第8章 四边形 单元测试 -2025-2026学年苏科版八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练

第8章 四边形 单元测试 总分：100分（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1 2 3 4 5 6 7 8 C C B D C B B C 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9. 随机事件 10. 24 11. 3 12. 13. 14. 或 15. 16. 17. 18. 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分)如图，在菱形中，点、分别在、边上，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键；根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， 在与中， ， ∴（）， ∴．（6分) 20．（6分)矩形中，平分交于，平分交于．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，平行四边形的判定，解题的关键是掌握相关知识．由矩形的性质可得，，推出，结合角平分线的定义得到，推出，即可得证． 【详解】证明：矩形中，，， ， 平分，平分， ，， ， ， 由， 四边形为平行四边形．（6分) 21．（6分)如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点E、F分别是、的中点，，，求的度数． 【答案】 【分析】根据中位线定理得，，结合已知证明是等腰三角形，从而可得答案． 【详解】解：∵在四边形中，P是对角线的中点，E，F分别是、的中点， ∴，分别是与的中位线， ∴，， ∵， ∴， 故是等腰三角形， ∵， ∴．（6分) 【点睛】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 22．（6分)如图，在中，点为的中点，过点作直线，请利用尺规作图法在直线上作点，（在的左侧），连接，，，，使得四边形为矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的判定定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键； 依据矩形的判定定理：对角线互相平分且相等的四边形是矩形．以O为圆心，长为半径画弧，交直线l于两点，左侧的点为E，右侧的点为F连接、、、，四边形即为所求矩形． 【详解】解：如图，点E、F即为所求 （6分) 23．（7分)如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见详解 (2)54 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和面积公式等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质和判定，并灵活应用． （1）利用平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形是菱形可得结果； （2）直接利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵点为的中点，且， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是菱形；（4分) （2）解：∴菱形的面积为．（7分) 24．（7分)如图，在四边形中，，．对角线、相交于点O，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明它的对角线相等即可得出平行四边形是矩形． （2）先利用矩形的性质得出，，从而可得，再利用含度角的直角三角形的性质求得，从而可求得四边形的面积． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 平行四边形ABCD是矩形．（3分) （2）解：在矩形中，，， 则， ， ， ， ．（7分) 【点睛】本题考查了是矩形的判定和性质，含度角的直角三角形，勾股定理，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 25．（7分)如图，已知在梯形中，是梯形的一条对角线，，将沿着翻折后得到，联结交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质，熟练掌握相关知识进行证明是解答本题的关键． （1）证明，利用证明可得； （2）由知，由折叠得，又，得，由三角形内角和定理得，由，得，故可得，从而可证明四边形是等腰梯形． 【详解】（1）证明：∵梯形是等腰梯形， ∴， 由折叠得，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴；（3分) （2）证明：由折叠得， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∵， ∴，四边形是梯形 ∵， ∴, ∴, ∴， ∴四边形是等腰梯形．（7分) 26．（9分)在正方形中： (1)如图1，如果点、分别在、上，且，垂足为，那么与相等吗？