26.3 第1课时探索抛物线形问题（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（华东师大版）

26.3 实 第1课时探 A知识分点练 夯基础 知识点1拱桥（隧道）类问题 1.(2024·成都温江区期末)公园的一座抛物线形拱 桥如图所示，建立平面直角坐标系得到抛物线 y=- ,当拱顶到水面的距离为4m时，水 1 面宽AB= m. y/m y/m x/m B x/m 第1题图 第2题图 2.(2025·武威改编)如图，一个圆形喷水池的中央 竖直安装了一个柱形喷水装置OM,喷头M向 外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物 线路径落下，按如图所示的平面直角坐标系， 水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间 的关系武是y=一x2+2x+7Gd (x>0),则水流 喷出的最大高度是 3.一个横截面为抛物线形状的拱桥如图所示，当 水面在1时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面 2m,水面宽为4m.若水面宽度为6m,则水面 下降了 m. 2m -4m* 4.【新情境·生活情境】某菜农搭建了一个横截 面为抛物线形的大棚，尺寸如图所示.若菜农的 身高为1.8m,他在不弯腰的情况下，在棚内的 横向活动范围是 m. 20 一本·初中数学九年级下册HDSD版 践与探索 索抛物线形问题 5.一个横截面为抛物线形状的拱桥如图所示，在 某一时刻，拱桥内的水面宽OA=8m,拱桥顶 点B到水面的距离是4m. (1)如图，建立平面直角坐标系，求拱桥部分抛 物线所对应的函数表达式； (2)一艘宽为1.2m的打捞船径直向拱桥驶来， 当打捞船驶到拱桥下方且距点O0.4m时，桥 下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工 人站立在打捞船正中间清理垃圾，判断他的头 顶是否会触碰到拱桥，并说明理由（假设船底 与水面齐平) y/m B Ax/m 知识点2物体运动类问题 6.(2024·广安邻水期末)在篮球比赛中，某同学进行 了一次投篮，篮球准确地落入篮圈内，建立如 图所示的平面直角坐标系，篮球的运行轨迹可 看作抛物线y=一x2十2x十2.6的一部分，则 篮球在空中的最大高度为 y/m x/m 7.(2024·绵阳期未)在中考体育训练期间，小宇对 自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实 心球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间 1 3 8 的关系式为y=一 0x2+ 5x十。，由此可知， 小宇此次实心球训练的成绩为 m. B能力综合练 练思维、 8.一个球从地面竖直向上弹起时的速度为 10米/秒，经过的时间t(秒)与球距离地面的高 度h(米)适用公式h=10t一5t2,那么球弹起后 又回到地面所花的时间t是 () A.5 B.10 C.1 D.2 9.(2024·达州宣汉一模)某校计划举办科技节颁奖 典礼，想在颁奖现场设计一个抛物线形拱门入 口如图1，要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之” “星”（分别记作点A,B,C,D)四个大字，要求 BC∥AD,最高点的五角星（点E)到BC的距离 为0.5m,BC=2m,AD=4m,其示意图如图2 所示，则点C到AD的距离为 m. 技之 E 图1 图2 10.(2024·成都锦江区模拟)为了提醒司机安全驾 驶，要在隧道中安装电子显示屏.如图，已知隧 道截面为抛物线形，水平路面宽AB为16m, 抛物线顶点C到AB的距离为12m.根据计 划，安装的矩形显示屏MNPQ的高MQ为 1m,为了确保行车安全，显示屏底部距离地 面至少8m.若距离左右墙壁各留至少1m的 维修空间，则该矩形显示屏MNPQ的长QP 的最大长度为 m. C m显示屏m Q个P 8m C拓展探究练 提素养 11一座抛物线形拱桥的侧面示意图如图1所示. 水面宽AB与桥长CD均为24m,在距离点 D6m的点E处，测得桥面到桥拱的距离EF 为1.5m,以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴 建立平面直角坐标系. (1)求桥拱顶部O到水面的距离. (2)如图2，桥面上方有3根高度均为4m的 支柱CG,OH,DI,过相邻两根支柱顶端的钢 缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面的 距离为1m. ①求出其中一条钢缆所呈抛物线对应的函数 表达式； ②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰 若干条彩带，求彩带长度的最小值. y/m y/m ix/m 图1 图2 第26章二次函数211 ,该抛物线所对应的函数表达式为y=一 2x2+ x+4. 解法2（交点式）： 抛物线过点（一2,0），(4,0)， 设该抛物线所对应的函数表达式为y=a(x十 2)(x-4). 将(0,4)代入函数表达式，得4=一8a,解得a= 1 -2 1 “该抛物线所对应的函数表达式为y=一2(x十 1 2)(x-4)=-2x2+x+4. 8.(2,1) 9.(1)C(0,5) (2)y=- 1 4x2 4x+5 10.B11B12.y=3z44 3x+2 18y=日+2或y=日++2 14.y=-x2-4x+5 15.y-女+8 5 (2)当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值 16.(1)a=-1,b=2 (2)新抛物线的顶点坐标为(1十√2,4)或(1一√2,4) 26.3实践与探索 第1课时探索抛物线形问题 1.82.2.75m3.2.54.3 1 5.解：(1)y=-4x+2x(0≤x<8) (2)他的头顶不会触碰到桥拱.理由如下： 由题意，得工人距点00.4+2×1.2=1(m. 将x1代入y=-2+2z,解得)=1.75 1.75m>1.68m,.他的头顶不会触碰到桥拱。 6.3.6m7.88.D9.1.510.6 11.(1)6m (2)①右边钢缆所呈抛物线对应的函数表达式为y= 2x一6)+1.（或左边钢缆所呈抛物线对应的函数 1 表达式为y=12x+6)+1)】 ②彩带长度的最小值是2m 第2课时探索二次函数与利润问题 1.C 2.当每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利 润最大，最大利润是525元 3.(1)A,B两种客房每间定价分别为200元和 120元 (2)当A种客房每间定价为220元时，A种客房一天 的营业额W最大，最大营业额为4840元 4.(1)y=-2x+200 ·答多 (2)当售价定为每件54元时，总利润最大，此时的最 大利润为2208元 5.(1)y=-4x+324(30≤x≤80) (2)w=-4x2+324x-2000(30≤x≤80) (3)该影院将电影票售价定为40元/张或41元/张 时，每天获利最大，最大利润是4560元 6.解：(1)400 (2)由题意可得，W=(x一40)[500一10×(x一50)] =-10x2+1400x-40000=-10(x-70)2+9000. 每盒售价不得少于50元，日销售量不得低于 350盒， .500-10X(x-50)≥350.解 解得50≤x≤65. ,.当x=65时，W取得最大值，最大值是8750. 答：当每盒售价定为65元时，日销售利润W(单位： 元)最大，最大利润是8750元. (3)小强的说法正确，小红的说法错误.理由如下： 设日销售额为y元， 由题意，得y=x·p=x[500-10×(x-50)]= -10x2+1000x=-10(x-50)2+25000. 由(2)，得50x65, ∴.当x=50时，y取最大值，此时日销售额为25000元， .小强的说法正确. 当日销售利润不低于8000元，即W≥8000时， -10(x-70)2+9000≥8000，解得60≤x≤80. 由(2)，得50≤x≤65， ,∴.当日销售利润不低于8000元时，60≤x≤65， ∴.小红的说法错误，正确的结论应为当日销售利润 不低于8000元时，每盒售价x的范围是60≤≤x≤65. 重点题型专题1二次函数的实际应用 1.1<m<5 2.(1)y=-x+40 (2)当每袋售价定为25元时，才能使这种土特产每日 销售的利润最大，最大利润是225元. ,当MH二。m时，矩形铁皮MNGH的面积最大 最大面积是智r 1 4.(1)抛物线所对应的函数表达式为y=一12(x一 2)2+3.球不能射进球门 (2)他应该带球向正后方移动1m射门，才能让足球 经过点0正上方2.25m处 5.(1)每盒猪肉粽的进价为50元，每盒豆沙粽的进价 为30元 (2)y关于x的函数表达式为y=一10x2十1200x- 35000(52≤x≤70)，y的最大值为1000 第3课时探索二次函数与一元二次方程 (不等式)的关系 1.A【变式】（一5,0），(3,0) 2.9【变式】k≥0且k≠13.x1=-1,x2=3 4.A【变式】x<-1或x>55.D 6.-1或2或17.A8.B9.-410.2024 11.x1=-1,x2=312.x1=-2,x2=2 13.解：(1)证明：，y=2(xm)(x-m-3) =2x2-2(2m十3)x+2m2+6m, .[-2(2m+3)]2-4×2×(2m2+6m)=36>0, ∴.不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公 3.