∴， ∴ 同理可得， ∴ ∴ 故选：D． 4．如图，，下列判断： ①射线是的角平分线；②是的补角；③；④的余角有和． 其中正确的是（   ） A．①③④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了余角的性质，余角、补角的定义，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握相关的定义．根据角平分线定义可得射线是的角平分线；根据补角定义可得是的补角；根据余角性质得出；根据余角定义可判断的余角有和． 【详解】解：∵， ∴射线是的角平分线，故①正确； ∵，且的补角是， ∴是的补角，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴是的余角，是的余角， ∵， ∴的余角有和，故④正确； 综上分析可知，正确的有①②③④． 故选：C． 二、填空题 5．如图，A、O、B在一条直线上，、分别是、的角平分线，则的度数是 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了补角、角平分线等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 根据角平分线的性质可得，，再结合，即可解答． 【详解】解：、分别是、的角平分线， ， 、O、B在一条直线上， 故答案为． 6．如图，和的角平分线交于点E，延长交于点F，，则 ． 【答案】58°/58度 【分析】依据平行线的性质，以及角平分线的定义，即可得到，进而得出结论． 【详解】解：∵， ∴ ∵平分 ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 7．已知分别是、的角平分线．是内部的一条射线，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了与角平分线有关计算，几何图形的角度运算，先根据是的角平分线，得，故，又因为是的角平分线，得，最后把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，是的角平分线． ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图，，射线是的角平分线，射线是的角平分线，射线是的角平分线……以此类推，请借助所给图形思考的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的定义以及用代数式表示规律，根据角平分线的性质可得，，，，得出即可． 【详解】解：∵，射线是的角平分线， ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴， 则． 故答案为：． 三、解答题 9．如图，是的角平分线，是的角平分线，如果，，求的度数． 解：是的角平分线， ， 是的角平分线， _______________________． 【答案】，，，，，，， 【分析】根据是的角平分线，，可以求出，是的角平分线，，得出，两角相加得． 【详解】解：是的角平分线， ， 是的角平分线， ， ． 故答案为：，，，，，，，． 10．点为直线上一点，在直线同侧任作射线，使得． (1)如图1，过点作射线使得为的角平分线，且，求的度数． (2)如图2，过点作射线使得为的角平分线，过点作射线使得为的角平分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角平分线的定义，角的和差以及三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，求出，再由三角形内角和定理计算答案即可． （2）先求出，根据角平分线的定义得到，即可求出答案． 【详解】（1）解：为的角平分线， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 为的角分线，为的角平分线． ，， ， ． 11．点O为直线上一点，在直线AB上侧任作一个，使得． (1)如图1，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，请求出与之间的倍数关系， (2)如图2，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，求的度数； (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)； 【分析】（1）设，求出，由平分，得，最后由，求出即可； （2）设，求出，由平分、平分 ，求出即可； （3）由（2）得，由，求出，最后利用平分即可求解． 【详解】（1）设 ∴ 又∵平分 ∴         又∵ ∴     ∴ （2）设     ∵ ∴ 又∵平分     ∴ 又∵平分    ∴ ∴ ∴ （3）由（2）得： 即 又∵ ∴ 又∵平分 ∴ 12．已知下图中的均为直角． (1)如图一，是的角平分线，是的角平分线； ①若，求的大小； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）； (2)如图二，若内部的射线OP、OQ把分成了三部分，且使得，我们称OP、OQ为的“三等分线”． 在图三中，OD是的三等分线，OE是的三等分线，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；②； (2)或或或． 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，解题的关键是理解题意，分情况讨论，进而求解． （1）①根据角平分线的定义，求得和的大小，进而求解；②根据角平分线的定义，求得和的大小，进而求解； （2）根据“三等分线”的定义，分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：是的角平分线，是的角平分线 ∴， ∵均为直角 ∴ ①由可得， ∴； ②由可得， ∴； （2）是的三等分线，是的三等分线，分以下四种情况， 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 综上：的度数为或或或． 13．综合与实践 【问题发现】在数学探究课上，王老师带领同学们结束角平分线的探究后，安排同学打自主探究角的三等分线．小明进行了如下探究，如图①，若射线，是的三等分线，则称更靠近边的射线是射线的“友好线”，靠近边的射线是射线的“友好线”． (1)如图②，，射线是射线的友好线，求的度数． (2)【问题探究】如图③，，射线与射线重合并绕点O以每秒的速度逆时针方向旋转，与射线重合时停止．问旋转几秒后，是的“友好线”． (3)【问题拓展】如图④，，射线，分别与射线，重合，射线绕点O以每秒的速度逆时针方向旋转，同时射线绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转，是否存在某一刻恰好是的“友好线”，若存在，求出时间t秒；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)旋转20秒后，是的“友好线” (3)存在；当或时，恰好是的“友好线” 【分析】（1）根据“友好线”定义求出的度数即可； （2）根据“友好线”定义求出的度数，然后再求出的度数，根据旋转速度求出旋转时间，即可得出答案； （3）分两种情况讨论，当在右侧时，当在左侧时，分别画出图形，列出关于t的方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴当射线是射线的“友好线”时，． （2）解：∵， ∴当是的“友好线”时，， ∴， ∴旋转时间为（秒）， 即旋转20秒后，是的“友好线”． （3）解：存在；当或时，恰好是的“友好线”． 当在右侧时，如图所示： 此时，， ∵恰好是的“友好线”， ∴， ∴， 解得：； 当在右侧时，如图所示： 此时，， ∵恰好是的“友好线”， ∴， ∴， 解得：； 综上分析可知，当或时，恰好是的“友好线”． 14．在数学活动课上，老师和同学们以“线段与角的共性”为主题开展数学活动，发现线段的中点的概念与角的平分线的概念类似，甚至它们在计算的方法上也有类似之处，它们之间的题目可以转换，解法可以互相借鉴． 如图1，点是线段上的一点，是的中点，是的中点． (1)问题探究： 若，，则______； “创新”小组的同学类比想到：如图2，已知，在角的内部作射线，再分别作和的角平分线，．求的度数； (2)继续探究： “奋进”小组在“创新”小组的基础上提出：如图3，若，在角的外部作射线，再分别作和的角平分线，．若，求的度数； (3)拓展探究： 已知在内的位置如图所示，，，且，，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1)    (2) (3) 【分析】（1）根据题意，计算出每段图形的大小，结合线段的和差关系求解根据题意，计算出每个角大小，结合角的和差关系求解； （2）结合图形以及角平分线的定义，计算出每个角大小，结合角的和差关系求解； （3）结合图形计算出每个角大小，结合角的差关系求解； 本题主要考查了线段的和差问题，角的和差问题以及角平分线的性质，结合图形，线段中点以及角平分线的定义是解题关键． 【详解】（1），， , 是的中点 是的中点 故答案为：3． 平分, 平分, ； 故答案为：． （2）由题可知：，， ， 平分, ， 平分, ； 故答案为：． （3）由题可知：，设， ， , ， 故答案为：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02双角平分线与角n等分线模型 目录导航 目录 例题讲模型 .1 模型1.双角平分线模型 模型2.角n等分线模型 习题练模型 .13 例题讲模型 模型1.双角平分线模型 模型解读 双角平分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平 分线夹角。下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们 自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。 模型证明 1)双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC;结论：∠DOE=∠AOC。 证明：：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC,∴∠DOB=∠AOB,∠BOE=) ∠BOC, 1/11 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴·∠DOB+∠BOE= 0B+B0C=A0c,六∠D0E=0c 2 模型运用 例1.如图，点A、O、B在同一条直线上，OD平分∠AOE,OF平分∠B0E,则∠DOF的度数为() B A.60° B.90° C.120° D.无法确定 例2.如图，O为直线AB上一点，在AB的上方依次引射线OC,OE,0D,且∠C0D=90°. E D B (1)当∠A0C=∠E0C时，0OD是∠E0B的平分线吗？试说明理由. (2)若LE0D=66°，LA0C=2LC0E.求LE0B的度数， 例3：如图，已知LA0B=150°，0D是∠AOB内任意一条射线，OE平分∠A0D,OC平分∠BOD. E O (1)求∠E0C的度数； (②)若∠B0C=21°，求∠E0D的度数. 2)双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC;结论：∠DOE= 1∠AOC。 证明：'OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC,∴.∠DOB=∠AOB,∠BOE=} ∠BOC, 2 2/11 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BOE-LD0BE)∠BOC -5∠40B=5∠40c,∠D0E-a0c 模型运用 例1.已知∠A0B内部有三条射线OE,OC,OF. O A 图1 图2 (1)如图1，若∠A0B=90°，∠AOC=36°，OE平分∠B0C,0F平分∠A0C.求∠E0F的度数； (2)如图2，若LA0B=150°，∠B0C=3LB0E,2LA0C=3LC0F,求∠E0F的度数. 3)拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC: 结论：∠P0r=180-40B A B 证明：OR平分∠A0C、OB平分∠B0C,六∠R0c-号A0c,∠P0c-BcC ,∠AOB+∠BOC+∠AOC-360°，∴.∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB, 2 2<A0B。 ∠Pog=∠Poc-∠Roc=A0c+B0C=∠40c+∠B0c)=Is0 模型运用 例1.如图，点O为直线AB上一点，∠COD为直角，OE平分∠AOC,OG平分∠BOC,OF平分∠BOD, 下列结论：①∠AOE与LBOG互余；②∠EOF与LGOF互补；③LDOE与LDOG互补；④ ∠A0C-LB0D=90°，其中正确的有() 3/11 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G B F D A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 例2.如图，直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠COE.若∠BOF=30°，则∠DOE= F E D 例3：如图，直线AB与CD相交于点O,OE⊥CD,OF是∠AOE内的一条射线，OC平分LAOF,OG平 分∠D0F. E G D (1)求证：OE平分∠BOF; (2)若∠E0G=20°，求∠BOD的度数. 模型2.角n等分线模型 模型解读 角等分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平 分线夹角。下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们 自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。 模型证明 条件：如图，∠AOB=,OA、OB,分别是∠AOM和∠MOB的平分线，OA2、OB,分别是∠A,OM和∠MOB的 平分线，OA、OB,分别是∠A,OM和∠MOB2的平分线.，OAn,OBn分别是∠An-OM和∠MOBn的平分线： 4/11 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 结论：∠A,OB,2 Az As M Bs B B 证明： ∠A0B=a,OA、OB1分别是∠AOM和∠MOB的平分线， ∠A0M-A0M,∠BoM-5B0M,∠A0a=∠40M+∠B0M)A0B=a, :0A,、OB,分别是∠A0M和∠M0B,的平分线，.∠4，OM=∠AOM,∠B,OM=∠BOM, 2 2A0840w+<B0)-40408 22, :04、0B分别是∠40M和∠M08,的平分线，∠40M=号AOM,∠R0M=B,0M, 2 ∠A084ow+∠aow)-A08,408-408-号，· 山此规律得：∠4，OB,受。 模型运用 例1.已知∠AOB=120,在∠AOB内部作射线0C,使得∠AOC:∠BOC=1:2, B N M A (I)如图，在∠BOC内部作射线ON,使得∠BON=3∠CON;作射线OM平分∠AOC,求∠MON的度数； (2)如果过点O作射线0D,使得2LA0D=3LB0D,则∠C0D的度数为· (不需写演推过程) 例2.如图1，已知0C、0D是∠A0B内的两条射线. 图1 图2 图3 (I)己知LA0B=60°，∠C0D=28°，∠A0C=∠B0D,那么∠A0C= 5/11 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，设∠AOB的度数是x,∠COD的度数是y,作射线OM平分∠AOC,射线ON平分∠BOD. ①如果x=60°，y=30°，求∠M0N的度数 ②如图3，作OM,平分∠MOC,ON,平分∠NOD;作OM2平分∠MOC,ON2平分∠NOD,按此规律以此 类推..作OM,平分∠Mm-OC,ONn平分∠Nn-OD,用含x、y、n的代数式表示∠M,ON,和∠MONn的 度数.（直接写出答案） 习题练模型 一、单选题 1.如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD 的度数为() y A.50° B.609 C.659 D.70° 2.如图，直线MN∥PQ,一个直角三角板ABC,其中∠BAC=30°，将三角板按如图所示方式放置，顶点 A,C分别落在直线PO,MN上，AB是∠CAP角平分线，则∠I的度数为() A\ A.45 B.350 C.30 D.25 3.如图，平行线AB,CD被直线AC所截，分别作∠BAC和LACD的角平分线，交点记为；分别作 ∠BAP和∠PCD的角平分线，交点记为B;分别作∠BAP和∠PCD的角平分线，交点记为B.····按 此规律维续操作，则∠AP,C的度数为() 6/11 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B P >P2 P D A.11.25° B.11.125° C.5.125 D.5.625° 12,∠3=∠4∠B0DA0B=90°， ①射线OF是∠BOE的角平分线；②∠BOC是∠3的补角；③∠C0D=∠BOE;④∠3的余角有∠B0E和 ∠COD D E A 其中正确的是() A.①③④ B.①②③ C.①②③④ D.②③④ 二、填空题 5.如图，A、O、B在一条直线上，0D、OE分别是∠AOC、∠B0C的角平分线，则∠D0E的度数是」 度. -B 6.如图，AB‖CD,∠ABD和∠BDC的角平分线交于点E,延长BE交CD于点F,∠2=32°，则 ∠3= A E 人3 F D 7.已知OD,OE分别是∠A0B、∠AOC的角平分线.OC是∠A0B内部的一条射线，若LD0C=20°， ∠A0E=25°，则∠B0E的度数为一 7/11 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 8.如图，∠AOA=a,射线OA,是∠AOA的角平分线，射线OA,是∠AOA2的角平分线，射线OA4是∠A,OA 的角平分线..以此类推，请借助所给图形思考∠A,0Ao2s的度数为 A A4 A A 三、解答题 9.如图，OB是∠A0C的角平分线，0D是∠C0E的角平分线，如果LA0B=40°，LC0E=60°，求 LBOD的度数. D E B 解：：OB是∠A0C的角平分线，∠A0B=40° .∠B0C==40°， :0D是∠C0E的角平分线，∠C0E=60° ∠COD= =1 2 :ZBOD ZCOD+= 10.点O为直线AB上一点，在直线AB同侧任作射线OE,OF,使得∠EOF=70· F A B 图1 图2 (I)如图1，过0点作射线0C使得0C为∠A0E的角平分线，且∠A0C=15°，求∠B0F的度数. (2)如图2，过O点作射线0C使得0C为∠AOE的角平分线，过0点作射线0D使得0D为LB0F的角平分 8/11 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 线，求∠COD的度数 11.点O为直线AB上一点，在直线AB上侧任作一个∠C0D,使得∠C0D=90°. D D 0 0 B 图1 图2 (1)如图1，过点O作射线，当OE恰好为∠AOD的角平分线时，请求出∠BOD与∠COE之间的倍数关系， (2)如图2，过点O作射线OE,当OC恰好为∠AOE的角平分线时，另作射线0F,使得0F平分∠COD, 求∠FOB+∠EOC的度数； (3)在(2)的条件下，若∠E0C=2LE0F,求∠AOE的度数. 12.已知下图中的∠AOB均为直角， —E M 图一 图二 图三 (1)如图一，0D是∠A0B的角平分线，OE是∠B0C的角平分线； ①若∠B0C=30°，求∠D0E的大小： ②若∠B0C=a,请直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）： (2)如图二，若∠MON内部的射线OP、OQ把∠MON分成了三部分，且使得∠MOQ=∠QOP=∠NOP,我 们称OP、OQ为∠M0N的“三等分线”. 在图三中，OD是∠AOB的三等分线，OE是∠BOC的三等分线，且∠BOC=a,请直接写出∠DOE的度数 (用含a的代数式表示)· 13.综合与实践 【问题发现】在数学探究课上，王老师带领同学们结束角平分线的探究后，安排同学打自主探究角的三等 分线.小明进行了如下探究，如图①，若射线OC,OD是∠AOB的三等分线，则称更靠近OA边的射线 OC是射线OA的“友好线”，靠近OB边的射线OD是射线OB的“友好线”. 9/11 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图① 图② 图③ 图④ (1)如图②，∠A0B=150°，射线OP是射线OA的友好线，求∠A0P的度数. (2)【问题探究】如图③，∠A0B=120°，射线00与射线OA重合并绕点O以每秒4°的速度逆时针方向旋转， 与射线OB重合时停止.问旋转几秒后，OQ是OB的“友好线”. (3)【问题拓展】如图④，∠A0B=180°，射线OM,ON分别与射线OA,OB重合，射线OM绕点O以每秒 4的速度逆时针方向旋转，同时射线ON绕点O以每秒2°的速度顺时针方向旋转，是否存在某一刻OM恰好 是ON的“友好线”，若存在，求出时间t秒；若不存在，请说明理由 14.在数学活动课上，老师和同学们以“线段与角的共性”为主题开展数学活动，发现线段的中点的概念与角 的平分线的概念类似，甚至它们在计算的方法上也有类似之处，它们之间的题目可以转换，解法可以互相 借鉴. B B AMC N B 图1 图2 图3 图4 如图1，点C是线段AB上的一点，M是AC的中点，N是BC的中点. (1)问题探究： ①若AB=6,AC=2,则MN=; ②“创新”小组的同学类比想到：如图2，已知LA0B=70°，在角的内部作射线0C,再分别作∠AOC和 ∠BOC的角平分线OM,ON,求∠MON的度数； (2)继续探究： “奋进小组在“创新”小组的基础上提出：如图3，若∠A0B=n°，在角的外部作射线0C,再分别作∠AOC 10/11