26.3 第2课时 二次函数与一元二次方程方程、一元二次方程不等式的关系-【名校作业】2025-2026学年九年级下册数学同步教案（华东师大版）

该初中数学教学设计聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的关系，通过呈现三个二次函数实例引导学生观察图象与x轴交点个数，衔接二次函数图象知识，为探究方程根的情况及不等式解集搭建学习支架。 资料以问题探究为主线，让学生动手画图、合作讨论，从“形”与“数”两方面归纳关系，体现数学眼光中的几何直观和数学思维中的推理意识，例题与练习结合强化应用，助力学生发展模型意识，也为教师提供结构化探究式教学方案。

26.3 实践与探索 第2课时 二次函数与一元二次方程方程、一元二次方程不等式的关系 教学目标 1．理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根； 2．利用二次函数y=ax2+bx+c的图形，观察对应一元二次方程ax2+bx+c=0的根的 情况。 3. 通过经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间 的联系． 教学重难点 重点： 1．体会方程与函数之间的联系。 2．能够利用二次函数的图象观察一元二次方程根的情况。 难点： 1．探索方程与函数之间关系的过程。 2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。 一、导入 给出三个二次函数：(1)y=x2-3x+2；(2)y=x2-x+1；(3)y=x2-2x+1.它们的图象分别如下. 观察图象与x轴的交点个数，分别是______个、______个、______个.你知道图象与x轴的交点个数与什么有关吗? 说明：初步感受二次函数与一元二次方程的关系. 二、课堂新授 （一）问题探究 问题1 画出函数y=x2-x-的图象，根据图象回答下列问题： (1)图象与x轴交点的坐标是什么? (2)当x取何值时，y=0?这里x的取值与方程x2-x-=0有什么关系? (3)你能从中得到什么启发? 说明与建议： ①先让学生回顾函数y=ax2+bx+c图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数y=x2-x-的图象. ②教师巡视，学生合作、交流. ③教师讲评，并画出函数图象，如图所示. ④教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出的问题，得到图象与x轴交点的坐标分别是(-，0)和(，0). ⑤让学生完成(2)的解答.教师巡视指导并讲评. ⑥对于问题(3)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：从“形”的方面看，函数y=x2-x-的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2-x-=0的解；从“数”的方面看，当二次函数y=x2-x-的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x2-x-=0的解.更一般地，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2+bx+c=0的解；当二次函数y=ax2+bx+c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2+bx+c=0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系. 问题2 根据问题1的图象回答下列问题. (1)当x取何值时，y<0?当x取何值时，y>0? (2)能否用含有x的不等式来描述问题(1)? 说明与建议： ①引导学生观察图象，这个函数图象在x轴上方的部分上的点，它的纵坐标都为正；在x轴下方的部分上的点，它的纵坐标都为负. ②y>0表示图象在x轴上方的部分点；y<0表示图象在x轴下方的部分点. ③根据分析写出结论：当x<-或x>时，y>0；当-<x<时，y<0.用含x的不等式表示(1)是：解不等式x2-x-＞0,x2-x-<0. ④师生归纳出二次函数与一元二次不等式的关系：不等式ax2+bx+c>0的解集就是二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的点对应的自变量的取值范围；不等式ax2+bx+c<0的解集就是二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴下方的点对应的自变量的取值范围.因此可用图象法求一元二次不等式的解集. （二）知识运用 例 画出函数y=x2-2x-3的图象，根据图象回答下列问题. (1)图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么? (2)当x取何值时，y=0?这里x的取值与方程x2-2x-3=0有什么关系? (3)x取什么值时，函数值y大于0?x取什么值时，函数值y小于0? 解：图象如图， 解：(1)图象与x轴的交点坐标为(-1，0)、(3，0)，与y轴的交点坐标为(0，-3). (2)当x=-1或x=3时，y=0，x的取值与方程x2-2x-3=0的解相同. (3)当x<-1或x>3时，y>0；当-1<x<3时，y<0. 回顾与反思 (1)二次函数图象与x轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决. (2)利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与x轴的交点，再根据交点的坐标写出不等式的解集. 三、巩固练习 1.抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（ ） A.两个交点 B.一个交点 C.没有交点 D.无法确定有没有交点 2.抛物线y=x2-4x+4与x轴有 个交点，坐标是 . 3.不画图象，求抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点是____________,与y轴交点坐标是_________. 4.若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是 . 5.如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m= ,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有 个交点. 6.已知抛物线 y=x2-8x+c的顶点在x轴上,则c= . 7.已知二次函数y=x2+x-6，画出此抛物线的图象，根据图象回答下列问题. (1)方程x2+x-6=0的解是什么? (2)x取什么值时，函数值大于0?x取什么值时，函数值小于0? 8.已知抛物线y1=2x2-8x+k+8和直线y2=mx+1相交于点P(3，4m). (1)求这两个函数的表达式； (2)当x取何值时，抛物线与直线相交?并求交点坐标. 四、课堂小结 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ= b2－4ac 两个交点 两个相异的实数根 b2－4ac > 0 一个交点 两个相等的实数根 b2－4ac = 0 没有交点 没有实数根 b2－4ac < 0 五、布置作业 教材p28下方练习T1，2 学科网（北京）股份有限公司 $