专题2.4 平面向量基本定理及坐标表示（高效培优讲义，5知识&8题型+强化训练）高一数学北师大版必修第二册

专题2.4 平面向量基本定理及坐标表示 教学目标 1.理解平面向量基本定理的内容与意义，明确基（基底）的概念及选取条件； 2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示方法，能将向量转化为坐标形式； 3.熟练运用平面向量的坐标运算法则（和、差、数乘）进行向量运算； 4.理解坐标表示下平面向量共线的条件，能运用该条件解决向量共线、直线平行及三点共线问题。 教学重难点 1.重点 （1）平面向量基本定理的内容，及用基底表示任意向量的方法； （2）平面向量的坐标表示，和、差、数乘的坐标运算规则； （3）坐标形式下平面向量共线的条件，及共线问题的初步应用。 2.难点 （1）平面向量基本定理中 “任意向量都可由一组基底唯一表示” 的理解与应用； （2）坐标表示下向量共线条件的灵活运用（如结合几何图形解决三点共线、直线平行问题）。 知识点01 平面向量基本定理 1. 定理：如果和是同一平面内的两个 不共线 的向量，那么对该平面内任一个向量，存在唯一的一对实数，使 。 2. 基：把不共线的向量、叫作表示这一平面内所有向量的一组基，记为 。 3. 正交基：若基中的两个向量 互相垂直 ，则称这组基为 正交基 。 4. 正交分解：在正交基下向量的线性表示称为 正交分解 。 5. 标准正交基：若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为 标准正交基 。 【即学即练】 1．在梯形ABCD中，，与交于点O，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用梯形相似比，可得，再用向量的减法运算，可得，再化简代换即可得解. 【详解】 由梯形ABCD中，，可得， 即，则， 因为，，所以， 故选：B. 2．(24-25高一下·黑龙江双鸭山第三十一中学·期中)如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 所以, 又，， 所以. 故选：A. 知识点02 平面向量的坐标 在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为标准正交基，对于坐标平面内的任意向量，以坐标原点为起点作，有且仅有一对实数使得，我们把实数对叫作向量在标准正交基下的坐标，记作 。 【即学即练】 3．如图，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基底，若，则向量的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的坐标表示即可求解. 【详解】由题意得，． 故选：A． 4．已知向量在射线上，且起点为坐标原点，又，分别取与轴，轴正方向相同的两个单位向量，作为基底，则向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用基底表示向量即可得出坐标. 【详解】由题意，． 故选：A. 知识点03 向量坐标运算规则 （1） 加法：两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和。若，，则。 （2） 减法：两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差。 若，，则。 （3） 向量数乘法则：实数与向量积的坐标分别等于实数与向量的相应坐标的乘积。 若，，则。 （4） 已知点坐标求向量坐标：一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去起点的相应坐标。已知向量的起点，终点，则。 【即学即练】 5．(25-26高三上·北京第三十一中学·)已知向量，．若实数与向量满足，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的坐标运算求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：B. 6．(24-25高一下·陕西渭南渭南中学·期末)已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量减法的坐标表示计算求解即可. 【详解】因为向量，， 所以， 故选：C 知识点04 中点坐标公式 若点，线段AB的中点M的坐标为，则 。 【即学即练】 7．(22-23高一下·重庆綦江区东溪中学·期中)已知，则的中点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量共线的坐标表示代入计算即可求得结果. 【详解】设的中点坐标是， 由三点共线可知，即，解得； 所以中点坐标为. 故选：B 8．(22-23高一下·北京朝阳区·期末)已知，，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得是线段的中点，根据中点坐标公式求解即可. 【详解】因为，所以是线段的中点， 所以点C的坐标为，即， 故点的坐标为. 故选:A. 知识点05 向量平行的坐标表示 在平面直角坐标系中，，，若，则存在实数，使得，即。于是消去，得。 这就是说，向量共线的充要条件是 。 【即学即练】 9．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属实验学校·期末)下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据基底的定义依次判断各项对应向量是否能作为基底即可. 【详解】由于基底是一对不共线的非零向量构成， A：为零向量，不符； B：由，即向量共线，不符； C：由，即向量共线，不符； D：，是一对不共线的非零向量，符合. 故选：D 10．已知向量．若为实数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量运算的坐标表示和向量共线的坐标公式计算即可. 【详解】因为向量， 所以. 因为，所以，解得. 故选：D. 题型01 基底的判定与选取 【典例1】(24-25高一下·江苏常州·期中)在下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据平面向量基本定理，两个不共线的向量可以作为基底，由此对各项中的向量加以分析，可得正确答案． 