请证明你的结论； (2)如图2，如果点是边的中点，是上的点，过点作，分别交、于点、，若，，求线段的长； (3)如图3，在等边三角形中，点、分别在、上，且，若与交于点，且． ①求的度数． ②判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，证明见解析 (2)7 (3)①，②，理由见解析 【分析】（1）证明，即可证明结论成立； （2）先证明，，再证明，则，由为中点，得到，则，即可求出答案； （3）①证明，由，即可得到答案；②证明为等边三角形，得到，证明为直角三角形，求出，，则，由即可得到答案． 【详解】（1）解：，证明如下： 四边形是正方形， ，， ． ， ， ， ． 在与中， ， ， ；（2分) （2）解：如图，过作，则四边形为矩形， ，． ， ． ， ， ． 四边形是正方形， ． 在和中， ， ， ． 为中点， ， ， ；（5分) （3）解：①为等边三角形， ，． 在与中， ， ， ． 又， ． 又， ；（7分) ②，理由如下： 如图，将绕点顺时针旋转得到， 由旋转性质得，，，，， 为等边三角形， ． 又， ， ． 由①得， ， ， ， 为直角三角形． 又，， ． ， ．（9分) 【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、正方形的性质等等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、旋转的性质是关键． 27．（10分)【观察与发现】 如图1，我们在探究三角形中位线定理时，通过剪切和拼接的方法将三角形拼成了面积相等的平行四边形．同样，我们也可以将任意一个四边形剪开拼成一个面积相等的平行四边形．操作如下：如图2，沿着对边中点所连的两条线段剪开，将四边形分成四部分．通过旋转或移动，可以得到，新四边形是平行四边形． 【类比与探究】 （1）类比上述做法，尝试将任意一个三角形剪开拼成一个与其面积相等的矩形． 图3是将剪开拼成矩形的一种方法． 依据图中呈现的操作方法，可知：与的数量关系为______；与的位置关系为______． （2）尝试用另一种方法将剪开拼成与其面积相等的矩形． 要求：请仿照图3，在图4的第一张图中用虚线画出剪切线，在第二张图中画出拼成的简图． 简单说明剪切线满足的条件：______． 【实践与应用】 （3）请思考如何将任意一个四边形剪开拼成一个与原四边形面积相等的矩形？请你设计思路不同的两种方案，在图5中用虚线画出分割线，用实线画出拼成的矩形只画图，不需文字说明 【答案】（1），；（2）D、E分别为的中点，，图见解析（3）见解析 【分析】本题考查了任意四边形拼接矩形，涉及到三角形中位线定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点．灵活运用中位线定理和构造全等三角形是解答本题的关键． （1）根据题意可得出，，进而由全等三角形对应边和对应角相等推出为的中位线，以及，即可得出结论； （2）从和的中点D、E作的垂线，垂足分别为M、N，由和得到拼接方法； （3）把四边形由对角线分为两个三角形参考（1）中的方法，或参考题干中四边形对边中点的方法拼接平行四边形的方法，把其中一组对边连线改为由中点向另一组对边中点连线作垂线进行分割操作即可． 【详解】解：（1）如图，根据剪切和拼接操作方法可知，，， ，， 为的中位线． ， 又四边形是矩形． ，， 和的位置关系为， 故答案为：；；（3分) （2）如图，D、E分别为的中点，，，再由可推出，，沿和从剪下和，然后拼接在和处． 故答案为：D、E分别为的中点，，；（6分) （3）第一种方法：E、F、H、G分别为四边形的四条边的中点，，，沿虚线和剪开四边形，把、、和分别拼接到①、②、③和④处即可． ． 第二种方法：E、F、H、G分别为四边形的四条边的中点，，，沿虚线和剪开四边形形成四个四边形①、②、③和④，再如图中所示拼接即可． ．（10分) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 四边形 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．如图，在平行四边形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质． 根据平行四边形对角相等作答即可． 【详解】解：在平行四边形中，， 则． 故选：C． 2．如图，A、B两处被池塘隔开，小明想要知道A、B两处的距离．小明先在外选一点C，然后分别步测出，的中点D，E，并测出的长为，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线性质，能熟记三角形的中位线性质是解此题的关键，注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．根据三角形的中位线性质得出，再代入求出答案即可． 【详解】解：∵，的中点分别是D，E， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．对边平行且相等 D．对角线相等 【答案】B 【分析】本题考查矩形和正方形的性质．根据矩形和正方形的性质逐项判断即可． 【详解】解：正方形的对角线互相垂直平分且相等， 矩形的对角线互相平分且相等，但不一定垂直， 故选：B． 4．如图，四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 无法判断， 故选：D． 5．在菱形中，对角线与相交于点O，若，，则菱形的面积是（   ） A．24 B．60 C．120 D．240 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，关键是对角线互相垂直且平分，面积等于对角线乘积的一半．利用菱形的对角线互相垂直平分的性质，在中应用勾股定理求出，进而得到，最后利用菱形面积公式求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故选C． 6．等腰梯形的腰长为，两底差为，则高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰梯形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，要求学生掌握等腰梯形的性质，知道先过上底的一个顶点作下底的垂线，组成一个直角三角形，再解这个直角三角形． 【详解】解：如图，四边形是等腰梯形，，两底差为， 过点A和点D作的垂线，垂足为点E和点F， ∵四边形是等腰梯形，， ∴四边形是矩形， ∵两底差为， ∴，则， 根据勾股定理可得：， 故选：B． 7．如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，矩形的边与矩形的边交于点，连接．若，则的长（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，根据矩形的性质，旋转的性质，得到为等腰直角三角形，，勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵将矩形绕点顺时针旋转得到矩形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 故选B． 8．如图，正方形的边长为4，点E在边上，，点M在的延长线上．平分，点F在上，，过点F作于点H，连接交于点N，连接．下列结论：①；②的面积为；③的周长为8；④．其中正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】可得是等腰直角三角形，由勾股定理可得，然后证明，即可判断①；先由勾股定理求出 ，再由三角形面积公式求解的面积，即可判断②；过点A作交的延长线于点Q，先证明，再证明，则，设，则，在中，由勾股定理得，解得：，即可求解的周长，即可判断③；分别计算求解，，即可判断④． 【详解】解：①∵四边形是正方形，且边长为4， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵于点H， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， 由勾股定理得： ， ∴， ∵点E在边上，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故结论①正确； ②在中，， 由勾股定理得： ， ∴， ∵， ∴的面积为： ， 故结论②正确； ③过点A作交的延长线于点Q，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴的周长为：， 故结论③正确； ④∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故结论④不正确， 综上所述：正确的结论是①②③，共3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．一组对边平行的四边形是梯形是 ．（选题“随机事件”或“必然事件”） 【答案】随机事件 【分析】本题考查了事件的分类，梯形的概念，直接根据一组对边平行的四边形可能是梯形，也可能是平行四边形判断即可. 【详解】解：∵一组对边平行的四边形可能是梯形，也可能是平行四边形， ∴一组对边平行的四边形是梯形是随机事件， 故答案为：随机事件． 10．如图，在中，，，则的周长为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．根据平行四边形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴的周长为， 故答案为：24． 11．如图，在中，点为边的中点，点为边的中点．若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键 由三角形中位线定理推出，，，即可求解． 【详解】解：∵点为边的中点，点为边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3 ． 12．如图，在中，对角线，请你添加一个条件，使得四边形是正方形，你添加的条件是 ．（答案不唯一，写出一个即可） 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，根据正方形的性质即可解答． 【详解】解：在中，若对角线，则为矩形， 要使它为正方形，则一组邻边相等即可， 故答案为：． 13．如图，点A在平行四边形的对角线上，图中两个阴影三角形的面积分别为，，则，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质以及平行四边形的性质；，有一公共边，证明，可得与的高与相等，进而可得出结论． 【详解】解：如图，过、分别作、， 四边形是平行四边形， ， 又∵ ∴， ∴与的高与相等，即， ， ． 故答案为：． 14．已知直线a，b，c互相平行，直线a，b之间的距离是3cm，直线b，c之间的距离是4cm，那么直线a，c之间的距离为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查对平行线之间的距离的理解和掌握，能求出所有情况是解此题的关键． 由于三条直线互相平行，直线与之间的距离取决于直线的位置，有两种情况：当直线位于直线和之间时，距离为两段距离之和；当直线位于直线和同侧时，距离为两段距离之差的绝对值. 【详解】解：有两种情况，如图： （1）直线与的距离是； （2）直线与的距离是； 故答案为：或. 15．如图，已知等腰梯形的周长是，，，，对角线平分，则 【答案】 【分析】过点作于，，且，，由此可求出，，，，，，再根据等腰梯形的周长是，即可求出各边的长，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于， ∵等腰梯形，，，对角线平分， ∴， ∴，设， 在，中， ∴，，，， ∴， ∵等腰梯形的周长是， ∴，解得，， ∴，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰梯形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理的综合应用，角平分线的性质，掌握等腰梯形的性质，直角三角形勾股定理，及含角的直角三角形的性质，角平分线的性质是解题的关键． 16．在矩形中，，，将沿矩形对角线折叠到，直线与交于点，则的面积为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本的性质．根据矩形的性质得出，，，根据折叠得出，，，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 根据折叠可得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 17．如图，在菱形中，点在对角线上，过点作于点，且，连接，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的勾股定理以及辅助线的构造方法。掌握通过菱形性质推导等边三角形，并利用勾股定理在直角三角形中逐步求解线段长度是解题的关键．首先，利用菱形的性质，证明为等边三角形，得出对角线；其次，设，通过的角性质得到，结合的等量关系求出，确定和的长度；最后，作构造直角三角形，通过勾股定理逐步计算、和，最终在中求得． 【详解】解：在菱形中，，， 则， ∴为等边三角形， ∴， 设，则， ∵过点作于点， ∴， 在中，，， ∴， 由， 得，解得， 故，， 过P作于点M， ∵， ∴ 在中，，， ∴， 在中，，由勾股定理可得： ， ， 在中，，由勾股定理可得： ． 故答案为：． 18．如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上运动，且，连接，过点作交于点，连接，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】延长交的延长线于点，连接，，容易证明，则．结合正方形的性质可得，，则点是直角斜边上的中点，因此是定值．由可知，当点、、三点共线时，最短，计算此时的长即可． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点，连接，， 在正方形中，，， ∴， ∵， ∴， 又∵． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即点为的中点， 在直角中，点是斜边的中点， ∴， 在直角中，， ∵， ∴当点、、三点共线时，取到最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，线段最值问题与勾股定理，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分)如图，在菱形中，点、分别在、边上，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键；根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， 在与中， ， ∴（）， ∴． 20．（6分)矩形中，平分交于，平分交于．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，平行四边形的判定，解题的关键是掌握相关知识．由矩形的性质可得，，推出，结合角平分线的定义得到，推出，即可得证． 【详解】证明：矩形中，，， ， 平分，平分， ，， ， ， 由， 四边形为平行四边形． 21．（6分)如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点E、F分别是、的中点，，，求的度数． 【答案】 【分析】根据中位线定理得，，结合已知证明是等腰三角形，从而可得答案． 【详解】解：∵在四边形中，P是对角线的中点，E，F分别是、的中点， ∴，分别是与的中位线， ∴，， ∵， ∴， 故是等腰三角形， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 22．（6分)如图，在中，点为的中点，过点作直线，请利用尺规作图法在直线上作点，（在的左侧），连接，，，，使得四边形为矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的判定定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键； 依据矩形的判定定理：对角线互相平分且相等的四边形是矩形．以O为圆心，长为半径画弧，交直线l于两点，左侧的点为E，右侧的点为F连接、、、，四边形即为所求矩形． 【详解】解：如图，点E、F即为所求 23．（7分)如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见详解 (2)54 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和面积公式等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质和判定，并灵活应用． （1）利用平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形是菱形可得结果； （2）直接利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵点为的中点，且， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：∴菱形的面积为． 24．（7分)如图，在四边形中，，．对角线、相交于点O，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明它的对角线相等即可得出平行四边形是矩形． （2）先利用矩形的性质得出，，从而可得，再利用含度角的直角三角形的性质求得，从而可求得四边形的面积． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 平行四边形ABCD是矩形． （2）解：在矩形中，，， 则， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了是矩形的判定和性质，含度角的直角三角形，勾股定理，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 25．（7分)如图，已知在梯形中，是梯形的一条对角线，，将沿着翻折后得到，联结交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质，熟练掌握相关知识进行证明是解答本题的关键． （1）证明，利用证明可得； （2）由知，由折叠得，又，得，由三角形内角和定理得，由，得，故可得，从而可证明四边形是等腰梯形． 【详解】（1）证明：∵梯形是等腰梯形， ∴， 由折叠得，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：由折叠得， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∵， ∴，四边形是梯形 ∵， ∴, ∴, ∴， ∴四边形是等腰梯形． 26．（9分)在正方形中： (1)如图1，如果点、分别在、上，且，垂足为，那么与相等吗？请证明你的结论； (2)如图2，如果点是边的中点，是上的点，过点作，分别交、于点、，若，，求线段的长； (3)如图3，在等边三角形中，点、分别在、上，且，若与交于点，且． ①求的度数． ②判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，证明见解析 (2)7 (3)①，②，理由见解析 【分析】（1）证明，即可证明结论成立； （2）先证明，，再证明，则，由为中点，得到，则，即可求出答案； （3）①证明，由，即可得到答案；②证明为等边三角形，得到，证明为直角三角形，求出，，则，由即可得到答案． 【详解】（1）解：，证明如下： 四边形是正方形， ，， ． ， ， ， ． 在与中， ， ， ； （2）解：如图，过作，则四边形为矩形， ，． ， ． ， ， ． 四边形是正方形， ． 在和中， ， ， ． 为中点， ， ， ； （3）解：①为等边三角形， ，． 在与中， ， ， ． 又， ． 又， ； ②，理由如下： 如图，将绕点顺时针旋转得到， 由旋转性质得，，，，， 为等边三角形， ． 又， ， ． 由①得， ， ， ， 为直角三角形． 又，， ． ， ． 【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、正方形的性质等等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、旋转的性质是关键． 27．（10分)【观察与发现】 如图1，我们在探究三角形中位线定理时，通过剪切和拼接的方法将三角形拼成了面积相等的平行四边形．同样，我们也可以将任意一个四边形剪开拼成一个面积相等的平行四边形．操作如下：如图2，沿着对边中点所连的两条线段剪开，将四边形分成四部分．通过旋转或移动，可以得到，新四边形是平行四边形． 【类比与探究】 （1）类比上述做法，尝试将任意一个三角形剪开拼成一个与其面积相等的矩形． 图3是将剪开拼成矩形的一种方法． 依据图中呈现的操作方法，可知：与的数量关系为______；与的位置关系为______． （2）尝试用另一种方法将剪开拼成与其面积相等的矩形． 要求：请仿照图3，在图4的第一张图中用虚线画出剪切线，在第二张图中画出拼成的简图． 简单说明剪切线满足的条件：______． 【实践与应用】 （3）请思考如何将任意一个四边形剪开拼成一个与原四边形面积相等的矩形？请你设计思路不同的两种方案，在图5中用虚线画出分割线，用实线画出拼成的矩形只画图，不需文字说明 【答案】（1），；（2）D、E分别为的中点，，图见解析（3）见解析 【分析】本题考查了任意四边形拼接矩形，涉及到三角形中位线定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点．灵活运用中位线定理和构造全等三角形是解答本题的关键． （1）根据题意可得出，，进而由全等三角形对应边和对应角相等推出为的中位线，以及，即可得出结论； （2）从和的中点D、E作的垂线，垂足分别为M、N，由和得到拼接方法； （3）把四边形由对角线分为两个三角形参考（1）中的方法，或参考题干中四边形对边中点的方法拼接平行四边形的方法，把其中一组对边连线改为由中点向另一组对边中点连线作垂线进行分割操作即可． 【详解】解：（1）如图，根据剪切和拼接操作方法可知，，， ，， 为的中位线． ， 又四边形是矩形． ，， 和的位置关系为， 故答案为：；； （2）如图，D、E分别为的中点，，，再由可推出，，沿和从剪下和，然后拼接在和处． 故答案为：D、E分别为的中点，，； （3）第一种方法：E、F、H、G分别为四边形的四条边的中点，，，沿虚线和剪开四边形，把、、和分别拼接到①、②、③和④处即可． ． 第二种方法：E、F、H、G分别为四边形的四条边的中点，，，沿虚线和剪开四边形形成四个四边形①、②、③和④，再如图中所示拼接即可． ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 第8章 四边形 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．如图，在平行四边形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，A、B两处被池塘隔开，小明想要知道A、B两处的距离．小明先在外选一点C，然后分别步测出，的中点D，E，并测出的长为，则的长为（　　） A． B． C． D． 3．正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．对边平行且相等 D．对角线相等 4．如图，四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 5．在菱形中，对角线与相交于点O，若，，则菱形的面积是（   ） A．24 B．60 C．120 D．240 6．等腰梯形的腰长为，两底差为，则高为（    ） A． B． C． D． 7．如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，矩形的边与矩形的边交于点，连接．若，则的长（   ） A．3 B． C． D． 8．如图，正方形的边长为4，点E在边上，，点M在的延长线上．平分，点F在上，，过点F作于点H，连接交于点N，连接．下列结论：①；②的面积为；③的周长为8；④．其中正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．一组对边平行的四边形是梯形是 ．（选题“随机事件”或“必然事件”） 10．如图，在中，，，则的周长为 ． 11．如图，在中，点为边的中点，点为边的中点．若，，则的长为 ． 12．如图，在中，对角线，请你添加一个条件，使得四边形是正方形，你添加的条件是 ．（答案不唯一，写出一个即可） 13．如图，点A在平行四边形的对角线上，图中两个阴影三角形的面积分别为，，则，的大小关系是 ． 14．已知直线a，b，c互相平行，直线a，b之间的距离是3cm，直线b，c之间的距离是4cm，那么直线a，c之间的距离为 ． 15．如图，已知等腰梯形的周长是，，，，对角线平分，则 16．在矩形中，，，将沿矩形对角线折叠到，直线与交于点，则的面积为 ．    17．如图，在菱形中，点在对角线上，过点作于点，且，连接，若，，则的长为 ． 18．如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上运动，且，连接，过点作交于点，连接，则线段长度的最小值为 ． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分)如图，在菱形中，点、分别在、边上，，求证：． 20．（6分)矩形中，平分交于，平分交于．求证：四边形为平行四边形． 21．（6分)如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点E、F分别是、的中点，，，求的度数． 22．（6分)如图，在中，点为的中点，过点作直线，请利用尺规作图法在直线上作点，（在的左侧），连接，，，，使得四边形为矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 23．（7分)如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求菱形的面积． 24．（7分)如图，在四边形中，，．对角线、相交于点O，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 25．（7分)如图，已知在梯形中，是梯形的一条对角线，，将沿着翻折后得到，联结交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：四边形是等腰梯形． 26．（9分)在正方形中： (1)如图1，如果点、分别在、上，且，垂足为，那么与相等吗？请证明你的结论； (2)如图2，如果点是边的中点，是上的点，过点作，分别交、于点、，若，，求线段的长； (3)如图3，在等边三角形中，点、分别在、上，且，若与交于点，且． ①求的度数． ②判断线段与的数量关系，并说明理由． 27．（10分)【观察与发现】 如图1，我们在探究三角形中位线定理时，通过剪切和拼接的方法将三角形拼成了面积相等的平行四边形．同样，我们也可以将任意一个四边形剪开拼成一个面积相等的平行四边形．操作如下：如图2，沿着对边中点所连的两条线段剪开，将四边形分成四部分．通过旋转或移动，可以得到，新四边形是平行四边形． 【类比与探究】 （1）类比上述做法，尝试将任意一个三角形剪开拼成一个与其面积相等的矩形． 图3是将剪开拼成矩形的一种方法． 依据图中呈现的操作方法，可知：与的数量关系为______；与的位置关系为______． （2）尝试用另一种方法将剪开拼成与其面积相等的矩形． 要求：请仿照图3，在图4的第一张图中用虚线画出剪切线，在第二张图中画出拼成的简图． 简单说明剪切线满足的条件：______． 【实践与应用】 （3）请思考如何将任意一个四边形剪开拼成一个与原四边形面积相等的矩形？请你设计思路不同的两种方案，在图5中用虚线画出分割线，用实线画出拼成的矩形只画图，不需文字说明 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 四边形 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．如图，在平行四边形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，A、B两处被池塘隔开，小明想要知道A、B两处的距离．小明先在外选一点C，然后分别步测出，的中点D，E，并测出的长为，则的长为（　　） A． B． C． D． 3．正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．对边平行且相等 D．对角线相等 4．如图，四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 5．在菱形中，对角线与相交于点O，若，，则菱形的面积是（   ） A．24 B．60 C．120 D．240 6．等腰梯形的腰长为，两底差为，则高为（    ） A． B． C． D． 7．如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，矩形的边与矩形的边交于点，连接．若，则的长（   ） A．3 B． C． D． 8．如图，正方形的边长为4，点E在边上，，点M在的延长线上．平分，点F在上，，过点F作于点H，连接交于点N，连接．下列结论：①；②的面积为；③的周长为8；④．其中正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．一组对边平行的四边形是梯形是 ．（选题“随机事件”或“必然事件”） 10．如图，在中，，，则的周长为 ． 11．如图，在中，点为边的中点，点为边的中点．若，，则的长为 ． 12．如图，在中，对角线，请你添加一个条件，使得四边形是正方形，你添加的条件是 ．（答案不唯一，写出一个即可） 13．如图，点A在平行四边形的对角线上，图中两个阴影三角形的面积分别为，，则，的大小关系是 ． 14．已知直线a，b，c互相平行，直线a，b之间的距离是3cm，直线b，c之间的距离是4cm，那么直线a，c之间的距离为 ． 15．如图，已知等腰梯形的周长是，，，，对角线平分，则 16．在矩形中，，，将沿矩形对角线折叠到，直线与交于点，则的面积为 ．    17．如图，在菱形中，点在对角线上，过点作于点，且，连接，若，，则的长为 ． 18．如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上运动，且，连接，过点作交于点，连接，则线段长度的最小值为 ． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分)如图，在菱形中，点、分别在、边上，，求证：． 20．（6分)矩形中，平分交于，平分交于．求证：四边形为平行四边形． 21．（6分)如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点E、F分别是、的中点，，，求的度数． 22．（6分)如图，在中，点为的中点，过点作直线，请利用尺规作图法在直线上作点，（在的左侧），连接，，，，使得四边形为矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 23．（7分)如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求菱形的面积． 24．（7分)如图，在四边形中，，．对角线、相交于点O，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 25．（7分)如图，已知在梯形中，是梯形的一条对角线，，将沿着翻折后得到，联结交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：四边形是等腰梯形． 26．（9分)在正方形中： (1)如图1，如果点、分别在、上，且，垂足为，那么与相等吗？请证明你的结论； (2)如图2，如果点是边的中点，是上的点，过点作，分别交、于点、，若，，求线段的长； (3)如图3，在等边三角形中，点、分别在、上，且，若与交于点，且． ①求的度数． ②判断线段与的数量关系，并说明理由． 27．（10分)【观察与发现】 如图1，我们在探究三角形中位线定理时，通过剪切和拼接的方法将三角形拼成了面积相等的平行四边形．同样，我们也可以将任意一个四边形剪开拼成一个面积相等的平行四边形．操作如下：如图2，沿着对边中点所连的两条线段剪开，将四边形分成四部分．通过旋转或移动，可以得到，新四边形是平行四边形． 【类比与探究】 （1）类比上述做法，尝试将任意一个三角形剪开拼成一个与其面积相等的矩形． 图3是将剪开拼成矩形的一种方法． 依据图中呈现的操作方法，可知：与的数量关系为______；与的位置关系为______． （2）尝试用另一种方法将剪开拼成与其面积相等的矩形． 要求：请仿照图3，在图4的第一张图中用虚线画出剪切线，在第二张图中画出拼成的简图． 简单说明剪切线满足的条件：______． 【实践与应用】 （3）请思考如何将任意一个四边形剪开拼成一个与原四边形面积相等的矩形？请你设计思路不同的两种方案，在图5中用虚线画出分割线，用实线画出拼成的矩形只画图，不需文字说明 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $