27.2.3 第2课时 切线长定理-【名校作业】2025-2026学年九年级下册数学同步课件（华东师大版）

该初中数学课件聚焦“切线长定理”，通过复习切线的3种判定方法及性质导入，衔接切线长定义，再以折叠实验引导学生自主探索定理，构建从旧知到新知的学习支架，帮助学生逐步理解定理内涵。 其亮点在于以数学思维为核心，通过复习旧知建立逻辑联系，折叠实验培养几何直观（数学眼光），结合基本图形研究和例题分析强化模型意识（数学语言），助力学生发展推理能力和知识体系，教师可直接使用结构化内容提升教学效率。

学练优九年级英语（RJ） 教学课件 27.2 与圆有关的位置关系 第27章 圆 第2课时 切线长定理 27.2.3 切线 课时导入 1.请同学们回忆一下你学过的哪些知识可以判断一条直线是圆的切线？ （1）一条直线与一个圆有唯一公共点； （2）圆心到直线的距离等于半径； （3）经过半径外端且垂直于这条半径的直线. 2.在上节课的学习中，我们还学习了圆的切线的性质，你还记得性质内容是什么吗？ 圆的切线垂直于过切点的半径. 3.在运用圆的切线的性质解决问题时经常添加的辅助线是什么？ 连结切点与圆心. · 在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的 线段的长叫做这点到圆的切线长. O P A 思考： 切线和切线长这两个概念有何区别？ 切线是直线，不可度量；切线长是切线上切点与切点外另一点之间的线段的长，可以度量． 探索 在纸上画出如图所示的图形，沿着直线PO将纸对折，由于直线PO经过圆心O,所以PO是圆的一条对称轴，两半圆重合.PA与PB、 ∠APO与∠BPO有什么关系? 我们可以发现： PA=PB， ∠APO=∠BPO. 切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 要点精析： (1)由切线长定理既可以得到线段相等，又可以得到角相 等，运用时要根据题意选用． (2)如图是切线长定理的一个基本图形，可以直接得到很 多结论． 如：①PO⊥AB； ②AO⊥AP，BO⊥BP；③AP＝BP； ④∠1＝∠2＝∠3＝∠4；⑤AD＝BD；⑥ 等． 已知：如图，过圆外一点P，作⊙O的两条切线PA、PB，点A、B为切点. 求证: PA=PB，∠APO=∠BPO. 证明：连结OA、OB. ∵PA切⊙O于点A， ∴OA⊥PA. 同理可得OB⊥PB. ∵OA=OB，OP=OP， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP. ∴PA=PB，∠APO=∠BPO. PA、PB分别切⊙O于A、B PA = PB ∠1=∠2 · O A B 1 2 符号表示 切线长定理的基本图形的研究 PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C。 B A P O C E D （1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP （3）写出图中所有的全等三角形 △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP （4）写出图中所有的等腰三角形 △ABP，△AOB （2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC 。 P B A O 反思：在解决有关圆的切线长的问题时，往往需要我们构建基本图形。 （3）连结圆心和圆外一点 （2）连结两切点 （1）分别连结圆心和切点 切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。 反思：在解决有关圆的切线长的问题时，往往需要我们构建基本图形。 例1 如图所示，PA，PB，DE 分别切⊙ O 于点A，B，C， 点D 在PA 上，点E 在PB 上. （1）若PA=10，求△ PDE 的周长； （2）若∠ P=50°，求∠ DOE 的度数. 利用切线长定理进行几何计算时，要注意构成切线长 定理的基本图形，作过切点的半径、连结圆外一点与 圆心是常用的作辅助线的方法．由于切线长定理涉及 的线段、角较多，因此熟记基本图形的相关结论是解 题的关键，而三角形的有关性质在解决有关切线长问 题时，也起到了很好的辅助作用． 例2 如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B， BC为⊙O的直径，连结AB，AC，OP. 求证：(1)∠APB＝2∠ABC；(2)AC∥OP. 分析：(1)由切线长定理知∠BPO＝∠APO＝ ∠APB，而 要证∠APB＝2∠ABC，即证明∠ABC＝ ∠APB ＝∠BPO，利用同角的余角相等可证； (2)证明AC∥OP，可用AC⊥AB，OP⊥AB，也可用 同位角相等来证． 证明：(1)∵PA，PB分别切⊙O于点A，B， ∴由切线长定理知∠APO＝∠BPO＝ ∠APB，PA＝PB， ∴PO⊥AB，∴∠ABP＋∠BPO＝90°. 又∵PB是⊙O的切线， ∴OB⊥PB，∴∠ABP＋∠ABC＝90°. ∴∠ABC＝∠BPO＝ ∠APB，即∠APB＝2∠ABC. (2)∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°， 即AC⊥AB.由(1)知OP⊥AB，∴AC∥OP. 课堂练习 1.下列说法正确的是(　　) A．过任意一点总可以作圆的两条切线 B．圆的切线长就是圆的切线的长度 C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等 D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径 2.如图，PA，PB是⊙O的切线，且∠APB＝40°，下 列结论不正确的是(　　) A．PA＝PB B．∠APO＝20° C．∠OBP＝70° D．∠AOP＝70° 3.如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB， 切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那 么弦AB的长是(　　) A．4　　　　 B．8　　　　 C． 　　　　 D． 4.如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝40°，则∠ACB的度数为(　　) A．60° 　 B．65° C．70°　 D．75° 课堂小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？ （一）知识方面 1.切线长的定义； 2.切线长定理； 3.基本图形. （二）方法方面 1.分类讨论的数学方法; 2.特殊到一般的数学方法. 1.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，AC是⊙O的直径，∠ACB=70°,求∠P的度数. 布置作业 2.如图，PA，PB分别于⊙O切于A，B两点，点C为劣弧上任意一点，过点C的切线分别交AP，BP于D，E两点，如果AP=5cm，求△PDE的周长. $