【详解】对于A，，，由于，所以与共线，它们不可以作为基底； 对于B，，，根据零向量与平面内任意向量共线，可知与不可以作为基底； 对于C，，，根据，可知与不共线，它们可以作为基底； 对于D，，，由于，所以与共线，它们不可以作为基底． 故选：C． 【变式1】下列各组向量中，能作为基底的是（ ） A．， B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基底的概念及辨析、由坐标判断向量是否共线. 【详解】A选项：，与共线，A错误； 对于B，由，B错误； 对于C，两向量不存在倍数关系，所以C正确， 对于D，，与共线，D错误； 故选：C. 【变式2】(24-25高一下·河南创新发展联盟·)下列各组向量中，能作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据向量作基底的条件，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】能作为基底的向量不可以是共线向量， 对A：，，，故//，不可作基底，故A错误； 对B：，，，故//，不可作基底，故B错误； 对C：，，，故，不共线，可以作基底，故C正确； 对D：，，，故//，不可作基底，故D错误； 故选：C. 【变式3】(24-25高一下·广西玉林玉林容县高中、北流高中、博白县三校联考·)在下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐个判断向量是否共线可得. 【详解】对于A，，两向量共线，故A错误； 对于B，，两向量共线，故B错误； 对于C，，两向量共线，故C错误； 对于D，设，即，方程组无解，即两向量不共线，故D正确. 故选：D 【变式4】下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】判断两个向量不共线即可作为基底. 【详解】解：对于A项：因为， 所以，即，不能作为基底； 对于B项：因为，所以不共线， 则，可以作为一组基底； 对于C项：因为， 所以，即，不能作为基底； 对于D项：因为， 所以，即，不能作为基底； 故选：B 题型02 用基底表示向量 【典例1】(24-25高一下·贵州毕节金沙县第一中学·期中)中，点在边上，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，可得，再利用向量线性运算求解即得. 【详解】在中，点在边上，由，得， 则，即，而，， 所以． 故选：B 【变式1】(25-26高三上·四川巴中中学·月考)如图，在中，，，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，通过向量的基本定理，用已知向量表示未知向量，即可求解. 【详解】由题意可得，，，所以，， 所以，因为， 所以, 所以 故选： 【变式2】已知正六边形中，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合正六边形性质可得，从而根据向量的线性运算即可求得答案. 【详解】由题意知正六边形中，设， 则, 故， 故选：C 【变式3】已知在中，，若点满足，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的加法、减法运算以及数乘向量化简即可. 【详解】因，则， 因为的中点，则， 则． 故选：B． 【变式4】如图，平行四边形中，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算结合平面几何知识即可求解. 【详解】因为，，，所以， . 故选：D 题型03 利用平面向量基本定理求参数 【典例1】(24-25高一下·湖南岳阳岳阳楼区·期末)如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用线段比例转化向量，再统一向量基底，最后根据“三点共线时，向量分解的系数和为1”的性质求解即可. 【详解】， ， ， ， ， 是线段上一点， 三点共线， ， 解得. 故选A. 【变式1】(25-26高三上·八联考（T8）·)已知点G为的重心，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算，结合三角形重心的向量表示可求解. 【详解】因为点G为的重心，所以， 所以，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：B. 【变式2】(25-26高一上·四川绵阳南山中学·期中)如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算与共线定理用基底表示向量，结合平面向量基本定理即可得的值. 【详解】因为， 所以， 则， 故，. 故选：B. 【变式3】(24-25高一下·云南曲靖会泽县·期末)在中，D为BC中点，且满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知用表示出，结合已知确定参数值. 【详解】因为D为BC中点，所以， 由题意，即. 故选：D 【变式4】(24-25高一下·海南部分学校·)如图，在中，是的中点，点满足，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加减法结合平面向量基本定理计算参数即可. 【详解】在中，是的中点，点满足， 因为， 则，所以. 故选：B. 题型04 平面向量线性运算的坐标表示 【典例1】(25-26高三上·陕西宝鸡·模拟)已知点，向量，，，则P点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量线性运算的坐标表示求出即可. 【详解】向量，，，可得：, 则, 因为点，则P点坐标为 故选：A 【变式1】(25-26高二上·河北五校联合教研体·期中)已知向量，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的坐标运算和向量的减法即可求解. 【详解】由题意. 故选：A 【变式2】设向量绕点逆时针旋转得向量，且，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，求出，求出，求出和即可求解. 【详解】设，则， 所以， 即，解得， 因此，，． 故选：B． 【变式3】(24-25高一下·重庆长寿区·期末)已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据坐标运算求解即可. 【详解】因为，所以， 故选：C 【变式4】(24-25高一下·广西百色·期末)已知向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由坐标表示向量的加法可得. 【详解】因为，所以. 故选：D. 题型05 由向量线性运算结果求参数 【典例1】(25-26高三上·湖南名校联考联合体·)平面向量，，且，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】根据向量减法的坐标运算可得. 【详解】因为，，所以，所以，解得. 故选：B. 【变式1】(24-25高三下·浙江宁波中学·月考)在正六边形中，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用正六边形的特点建立平面直角坐标系，写出向量的坐标，解方程组即可求解. 【详解】 以为原点建立平面直角坐标系，设正六边形的边长为2， 所以，，，， 所以，，， 因为， 所以，所以， 解得，，所以. 故选：A. 【变式2】(23-24高一下·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中)已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由平面向量加法的坐标运算求解即可． 【详解】已知向量，， 则，解得． 故选：B． 【变式3】(22-23高一下·四川眉山仁寿县文宫中学·期中)已知向量 满足 ， ， ，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】设出向量，的坐标，根据条件列出坐标方程，即可解出，的坐标，即可进一步列出含参数的坐标方程，从而解出参数，. 【详解】设，，又，， 所以，且， 解得，，即，.所以，则，解得，故. 故选：B. 【变式4】已知向量，， 若 （）， 则的值为（    ） A．3 B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据平面向量的坐标的线性运算列方程即可得求得的值，从而可得的值. 【详解】因为，， 所以 则，解得，则. 故选：B. 题型06 根据向量共线（平行）求参数 【典例1】(25-26高一上·辽宁沈阳东北育才学校·期末)已知向量，，若，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】利用向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】由题意若，则，解得，故C正确. 故选：C. 【变式1】(25-26高一上·辽宁大连甘井子区大连佰圣高级中学·期末)已知平面向量，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量共线的条件建立关系式，求的值. 【详解】因为，所以， 解得. 故选：A 【变式2】已知向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据平面向量的坐标运算可得向量平行时的值，再结合充分条件与必要条件的概念进行判断即可得结论. 【详解】因为向量， 若可得，解得或， 所以时，可得；时，不能推出， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式3】(25-26高三上·吉林四平第一高级中学·月考)已知向量，若与共线，则实数（    ） A． B．2 C．或2 D．或 【答案】D 【分析】根据向量共线的坐标运算即可. 【详解】因为与共线，所以，即，解得或. 故选：D. 【变式4】(25-26高一上·江苏建湖高级中学·期中)已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量线性运算的坐标表示和向量共线的坐标运算求解. 【详解】，，则，， 由，得，解得. 故选：B 题型07 利用坐标判断三点共线 【典例1】(25-26高二上·贵州县中新学校计划项目·期中)已知向量，若三点共线，则（    ） A． B．49 C．21 D． 【答案】D 【分析】根据共线向量的坐标表示公式计算即得. 【详解】由，可得， 因三点共线，则与共线， 故有，解得. 故选：D. 【变式1】(24-25高一下·北京第十九中学·期中)已知向量，则（   ） A．A、B、C三点共线     B．A、B、D三点共线 C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线 【答案】B 【分析】先利用向量坐标运算得到相应的向量，再计算向量共线所满足的关系式，看是否为0，得到结论. 【详解】A选项，由于，故不共线， 所以A、B、C三点不共线，A错误； B选项，， 由于，故共线，A、B、D三点共线，B正确； C选项，， 由于，故不共线，A、C、D三点不共线，C错误； D选项，，故不共线，B、C、D三点不共线，D错误. 故选：B 【变式2】(24-25高一下·内蒙古赤峰第四中学·月考)已知为不共线向量，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】A 【分析】由已知得，依次判断各项对应点所得向量是否共线，即可判断. 【详解】由题设， ，，，与有公共端点，所以三点共线，A对； ，，不存在，使， 所以与不共线，即三点不共线，B错； ，，不存在，使， 所以与不共线，即三点不共线，C错； ，，不存在，使， 所以与不共线，即三点不共线，D错； 故选：A 【变式3】(24-25高一下·天津蓟州区杨家楼中学·月考)已知，且三点共线.则（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】A 【分析】根据向量共线的坐标表示，计算即可. 【详解】因为三点共线，所以与共线，则有，解得. 故选：A. 【变式4】(18-19高一下·广东佛山三水区实验中学·月考)已知，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 【答案】D 【分析】利用三点共线时，由三点确定的两个向量共线进行判断即可 【详解】对于A，因为，且，所以与不共线，所以A，B，C三点不共线，所以A错误， 对于B，因为，所以， 因为，所以与不共线，所以A，B，D三点不共线，所以B错误， 对于C，因为，且，所以与不共线，所以B，C，D三点不共线，所以C错误， 对于D，因为，所以，因为，所以，所以与共线，因为与有公共端点，所以A，C，D三点共线，所以D正确， 故选：D 题型08 由向量线性运算解决最值和范围问题 【典例1】在平面四边形中，，点M在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解. 【详解】如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设则，， 所以， 设，则， 所以，所以， 因为，所以， 即的取值范围是， 故选：C. 【变式1】在等腰直角中，D为斜边BC的中点，点Р为内一点（含边界），若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，以为原点，，的方向为轴，轴的正方向建立直角坐标系，根据向量相等，即可求出的取值范围． 【详解】设，以为原点，，的方向为轴，轴的正方向建立直角坐标系，则.要使点为内一点（含边界），直线，，所以，即. 故选：D. 【变式2】(20-21高一下·A佳湖南大联考·期中)已知的边的中点为D，点G为的中点，内一点P（P点不在边界上）满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先以为x轴，D为原点建立坐标系，得到对应坐标，再根据向量关系解得，结合题意知，即解得结果. 【详解】以为x轴，D为原点建立如图坐标系． 设，则， ， 由，有，故， ∵点P在内，∴即， 解得. 故选：A． 【变式3】(23-24高一下·江苏南京某校·月考)四边形是正方形，延长至点，使得，若为中点，为中点，点在线段上移动（包含端点），设，求的取值范围 ． 【答案】 【分析】由图建立平面直角坐标系，利用平面向量坐标运算可得的范围. 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，设，则，， 由题意设，则， 由得， 则，故， 即， 故答案为： 【变式4】(22-23高一·微专题02平面向量的基本定理（2）-·)如图，矩形中，，，、分别为线段、上的点，且满足，若，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】建立直角坐标系，确定向量坐标，根据得到，，根据得到，变换，计算得到答案. 【详解】由题意，易知不为，建立如图所示坐标系，    设点，，，， ，，， ，，即， ，， ，， 故，即， 设， 当三点共线时，在直线的异侧，故，则， 则，即， 故，即， 解得或（舍去）； 故答案为：． 1．设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据基底的定义，结合共线向量的性质判断即可. 【详解】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成， C选项中，，即和为共线向量， 所以它们不能作为基底． 其他选项中的两个向量都不共线，所以可以作为基底． 故选：C 2．(24-25高一下·甘肃庆阳镇原县三岔中学·期中)若，是平面内一组不共线的非零向量，则下列可以作为一组基底向量的为（    ） ①和；②和；③和；④和. A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量基底的意义逐一判断即可. 【详解】对于①，，①不是； 对于④，，④不是， 对于②，因为，是平面内一组不共线的非零向量，故和均不是零向量， 若和共线，则存在实数，使得，即，无解， 故和不共线即它们可以形成基底向量，故②是； 对于③，同理和均为非零向量， 若和共线，则存在实数，使得， 即，无解，故和不共线即它们可以形成基底向量，故③是； 因此可以作为一组基底向量的为②③. 故选：B 3．(24-25高二上·贵州遵义第四中学·期末)已知中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：D 4．(25-26高三上·福建漳州第三中学·月考)在平行四边形中，、分别为、的中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用向量加减、数乘的几何意义用，表示出. 【详解】由已知， . 故选：C 5．(25-26高三上·河南郑州外国语学校·期中)若点是所在平面上一点，且是直线上一点，，则的最小值是（    ） A． B． C．8 D．9 【答案】D 【分析】由题意得出点为的重心，然后延长交于点，结合几何性质可得、、三点共线则得，再结合基本不等式中“1”的代换即可求解. 【详解】由题可设，，，， 则，，， 因，解得，，则为重心， 延长交于点，则点为的中点，如图所示， 则，由， 又因、、三点共线，所以可得， 所以， 当且仅当，即取等号，故D正确. 故选：D. 6．(25-26高一上·河北石家庄第三十八中学·)已知三点共线，且对直线外任一点，有 则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用向量共线定理得，再由向量的运算可得，结合条件，利用向量基本定理，即可求解. 【详解】因为三点共线，则，又点是直线外任一点， 所以，整理得到， 又，则，解得， 故选：C. 7．在平行四边形中，是边的中点，与相交于点，若，则的值是（    ）． A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】解法1应用相似得出比例关系结合平面向量基本定理求出即可求解；解法2应用向量的数乘运算结合三点共线即可计算求解. 【详解】解法1：根据题意可知，所以， 故 ，所以， 所以． 解法2：因为，， 所以， 因为三点共线， 所以，所以． 故选：A． 8．(23-24高一下·内蒙古包头·期末)在平行四边形ABCD中，E是CD的中点．若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用向量线性运算，结合平面向量基本定理求解. 【详解】在中，， 而，因此， 所以. 故选：A 9．如果用分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据向量的坐标表示求出，再根据正交分解即可得解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 10．已知分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量，O为原点，设(其中)，则点A位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】判断与的正负，从而可得点A所在的象限. 【详解】因为分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量，，，所以可知点A位于第四象限. 故选：D 11．(24-25高一下·山东聊城·期末)已知点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用坐标表示向量即可. 【详解】由点，，得. 故选：D 12．若向量，，，则可用向量，表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量基本定理，设，代入计算得到方程组，解出即可. 【详解】设，即， 则有，解得，则. 故选：A. 13．(25-26高二上·河北五校联合教研体·期中)已知平行四边形满足，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点的坐标为，求出,再根据向量相等的坐标表示列出方程,即可求解. 【详解】设点的坐标为， 因为，. 因为是平行四边形，所以， 即，解得，所以点的坐标为. 故选：A 14．已知点，，且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点的坐标为，根据平面向量的坐标运算可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点的坐标. 【详解】点、，且， 设点的坐标为，则， 所以，，，求得，，故点的坐标为， 故选：A． 15．已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据向量的坐标运算求解，注意三等分点有两种可能. 【详解】因为，，可得， 又因为点是线段的三等分点，则或， 所以或， 即点的坐标为或. 故选：C. 16．(25-26高三上·江西南昌第二中学·)若两个非零向量，，则是与共线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用向量共线的意义，结合充分条件、必要条件的定义直接判断. 【详解】令，则，，即向量与共线； 取，，满足与共线，而不成立， 所以是与共线的充分不必要条件. 故选：A 17．(24-25高一下·天津宝坻区第九中学·)下列向量组中，不能作为平面内所有向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断两个平面向量能否构成平面的基底，只需判断它们是否共线即可，不共线才能作为平面的基底. 【详解】能作为平面内的基底，须使两向量与不平行， 若，则， 故只需判断选项中的两向量的坐标是否满足即得. 对于A选项，因，∴与不平行，故A项正确； 对于B选项，，∴与不平行，故B项正确； 对于C选项，，∴与不平行，故C项正确； 对于D选项，，∴ ，故D项错误. 故选：D. 18．已知平面向量，，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算以及平行向量的坐标表示即可求出值. 【详解】，，则， 由得，解得. 故选：D. 19．(25-26高二上·江苏连云港赣榆区·期中)若三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由三点共线，可知存在唯一实数，使得，根据向量的共线定理，建立方程组即可解得. 【详解】因为，，三点共线，所以存在唯一实数，使得， 又因为，， 所以，即，解得， 所以的值为. 故选：A 20．(24-25高一下·新疆部分校·)已知向量，，且，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】应用向量的线性运算求，再由向量平行的坐标表示列方程求参数. 【详解】因为，，所以， 由，得，解得. 故选：A 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 平面向量基本定理及坐标表示 教学目标 1.理解平面向量基本定理的内容与意义，明确基（基底）的概念及选取条件； 2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示方法，能将向量转化为坐标形式； 3.熟练运用平面向量的坐标运算法则（和、差、数乘）进行向量运算； 4.理解坐标表示下平面向量共线的条件，能运用该条件解决向量共线、直线平行及三点共线问题。 教学重难点 1.重点 （1）平面向量基本定理的内容，及用基底表示任意向量的方法； （2）平面向量的坐标表示，和、差、数乘的坐标运算规则； （3）坐标形式下平面向量共线的条件，及共线问题的初步应用。 2.难点 （1）平面向量基本定理中 “任意向量都可由一组基底唯一表示” 的理解与应用； （2）坐标表示下向量共线条件的灵活运用（如结合几何图形解决三点共线、直线平行问题）。 知识点01 平面向量基本定理 1. 定理：如果和是同一平面内的两个____________的向量，那么对该平面内任一个向量，存在唯一的一对实数，使__________________。 2. 基：把不共线的向量、叫作表示这一平面内所有向量的一组基，记为______。 3. 正交基：若基中的两个向量______，则称这组基为______。 4. 正交分解：在正交基下向量的线性表示称为____________。 5. 标准正交基：若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为____________。 【即学即练】 1．在梯形ABCD中，，与交于点O，记，，则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·黑龙江双鸭山第三十一中学·期中)如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 知识点02 平面向量的坐标 在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为标准正交基，对于坐标平面内的任意向量，以坐标原点为起点作，有且仅有一对实数使得，我们把实数对叫作向量在标准正交基下的坐标，记作____________。 【即学即练】 3．如图，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基底，若，则向量的坐标为（    ）    A． B． C． D． 4．已知向量在射线上，且起点为坐标原点，又，分别取与轴，轴正方向相同的两个单位向量，作为基底，则向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 知识点03 向量坐标运算规则 （1） 加法：两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和。若，，则。 （2） 减法：两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差。 若，，则。 （3） 向量数乘法则：实数与向量积的坐标分别等于实数与向量的相应坐标的乘积。 若，，则。 （4） 已知点坐标求向量坐标：一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去起点的相应坐标。已知向量的起点，终点，则。 【即学即练】 5．(25-26高三上·北京第三十一中学·)已知向量，．若实数与向量满足，则可以是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高一下·陕西渭南渭南中学·期末)已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 知识点04 中点坐标公式 若点，线段AB的中点M的坐标为，则__________________。 【即学即练】 7．(22-23高一下·重庆綦江区东溪中学·期中)已知，则的中点坐标是（    ） A． B． C． D． 8．(22-23高一下·北京朝阳区·期末)已知，，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 知识点05 向量平行的坐标表示 在平面直角坐标系中，，，若，则存在实数，使得，即。于是消去，得。 这就是说，向量共线的充要条件是__________________。 【即学即练】 9．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属实验学校·期末)下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 10．已知向量．若为实数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 题型01 基底的判定与选取 【典例1】(24-25高一下·江苏常州·期中)在下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】下列各组向量中，能作为基底的是（ ） A．， B． C． D． 【变式2】(24-25高一下·河南创新发展联盟·)下列各组向量中，能作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式3】(24-25高一下·广西玉林玉林容县高中、北流高中、博白县三校联考·)在下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型02 用基底表示向量 【典例1】(24-25高一下·贵州毕节金沙县第一中学·期中)中，点在边上，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】(25-26高三上·四川巴中中学·月考)如图，在中，，，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】已知正六边形中，设，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知在中，，若点满足，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【变式4】如图，平行四边形中，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 题型03 利用平面向量基本定理求参数 【典例1】(24-25高一下·湖南岳阳岳阳楼区·期末)如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】(25-26高三上·八联考（T8）·)已知点G为的重心，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．3 【变式2】(25-26高一上·四川绵阳南山中学·期中)如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式3】(24-25高一下·云南曲靖会泽县·期末)在中，D为BC中点，且满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式4】(24-25高一下·海南部分学校·)如图，在中，是的中点，点满足，若，则（   ） A． B． C． D． 题型04 平面向量线性运算的坐标表示 【典例1】(25-26高三上·陕西宝鸡·模拟)已知点，向量，，，则P点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】(25-26高二上·河北五校联合教研体·期中)已知向量，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】设向量绕点逆时针旋转得向量，且，则向量（    ） A． B． C． D． 【变式3】(24-25高一下·重庆长寿区·期末)已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】(24-25高一下·广西百色·期末)已知向量，则（   ） A． B． C． D． 题型05 由向量线性运算结果求参数 【典例1】(25-26高三上·湖南名校联考联合体·)平面向量，，且，则（    ） A． B．2 C． D．3 【变式1】(24-25高三下·浙江宁波中学·月考)在正六边形中，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2】(23-24高一下·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中)已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3】(22-23高一下·四川眉山仁寿县文宫中学·期中)已知向量 满足 ， ， ，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D． 【变式4】已知向量，， 若 （）， 则的值为（    ） A．3 B． C． D．1 题型06 根据向量共线（平行）求参数 【典例1】(25-26高一上·辽宁沈阳东北育才学校·期末)已知向量，，若，则（   ） A． B．3 C． D． 【变式1】(25-26高一上·辽宁大连甘井子区大连佰圣高级中学·期末)已知平面向量，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】(25-26高三上·吉林四平第一高级中学·月考)已知向量，若与共线，则实数（    ） A． B．2 C．或2 D．或 【变式4】(25-26高一上·江苏建湖高级中学·期中)已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 题型07 利用坐标判断三点共线 【典例1】(25-26高二上·贵州县中新学校计划项目·期中)已知向量，若三点共线，则（    ） A． B．49 C．21 D． 【变式1】(24-25高一下·北京第十九中学·期中)已知向量，则（   ） A．A、B、C三点共线     B．A、B、D三点共线 C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线 【变式2】(24-25高一下·内蒙古赤峰第四中学·月考)已知为不共线向量，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【变式3】(24-25高一下·天津蓟州区杨家楼中学·月考)已知，且三点共线.则（    ） A． B．1 C． D．4 【变式4】(18-19高一下·广东佛山三水区实验中学·月考)已知，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 题型08 由向量线性运算解决最值和范围问题 【典例1】在平面四边形中，，点M在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】在等腰直角中，D为斜边BC的中点，点Р为内一点（含边界），若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】(20-21高一下·A佳湖南大联考·期中)已知的边的中点为D，点G为的中点，内一点P（P点不在边界上）满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】(23-24高一下·江苏南京某校·月考)四边形是正方形，延长至点，使得，若为中点，为中点，点在线段上移动（包含端点），设，求的取值范围 ． 【变式4】(22-23高一·微专题02平面向量的基本定理（2）-·)如图，矩形中，，，、分别为线段、上的点，且满足，若，则的最小值为 ．    1．设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．(24-25高一下·甘肃庆阳镇原县三岔中学·期中)若，是平面内一组不共线的非零向量，则下列可以作为一组基底向量的为（    ） ①和；②和；③和；④和. A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 3．(24-25高二上·贵州遵义第四中学·期末)已知中，，则（   ） A． B． C． D． 4．(25-26高三上·福建漳州第三中学·月考)在平行四边形中，、分别为、的中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 5．(25-26高三上·河南郑州外国语学校·期中)若点是所在平面上一点，且是直线上一点，，则的最小值是（    ） A． B． C．8 D．9 6．(25-26高一上·河北石家庄第三十八中学·)已知三点共线，且对直线外任一点，有 则实数等于（    ） A． B． C． D． 7．在平行四边形中，是边的中点，与相交于点，若，则的值是（    ）． A． B．2 C．1 D． 8．(23-24高一下·内蒙古包头·期末)在平行四边形ABCD中，E是CD的中点．若，则（    ） A． B． C．1 D． 9．如果用分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 10．已知分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量，O为原点，设(其中)，则点A位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限 11．(24-25高一下·山东聊城·期末)已知点，，则（    ） A． B． C． D． 12．若向量，，，则可用向量，表示为（　　） A． B． C． D． 13．(25-26高二上·河北五校联合教研体·期中)已知平行四边形满足，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 14．已知点，，且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 15．已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 16．(25-26高三上·江西南昌第二中学·)若两个非零向量，，则是与共线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．(24-25高一下·天津宝坻区第九中学·)下列向量组中，不能作为平面内所有向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 18．已知平面向量，，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 19．(25-26高二上·江苏连云港赣榆区·期中)若三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 20．(24-25高一下·新疆部分校·)已知向量，，且，则（    ） A．3 B． C．2 D． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $