27.1.3 圆周角-【名校作业】2025-2026学年九年级下册数学同步教案（华东师大版）

该初中数学教学设计聚焦圆周角定义、定理及应用，通过回顾圆心角特征（顶点在圆心）引入圆周角，搭建从圆心角到圆周角的知识支架，梳理圆中角的关系脉络。 以探究为主线，让学生动手画图、测量猜想直径所对圆周角为90°并推理证明，分情况讨论圆周角定理体现分类思想，发展几何直观和推理能力，例题练习培养应用意识，助力学生理解与教师教学。

27.1.3 圆周角 教学目标 1.理解圆周角的定义. 2.理解圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等. 3.能应用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征进行简单的证明和计算. 教学重难点 重点：圆周角定理及运用. 难点：运用数学分类的思想证明圆周角定理. 教学过程 一、导入 如图，同学们能找到圆心角吗?它具有什么样的特征?(顶点在圆心)今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做圆周角. 二、课堂新授 探究1 圆周角 (1)究竟什么样的角是圆周角呢?像图③中的角就叫做圆周角，而图①②④⑤中的角都不是圆周角.图③中的角有哪些特点?同学们可以通过讨论归纳判断一个角是不是圆周角. 师生讨论归纳，得出结论：顶点在圆周上并且两边和圆相交的角叫圆周角. (2)针对练习1 找出下图中的圆周角. 探究2 直径上圆周角的性质 (1)画⊙O与其直径AB，任意画一个圆周角∠ACB，互相交流一下，你们所画的图形完全一样吗?这说明了什么?(不一样，说明一条弦所对的圆周角有无数个.) (2)用量角器量量看，∠ACB的度数如何? (90°) (3)由此你能猜想出什么结论? (通过测量，让学生初步认识到直径所对的圆周角等于90°.) (4)请用逻辑推理的方法，说明你的猜想正确. 证明：如图，因为OA=OB=OC，所以△AOC、△BOC都是等腰三角形，所以∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB.又∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°，所以∠ACB=∠OCA+∠OCB==90°.因此，不管点C在⊙O上何处(除点A、B)，∠ACB总等于90°. 归纳：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°(直角).反过来也是成立 的，即90°的圆周角所对的弦是圆的直径. （5）针对练习2 如图，AB是⊙O的直径，∠A=80°.求∠ABC的大小. 探究3 同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系 （1）如图所示，∠ADB、∠ACB、∠AOB分别是什么角?它们有何共同点? (∠ADB、∠ACB分别是⊙O的圆周角；∠AOB是圆心角；它们都是所对的角.) (2)分别量一量上图中所对的两个圆周角的度数并比较一下.再变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化.你发现其中有什么规律吗? (圆周角的度数没有变化.) (3)分别量出图中所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你发现什么? (圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半.) (4)由此你能猜想出什么结论? 在同一个圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧或等弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等. (5)如图所示，你能为你的猜想结论说明理由吗? 因为OA=OC，所以∠A=∠C.又由于∠AOB是△OAC的外角，所以∠AOB=∠A+∠C，所以∠C=∠AOB. (6)如上图中的圆心角和圆周角都有一边过圆心，这只是一种特殊情况；想一想，并画画看，还可以画出哪些不同的图形? 学生小组合作交流，得出如图①、图②两种情况. (7)你能证明这两种情况下猜想是否成立吗? 教师指出这两种情况仍然成立，引导学生将图①、图②转化为图③、图④中的情形，为此只需过C作⊙O的直径即可，具体让学生证明. 结论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.(圆周角定理) (8)针对练习3 教材P44练习T1，2. 探究4 圆内接四边形及性质 (1)你能根据圆周角与圆心角的关系，解下列问题吗? (2）已知∠A的度数，你能求出∠C的度数吗? 学生讨论解决，得出要求圆周角的度数需求出相应圆心角的度数.为此需作出相应的圆心角，然后利用圆心角与圆周角的关系求. 学生完成当∠A分别为60°、90°、100°时，求∠C的度数，并归纳出∠A与∠C的关系. (3)在学生完成的基础上，教师归纳： ①如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形. ②圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补. 思考：你能证明圆内接四边形的性质吗? (3)练习：已知ABCD为圆内接四边形，∠A:∠C=1:2，则∠A=______. 【例1】 试分别求出下图中∠x的度数. 【例2】 已知，如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交BC于D，交 AC于E.求证：=. 说明：例1让学生独立完成，然后统一答案讲评；例2引导学生分析出要证 =，只需证明它们所对的圆周角相等即可，为此需连结AD，证明∠BAD=∠CAD，然后让学生完成证明过程. 三、巩固练习 1.教材P44页练习T3. 2.教材P45习题27.1 T5. 3.如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上两点，若∠ABD=40°，则∠BCD=______. 四、课堂小结 本节课你有什么收获? 知识总结：本节课我们一同探究了同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半；由这个结论进一步得到：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等；半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°(直角).90°(直角)的圆周角所对的弦是圆的直径等结论，希望同学们通过复习，记住这些知识，并能做到灵活应用它们解决相关问题. 方法归纳：在探索一个新的结论或事物的时候，往往要遵循从感性到理性、从特殊到一般的思想. 五、布置作业 教材P45习题27.1 T6， P46习题27.1 T7，8，10. 学科网（北京）股份有限公司 $