2.4.1 平面向量基本定理 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

第二章 平面向量及其应用 2.4.1 平面向量基本定理 32999 1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量一组基的含义. 2.能用平面向量基本定理解决相关问题. 学 习 目 标 32999 情境：在物理学中，已知两个力，可以求出它们的合力（如图①）；反过来，一个力也可以分解为两个力（如图②）. 由力的分解得到启发，我们能否通过作平行四边形，将向量 分解为两个向量，使得向量 是这两个向量的和呢？ F 图① 图② 情 景 导 入 32999 问题1：如图，假设同一平面内存在不共线非零向量 e1，e2. a 是平面内与e1，e2 都不共线的向量，则 a 是否可以用 e1，e2 表示？依据是什么？ 如图，根据共线(平行)向量基本定理可知，存在唯一的一对实数 λ1，λ2，使得 a = λ1e1 + λ2e2. 问 题 探 究 32999 问题2：如图，e1，e2 是两个不共线的向量，试着使用 e1，e2 表示向量 、 、 、 . 发现：平面内任意一个向量都可以由这个平面内两个不共线的向量 e1，e2 线性表示. 问 题 探 究 32999 平面向量基本定理： 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内一个任意向量 a，存在唯一的一对实数 λ1，λ2 ，使 a = λ1e1 + λ2e2. 我们把不共线的向量 e1 和 e2 叫作表示这个平面内所有向量的一组基，记作{e1，e2}. 若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基. 在正交基下向量的线性表示称为正交分解. 若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基. 知 识 梳 理 32999 例1：如图，在 □ABCD 中点 E，F 分别为 BC，DC 的中点. = a， = b，用 a，b 表示 和 解：根据题意有： b， a， ∴ b a. 同理 a b. 典 型 例 题 32999 例2：如图，已知点 M，N，P 分别是 △ABC 三边 BC，CA，AB 上的点，且 设 = a， = b，选择基{a，b}，试写出向量 在此基下的分解式. 解：根据题意得 b， (b－a)， ∴ (b－a)－ b a + b， 同理 a + (b－a) a + b， a－ b. 典 型 例 题 32999 1.(多选) 设{e1，e2}是平面内所有向量的一组基，则下列四组向量中，能作为基的是（ ）. A. e1 + e2 和 e1 - e2 B. 3e1 - 4e2 和 6e1 - 8e2 C. e1 + 2e2 和 2e1 + e2 D. e1 和 e1 + e2 解：根据基的定义可知，作为基的向量间不能共线. A选项：e1 + e2 ≠ λ (e1 - e2)，C选项：e1 + 2e2 ≠ λ (2e1 + e2)， D选项：e1 ≠ λ (e1 + e2)，所以ACD 三组向量不共线，可以作为基底； 选项B：6e1 - 8e2 = 2(3e1 - 4e2)，两向量间共线，不能作为基底． ACD 当 堂 检 测 32999 2. 已知基 {a，b}，实数 x，y 满足 (3x - 4y)a + (2x - 3y)b = 6a + 3b，求 x - y 的值. 解：由题得：，解得 ，则 x - y = 3. 当 堂 检 测 32999 根据今天所学，回顾下列知识点： （1）平面向量基本定理； （2）基. 平面向量基本定理： a = λ1e1 + λ2e2（e1，e2 不共线）； 基：{e1，e2}； 正交基：e1，e2 互相垂直； 正交分解：在正交基下向量的线性表示； 标准正交基：e1，e2 是互相垂直的单位向量. 课 堂 总 结 32999 $