27.1.3 圆周角-【名校作业】2025-2026学年九年级下册数学同步课件（华东师大版）

该初中数学课件聚焦“圆周角”核心内容，涵盖定义、与圆心角关系、直径所对圆周角为直角、90°圆周角对直径及圆内接四边形性质，通过定义辨析例题导入，逐步推导性质，构建知识支架。 其亮点是结合动手操作（量角、对折证明）培养几何直观与推理能力，例题练习层层递进，强调转化思想，体现数学思维与应用意识。如例2用直径对直角解题，助学生构建知识网络，教师可借丰富资源提升教学效率。

学练优九年级英语（RJ） 教学课件 27.1 圆的认识 第27章 圆 27.1.3 圆周角 一、圆周角的定义 顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角 叫做圆周角． 特征： ①角的顶点在圆上； ②角的两边都与圆相交，这两个特征是判定圆周角不 可缺少的条件． 例1 如图，下列各角是圆周角的是(　　) A．∠AOD　　　　　B. ∠AOC C. ∠BAD D. ∠BOD 解析：可根据圆周角的定义进行判断，显然∠AOD， ∠AOC，∠BOD均是圆心角，只有∠BAD符合圆周 角的两个特征． C 判断一个角是否为圆周角，关键是看这个角是否具备 圆周角的两个特征：(1)角的顶点在圆上；(2)角的两 边都与圆相交，二者缺一不可． 1.下列四个图中，∠x为圆周角的是(　　) 课堂练习 2.如图，图中的圆周角共有______个，其中 所 对的圆周角是________， 所对的圆周角是 ________． 二、直径所对的圆周角是直角 如图,线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的任意一 点（除点A、B外），那么， ∠ ACB就是直径AB 所对的 圆周角.想想看， ∠ ACB会是怎样的角？ 我们可以看到，OA=OB ， 所以△AOC、△ BOC 都是等腰三角形，因而 ∠ OAC= ∠ OCA， ∠ OBC= ∠ OCB， 又因为 ∠ OAC+ ∠ OBC + ∠ ACB=180°， 所以 ∠ ACB= ∠ OCA + ∠ OCB = =90°. 因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、B外）， ∠ ACB总等于90°，即： 半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90° (直角). 例2 如图, AB是⊙O的直径，∠ A= 80°.求∠ ABC的 大小. 解：∵ AB是⊙O的直径， ∴ ∠ ACB = 90°（直径所对的圆周角等于90° ）， ∴ ∠ ABC = 180° - ∠ A- ∠ ACB =180° - 80° - 90° = 10°. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A＝30°，则∠B的度数为(　　) A．15°　　　 B．30°　　　 C．45°　　　 D．60° 课堂练习 三、圆周角和圆心角的关系 那么对于一般的弧所对的圆周角，又有什么规律呢？ 如图，∠ACB、∠ADB都是弧AB所对的圆周角.∠AOB是弧AB所对的圆心角.这几个有什么关系呢？ （1）分别量一量图中弧AB所对的两个圆周角的度数，比较一下.再变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化.你发现其中有什么规律吗？ （2）分别量出图中弧AB 所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你发现什么？ 我们可以发现，圆周角的度数没有变化，并且圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半. 由以上操作可以猜想：在同一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周的大小都等于该弧所对的圆心角的一半. 为了证明这个猜想，可将圆对折，使折痕经过圆心O和圆周角的顶点C，这时可能出现三种情况：（1）折痕是圆周角的一条边；（2）折痕在圆周角的内部；（3）折痕在圆周角的外部. 接下来，我们分别就这三种情况证明这一猜想. 已知：在⊙O中，所对的圆周角是∠ACB，所对的圆心角是∠AOB. 求证：∠ACB=∠AOB. 证明：（1）圆心在∠ACB的边CB上， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠ACB. ∵∠AOB是△OAC的外角， ∴∠AOB=∠ACB+∠OAC=2∠ACB, ∴∠ACB=∠AOB. （2）圆心在∠ACB的内部. 作直径CD.利用（1）的结论，有 ∠1=∠AOD,∠2=∠BOD, ∴∠ACB=∠1+∠2=(∠AOD+∠BOD)= （3）圆心在∠ACB的外部.（略） 由此我们可以得到： 圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等. 拓展： 在圆中解决相关问题时，常常进行以下三种转化： (1)利用“同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”， 实现圆周角与圆心角之间的转化； (2)利用“同弧或等弧所对的圆周角相等”，实现相等圆周角之间 的转化； (3)利用在“同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”，实现 弧相等或线段相等的转化． 易错提示： (1)圆周角与圆心角存在联系的前提条件是它们对着同一条弧或 等弧，若把“同弧或等弧”去掉，而简单地说成“圆周角等于 圆心角的一半”是错误的． (2)若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，则结论不成立，因为 一条弦所对的圆周角有两种可能，一般情况下是不相等的． 如图所示， ∠1与∠2都对着弦BD，但∠1≠∠2. (3)“相等的圆周角所对的弧相等”成立的前提条 件是“在同圆或等圆中”，缺少了此条件，结论是不成立的． 例3 试分别求出下图中∠x的度数. 解：（1）∵同弧所对的圆周角相等，∴∠x=60°. （2）连结BF. ∵同弧所对的圆周角相等，∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°， ∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°. 课堂练习 1.如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上， ，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是(　　) A．60° B．45° C．35° D．30° 2.如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C＝25°，则∠BOD的度数是(　　) A．25° B．30° C．40° D．50° 3.如图，在⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A＝45°，∠AMD＝75°，则∠B的度数是(　　) A．15° B．25°　 C．30°　 D．75° 4.如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为(　　) A. B． C. D. 5.如图，在⊙O中， ，∠AOB＝50°，则∠ADC的度数是(　　) A．50° B．40° C．30° D．25° 由圆周角定理，可以得到以下推论： 推论1 90°的圆周角所对的弦是直径.（如图） 例4 如图所示，已知经过原点的⊙ P 与x 轴，y 轴分别交于A，B 两点，点C 是弧AB 上一点，则∠ ACB 的度数是（ ） A. 80° B. 90° C. 100° D. 无法确定 解析：连结AB，如图所示. ∵∠ AOB=90°，∴ AB 是⊙ P 的直径. ∴∠ ACB=90°. B 课堂练习 1.下列结论正确的是(　　) A．直径所对的角是直角 B．90°的圆心角所对的弦是直径 C．同一条弦所对的圆周角相等 D．半圆所对的圆周角是直角 2.从下列直角三角尺与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是(　　) 3.如图，已知经过原点的⊙P与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB等于(　　) A．80°　　　 B．90°　　　 C．100°　　　 D．无法确定 推论2 圆内接四边形的对角互补. 圆内接多边形： 如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个圆就叫做这个多边形的外接圆，这个多边形就叫做圆的内接多边形． 例5 如图所示，四边形ABCD 为⊙ O 的内接四边形，已知∠ BOD=100°，则∠ BCD 的度数为（ ） A. 50° B. 80° C. 100° D. 130° 解析：∵∠ BAD 与∠ BOD 是同弧所对的圆周角和圆心角，∴∠ BAD ＝ ∠ BOD ＝ ×100°＝ 50°. 又∵四边形ABCD 为⊙ O 的内接四边形， ∴∠ BCD+ ∠ BAD ＝ 180°. ∴∠ BCD ＝ 180°- ∠ BAD ＝ 180°-50°＝ 130°. D 求圆中的某一个圆周角时，根据“圆内接四边形的对角互补”，可以转化为求其所在的内接四边形的对角的度数. 圆内接四边形的一组对角其实是圆中一条弦所对的两个圆周角，因此，在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补. 课堂练习 1.圆内接四边形ABCD中，若∠A＝70°，则∠C等于(　　) A．20° B．30° C．70° D．110° 2.下列命题：①圆内接平行四边形是矩形；②圆内接矩形是正方形；③圆内接菱形是正方形；④任意四边形一定有外接圆．其中真命题有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长 线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是________． 课堂小结 本节课我们一同探究了同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半；由这个结论进一步得到：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等；半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°(直角).90°(直角)的圆周角所对的弦是圆的直径等结论. 布置作业 必做：教材P44练习T1，2，3 选做：请完成《名校作业》对应习题 $