3.2 圆的对称性-【名校作业】2025-2026学年九年级下册数学同步课件（北师大版）

该初中数学课件围绕“圆的对称性”展开，核心内容包括圆的轴对称、中心对称及旋转不变性，以及弧、弦、圆心角关系定理及推论。通过对比轴对称图形观察导入，引导学生从已有对称知识过渡到圆的性质探究，搭建知识学习支架。 其亮点在于以图形观察培养几何直观（数学眼光），通过旋转对称证明推导定理发展推理意识（数学思维），例题中用符号语言表达关系强化数学语言运用。典例分析结合具体图形推理，助力学生理解知识联系，教师可借此高效实施教学，提升学生逻辑推理与应用能力。

学练优九年级英语（RJ） 教学课件 第三章 圆 2 圆的对称性 学习目标 掌握圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间相等关系定理. 通过上面的观察，我们发现轴对称图形通过翻折能完全重合，那么圆是轴对称图形吗？它有几条对称轴呢？ 轴对称图形 对称轴 对称轴 a m 轴对称图形 情景引入 小贴士 你是怎么得出结论的？ 圆的对称性： 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线. 用折叠的方法 ●O 新课讲解 . O A B 180° 将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？ 将圆绕圆心旋转任意角度，得到的图形还与原图形重合吗？ 圆的对称性： 圆是中心对称图形，对称中心为圆心. 圆是旋转对称图形，具有旋转不变性. 如图：若圆心角∠AOB=∠COD.那么：它们所对的弧 AB与CD相等吗？ · C B A D 证明：由于圆是旋转对称图形 ，因此绕圆心O旋转使点A与点C重合. ∵∠AOB=∠COD OA=OC OB=OD ∴点B与点D重合 ∴AB=CD O 在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等. O ′ · O A B 如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′D，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？ · C D 通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB=∠COD，那么，AB=CD， 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． ①∠AOB=∠COD ②AB=CD ⌒ ⌒ ③AB=CD A B O D C 弧、弦与圆心角的关系定理 在一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧_____，所对的弦_____. 在一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角_____，所对的弦______. 在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角____，圆心角所对的弧____. 等圆中也同样. 相等 相等 相等 相等 相等 相等 ________________，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. ________________，如果两个圆心角、两条弧、 两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 在同圆或等圆中 在同圆或等圆中 【定理】 【推论】 “一推二”定理及推论 已知：如图，AB，CD是⊙O的两条弦， 根据这节课所学的结论填空： ⌒ ⌒ （2）如果AB=CD，那么 ， ； （3）如果AB=CD，那么 ， 。 (1) 如果∠AOB=∠COD，那么 ， ; AB=CD ∠AOB=∠COD AB=CD ∠AOB=∠COD 例1 如图, AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且 . BE与CE的大小有什么关系？为什么？ 解：BE=CE. 理由是 ∵ ∠AOD=∠BOE, ∴ 又∵ ∴ ∴ BE=CE. 典例分析 例2 已知A，B是⊙O上的两点，∠AOB= 120°，C是AB的中点. 试确定四边形 OACB的形状，并说明理由. 证明：如图，四边形OACB是菱形． 理由如下：连接OC. ∵C是AB的中点， ∴AC＝BC. ∴∠AOC＝∠BOC. ∵∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°. 又∵OB＝OC，OA＝OC， ∴△BOC和△AOC都是等边三角形． ∴OB＝BC＝CA＝AO. ∴四边形OACB是菱形． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 1．在同圆或等圆中，如果，那么AB和CD的关系是( ) A．AB＞CD B．AB＝CD C．AB＜CD D．AB＝2CD B 2．如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝( ) A．40° B．45° C．50° D．60° A 课堂练习 78° 3.如图，AB是⊙O的直径，，∠COD＝34°，则∠AOE的度数是 . 4.如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD的度数为 。 120° 5．如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E.求证AD＝BE. 证明：连接OC.∵＝， ∴∠AOC＝∠BOC. ∵CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E， ∴∠CDO＝∠CEO＝90°. 在△COD和△COE中， ∴△COD≌△COE(AAS)． ∴OD＝OE. 又∵AO＝BO，∴AD＝BE. 6.如图，已知AD是⊙O的直径，AB，AC是弦，且AB＝AC． (1)求证：直径AD平分∠BAC． (2)若BC经过半径OA的中点E，点F是的中点，点G是的中点，⊙O的半径为1.求GF的长． 1. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，具有旋转不变性. 2. 弧、弦、圆心角之间的关系： （1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 课堂小结 证明：如图，连接BD，CD.∵AB＝AC，∴＝. 又∵AD是⊙O的直径，∴＝.∴BD＝CD. 又∵AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD. ∴∠BAD＝∠CAD.∴直径AD平分∠BAC. 解：如图，连接BO，CO，GO，FO. 由(1)可知AD⊥BC，又∵点E是OA的中点， ∴BA＝OB＝AC＝OC＝OA.∴∠BOA＝∠AOC＝60°. ∵＝，∴∠BOD＝∠COD＝180°－∠AOC＝120°. 又∵点F是的中点，∴∠COF＝∠FOD＝∠COD＝60°. ∴∠BOF＝180°.∴BF是⊙O的直径． 又∵点G是的中点，∴∠FOG＝90°. ∵⊙O的半径是1，∴GF＝OF＝. $