专题01 线段中双（多）中点模型（几何模型讲义）（山东专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦“线段双（多）中点模型”专题，针对中考几何入门核心考点，通过“双中点模型”“多中点模型”分类梳理知识，构建“条件-结论-证明”逻辑链条，设计模型推导、例题精讲、分层训练教学环节，帮助学生突破线段中点距离计算难点。 亮点在于“分类讨论+规律探究”教学策略，如双中点模型通过点的三种位置关系培养几何直观与推理意识，多中点模型结合n次操作规律推导发展抽象能力。配套选择、填空、解答题分层练习，设5分钟限时测试，助力学生高效掌握模型应用，教师可据此精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01线段中双（多）中点模型 线段是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出发，先 由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写 出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度 目录导航 目录 例题讲模型 .1 模型1.线段中的双中点模型， 1 模型2线段中的多中点模型 .5 习题练模型 9 例题讲模型 模型1线段中的双中点模型 模型解读 线段双中点模型：两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为 线段的双中点模型。 模型证明 MN=-AC 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论： 证明：①当点B在线段AC上，如图1， M B 1/10 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 ,M、N分别为AB、BC的中点， 1 BM=ABBV三 BC Γ2 .MN=BM+BN, 2 ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， N B 图2 ,M、N分别为AB、BC的中点， 1 BM=,ABBN二2 BC .MN=BM-BN, ③当点B在线段CA的延长线上 B M A N C 图3 ,M、N分别为AB、BC的中点， BM=AB BN= 2 .MN=BN-BM, MN-1BC-14B-(BC-B4)=1AC 2 模型运用 例L.如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，AB=10,AC=6,则线段CD的长是一 C D B 例2.如图，已知线段AC=8,B是AC的中点，D是BC的中点，则线段AD的长为一： 2/10 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D C 例3.如图，点CD是线段AB上两点（点C在点D左侧），已知AC:CD:BD=3:2:4,点M、N分别 是线段AD和CB的中点，若AD=IOcm,求MN的长. A MC DN B 例4.(1)如图甲，己知B、C在线段AD上，则图中共有条线段： (2)在图乙中，M是AB的中点，N是CD的中点，若AB=6,CD=4,则MB+CN= (3)在图乙中，若AD=20,BC=16,M是AB的中点，N是CD的中点，求线段MN的长度. B 甲 M B D 模型2线段中的多中点模型 模型解读 条件：如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=2a,第1次操作：分别取线段AM和AW的中点 M、N:第2次操作：分别取线段 心和的中点M,:第3次操作：分别取线段M:和心的 中点M,:N,:…连续这样操作次，结论：4-a。 A NM:NM N M 模型证明 证明：， M、V是AM和N的中点， 4M,=24M,AN=w, 4,N=号AM- IAN-MN-d. 2 3/10 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :M、心是M和N 和的中点， 4M,=4M,4N=, 2 :M,N是M和心的中点， 模型运用 例1.如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=2,第一次操作：分别取线段AM和AN的中点 M.心，第二次操作：分别取线段山和1心的中点4，心，第三次操作：分别取线段和的 AN M3 N3 中点， ；…连续这样操作2025次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 M1N1+M2N2+…+M202sW202s= () A N,M:N2 M N M N M 1 1 A.22024 B.20 C.2 例2.(25-26七年级上：陕西期末)如图，点A,B,C在同一直线上，H为AC的中点，M为AB的中点， N为BC的中点，则下列说法：①若MW=6,则HC=6:②AMH=4H-HB):③MN=AC+B: ④HC+HB=2HN,其中正确的是.（填序号） M H B N C M 例3.如图，点M在线段N的延长线上，且线段MW=2,第一次操作：分别取线段M和1N的中点M, 4/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 N AM AN 点4，心，第三次操作：分别取线段 M:和AN的中点 AN, ；第二次操作：分别取线段和的中点2， M3 N; 3；…连续这样操作2025次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 MN+MW2+·+Mo2s2s= A NM3N M2 NM N M 例4.(25-26七年级上·广东广州期末)学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点 实验：如图，设线段%第次，取的中点，第2次，取的中点月，第3次，取P4的中点5， 第4次，取B的中点P P … P:Ps (1)请完成下列表格数据. PP 次数 线段OP的长 第1次 nn- 0P=0R-RR=1-月 第2次 P明 09=0P+PR=1员 第3次 A- 0明=0R-RR=13 第4次 R2 OR=Og+R=1-L+↓1+1 2+222+28 一十 第5次 … OP (2)小明对线段4的表达式进行了如下化简： 因为此=1行京+， 5/10 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以20呢=0-京+2-1++. 11,1 1 两式相加，得30P=2+2. 21 所以O2=3+3x2. OP. 请你参考小明的化简方法，化简的表达式： Ph-iP= OP.= (3)类比猜想： 随着取中点次数”的不断增大， OP的长最终接近的值是 习题练模型 一、单选题 1.如图，已知线段B-20m延长B至C使得8C-48D是AB的中点，E是AC的中点，DE的长 度为() A D E B A.4cm B.5cm C.6cm D.7cm 2.规定：如果折线1-0-CO1<OC)上有个点P,且满足40+OP=CP,那么P就叫这条折线的“折中 点”.嘉嘉和淇淇在去某企业参加社会实践活动中，对-款形如折线4-0-C(O1<0C) 的机械臂产生了 浓厚的兴趣，并作出了如下的几何图形，P是折线A-O-C的“折中点”，M为线段OC的中点.嘉嘉测 出MP的长度，淇淇利用MP的长度直接计算得出图中某条线段的长度，你认为淇淇计算出长度的线段是 () 6/10 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.MC B.OA C.OP D.OC 3.如图，C是线段AB上一点，G是AB的中点，M是AC的中点，N是BC的中点，下列结论：① MN=G8:@CW=4G-GC,③GN=8G+GC:④MN4C+GC.其中结论正确的有( ) M G C N B A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②③④ 4.如图，数轴上O,A两点的距离为12，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中 点4处，第2次从4点跳动到40的中点4处，第3次从4点跳动到0的中点处，按照这样的规律继 A A 续跳动到点4,4,44(”≥之3，”是整数)处，问经过这样2025次跳动后的点e与44的中点的 距离是() A A, A A A.12-3x-1 2023 B.9-3×-1 22023 C.12-3x1 22024 n9丽 二、填空题 5.如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点，若AB=15,CE=4.5, 线段AD的长度为一· D C E B 6.若线段 2,在线段44的延长线上取一点，使中是44的中点：在线段44的延长线上取一 AA,=2 点，使4是4的中点，在线段14的延长线上取一点，使是44的中点，按这样操作下去， 7/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 线段a40的长度为一 7.已知：如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=16,第一次操作：分别取线段AM和AW的中 M N AM AN 点 ,:第三次操作：分别取线段M:和 M2 N2 ；第二次操作：分别取线段和的中点 AN?的中点， M3 N3 M4N4= 连续这样操作4次，则 LLLL1 A NM:NM N M M 8.已知点C为直级B上的一点，且BC=方4C,芙中点D为B的中点，点E为BC中点，若线段 AB=12,则线段DE的长为一 三、解答题 9.如图，已知线段1B上依次有四个点分别为” M,C,D,N ,其中点M是线段1C的中点，点N是线段BD 的中点，若线段AB=28cm,线段CD=8cm,求线段MN的长.请完成下列填空： 11 AMC DNB AB=28cm,CD=8cm,AC+1 +DB=AB 解： .AC+DB=AB-② =20(cm) :点M是线段AC的中点， .MC=③ ·点N是线段DB的中点， :.DN-TDB:DN-@ 2 .MC+DN=⑤ =10(cm) .MN=MC+CD+DN=⑥(cm). 0,如图，已知线段B=12m·延长1B至C,食得8C-4,D是4C的中点。 3 F D B E C 8/10 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求AD的长： (2)若F是AD的中点，E是BC的中点，求FE的长. 1.如照，线段心-1，点”是线段份丰后，位是线段吧的中点。点是是线变0的中点以天 P PO 指，点尸是线段 O 的中点. Pi P2 P3 O 0线段e。 的长为一； 2线段P0的长为： (3) PR+PR+BR++BB的值. 12.(1)如图1，点C为线段AB上一点，AC与CB长度之比为3：5，D为线段AC中点. A D C B AMD C N B 图1 图2 ①若AB=16,求BD的长 ②点E为线段BD的中点，若CE=m,求AB的长（用含m的代数式表示）· (2)如图2，点M为线段AD中点，点N为线段BC中点，若AB=a,CD=b,请用含a,b的代数式直接 表示出MN的长. 13.问题提出 (1)数轴上，点A、点B表示的数分别为-28，则线段AB的长为_，线段AB的中点M表示的数为； 问题探究 (2)如图，直线I上顺次有A、B、C、D四个点，AD=18cm,AB:BC:CD=2:3:4.点M是AB的中点， 点N是CD的中点.若线段AB以每秒6Cm的速度沿直线I向右运动，同时，线段CD以每秒2cm的速度沿 直线I向左运动.在运动的过程中，记BC的中点为E,AD的中点为F.设运动时间为秒. ①求在运动过程中MWN=EF时的t值： ②在运动过程中是否存在t,使得AE+BF+CF+DE的值最小？若存在，求出t满足的条件，并求出 AE+BF+CF+DE的最小值；若不存在，说明理由. 9/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AMB C N D 14.数轴上A、B两点表示的数分别是0，力，且满足口+2+b-6=0,动点P从点4出发，以每秒2 个单位长度的速度向右移动秒. AMP N B→ A M BNP 图1 图2 (1)a= b= (2)如图1，当点P在线段AB上时，若点M为PA的中点，点N为PB的中点，易知MN= (3)如图2，当点P在线段AB的延长线上时，若点M为PA的中点，点N为PB的中点，求线段MN的长： (4)若数轴上存在点Q,给出如下定义：记点P到点A的距离为m,点Q到点P的距离为n,如果n-m=1, 那么称点Q是点P的“亲密点”· ①若m=1,则点P的“亲密点”Q在数轴上对应的数为 BO=3BP ②若点是点的“亲密点”，且 ,请直接写出的值 10/10 专题01 线段中双（多）中点模型 线段是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出发，先由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。 目录 1 模型1.线段中的双中点模型 1 模型2.线段中的多中点模型 5 9 模型1.线段中的双中点模型 线段双中点模型：两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为线段的双中点模型。 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴；； ∵MN=BM+BN， ∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴；； ∵MN=BM-BN， ∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴；； ∵MN=BN-BM， ∴； 例1．如图，点是线段上的点，点是线段的中点，，，则线段的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了线段的中点以及线段的和差，先根据线段的和差求出长，再根据中点得到解题即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵点是线段的中点， ∴， 故答案为：2． 例2．如图，已知线段，B是的中点，D是的中点，则线段的长为 ； 【答案】6 【分析】本题考查了线段的和差，根据B是的中点，D是的中点，得，，再根据求解即可． 【详解】解：∵线段，B是的中点， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴． 故答案为：6． 例3．如图，点是线段上两点（点在点左侧），已知，点分别是线段和的中点，若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，一元一次方程的应用，设，则，，即得，再根据可求得，即得到，，，，，再根据线段中点的定义求出的长度，最后根据线段的和差关系解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，，，， ∴， ∵点分别是线段的中点， ∴，， ∴． 例4．（1）如图甲，已知B、C在线段上，则图中共有______条线段； （2）在图乙中，M是的中点，N是的中点，若，，则______； （3）在图乙中，若，，M是的中点，N是的中点，求线段的长度． 【答案】（1）6；（2）5；（3） 【分析】本题考查线段的和差，线段的中点． （1）根据线段的定义即可解答； （2）根据线段的中点求得，，即可解答； （3）先求得，再根据线段的中点得到，由即可求解． 【详解】解：（1）图中的线段有：，，，，，，共6条线段． 故答案为：6 （2）解：∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴． 故答案为：5 （3），， ， ∵M是的中点，N是的中点， ，， ， ． 模型2.线段中的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵，是和的中点， ∴，， ∴，……发现规律：， 例1．如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；……连续这样操作2025次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形变化规律问题，结合题意确定图形变化规律是解题关键．首先根据题意可知，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，，和的中点、， ∴， ∴， 同理可得， ， …… ∴， ∴． 故选：C． 例2．（25-26七年级上·陕西·期末）如图，点在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列说法：①若，则；②；③；④，其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查线段中点的性质及线段长度的计算，关键是利用中点定义将线段转化为半长，再通过线段和差关系逐一验证每个结论． 【详解】解：因为为的中点，为的中点，为的中点， 所以， 所以， 所以，①正确； ，②正确； ，③错误； ，④正确． 故答案为：①②④． 例3．如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；……连续这样操作2025次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上两点的距离与规律探索，理解题意，运用线段中点的定义来逐步探寻规律是解题关键． 根据线段中点的定义，尝试计算几组线段的长，归纳总结出规律后，计算出答案． 【详解】解：∵是的中点，是的中点， ∴，， ∴， 同理，， ， 归纳得，， ∴， 设， 两边同乘以得，， 将得，，即． 故答案为：． 例4．（25-26七年级上·广东广州·期末）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了次取线段中点实验：如图，设线段第次，取的中点；第次，取的中点；第次，取的中点，第次，取的中点； (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第次           第次           第次           第次           第次 ______ ______                (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为， 所以． 两式相加，得． 所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式； (3)类比猜想：______，______，随着取中点次数的不断增大，的长最终接近的值是______． 【答案】(1)，； (2)，过程见解析； (3) ；；． 【分析】本题考查线段的中点、线段的和差及规律型：数式的规律问题，找到数式的规律是解题的关键． （1）根据表中的规律可求出，根据可得出答案； （2）参照小明对线段的表达式的化简可得的表达式； （3）根据类比猜想可得答案． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）因为， 所以． 两式相加，得． 所以； （3），，随着取中点次数的不断增大，的长最终接近的值是． 故答案为：，，． 一、单选题 1．如图，已知线段，延长至C使得是的中点，E是的中点，的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． 根据与的关系可得，由求出，根据线段中点的定义分别求出和的长度，再利用线段的和差得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是的中点，E是的中点， ∴，， ∴． 故选：B． 2．规定：如果折线上有个点，且满足，那么就叫这条折线的“折中点”．嘉嘉和淇淇在去某企业参加社会实践活动中，对一款形如折线的机械臂产生了浓厚的兴趣，并作出了如下的几何图形，是折线的“折中点”，为线段的中点．嘉嘉测出的长度，淇淇利用的长度直接计算得出图中某条线段的长度，你认为淇淇计算出长度的线段是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了两点间的距离，线段的中点，解题关键是理解新定义的含义，正确识别图形，理解线段与线段之间的数量关系．先根据题意得，，则，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得，，， ∴， ∴， ∴利用的长度可以直接计算出线段的长度． 故选：B． 3．如图，C是线段上一点，G是的中点，M是的中点，N是的中点，下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有（　　） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，线段的和与差,掌握线段中点的性质是解题的关键． 根据线段中点可得，，，然后再利用线段中点的有关计算，逐个判断即可求解． 【详解】解：是的中点，M是的中点，N是的中点， ，，， ，故结论①正确， ，故结论②正确， ， ，故结论③正确， ，而不一定为中点，故结论④错误， 综上所述，结论①②③正确． 故选B． 4．如图，数轴上，两点的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（，是整数）处，问经过这样2025次跳动后的点与的中点的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴及图形变化的规律，根据所给跳动方式，依次求出点，，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为O，A两点的距离为12，且点为的中点， 则， 依此类推，， 所以． 当时，． 令的中点为M，如下图， 所以， 所以， 即点与的中点的距离是． 故选：B． 二、填空题 5．如图，点C为线段的中点，点E为线段上的点，点D为线段的中点，若，线段的长度为 ． 【答案】6 【分析】本题考查线段中点的有关计算．根据中点的定义可得，进而可得，，再根据点D为线段的中点，即可求解． 【详解】解：，点C为线段的中点， ， ， ， ， 点D为线段的中点， ， 故答案为：6． 6．若线段，在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点，在线段的延长线上取一点，使是的中点……，按这样操作下去，线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段中点的定义，找出题目中的规律是解题的关键．根据线段中点的定义，依次求出、、……，由此规律可得，得到和的长度，再根据线段和差即可解答． 【详解】解：，是的中点， ， ∵是的中点， ， ∵是的中点， ， …… 由此规律可得，， ，， ． 故答案为：． 7．已知：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，； 第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，，连续这样操作4 次，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点的距离计算的方法进行计算及根据题意找出问题的规律进行求解是解决本题的关键．根据题意可得，根据线段的差可得，，的长度表示，根据规律进行推理即可得出，即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得， ∵， ∴， ∵线段   和 的中点 ， ∴， 同理：， ∴， …… 依次类推， ， ∴， 故答案为：4． 8．已知点C为直线上的一点，且，其中点为的中点，点为中点，若线段，则线段的长为 ． 【答案】4或12 【分析】本题考查了与线段中点有关的运算，正确分两种情况讨论是解题关键．先根据线段中点的定义可得，再分两种情况：①当点在线段上时，②当点在的延长线上时，求出的长，再根据线段中点的定义可得的长，然后根据线段的和差求解即可得． 【详解】解：∵点为的中点，线段， ∴． ①如图，当点在线段上时， ∴， ∵， ∴， 将代入得：， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴； ②如图，当点在的延长线上时， ∴， ∵， ∴， 将代入得：， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴； 综上，线段的长为4或12， 故答案为：4或12． 三、解答题 9．如图，已知线段上依次有四个点分别为，其中点M是线段的中点，点N是线段的中点，若线段，线段，求线段的长．请完成下列填空： 解： ； 点M是线段的中点， ③______． 点N是线段的中点， ；④______ ⑤______， ⑥______（cm）． 【答案】①②③ ④⑤⑥18 【分析】本题考查的是两点间的距离，首先利用线段的中点表示出与的和，然后表示出线段即可． 【详解】解： ； 点M是线段的中点， ． 点N是线段的中点， ；， ， ． 故答案为：①②③ ④⑤⑥18 10．如图，已知线段，延长至C，使得，D是的中点． (1)求的长； (2)若F是的中点，E是的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算： （1）先求出，再由和中点的定义即可得到答案； （2）先根据线段中点的定义得到，，再根据即可求出答案． 【详解】（1）解： 是中点 （2）是中点 是中点 11．如图，线段，点是线段的中点，点是线段的中点，点是线段的中点…以此类推，点是线段 的中点． (1)线段的长为 ； (2)线段的长为 ； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据线段中点的定义和题意得到，的长，进而可求得的长； （2）根据、、的长，得到线段长度的变化规律，进而可求解； （3）根据前面发现的规律求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，， 则， 故答案为：； （2）解：由，，，…，以次类推， 则， 故答案为：； （3）解： ． 12．（1）如图1，点C为线段上一点，与长度之比为3:5，D为线段中点． ①若，求的长． ②点E为线段的中点，若，求的长（用含m的代数式表示）． （2）如图2，点M为线段中点，点N为线段中点，若，，请用含a，b的代数式直接表示出的长． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】本题主要考查两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差求解线段的长是解题的关键． （1）①由设，，根据可求解值，即可得，的长，结合中点的定义可求解；②根据题意画出图形，由设，，则，利用线段的和差，结合中点的定义可求解，由，进而可求解的长． （2）根据中点定义得到，即可求出． 【详解】（1）解：①由设，， ∵，， ， 解得， ，， 为线段的中点， ， ． ②解：如图所示． 由设，， ∴， 为线段的中点， ， ， 为的中点， ， ， ， ， 解得， ． （2）∵点M为线段中点，点N为线段中点， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ 13．问题提出 （1）数轴上，点、点表示的数分别为，则线段的长为 ，线段的中点表示的数为 ； 问题探究 （2）如图，直线上顺次有四个点，，．点是的中点，点是的中点．若线段以每秒的速度沿直线向右运动，同时，线段以每秒的速度沿直线向左运动．在运动的过程中，记的中点为，的中点为．设运动时间为秒． 求在运动过程中时的值； 在运动过程中是否存在，使得的值最小？若存在，求出满足的条件，并求出的最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（），；（）或；最小值，理由见解析． 【分析】本题考查了列一元一次方程解决问题，线段中点，绝对值的几何意义等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （）利用数轴可求得，点表示的数为； （）以为原点，建立数轴，分别表示出点的坐标，进而根据列出方程，进一步得出结果； 表示出，进而根据其几何意义得出结果． 【详解】解：（），点表示的数为， 故答案为：，； （）∵，， ∴，，， 以为原点，建立数轴，运动前：点：，：，：，：， 运动后，：，：，：，：， 此时，：，：，：，：， 由得出， ， ∴或； ， 其意义是数到，，，的距离之和， 当时，即时，最小值为． 14．数轴上、两点表示的数分别是，，且满足，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动秒．    (1)________，________； (2)如图1，当点在线段上时，若点为的中点，点为的中点，易知________； (3)如图2，当点在线段的延长线上时，若点为的中点，点为的中点，求线段的长； (4)若数轴上存在点，给出如下定义：记点到点的距离为，点到点的距离为，如果，那么称点是点的“亲密点”． ①若，则点的“亲密点”在数轴上对应的数为________； ②若点是点的“亲密点”，且，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2) (3) (4)①1或；②或或或 【分析】（1）理解绝对值的非负性，得，故，即可作答． （2）先得，再结合当点在线段上时，点为的中点，点为的中点，得，则，即可作答． （3）理解题意，得，，同理得， ，再代入数值到进行计算，即可作答． （4）①理解点是点的“亲密点”，且，，得出，故点的“亲密点”在数轴上对应的数为1或； ②理解题意，得出数轴上点P表示的数为，结合定义，得出得点的“亲密点”在数轴上对应的数为或，故或，又因为，故或，再进行求解，即可作答． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， 解得； （2）解：由（1）得， ∵数轴上、两点表示的数分别是，， ∴数轴上、两点表示的数分别是，， ∴， ∵当点在线段上时，点为的中点，点为的中点， ∴， ∴； （3）解：由（2）得数轴上、两点表示的数分别是，，， ∵动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动秒，且点在线段的延长线上， ∴，， ∵点为的中点，点为的中点， ∴， ， 则； （4）解：①由（2）得数轴上、两点表示的数分别是，，， ∵，点到点的距离为， ∴数轴上点P表示的数为， 点到点的距离为，如果，那么称点是点的“亲密点”． ∴， ∴， 即或， ∴点的“亲密点”在数轴上对应的数为1或； ②由（3）得， 则数轴上点P表示的数为， ∵记点到点的距离为， 即， ∵ ∴ ∵点到点的距离为， ∴或 ∴点的“亲密点”在数轴上对应的数为或， ∴或 ∴ ∵， ∴， 则或， 当时，得 解得； 当时，得 解得； 当时，得 解得； 当时，得 解得； 综上：的值为或或或． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $