27.2.3 第1课时 切线的判定和性质定理-【名校作业】2025-2026学年九年级下册数学同步课件（华东师大版）

该初中数学课件聚焦“切线的判定和性质定理”，通过下雨天转雨伞、砂轮打磨火星的生活实例导入，衔接圆的位置关系前备知识，借助画图探究、定理推导构建学习支架，为后续圆的综合应用奠定基础。 其亮点在于以生活现象激发兴趣，体现用数学眼光观察现实世界。通过“有切点连半径证垂直”等方法培养推理意识，例题规范符号表达强化数学语言。学生能直观理解知识形成过程，教师可依托清晰流程提升课堂效率。

学练优九年级英语（RJ） 教学课件 27.2 与圆有关的位置关系 第27章 圆 第1课时 切线的判定和性质定理 27.2.3 切线 课时导入 问题1 当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？ 问题2 砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么方向？ 一、切线的判定 如图，画一个圆O及半径OA，经过⊙ O的半径OA的外端 点A画一条直线l垂直于这条半 径，这条直线与圆有几个 公共点？ 从图可以看出，对直线l上除点A外的任一 点P，必有OP > OA，即点P立于圆外，从而可知直线与圆只有一个公共点，所以直线l是圆的切线. 1. 判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直 线是圆的切线． 要点分析：切线必须同时具备两个条件： (1)直线过半径的外端；(2)直线垂直于半径． 2. 判定方法： (1)定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线； (2)数量法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线； (3)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是 圆的切线． 3. 切线判定常用的证明方法： (1)有切点，连半径，证垂直： 如果已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到 辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可，简记为： 有切点，连半径，证垂直． (2)无切点，作垂直，证半径： 如果已知条件中不知道直线与圆是否有公共点，那么过圆心 作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径即可，简记 为：无切点，作垂直，证半径． BC为⊙O的切线 OA为⊙O的半径 BC ⊥ OA于A 应用格式 判一判：下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？ O. A O. A B A O (1) (2) (3) (1)不是，因为没有垂直. (2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A. 注意：在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线. 例1 如图,∠ABC=45°，直线AB是☉O上的直径，且AB=AC. 求证：AC是☉O的切线. 分析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可. 证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°. ∴∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°. ∵AB是☉O的直径， ∴ AC是☉O的切线. A O C B 例2 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线. O B A C 分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连结OC，只要证明AB⊥OC即可. 证明：如图，连结OC. ∵ OA＝OB,CA＝CB, ∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.　 ∴ AB⊥OC. ∵ OC是⊙O的半径, ∴ AB是⊙O的切线. 例3 如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点，⊙O 与AB 相切于E.求证：AC 是⊙O 的切线． B O C E A 分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是⊙O的半径就可以了，而OE是⊙O的半径，因此只需要证明OF=OE. F 证明：连结OE ，OA, 过O 作OF ⊥AC. ∵⊙O 与AB 相切于E ， ∴OE ⊥ AB. 又∵△ABC 中，AB ＝AC ， 　　O 是BC 的中点． ∴AO 平分∠BAC， F B O C E A ∴OE ＝OF. ∵OE 是⊙O 半径，OF ＝OE，OF ⊥ AC. ∴AC 是⊙O 的切线． 又OE ⊥AB ，OF⊥AC. 如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB 求证：直线AB是⊙O的切线. C B A O 如图，OA＝OB=5，AB＝8, ⊙O的直径为6. 求证：直线AB是⊙O的切线. C B A O 对比思考 ？ 作垂直 连结 方法归纳 (1) 有切点，连半径，证垂直; (2) 无切点，作垂直，证半径. 证切线时辅助线的添加方法 例1 例2 有切线时常用辅助线添加方法 (1) 见切点，连半径，得垂直. 切线的其他重要结论 (1) 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点; （2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 要点归纳 课堂练习 1.下列命题中，真命题是(　　) A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．经过半径外端的直线是圆的切线 C．经过切点的直线是圆的切线 D．圆心到某直线的距离等于半径，那么这条直线 是圆的切线 2.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，下列选项中，能 使过点A的直线EF与⊙O相切于点A的条件是(　　) A．∠EAB＝∠C B．∠B＝90° C．EF⊥AC D．AC是⊙O的直径 3.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，下列选项中，能 使过点A的直线EF与⊙O相切于点A的条件是(　　) A．∠EAB＝∠C B．∠B＝90° C．EF⊥AC D．AC是⊙O的直径 二、切线的性质 如图,如果直线l是⊙O的切线，点A为切点，那么半径 OA与l垂直吗？ 证明：假设半径OA与直线l不垂直，那么过点O作OB⊥ l，垂足为B.由于“点到直线的距离垂线段最短”，所以OB＜OA.根据“直线l和⊙O相交d＜r”，所以直线 l和⊙O相交.这与已知相矛盾，因此假设不成立，则半径OA与直线l垂直. 1. 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 要点分析： (1)性质定理的题设有两个条件： ①圆的切线；②半径过切点，应用时缺一不可． (2)切线的判定定理与性质定理的区别：切线的判定定理 是在未知相切而要证明相切的情况下使用，切线的性 质定理是在已知相切而要推得其他的结论时使用；它 们是一个互逆的过程，不要混淆． 2. 切线的性质： 温故：(1)切线和圆只有一个公共点； (2)圆心到切线的距离等于半径； (3)圆的切线垂直于过切点的半径． 知新：(推论) (4)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点(找切点用)； (5)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心(找圆心用)． 以上(3)(4)(5)可归纳为： 已知直线满足：①过圆心；②过切点；③垂直于切线 中的任意两个，就可得到第三个． 拓展： (1)弦切角的定义：顶点在圆上，一边与圆相交(弦)，另 一边与圆相切(切线)的角叫做弦切角． (2)弦切角的性质：弦切角的度数等于它所夹弧所对的 圆周角的度数，亦等于它所夹弧的度数的一半，也 等于它所夹弧所对的圆心角度数的一半． A l O ∵直线l是⊙O 的切线，A是切点， ∴直线l ⊥OA. 应用格式 例3 如图所示，AB 为⊙ O 的直径，PD 切⊙ O 于点C， 交AB 的延长线于点D，且∠ D=2 ∠ CAD. （1）求∠ D 的度数. （2）若CD=2，求BD 的长. 分析：（1）利用“等半径”得等腰三角形； （2）利用“切线”垂直于过切点的半径构成直角三 角形，再结合相关性质求解.   课堂练习 1.如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连结OC.若∠BCD＝50°，则∠AOC的度数为(　　) A．40° B．50° C．80° D．100° 2.如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为(　　) A．65° B．130° C．50° D．100° 3.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD＝120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为(　　) A．40° B．35° C．30° D．45° 现在你知道: 1.当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？ 2.砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么方向？ 下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上打磨工件飞 出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出． 切线的 判定方法 定义法 数量关系法 判定定理 1个公共点，则相切 d=r，则相切 经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的 性质 证切线时常用辅助线添加方法： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作垂直，证半径. 有1个公共点 d=r 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 有切线时常用辅助线 添加方法： 见切线，连切点，得垂直. 课堂小结 布置作业 必做：教材P52练习T1，2，3，4 选做：请完成《名校作业》对应习题 $