精品解析：贵州省遵义新蒲新区2025-2026学年上学期八年级期末数学试题

2025－2026学年第一学期期末教学质量检测 八年级数学试题卷 注意事项： 1.全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分，考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2.一律在答题卡相应的位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3.不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，通过计算各选项中较小两边之和与最大边的比较，判断是否能构成三角形． 【详解】解：A．，能构成三角形，符合题意； B．，等于第三边，不能构成三角形，不符合题意； C．，不能构成三角形，不符合题意； D．，不能构成三角形，不符合题意； 故选：A． 2. 下列希腊字母中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称图形的概念．判断每个希腊字母是否为轴对称图形，即是否存在一条直线使图形对折后两侧完全重合． 【详解】解：∵ α、β、γ 均无对称轴，不是轴对称图形； ∵ θ 是一个圆中间有一条水平线，关于垂直轴和水平轴均对称，是轴对称图形； ∴ 是轴对称图形的是 θ． 故选：D． 3. 北京大学科研团队成功研制出高精度模拟矩阵计算芯片，在求解矩阵方程时，其相对误差可低至0.0000001量级．将数据0.0000001用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法要求形式为，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：C． 4. 点关于x轴对称的点的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为， 故选：C． 5. 某市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图②是图①共享单车示意图，．已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等得． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 6. 计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项及同底数幂的乘除法，熟练掌握各个运算是解题的关键；通过指数运算法则计算各选项，判断是否等于即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故符合题意； C、，故不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，故不符合题意； 故选B． 7. 化简的结果为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同分母分式的加减运算．利用同分母分式相加，分母不变，把分子相加，然后约分即可． 【详解】解：． 故选：B． 8. 数学活动课上，小星制作了一个燕尾形的风筝，如图，，，他准备用刻度尺量和的长是否相等． 小英却说：“不用再测量，因为≌，所以” 小英用到的判定三角形全等的方法是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：在与中， ， ∴， ， 故选：A． 9. 若，则代数式的值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值，由已知比例关系得，代入分式中计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴． 故选：D． 10. 数形结合是初中数学重要的思想方法，如图所示的几何图形描述了一个重要的数学公式，这个公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握通过不同的方法计算同一个图形的面积来证明一些公式的方法，利用数形结合是解题的关键．分别表示出图中的阴影面积，二者相等，比较各选项，即可求解． 【详解】解：前一幅图中阴影部分面积等于大正方形的面积，减去小正方形的面积，即； 后一幅图中阴影部分为两个梯形，其面积等于， 二者面积相等，则有． 比较各选项，可知只有A符合题意． 故选：A． 11. 小星和小红到距离新浦遵义会议纪念馆参观，小星乘燃油车先出发，后，小红乘新能源车出发，结果他们同时到达．已知新能源车的平均速度是燃油车平均速度的倍，设燃油车的平均速度为，则列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 根据题意，小星先出发，同时到达，故小星所用时间比小红多（即小时），利用，列出时间差方程即可． 【详解】解：设燃油车平均速度为，则新能源车速度为，由题意得： ，即， 故选：C． 12. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，能由作图过程判断出是的垂直平分线是解决问题的关键．由作图过程可得是的垂直平分线，得到，则，，进而推出，由三角形内角和定理得，即可求解． 【详解】解：由作图过程可知：是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴． 故选：C． 二、填空题（本题共有4小题，每小题4分，共16分．答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔直接答在答题卡的相应位置上） 13. 请你写出一个比大的整数______． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较、算术平方根，熟练掌握无理数的估算是解题关键． 是无理数，其近似值约为，因此比大的整数包括所有大于等于的整数，如、、等． 【详解】解：通过有理数估算可知， 整数是正整数、零和负整数， 但比大的整数应为正整数，且最小整数为， 因此可写出或更大整数， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 贵州花江峡谷大桥全长2890米，大桥多采用三角形结构（如图），使其不易变形，其蕴含数学道理是______．（填序号） ①三角形具有稳定性；②三角形的内角和为；③三角形任意两边之和大于第三边． 【答案】① 【解析】 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连线转化为三角形而获得．根据三角形的稳定性回答． 【详解】解：大桥多采用三角形结构（如图），使其不易变形，其蕴含的数学道理是三角形具有稳定性． 故答案为：①． 15. 分解因式：_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，先提取公因数，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 16. 如图，在四边形中，，，，，四边形的面积为，当四边形的周长最小时，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，过作交直线于，在上方作，交直线于，先证明，得到，，，则是等边三角形，得到， ，四边形的周长为，当最小时，四边形的周长最小，由垂线段最短可得最小，再由面积求出即可． 【详解】解：过作交直线于，在上方作，交直线于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形的周长为， ∴当最小时，四边形的周长最小， 由垂线段最短可得最小， ∵四边形的面积为， ∴， ∴ 即， ∴当四边形的周长最小时，则的长为； 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共98分，答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔书写在答题卡的相应位置上，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）请在①，②，③，④中任选3个代数式求和． （2）计算：． 【答案】（1）选①②③，和为4；选①②④，和为9；选择①③④，和为7；选②③④，和为4；（2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算以及整式的计算，熟练掌握乘方运算等是解题的关键． （1）分别计算出四个代数式的值，然后任选三个进行求和运算即可； （2）进行同底数幂的乘法，乘方最后合并同类项即可． 【详解】解：（1）；；； 故从，，，中任选三个计算， 选择①②③，其结果为； 选择①②④，其结果为； 选择①③④，其结果为； 选择②③④，其结果为； 故答案为：选①②③，和为4；选①②④，和为9；选择①③④，和为7；选②③④，和为4． （2）原式 18. 已知分式：，，； （1）要使分式有意义，则的取值范围为______． （2）化简，并从，，，中选取一个合适的数作为的值代入求值 【答案】（1） （2）当时，的值为；当时，的值为 【解析】 【分析】本题考查分式有意义以及分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式加法和除法的运算法则以及分式有意义的条件． （1）根据分式有意义的条件，分母不为，可求出的取值范围； （2）对先进行化简，根据分式，，的情况进行适当取值，代入计算即可． 【小问1详解】 解：使分式有意义， 则分母不为零， ∴， 得， 故答案为：． 【小问2详解】 解： ； 由于分式、、要有意义，则， 又∵分式是除数，故分式不能为0， ∴， 故当时，上式， 当时，上式， 综上，当时，的值为；当时，的值为． 19. 如图，，；有如下条件：①；②． （1）从①②中选一个作为已知条件，求证：； （2）若，，求点到点的距离． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，等边三角形的判定和性质． （1）选择①，根据可证明；选择②，根据可证明； （2）根据平行线的性质得，再由，得是等边三角形，即可得的长． 【小问1详解】 选择①， 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； 选择②， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 即点到点的距离为8． 20. 【观察思考】在平面直角坐标系中，若直线上的所有点的横坐标均为，则直线称为直线．如图，直线上的横坐标均为3，记为直线．探索关于直线对称的点的坐标规律如下： 已知点 对称轴 对称点 横坐标之间的数量关系 直线 直线 直线 （1）【特例感知】根据以上图表，可知关于直线对称的点的坐标为______． （2）【规律应用】结合以上规律完成下列问题： ①点关于直线对称的点的坐标为______． ②若点关于直线对称的点的坐标为，则的值为______． （3）【深入拓展】若点与点关于直线对称，求点的坐标．（用含有，，的代数式表示） 【答案】（1） （2）①；② （3） 【解析】 【分析】本题考查与点坐标有关的轴对称问题，根据表格总结规律是解题的关键； （1）根据表格规律解题即可； （2）根据表格规律解题即可； （3）根据表格规律解题即可． 【小问1详解】 解：根据表格可以发现：关于直线对称的点纵坐标一样，横坐标和为， ∴关于直线对称的点的坐标为，即， 故答案：； 【小问2详解】 解：结合表格规律发现：关于直线对称的点纵坐标一样，横坐标和为， ①点关于直线对称的点的坐标为，即， 故答案为：． ②∵点关于直线对称的点的坐标为， ∴， 解得 故答案为：． 【小问3详解】 解：∵关于直线对称的点纵坐标一样，横坐标和为， ∴点关于直线对称的点的坐标． 21. 第十五届全国运动会在广州开幕，吉祥物是“喜洋洋”和“乐融融”，寓意“喜气洋洋，团圆和美”，商店用1800元购进吉祥物“喜洋洋”和用3000元购进吉祥物“乐融融”． （1）求吉祥物“乐融融”和“喜洋洋”的购进单价 （2）该商店将吉祥物“乐融融”的售价定为95元／件，全部售出后总利润不低于1280元．求吉祥物“喜洋洋”每件的最低售价应为多少元？ 【答案】（1）吉祥物“乐融融”的购进单价为75元，吉祥物 “喜洋洋”的购进单价是90元 （2）吉祥物“喜洋洋”每件的最低售价应为114元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）设吉祥物“乐融融”的购进单价为元，则吉祥物 “喜洋洋”的购进单价是元，结合题意列分式方程求解即可； （2）设吉祥物“喜洋洋”每件的售价为元，分别计算出购进“乐融融”和“喜洋洋”的件数，再根据全部售出后总利润不低于1280元，列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设吉祥物“乐融融”的购进单价为元，则吉祥物 “喜洋洋”的购进单价是元， 根据题意得：， 解得， 经检验是分式方程的解， ， 答：吉祥物“乐融融”的购进单价为75元，吉祥物 “喜洋洋”的购进单价是90元； 【小问2详解】 解：设吉祥物“喜洋洋”每件的售价为元， 购进“喜洋洋”（件）， 购进“乐融融”（件）， 根据题意得， 解得， 答：吉祥物“喜洋洋”每件的最低售价应为114元． 22. 【教材呈现】小红练习了人教版八年级上册数学118页第7题，并进行了深入研究： 7.已知，，求的值 解： 的值为． （1）【解决问题】已知，，求值； （2）【知识迁移】已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则及完全平方公式是解本题的关键． （1）把进行平方计算，利用完全平方公式化简后得出，将，代入计算即可求出的值； （2）把进行平方计算，得出，将代入计算即可求出值． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∴ ∴的值为． 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴的值为． 23. 【课本再现】小新完成人教版八年级上册数学53页第8题后再深入拓展，并对四边形进行了如下尺规作图： ①以点为圆心，适当长为半径作弧交于点，交于点； ②分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点； ③作射线交于点． 若，点为中点． （1）【问题解决】线段与的位置关系为______． （2）【尝试证明】求证：； （3）【拓展提高】若，，求的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3）6 【解析】 分析】（1）根据得，根据“同旁内角互补，两直线平行”可得结论； （2）如图，过点E作于点F，根据作图过程可知，平分，根据角平分线的性质得，证明得，即可推出，进而可得结论； （3）如图，延长交于，求解，证明，可得，，进一步可得，可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：如图，过点E作于点F， 由作图过程可知：平分， ∴， ∵，， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，延长交于， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了作图-基本作图，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等知识． 24. 阅读材料，回答下列问题（规定且）： 材料一：乘方：求个相同因数（）乘积的运算，叫作乘方，记作：，其中，为底数，为指数，结果为幂．如：．设，，有如下性质： （1）； （2）； 材料二：开方：如果一个数的次方等于（即：），称为的次方根．记作： ，为被开方数，为根指数．如： 材料三：对数：如果，那么被称为以为底的对数，记作，其中为对数的底数，为真数．如：，则．设，，则，，，有如下性质及推导过程： （1）； （2）； （1）推导过程： ； 规律总结：乘方、开方、对数之间的关系：． （1）根据以上材料规律：已知；则______；______ （2）类比材料三的推导过程，求证：； （3）根据阅读材料计算：． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了新定义的知识解题，理解新定义，找到指数和对数的关系是求解本题的关键． （1）根据材料二，材料三中的计算公式，类比得出结果； （2）类比材料二，将、代入，通过同底数幂的乘法，结合得出，又由，即可证明； （3）利用材料三的性质进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵，得， ∴，得， ∵，得， ∴，得， 故答案为：；． 【小问2详解】 解：令，， 则，，， ∴． 【小问3详解】 解：根据材料三的性质， 得， ∵， ∴． 25. 综合与探究： 【问题背景】如图，，点在的平分线上，于点 （1）【操作探究】如图①，点在射线上，连接，过点作交射线于点，过点作于点． ①补全图形，则的度数为______； ②若点在线段上，求证：； ③若点在射线上，，，求的长； （2）【拓展应用】如图②，点在线段上，连接，，，直接写出的面积． 【答案】（1）①图形见解析，；②证明见解析；③的长为或 （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，多项式乘多项式与图形面积； （1）①由角平分线得到，，再根据三角形内角和得到，即可根据求解； ②证明，得到，则，结合，得到； ③点在线段上，由②可得，代入求值即可；若点在射线上，在下方，由②同理可得，，则，代入求值即可； （2）由，，，取一点，使，，过作交直线于，连接，证明，得到，，设，，则，，，根据，得到，连接，取中点，连接，根据，得到，代入整理得，最后根据求解即可． 【小问1详解】 解：①连接，补全图形如图所示： ∵，点在的平分线上， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：； ②若点在线段上， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ③若点在线段上，由②可得， ∵，， ∴， ∴； 若点在射线上，在下方，如图： 由②同理可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∵， ∴，， 取一点，使，，过作交直线于，连接， ∴，， ∴， ∴，， 设，，则，，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 连接，取中点，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即， 代入得， 整理得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期期末教学质量检测 八年级数学试题卷 注意事项： 1.全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分，考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2.一律在答题卡相应的位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3.不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 下列希腊字母中，是轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 3. 北京大学科研团队成功研制出高精度模拟矩阵计算芯片，在求解矩阵方程时，其相对误差可低至0.0000001量级．将数据0.0000001用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 点关于x轴对称的点的坐标为( ) A. B. C. D. 5. 某市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图②是图①共享单车示意图，．已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 7. 化简的结果为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 8. 数学活动课上，小星制作了一个燕尾形的风筝，如图，，，他准备用刻度尺量和的长是否相等． 小英却说：“不用再测量，因为≌，所以” 小英用到的判定三角形全等的方法是（ ） A. B. C. D. 9. 若，则代数式值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 10. 数形结合是初中数学重要的思想方法，如图所示的几何图形描述了一个重要的数学公式，这个公式是（ ） A. B. C D. 11. 小星和小红到距离新浦的遵义会议纪念馆参观，小星乘燃油车先出发，后，小红乘新能源车出发，结果他们同时到达．已知新能源车的平均速度是燃油车平均速度的倍，设燃油车的平均速度为，则列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共有4小题，每小题4分，共16分．答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔直接答在答题卡的相应位置上） 13. 请你写出一个比大的整数______． 14. 贵州花江峡谷大桥全长2890米，大桥多采用三角形结构（如图），使其不易变形，其蕴含的数学道理是______．（填序号） ①三角形具有稳定性；②三角形的内角和为；③三角形任意两边之和大于第三边． 15. 分解因式：_________________． 16. 如图，在四边形中，，，，，四边形的面积为，当四边形的周长最小时，则的长为______． 三、解答题（本题共9小题，共98分，答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔书写在答题卡的相应位置上，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）请在①，②，③，④中任选3个代数式求和． （2）计算：． 18. 已知分式：，，； （1）要使分式有意义，则的取值范围为______． （2）化简，并从，，，中选取一个合适的数作为的值代入求值 19. 如图，，；有如下条件：①；②． （1）从①②中选一个作为已知条件，求证：； （2）若，，求点到点的距离． 20. 【观察思考】在平面直角坐标系中，若直线上的所有点的横坐标均为，则直线称为直线．如图，直线上的横坐标均为3，记为直线．探索关于直线对称的点的坐标规律如下： 已知点 对称轴 对称点 横坐标之间的数量关系 直线 直线 直线 （1）【特例感知】根据以上图表，可知关于直线对称的点的坐标为______． （2）【规律应用】结合以上规律完成下列问题： ①点关于直线对称的点的坐标为______． ②若点关于直线对称的点的坐标为，则的值为______． （3）【深入拓展】若点与点关于直线对称，求点的坐标．（用含有，，的代数式表示） 21. 第十五届全国运动会在广州开幕，吉祥物是“喜洋洋”和“乐融融”，寓意“喜气洋洋，团圆和美”，商店用1800元购进吉祥物“喜洋洋”和用3000元购进吉祥物“乐融融”． （1）求吉祥物“乐融融”和“喜洋洋”的购进单价 （2）该商店将吉祥物“乐融融”的售价定为95元／件，全部售出后总利润不低于1280元．求吉祥物“喜洋洋”每件的最低售价应为多少元？ 22. 【教材呈现】小红练习了人教版八年级上册数学118页第7题，并进行了深入研究： 7.已知，，求的值 解： 的值为． （1）【解决问题】已知，，求的值； （2）【知识迁移】已知，求的值． 23. 课本再现】小新完成人教版八年级上册数学53页第8题后再深入拓展，并对四边形进行了如下尺规作图： ①以点为圆心，适当长为半径作弧交于点，交于点； ②分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点； ③作射线交于点． 若，点为中点． （1）【问题解决】线段与的位置关系为______． （2）【尝试证明】求证：； （3）【拓展提高】若，，求的长． 24 阅读材料，回答下列问题（规定且）： 材料一：乘方：求个相同因数（）乘积的运算，叫作乘方，记作：，其中，为底数，为指数，结果为幂．如：．设，，有如下性质： （1）； （2）； 材料二：开方：如果一个数的次方等于（即：），称为的次方根．记作： ，为被开方数，为根指数．如： 材料三：对数：如果，那么被称为以为底的对数，记作，其中为对数的底数，为真数．如：，则．设，，则，，，有如下性质及推导过程： （1）； （2）； （1）推导过程： ； 规律总结：乘方、开方、对数之间的关系：． （1）根据以上材料规律：已知；则______；______ （2）类比材料三的推导过程，求证：； （3）根据阅读材料计算：． 25. 综合与探究： 【问题背景】如图，，点在的平分线上，于点 （1）【操作探究】如图①，点在射线上，连接，过点作交射线于点，过点作于点． ①补全图形，则的度数为______； ②若点在线段上，求证：； ③若点在射线上，，，求的长； （2）【拓展应用】如图②，点在线段上，连接，，，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $