专题01 四边形综合16大题型培优突破（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材苏科版

**基本信息** 聚焦四边形综合应用，以12类分层题型构建从基础证明到动态探究的完整训练体系，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质判定|9题|平行四边形及特殊四边形的性质应用与判定证明|从定义出发，通过边、角、对角线关系构建判定体系| |折叠与计算|4题|矩形折叠结合勾股定理，菱形面积与对角线计算|体现图形变换中的不变量，强化方程思想应用| |动态与最值|8题|动点存在性、将军饮马模型、平移变换综合|融合运动变化观念，培养空间想象与转化能力| |综合探究|11题|四边形与全等、函数结合的多结论问题|打通几何与代数联系，发展模型意识与推理能力|

专题01 四边形综合的培优突破 题型1 平行四边形性质与判定综合证明 题型7四边形中的动点与存在性问题（难点） 题型2 特殊平行四边形性质与判定综合证明 题型8四边形中的将军饮马与最值问题（重点） 题型3 矩形的折叠与勾股定理综合（常考点） 题型9四边形中的平移变换综合 题型4菱形的对角线性质与面积计算（常考点） 题型10四边形与全等三角形综合 题型5正方形的对称性与多结论探究（重点） 题型11特殊四边形与一次函数综合（难点） 题型6特殊四边形与分类讨论（难点） 题型12特殊四边形与一次函数存在性问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 平行四边形性质与判定综合证明（共4小题） 1．（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，在中，点O是对角线的中点．某数学学习小组要在上找两点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取的中点E，F 作于点E，于点F 请回答下列问题： (1)选择其中一种方案并证明． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)48 【分析】（1）甲方案：如图，连接，根据平行四边形的性质得，，再根据中点的定义得，即可得出四边形为平行四边形； 乙方案：根据平行四边形的性质得，，即可得，再根据“角角边”证明，可得，最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出答案； （2）根据平行四边形的性质得，，可得，再说明 ，，然后根据 ，可得 ，进而根据得出答案． 【详解】（1）证明：甲方案：如图，连接， ∵在中，点是对角线的中点， ∴，． ∵，分别为，的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形； 乙方案：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． （2）解：∵四边形和四边形都为平行四边形， ∴，， ∴． ∵ ， ∴， ∴ ，． ∵ ， ∴ ， ∴ ， 答：的面积为． 2．（23-24八年级下·安徽铜陵·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度运动．以，为邻边构造平行四边形．在线段延长线上有一动点E，且满足，设点P运动时间为t秒． (1)当点C运动到线段中点时， ，点E的坐标为 ； (2)当点C在线段上运动时，求证：四边形为平行四边形； (3)当时，求四边形的周长． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)或 【分析】（1）当运动到的中点时，根据时间等于路程除以时间即可求得，进而求得的坐标； （2）证明，则，，则和平行且相等，则四边形为平行四边形； （3）分两种情况，即点在线段上或点在线段延长线上，再利用勾股定理分别求得平行四边形的两边即可． 【详解】（1）解：点，的坐标分别是，， ，， 点运动到线段的中点， ， 则， ， ， ， 则的坐标是， 故答案为：；； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （3）解：当点在线段上时， 当时，， ， ， ，， ， ，， ， 平行四边形的周长为； 如图，当点在线段的延长线上时， 同（2）中原理可得， ，， ， 四边形是平行四边形， 当时，， ， ， ，， ， ，， ， 平行四边形的周长为； 综上，四边形的周长为或． 【点睛】注意第三小问，需要考虑点在线段上或点在线段延长线上，两种情况，再结合第二小问，考虑到用勾股定理求出平行四边形的两边长即可． 3．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，在中，，，，将以点为中心逆时针旋转，得到，连接，再将以点为中心顺时针旋转得到，连接、． (1)求证：； (2)求证：、、都是等边三角形： (3)求的大小． 【答案】(1)证明，见解析 (2)证明，见解析 (3) 【分析】（1）根据勾股定理，即可； （2）根据旋转的性质，等边三角形的判定即可； （3）根据旋转的性质，得到；根据全等三角形的判定和性质，求得，再根据平行四边形的判定和性质，得到，即可． 【详解】（1）解：证明如下： ∵，，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． （2）解：证明如下： ∵以点B为中心逆时针旋转，得到， ∴，，，， ∴是等边三角形，是等边三角形； ∵将以点为中心顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形． （3）解：由旋转可得，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴； ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转，勾股定理，等边三角形，平行四边形的知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的运用． 4．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，点E是的中点，点P是上一点，连接，交于点M，N是上一点，且，连接并延长交于点F． 【初步尝试】 （1）四边形是平行四边形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，请说明理由； 【深入探究】 （2）如图2，若在图1的基础上连接交于点H，过点A作交于点G， ①猜想与的数量关系，并说明理由； ②如图3，当点P为中点时，若，，且，请求出的面积（结果用含a，b的式子表示）． 【答案】（1）四边形是平行四边形，见解析；（2）①，见解析；②的面积为 【分析】（1）根据四边形是平行四边形，得出，结合点E是的中点，，根据三角形中位线定理得出，即可证明四边形是平行四边形． （2）①如图，作交于点K，则四边形是平行四边形， 得出，根据四边形、是平行四边形，得出，，则，，证明，得出，则，再证明，得出，即可得． ②如图，延长交的延长线于点R，证明，得出，，，作交的延长线于点L，作于点Q，证明四边形是平行四边形，得出，则，，结合，证出是直角三角形，且，则，再根据，得出，即可得． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． （2）①解：；理由如下： 如图，作交于点K， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形、是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． ②如图，延长交的延长线于点R， ∵点P为中点，， ∴，， 又， ∴， ∴，， ∴， 作交的延长线于点L，作于点Q， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 题型二 特殊平行四边形性质与判定综合证明（共5小题） 5．（24-25八年级下·云南丽江·期末）如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的运动速度都是，连接，，．设点，的运动时间为． (1)当为何值时，四边形是矩形？ (2)当为何值时，四边形是菱形？ 【答案】(1)当时，四边形是矩形 (2)当时，四边形是菱形 【分析】（1）当四边形是矩形时，由，据此求解得出的值即可； （2）当四边形是菱形时，得，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，， ∴，，，， ∴， 当时，四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∵点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的运动速度都是，设点，的运动时间为， ∴此时， 解得：． 答：当时，四边形是矩形； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 当时，四边形为菱形． 设秒后，，四边形为菱形， 根据勾股定理得：， 即， 解得：． 答：当时，四边形是菱形． 6．（16-17八年级下·湖北·期末）已知四边形是矩形． (1)如图，对角线相交于点O，且，求证：四边形是菱形； (2)如图，对角线相交于点O，的平分线交于点F，且，求的值； (3)如图，点P在矩形内部．若，则 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据对边平行可判定四边形是平行四边形，然后根据矩形的性质得到，即可判定四边形是菱形； （2）由题意可求得，从而，设，易求得，，，，所以，再代入计算即可； （3）过点向矩形的四边分别作垂线，垂足分别为，设，则由勾股定理得到，那么，再代入数据求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵四边形是矩形，对角线、相交于点， ∴，，. ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴. 设， 则在中，，， 在中，，， ∴， ∴， ∴的值为； （3）解：过点向矩形的四边分别作垂线，垂足分别为，如图， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， 设， 则， ， ， ∴， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，角直角三角形的性质，分母有理化，勾股定理等知识点，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键． 7．（24-25八年级下·河北沧州·期末）【操作发现】如图1，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形．转动其中一张纸条，发现四边形总是平行四边形，其判断的依据是______；若要使四边形是矩形，边和满足的位置关系是______； 【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条和平行四边形纸条，其中，将它们按如图2所示放置，落在边上，，与边分别交于点M，N，且．求证：四边形是菱形； 【结论应用】保持图2中的平行四边形纸条不动，将平行四边形纸条沿或平移，且始终在边上，当时，恰有H，B的连线垂直于，此时，延长，交于点P，得到图3．若四边形的周长为40，求四边形的面积． 【答案】操作发现：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，；探究提升：见解析；结论应用：80 【分析】操作发现：由得出四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，进而得出结果； 探究发现：可证得四边形是平行四边形，从而，进而得出，进一步得出结论； 结论应用：可证得四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，从而，进而证得四边形是菱形，从而，进而得出，从而得出结果． 【详解】操作发现： 解：， 四边形是平行四边形， 有一个角是直角的平行四边形是矩形， 故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，； 探究提升： 证明：四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 由操作发现可知，四边形是平行四边形， 是菱形； 结论应用： 解：， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 8．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点，点重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点与边交于点． 特例感知】 （1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是_____； 【类比探究】 （2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，连接，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）的长度为或． 【分析】（1）连接，当，时，四边形和均为正方形，且为的中点，可证得（），得出，即可求得答案； （2）过点作，交于，可证得、、均为等边三角形，得出，再证得（），即可得出答案； （3）连接交于，运用勾股定理求得，分两种情况：当点在线段上时，当点在线段上时，分别求得即可． 【详解】解：（1）当，时， 四边形和均为正方形，且为的中点， 如图1，连接，则，，， ， （）， ， ， ； 故答案为：； （2）如图2，过点作，交于， 四边形和四边形是形状、大小完全相同的菱形，且边长为8，， ，， 、均为等边三角形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， （）， ， ， ； （3）连接交于， 四边形是菱形， ，即， ， ， ， 当点在线段上时，如图2，过点作于，则， ， 由（2）知：， ， ， ； 当点在线段上时，如图3， 则， ， ， ； 综上所述，的长度为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确添加辅助线，运用分类讨论思想是解题关键． 9．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）【问题提出】 （1）如图1，在矩形中，，，点为边的中点，点在边上，且，连接、、，试判断是否为等腰直角三角形，并说明理由； 【问题解决】 （2）节能环保日益受到人们的重视，水污染治理工程仍然任重道远．如图2，某工厂有一块四边形工业区，经测量，，，为了方便处理污水，该工厂在边上取点，上取点、（点在点的左侧，且、、三点均不与端点重合），使得，连接、并延长交于点，在点处安装一个污水处理设备．根据规划要求，与应相等，请问与是否相等？并说明理由． 【答案】（1）为等腰直角三角形，理由见解析；（2）与相等，理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的应用、正方形的判定与应用等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）先证可得，再证即可； （2）过点D作于点P，先证四边形为正方形，再证，进而得到为等腰直角三角形；再说明为的中位线，最后根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：（1）为等腰直角三角形．理由如下： 四边形为矩形， ，， ，，，点为的中点， ，， （SAS）， ，． ， ， ， 为等腰直角三角形． （2）与相等，理由如下： 如图3，过点作于点，连接，取的中点，连接、、， ，，， ， 四边形为矩形． ， 四边形为正方形． ，，， ， ， ， ，． ， 为等腰直角三角形， ． 点、分别为、的中点， 为的中位线， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ． ． 题型三 矩形的折叠与勾股定理综合（共4小题） 10．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）在数学综合与实践活动中，小明发现折叠矩形纸片可以得到一些特殊角，我们将折痕与矩形原有边形成的夹角称为“折叠角”． 【尝试与感悟】 （1）如图，点在边上，将矩形沿折叠，点落在边上的点处，此时折痕与边形成的夹角就是“折叠角”，且 ______ ； （2）如图，先将矩形对折，使得与重合，折痕为，点在边上，再将纸片沿着折叠，点落在上的点处求“折叠角”的度数； 【探索与发现】 （3）在图中与垂直的射线、上分别取点、，使得四边形是矩形，将其沿着经过点的直线折叠后，点落在边上并且得到的“折叠角”请你用无刻度的直尺与圆规分别确定点、不写作法，保留作图痕迹 【答案】（1）；（2）；（3）作图见解析 【分析】（1）由折叠的性质可求，即可求解； （2）由折叠的性质可得，，，可证是等边三角形，可得，即可求解； （3）以点A、B为圆心，为半径画弧，两弧交于点M、H，连接，，，作的垂直平分线，交于点K，交于点J，分别以点K、J为圆心，为半径画弧，交于点D，交于点C，连接，则四边形即为所求作的矩形． 【详解】解：（1）∵将矩形沿折叠， ， ， ， 故答案为：； （2）如图，取的中点，连接， 由折叠可得：，，， ， 点是的中点， ， ， 是等边三角形， ， 将纸片沿着折叠， ， ； （3）如图，以点A、B为圆心，为半径画弧，两弧交于点M、H，连接，，，作的垂直平分线，交于点K，交于点J，分别以点K、J为圆心，为半径画弧，交于点D，交于点C，连接，则四边形即为所求作的矩形． 根据作图可知：垂直平分，，，点H在上， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， 四边形是矩形， ∵， 是等边三角形， ， 过点作，交于点E， ， ∵是等边三角形，， ∴为的对称轴， ∴点A的对称点为点H，且折叠角为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线是解题的关键． 11．（24-25八年级下·广西钦州·期末）活动探究：矩形的折叠． (1)如图1，在矩形中，E，F分别是的中点，M，N分别是上的点，且，将沿着折叠，点D的对应点为G；将沿折叠，点B的对应点为H，点G，H都在矩形内部． ①求证：； ②判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，在矩形中，E是边上的一个动点，将沿着折叠，点D的对应点为F，已知，若以F，C，B为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】(1)①见解析②四边形是平行四边形，理由见解析 (2)或2 【分析】（1）①利用矩形性质证明，得到，再结合折叠的性质即可证明； ②连接，结合矩形性质证明，进而得到由折叠性质可知 ，即可证明四边形的形状； （2）根据以F，C，B为顶点的三角形是等腰三角形，分情况：①当时，②当时，过点F作，垂足为M，交于N，③若，结合勾股定理，矩形性质和判定，分析求解，即可解题． 【详解】（1）①证明：在矩形中， E、F分别是的中点， ， 又， ， ， 由折叠的性质可知，，， ． ②四边形是平行四边形 理由：连接， 四边形是矩形 ， ， 由①知． ， 即， ， 由折叠性质可知， ， 四边形是平行四边形； （2）解：或2， 理由如下： ①如图，当时，是等腰三角形，根据题意可知， 即， 又， 点F在上，且为中点， 又， ， ， ， ， ； ②如图，当时， 是等腰三角形．过点F作，垂足为M，交于N， 四边形是矩形， ，， ， ， 又， ， 同理易知，四边形是矩形， 设， ，， ，解得， ； ③如图，若，则，， 这样，， 所以不成立． 综上所述，或2． 【点睛】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形性质和判定，等腰三角形性质和判定，平行四边形判定，掌握相关知识是解题的关键． 12．（24-25八年级下·广西南宁·期末）【问题情境】综合与实践课上，老师让同学们以“平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．已知中，，点，，，分别在的边，，，上． 【操作判断】（1）如图1，若点，分别是，边的中点，分别沿和折叠，使点与点重合，点与点重合． ①四边形________平行四边形（填“是”或“不是”）； ②若四边形是矩形，求的度数． 【迁移思考】（2）如图2，沿折叠，点恰好与点重合，求证：四边形是菱形． 【拓展探索】（3）如图3，若点为边的中点，沿折叠，点的对应点为点，延长与射线交于点．若，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①是；②；（2）见解析；（3）或 【分析】（1）①根据平行四边形的性质可得，，根据折叠的性质可得，进而根据三角形内角和定理，得出，再证明，即可判断四边形是平行四边形； ②根据矩形的性质可得，根据折叠可得，进而求得； （2）根据折叠得出，根据平行线的性质和等角对等边得出，即可得证； （3）连接，分两种情况，点在线段上以及线段的延长线上，根据折叠的性质，等边对等角证明，结合图形，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴，， 根据折叠可得， ∴， ∴即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ②∵四边形是矩形， ∴ 根据折叠可得 ∴； （2）∵折叠， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （3）如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∵点为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 当点在线段的延长线上时，连接，如图： 同理可得 ∴， 综上所述，或． 13．（24-25八年级下·河北承德·期末）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，现有矩形纸片，其中，． (1)【操作发现】如图1，将矩形纸片纸片沿对角线折叠，使点B落在点处，将纸片展平后再次折叠，使点A与点C重合，折痕为，然后展平得到图2，则以点A，F，C，E为顶点的四边形是什么特殊四边形？并说明理由． (2)【实践探究】如图3，在矩形纸片中，点为的中点，将纸片沿折叠，使点B落在点处，连接． ①与折痕的位置关系为________； ②求的长． (3)【拓展应用】将矩形纸片裁剪为，，在图3的情形下，若点G为上任意一点，其他条件不变，当点A与点的距离最小时，直接写出的长． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2)①；② (3) 【分析】（1）连接，，设与交于点，证明四边形是平行四边形，由翻折性质可得，所以四边形是菱形； （2）①证明是的中位线，进而可以解决问题；②如图，连接交于点，由翻折可得垂直平分，利用三角形的面积求出的长，再利用勾股定理即可解决问题； （3）如图，连接，利用勾股定理求出的长，当，，在同一条直线上时，点与点距离最小，此时，设，则，根据勾股定理列出方程求出的值，进而可以解决问题． 【详解】（1）解：以点，，，为顶点的四边形是菱形，理由如下： 如图2，连接，，设与交于点， 由翻折可知：，， 是的垂直平分线， ，， 四边形是矩形， ∴， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：①，理由如下：连接交于点， 由翻折可知：垂直平分， ，， 点为的中点， 是的中位线， ∴， ∴； ②如图，连接交于点， 由翻折可知：垂直平分， ，， 在矩形纸片中，，， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， ∵，， ， ； （3）解：如图，连接， 在矩形中，，， ， ， 当，，在同一条直线上时，点与点距离最小，此时， 设，则， 由翻折可知：， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，翻折变换，三角形中位线定理，勾股定理，三角形的面积，解决本题的关键是熟练掌握有关基础知识． 题型四 菱形的对角线性质与面积计算（共4小题） 14．（24-25八年级下·山西临汾·期末）（1）如图1，在中，，为斜边上的中线，那么与之间存在什么样的数量关系呢？ 为解决这一问题，小明同学想的办法是：如图2，延长到D，使，连接…… 请你顺着小明的思路完成后面的解答； 思考：通过第（1）小题的解答，你能得到什么结论：_______； 【深入探究】 （2）如图3，已知，E为的中点．则与之间的数量关系为_______； 【应用提升】 （3）如图4，在正方形中，E为上一点，F为的中点，分别过点D、C作的平行线，交于点G，求证：四边形为菱形； （4）若，请直接写出菱形的面积． 【答案】（1）见解析，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）；（3）见解析；（4） 【分析】（1）如图 2 ，作辅助线构建平行四边形，根据，可得矩形，所以，即可解答； （2）根据（1）中结论得到，根据等边对等角和三角形外角的性质可得，同理得：，即可解答； （ 3 ）①先证明四边形为平行四边形，连接，根据证明，可得，根据菱形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得结论； ②连接，交于点，证明为等边三角形，三线合一，结合勾股定理求出的长，进而求出的长，根据菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：如图 2 ，延长到，使，连接， ∵为斜边上的中线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴； 结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （2）解：如图3，∵， ， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， ， ∴； 故答案为：； （3）①证明：∵， ∴四边形为平行四边形， 如图4，连接， ∵四边形是正方形， ， ∵是的中点， ， ∴， ， ， ∵， ， ， ∴为菱形； ②∵正方形， ∴， ∵， ∴， 连接，交于点， ∵菱形， ∴，，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查的是正方形的性质，菱形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 15．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）【探究】如图1，正方形和正方形有公共顶点C．连接求证：． 【变式】如图2，菱形和菱形有公共顶点C，且、连接    （1）是否仍存在结论？若存在，给出证明，若不存在，请说明理由； （2）如图3，当点G恰好落在对角线上时，点F在延长线上，且，若的面积为9，直接写出菱形的面积． 【答案】探究：见解析；（1）成立，理由见解析；（2）24 【分析】（1）根据菱形的性质，结合已知条件推出，根据菱形四条边相等推出判定的条件，判定全等后再根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）先根据面积公式推出与的面积和等于的面积，再根据与之间的数量关系求出的面积，易得四边形的面积，然后根据推出的面积与四边形的面积，最后根据菱形的性质即可求出结果． 【详解】证明：∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； （1）存在． 证明：∵四边形和四边形都是菱形， ∴ 又∵， ∴， ∴ ∴； （2）解：∵与菱形同底等高， ∴菱形的面积等于面积的2倍， 又∵的面积为9， ∴菱形的面积等于， ∴， ∵与中边与边上的高相等， ∴与的面积比等于与的比， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 【点睛】本题综合考查正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点．掌握相关结论进行几何推理是解题关键． 16．（22-23八年级下·江苏南京·期末）点O为矩形的中心． (1)命题1：如图①，过点O的直线，分别交，于点E，F，则四边形是菱形． 命题2：如图②，P，Q两点在，上，且线段过点O，过点O的直线，分别交，于点E，F，则四边形是菱形． 请先判断两个命题的真假，并选择一个真命题进行证明． (2)若把图①的四边形的面积记为，图②的四边形的面积记为，则_________．（填“＞”或“＜”或“=”） 【答案】(1)两个命题均为真命题．证明见解析 (2)＞ 【分析】（1）命题1证明：由点O为矩形的中心，可证是的垂直平分线，于是，，，进一步证，得，于是四边形为菱形．命题2证明：连接，则经过点O，，四边形是矩形，可得，求证，得，同命题1，可证明，得，得证四边形为菱形． （2）如图，，由图知，，，所以，得，由菱形面积公式，得． 【详解】（1）两个命题均为真命题．命题1证明如下： 证明：∵点O为矩形的中心， ∴点O是的中点． ∵， ∴是的垂直平分线． ∴，，． ∵四边形ABCD是矩形， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴． ∴． ∴四边形为菱形． 命题2证明：如图，连接，则经过点O， ∵四边形是矩形 ∴ ∴ 又 ∴ ∴ 同命题1，可证明，得 又 ∴四边形为菱形． （2）如图，，由图知，， ∴ ∵，，， ∴ ∵， ∴ 【点睛】本题考查中矩形的性质、垂直平分线的性质，菱形的判定，菱形的面积计算，全等三角形判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形求证线段及角相等是解题的关键． 17．（22-23八年级下·浙江杭州·期末）在中，，，将绕点C顺时针旋转到，其中点A，点B的对应点分别为点E，点D，连结． (1)如图1，当点D在线段的延长线上时， ①证明：四边形是平行四边形． ②若点A为的中点，求四边形的面积． (2)如图2，当点D在线段上时，若点D为的中点，求的长． 【答案】(1)①见解析；②8 (2) 【分析】（1）①利用等腰三角形的性质和旋转性质证得，即可得结论； ②证明四边形是菱形，利用菱形的面积公式求解即可； （2）先根据等腰三角形的性质和旋转性质得到，又，进而证明四边形平行四边形得到，，在图2中，延长交延长线于P，证明得到，，过C作于H，利用等腰三角形的三线合一性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵绕点C顺时针旋转到， ∴，，，， ∴，， ∴，则， ∴四边形是平行四边形； ②∵点A为的中点， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 又, ∴四边形菱形， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴四边形的面积为； （2）解：∵， ∴， 由旋转性质得，，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形平行四边形， ∴，， 在图2中，延长交延长线于P，则，    ∵点D为的中点， ∴， 又， ∴， ∴，， 过C作于H，则， 在中，，， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、旋转性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，（2）中利用中线倍长作辅助线构造全等三角形是解答的关键． 题型五 正方形的对称性与多结论探究（共4小题） 18．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了正方形和折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积公式及平行线的判定．先根据正方形和折叠的性质分析图形中的边和角关系，再通过全等三角形的判定、勾股定理、面积计算及平行线判定逐一验证四个结论的正确性． 【详解】解：如图，由题意可知，，， ， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵正方形边长是12， ， 设，则，， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ，，，故②正确； ，故③错误； ， ， ，， ， ，故④正确； ∴①②④正确， 故选：B． 19．（24-25八年级下·河北沧州·期末）已知：如图，在正方形外取一点，连接、、过点作的垂线交于点若，下列结论：①；②点到直线的距离为；③；④，其中正确结论的序号是（    ） A．①④ B．①②④ C．①②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题利用了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟知相关知识是解题的关键． ①利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件利用可证两三角形全等；③利用①中的全等，可得，结合三角形的外角的性质，易得，即可证；②过作，交的延长线于，利用③中的，利用勾股定理可求，结合是等腰直角三角形，可证是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求、；④在中，利用勾股定理可求，即是正方形的面积． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， 即， 在和中， ， ， 故结论正确； 过点作，交的延长线于点，如图所示： 则，即为点到直线的距离， 在中，，， 是等腰直角三角形， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ， 是直角三角形， 在中，， 由勾股定理得：， ，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， ， 点到直线的距离为， 故结论不正确； ， ， 故结论正确； ， 是直角三角形， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 故结论正确， 综上所述：正确的结论是． 故选：D． 20．（24-25八年级下·湖南娄底·期末）如图，在正方形中，，点E在边上，且，将沿所在直线翻折得到，延长交边于点G，连接、，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论是（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①③⑤ D．①②④ 【答案】B 【分析】根据正方形和折叠的性质，易证，可判断①结论；根据全等三角形的性质和勾股定理，可判断②结论；根据全等三角形的性质和三角形内角和定理，可判断③结论；根据三角形面积公式可判断④结论；根据叠的性质和全等三角形的性质，结合三角形内角和定理，可判断⑤结论． 【详解】解：四边形是正方形，， ，， ， ， ， 由折叠的性质可知，，，， ， 在和中， ， ，①结论正确； ， 设，则，， 在中，， ， 解得：，即， ， ，②结论正确； ， ， ， ，， ， ，③结论正确； ，， ，④结论正确； 由折叠的性质可知，， 由全等的性质可知，，， ， ， ， ， ，⑤结论错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，平行线的判定等知识，掌握相关知识点是解题关键． 21．（24-25八年级下·北京怀柔·期末）如图，在正方形中，点P是对角线上一点（点P不与B，D重合），连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接，，交于点G，给出三个结论：，．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点．添加辅助线，构造全等三角形是解决本题的关键． 根据题意，由勾股定理即可判断；过P点作，延长交于Q点，通过分析可证即可判断；将绕点A顺时针旋转得到，证，即可判断． 【详解】解： 连接并延长交于点E，过点P作交于点F， 是直角三角形， 正确； 如图，过P点作，延长交于Q点，则，四边形是矩形， ，， ， 四边形是正方形， 是对角线， ，， 是等腰直角三角形， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在和中， ， ， 正确； 将绕点A顺时针旋转得到，如图2， ， ， C，B，H共线， ， ， ， 在和中， ， ， ， 正确； 综上，均正确． 故答案为：D． 题型六 特殊四边形与分类讨论（共5小题） 22．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）已知一个菱形有一个内角等于，一条对角线长是6，那么这个菱形的面积是___________． 【答案】 或 【分析】根据菱形的性质，菱形邻角互补，对角线互相垂直平分，且平分内角，已知一个内角为，可得相邻内角为，需分已知对角线为短对角线和长对角线两种情况讨论，利用勾股定理求出另一条对角线的长，再根据菱形面积等于对角线乘积的一半计算面积． 【详解】解：设菱形中，，对角线，交于点， 由菱形的性质可得：，，，，平分，平分，， 分两种情况讨论： 当长度为的对角线是较短对角线时，如图所示，， ，， 是等边三角形， ，， 在中，由勾股定理得： ， ， 菱形面积， 当长度为的对角线是较长对角线时，如图所示，， ， 设，在中，， ， 由勾股定理得：， 即， 解得（舍去负根）， ，， 菱形面积， 23．（2023·上海黄浦·二模）我们规定：在四边形中，是边上一点，如果与全等（对应关系不确定），那么点叫做该四边形的“等形点”．在四边形中，，，，，如果该四边形的“等形点”在边上，那么四边形的周长是__________． 【答案】 8或 【分析】根据平行线的性质可得，结合“等形点”对应关系不确定的条件，分两种全等对应情况讨论，利用全等三角形的性质、勾股定理求出四边形各边长，进而计算周长． 【详解】解：，， ， 四边形的“等形点”在边上， 如图1，当时，可得，， ，，， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长为； 如图2，当时，可得，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得， 四边形的周长为， 综上所述，四边形的周长为或． 24．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，在梯形中，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．设点，的运动时间为，在此运动过程中当四边形为平行四边形时，的值为___________． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定是解题的关键．设点，的运动时间为，根据题意，得，，，然后分类计算即可． 【详解】解：设点，的运动时间为，根据题意，得，，， 当点P到达点D时所用时间为， 根据题意，得， 当时，四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第一次越过点B返回向点C运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第一次越过点C返回向点B运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第二次越过点B返回向点C运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得，大于，舍去， 故答案为：或或． 25．（24-25八年级下·山西大同·期末）如图1，将矩形沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在边上，折痕与交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，点是的中点，勤学小组的同学将矩形沿直线折叠，点的对应点为，连接并延长，交于点． ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②连接交于点，点是的中点，若点是的三等分点，，直接写出的长． 【答案】(1)正方形，理由见解析； (2)①平行四边形，理由见解析；②的长为或． 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、正方形和平行四边形的判定以及勾股定理的应用． （1）根据矩形和折叠的性质判断四边形的形状； （2）①利用矩形和平行线的性质以及折叠性质来判定四边形的形状； ②根据点是的三等分点分情况讨论，结合勾股定理求出的长度． 【详解】（1）四边形为正方形． 理由:矩形， ， 折叠， ，， 四边形是正方形； （2）①四边形为平行四边形． 理由：矩形， ， 点是的中点， ， 折叠， ，， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形； ②四边形是平行四边形， ， 点是的中点， ， ，，， 是矩形， 当是的下方的三等分点时， ，点是的中点， ， 是矩形， ∴， 由折叠可得， ，，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 当是的上方的三等分点时， ，点是的中点， ， ，，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 综上所述，的长为或． 26．（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，正方形的边长为4，P为边上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，得到线段． (1)如图1，当时，求点Q到直线的距离； (2)如图2，连接，取的中点M，连接．求证：； (3)连接，，当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)1 (2)见解析 (3)2或或4 【分析】（1）过Q作于H，利用证明；即可求解； （2）过Q作于H，连接，由（1）知：，则，进而得出，可求，，然后根据直角三角形斜边中线的性质即可得证； （3）分，，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解∶如图，过Q作于H， ∵线段绕点逆时针旋转，得到线段， ∴，， ∵正方形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴点到直线的距离为1； （2）证明：过Q作于H，连接， ∵正方形， ∴，， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵M是的中点 ∴； （3）解：①当时，过Q作于H，于M， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 由（1）知：， ∴； ②当时，过Q作于H，于M， ∵， ∴， ∴， 设，则 由①知四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 解得或， 当时，B、P重合，A、Q重合，不符合题意，舍去， 当时，A、P重合，如图， 符合题意， ∴； ③当时，过Q作于H，于M， 由②知：， 在中，， ∴， ∴， 又， ∴， 综上，当的值为2或或4时，为等腰三角形． 题型七 四边形中的动点与存在性问题（共4小题） 27．（24-25九年级上·广东梅州·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点从点A出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示 ． (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ (3)只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点Q的运动速度应为多少？ 【答案】(1) (2)当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； (3)当Q点的速度为时，四边形为菱形． 【分析】本题考查了四边形的综合题，涉及到菱形的性质、平行四边形的判定及性质． （1）根据P点的速度以及时间结合的长表示即可； （2）只有Q点在上时，方能满足条件，分两种情况：①四边形是平行四边形，②四边形是平行四边形，进行解答即可； （3）设Q的速度为，Q在边上，此时可为菱形，满足，建立方程解决即可． 【详解】（1）解：P从A点以向B点运动， 时，， ， ； 故答案为：； （2）解：作于点， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， Q在上运动时间为， ， 运动时间最长为， 时，在边上， 此时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况： ①四边形是平行四边形，如图所示： ∵即， 只需即可，由（1）知：， 以的速度沿折线向终点运动， 运动时间为时，， ， 解得：； ②四边形是平行四边形，如图所示： 同理， 只需，四边形是平行四边形， 由（1）知，， 则， ， 解得：， 综上所述：当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； （3）解：设Q的速度为，由（2）可知，Q在边上，此时四边形可为菱形， ， 只需满足即可， 由（1）知：， 由（2）知：，， ，， 解得：，， 当Q点的速度为时，四边形为菱形． 28．（24-25八年级下·江西南昌·期末）综合与实践 特例感知  （1）如图1，在等腰直角中，D为斜边的中点，P是斜边上一动点，过点P分别作与的垂线，垂足分别为E，F，连接，，则，的关系是______． 类比迁移  （2）如图2，在等腰直角中，D为斜边的中点，P是斜边延长线上一动点，过点P分别作与的垂线，垂足分别为E，F，连接，，，求证：是等腰直角三角形． 拓展应用  （3）如图3，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，C是的中点，P是射线上一动点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为F，D，连接，，点E与点C关于对称，连接，． ①当点P在线段上运动时，请判断点E是否在一条直线上运动．若在，请直接写出这条直线的解析式；若不在，请说明理由． ②设点F的横坐标为x，四边形的面积为y，求y与x的函数解析式．    【答案】（1）；（2）见详解；（3）①点E在直线；② 【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质以及矩形的性质得出和全等，即可求出和的关系； （2）由（1）方法得出，然后证明，即可证明； （3）①连接，根据（1）（2）可知为等腰直角三角形，由对称可知也是等腰直角三角形，所以四边形为正方形，根据四边形为矩形，可以推出和全等，从而得到与y轴夹角为定值，即E在直线上； ②根据C，F的坐标得出的表达式，根据四边形为正方形得出，从而得解． 【详解】（1）解：连接，如图：   为等腰直角三角形，点是中点， ，，， ，， 四边形为矩形，为等腰直角三角形， ，， 在和中， ， ， ； 故答案为：； （2）证明：连接，如图：    由（1）知，，，， ， ， ，， ， ， 即， 为等腰直角三角形； （3）①是， 由（1）（2）可知，为等腰直角三角形， 点E与点C关于对称， 也为等腰直角三角形， 四边形为正方形， 连接，如图：   四边形为矩形， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 在直线上， ②点A，B的坐标分别为，，C是中点， ， ， ， 四边形为正方形， ． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何的综合，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是本题解题的关键． 29．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动．连结，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形． (1)______； (2)求证：； (3)当四边形的面积为20时，求出此时的长． (4)在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值． 【答案】(1)5 (2)证明见解析 (3)或 (4)或 【分析】（1）根据矩形的性质以及勾股定理即可求解； （2）根据题意可得垂直平分，从而得到，即可求证； （3）分两种情况：点P在边上或点P在边上，结合勾股定理以及等腰三角形的性质解答即可； （4）设，点P在边上或点P在边上，结合勾股定理以及菱形的性质解答即可． 【详解】（1）解：在矩形中，， ∴，， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴， 故答案为：5 （2）证明：∵点P关于的对称点为点E， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴ ∵四边形的面积为20， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴，， 当点P在边上时，过点O作，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 当点P在边上时，过点O作于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； （4）解：设， 如图，当点P在边上时，设交于点N， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 当点P在边上时，延长交于点M， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 30．（22-23八年级下·广东肇庆·期中）如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒 个单位的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是 （）．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)四边形能成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； (3)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)能； (3)或4；理由见解析 【分析】（1）根据含有角的直角三角形的性质及平行四边形的判定即可解答； （2）根据含有角的直角三角形的性质及菱形的性质解答即可； （3）根据含有角的直角三角形的性质及平行四边形的性质即可解答． 本题考查了含有角的直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，斜边的中线等于斜边的一半，菱形的性质，掌握含有角的直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：设点运动的时间是秒（）， ∵点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动， ∴， ∵点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：四边形能够成为菱形；理由如下： ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵由（1）知四边形为平行四边形， ∴若使为菱形，则需， ∴， 解得， ∴当时，四边形为菱形； （3）解：当或时，为直角三角形，理由如下： 根据题意，分三种情况讨论： ①当时，如图1所示： ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴在中，， 即， 解得； ②当时， ∵， ∴此种情况不存在； ③当时，如图2所示： 由（1）知四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上所述，当或时，为直角三角形． 题型八 四边形中的将军饮马与最值问题（共4小题） 31．（24-25八年级下·山东威海·期末）数学研究小组发现，求线段最值问题的解决策略：对两条线段作某种变换（平移、轴对称、旋转等），最终转化为“两点之间线段最短问题”去解决． (1)如图1，已知菱形，，，点E是边中点，点F是对角线边上的动点．连接，，则的最小值为________； (2)如图2，已知矩形，，．点E是上的点，且，点F，G是上的动点，且，连接．则的最小值为________； (3)如图3，已知正方形，，E是上的动点，F是上的动点，且．连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）取中点记作点，连接，，，记与的交点为点，连接，，先根据三角形的中位线性质和菱形性质证明点是点E关于的对称点，则，当点F运动到点时，的最小值，即的长， 证明为等边三角形和为等腰三角形，利用等边三角形的性质和勾股定理求解即可求解； （2）在上取点H，使得，连接，证明四边形是平行四边形，得到，在延长线上取点，使得，连接，则，进而利用两点之间线段最短得到的最小值为，然后利用勾股定理求得即可求解； （3）在下方，过C作，且，连接，，证明得到，由，当A、F、P共线时取等号，可得的最小值为的长；过P作于H，延长线于Q，由等腰直角三角形的判定与性质求得，再证明四边形是矩形，得到，，在中利用勾股定理求得即可． 【详解】（1）解：取中点记作点，连接，，， 记与的交点为点，连接，， ∵点E，点分别是，边中点， ∴，，， 在菱形中，，, ∴，， ∴点是点E关于的对称点， ∴， ∴当点F运动到点时，的最小值，即的长， 在菱形中，，， ∴，则为等边三角形， ∴， ∴，则为等腰三角形， ∵点是边中点， ∴，，即， 又，， ∴，则， 在中，， 又∵，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， 在上取点H，使得，连接，则 ∴四边形是平行四边形， ∴， 在延长线上取点，使得，连接，则， ∴，当H、F、共线时取等号， ∴的最小值为， ∵，． ∴中，，， ∴， ∴的最小值为； （3）解：在下方，过C作，且，连接，， ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴，， ∴，又， ∴， ∴， ∴，当A、F、P共线时取等号， ∴的最小值为的长； 过P作于H，延长线于Q，则， 在中，，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、最短路径问题等知识，熟练掌握特殊四边形的性质，添加辅助线得到最小值时动点的位置是解答的关键． 32．（23-24八年级下·浙江台州·期末）问题：如图，分别是矩形的边，，，上的点，依次连接它们得到四边形，探究四边形周长的最小值． 探究： （）如图，分别是边和上点，在边上作一点，使得的值最小，并证明（用没有刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）． （）如图，求证；当四边形的周长最小时，它是平行四边形． （）如图，若矩形中，，，求四边形周长的最小值． 拓展：如图，四边形中，，，，，，，直接写出四边形的内接四边形周长的最小值． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（2）20，拓展：12 【分析】（）作点关于的对称点，连接，与相交于点，则，所以，根据两点之间线段最短，可知此时的值最小，再根据轴对称和对顶角的性质可证得； （）过点H作的对称点为，过点作的对称点为点，连接，则，记四边形的周长为C，则，当点共线时，周长最小且为长，由对称得，而，设，则，而，同理可得，故，因此，则，同理可证：，故当四边形的周长最小时，它是平行四边形； （）由对称得：，，由，，得，，故在中，由勾股定理得，即四边形周长最小值为20；拓展：作点G关于的对称点为，作点关于的对称点，连接，由对称得故四边形的周长，当点共线时，四边形周长取得最小值，且为长，连接并延长交直线于点N，四边形周长取得最小值，此时点三点共线，由对称得：，，，，可证明，继而，则，，那么为的中位线，因此得到，故． 【详解】解：（）如图，点即为所求， ∵关于对称， ∴， ∵， ∴； （2）过点H作的对称点为，过点作的对称点为点，连接，如图： 则，记四边形的周长为C， ∴， 当点共线时，周长最小且为长，如图： 由对称得，而， ∴设， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， 同（1）得点共线， 同理可证：， ∴当四边形的周长最小时，它是平行四边形； （3）由（2）得四边形周长最小时即为长， 由对称得：，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴在中，由勾股定理得， 即四边形周长最小值为20； 拓展：作点G关于的对称点为，作点关于的对称点，连接，如图： 由对称得 ∴四边形的周长， 当点共线时，四边形周长取得最小值，且为长，连接并延长交直线于点N，如图： 同（1）得四边形周长取得最小值，此时点三点共线， 由对称得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短求最值，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的额关键． 33．（23-24八年级下·山东济南·期末）唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使的值最小． 解决方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则点P即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 问题1．如图2，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． 问题2．如图3，在平面直角坐标系中，点，点． （1）请在x轴上确定一点P，使的值最小，求出点P的坐标； （2）请直接写出的最小值． 【模型迁移】 问题3．如图4，在菱形中，对角线相交于点O，，．点P和点E分别为上的动点，求的最小值． 【答案】问题1：；问题2：（1）；（2）的最小值；问题3：． 【分析】问题1：连接，则，，即的最小值是长度，再根据勾股定理求出答案即可． 问题2：（1）由待定系数法可求的解析式，即可求解； （2）由，则当点A，点P，点三点共线时，的最小值为的长，由勾股定理可求解； 问题3：由菱形的性质可得，，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，即可求解． 【详解】问题1：连接， ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值是BE长度， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 故答案为：； 问题2：（1）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求．此时，的值最小， ∵点． ∴， 设直线的解析式为， ∵点，点． ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点P的坐标； （2）的最小值； 问题3：如图5，过A作，交于P，连接， 此时线段最小，且， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 即： ∴的最小值是． 【点睛】本题考查了轴对称最短问题，正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 34．（22-23八年级下·吉林长春·期末）（1）如图①，在边长是1的网格中，点A、B、C、D都在格点上，在线段上找一点P，使得最短．    （2）如图②，在正方形中，，E是中点，P是对角线AC上一动点，求的最小值．    （3）如图③，在正方形中， ，E、F是对角线上的两个动点，且，则的最小值是 ．    【答案】（1）见解析；（2）的最小值为；（3） 【分析】（1）根据对称性质，作点C关于对称点，连接交于P，根据两点之间线段最短知点P，使得最短； （2）如图②，连接交于P，连接，，根据正方形的性质、对称性质以及两点之间线段最短知的长为的最小值，根据勾股定理求得的长即可； （3）在图3中，过D作，，连接，，，则的长是的最小值，利用勾股定理求解、即可． 【详解】解：（1）如图，点P即为所求；    （2）如图②，连接交于P，连接，，    ∵四边形是正方形，， ∴点B和点D关于对称，， ∴， ∴根据两点之间线段最短知的长为的最小值， ∵E是中点， ∴， 在中，， 故的最小值为； （3）在图3中，过D作，，则四边形是平行四边形， ∴ 连接，，，      ∵点B和点D关于对称， ∴， ∴，当B、E、H共线时，取等号， 则的长是的最小值， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称-最短距离问题、正方形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识，解答的关键是学会利用轴对称性质解决最短距离问题，属于中考常考题型． 题型九 四边形中的平移变换综合（共4小题） 35．（24-25八年级下·四川成都·期末）综合与实践 问题情境：数学课外活动上，小苏和小都两位同学利用三角形纸片操作探究图形的平移问题．如图（1）所示，在三角形纸片中，已知，，，．如图（2）所示，小苏和小都两位同学首先沿边把这张三角形纸片剪成和两个三角形，然后将纸片沿直线的方向水平向右平移（纸片保持不动），当点与点重合时，停止平移．如图（3）所示，在平移过程中，设与交于点与分别交于点F，P． 操作探究1：在图（3）中，若，则纸片的平移距离为_________； 操作探究2：在图（3）中，小苏同学猜想与的数量关系为：．你认为他的猜想是否正确？说明理由． 操作探究3：在平移过程中，小都同学发现一个事实：始终成立．基于上述事实，设纸片的平移距离为，与重叠部分（图中阴影部分）的周长为，请你写出与的函数关系式，以及自变量的取值范围． 【答案】操作探究1：；操作探究2：他的猜想正确，理由见解析；操作探究3：． 【分析】操作探究1：由平移的性质得，得到，即，据此求解即可； 操作探究2：由平移的性质得到，，据此求解即可； 操作探究3：由平移可知，，，则由探究2可知，连接，，可得四边形是平行四边形，由，可得、，再计算周长即可求出与的函数关系式． 【详解】解：∵，，， ∴， 操作探究1：在图（3）中， 由平移的性质得， 设， ∴图3中，， ∵， ∴， ∴， 解得，即纸片的平移距离为； 故答案为：； 操作探究2：他的猜想正确，理由如下， ∵，在图（3）中，，， ∴，， 由平移的性质知， ∴，， ∴，， ∴，， 由平移的性质得， ∴； 操作探究3：如图，连接， 由平移可知，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 由探究2可知， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， 设，， ∵，即， 解得， ∴， ∴阴影部分的周长为 ∴． 【点睛】本题考查了平移的性质，勾股定理，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质．理解题意数形结合的方法的应用都是解本题的关键． 36．（24-25八年级下·山西朔州·期末）综合与探究 【问题情境】小明将两个全等的和重叠在一起，其中．固定不动，将沿直线向左平移，当点与点重合时，停止移动． 【猜想证明】 （1）如图，在平移过程中，当为的中点时，连接，请你猜想四边形的形状，并证明你的结论． （2）如图，在平移过程中，连接，四边形的形状在不断地变化，判断它的面积变化情况，并求出其面积． 【探索发现】 （3）在平移过程中，四边形有什么共同特征？（写出两个即可） 【答案】（1）菱形，证明见解析； （2）四边形的形状在不断改变，但它的面积不变化，； （3）在平移过程中，四边形共同特征为 【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由平行四边形的判定得到四边形是平行四边形，结合，由菱形的判定定理即可得证； （2）由含直角三角形性质、勾股定理及平移性质得到相关线段长度，进而确定，数形结合，由即可求出面积； （3）由平移性质及前面问题的求解过程中即可得证． 【详解】解：（1）四边形是菱形． 证明如下： ∵是直角三角形，为的中点， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形； （2）四边形的形状在不断改变，但它的面积不变化． 由平移的性质，得． 在中，， 则． 在中，由勾股定理可得． 由平移性质可得， ∴， ∴． （3）在平移过程中，四边形共同特征为①；②． 【点睛】本题考查几何综合，涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、平移性质、含直角三角形性质、勾股定理等知识．熟记相关几何判定与性质，并灵活运用是解决问题的关键． 37．（23-24八年级下·广东佛山·期末）综合探究 两张全等的纸片和，，，． (1)如图1，两张纸片拼在一起，使点、重合，点、重合，判断四边形的形状并说明理由； (2)将图1中的纸片沿方向平移（如图2），边，相交于点，边、相交于点，当平移距离是多少时，？ (3)如图3，两张纸片拼在一起，使点、重合，点落在边上，点落在边上，将纸片沿方向平移（如图4），边，相交于点，边、相交于点，平移过程（不含点、重合时）中，能平分吗？如果能，求平移的距离，如果不能，说明理由. 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2)平移的距离是时， (3)向上平移的距离为0时，即点、重合时平分，平移过程（不含点、重合时）中，不能平分 【分析】（1）根据平行四边形的判定方法进行解答即可； （2）设，则根据直角三角形的性质得出，，，列出关于x的方程，求出，得出，即可得出答案； （3）过点作于，延长交于，证明四边形是平行四边形，得出，假设平移过程中可能平分，证明，得出，证明，根据直角三角形的性质得出，说明这与矛盾，假设不成立，即可得出答案． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 全等的和， ，， 四边形是平行四边形. （2）解：由题可得：，，， ，， 由平移的性质可知：， ，， ， 设， 则，， 若，则， ， 解得：， ， 即平移的距离是时，． （3）解：平移过程中不会平分，理由如下： 过点作于，延长交于，如图所示： 由平移的性质可知：， ， ， ∴， 四边形是平行四边形， ， 假设平移过程中可能平分， 则有：， ，， ， ， ，， 由题意可知：， ， ， 这与矛盾， 假设不成立， 综上所述，平移过程中不能平分． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握平移的性质． 38．（24-25八年级下·河南三门峡·期末）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置； 操作二：将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）至图2位置． 根据以上操作，填空： ①图1中四边形的形状是_____； ②图2中与的数量关系是_____；四边形的形状是_____． (2)迁移探究 小董将一副等腰直角三角板换成一副含角的直角三角板，重复上面操作，如图3．已知长为，当平移的距离为多少时，四边形是菱形？请写出证明过程． (3)拓展应用 在（2）的探究过程中：当为等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)①正方形；②，平行四边形 (2)当平移距离是时，四边形是菱形 (3)或 【分析】（1）①由题意知，，，进而可得四边形是正方形；②由平移的性质可得，，，，则四边形是平行四边形，由，可得； （2）同理（1）由平移的性质可知，四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，由，，可得，，即为的中点，； （3）分，和三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）（1）①解：由题意知，，， ∴四边形是正方形， 故答案为：正方形； ②解：由平移的性质可得，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， 故答案为：，平行四边形； （2）当平移距离是时，四边形是菱形． 理由如下：如图所示，连接，，连接交于点 ，，， ，， 将三角板沿方向平移， ，， 四边形是平行四边形． 当平移的距离为时，即， ， ， ，， 是等边三角形， ， 四边形是菱形． 当平移距离是时，四边形是菱形． （3）或． 是含角的直角三角板，即，边长为， ， ①当时，为等腰三角形，如图所示， ，， ， ，且， ， 点是的中点， ； ②当时，为等腰三角形，如图所示， ，，， 在中，由勾股定理得，， 为等腰三角形，， ； ③当时，为等腰三角形，如图所示， 与“将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）”矛盾， 不存在； 综上所示，当为等腰三角形时，的长为或． 【点睛】本题考查了平移的性质，正方形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，勾股定理，含的直角三角形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 题型十 四边形与全等三角形综合（共4小题） 39．（22-23八年级下·江苏镇江·期末）【问题情境】 在数学活动课上，同学们以小组为单位开展“矩形纸片的剪拼”活动，如图（1），将矩形纸片沿对角线剪开，得到和．同学们测量得，．      【操作发现】 （1）①快乐小组将这两张三角形纸片按图（2）摆放，连接，发现与的关系为______； ②快乐小组将图（2）中纸片沿射线的方向平移，连接，，在平移的过程中，如图（3），当与平行时，发现四边形的形状是______； （2）超越小组将图（1）中的以点为旋转中心，按顺时针方向旋转， ①当，得到如图（4）所示的，过点作的平行线，与的延长线交于点，直接写出四边形的形状是______； ②当点在同一条直线上时，得到如图（5）所示的，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接、，得到四边形，请判断四边形的形状，并证明你的结论； 【实践探究】 （3）如图（6），创新小组在图（5）的基础上，进行如下操作：将沿着射线的方向向左平移，使点与点重合，与相交于点，直接写出______． 【答案】（1）①垂直，②矩形；（2）①菱形，②正方形，理由见解析；（3） 【分析】（1）①根据题意可得，从而得到将沿折叠，与完全重合，即可得到与的关系；②根据矩形的判定进行证明即可得到答案； （2）①根据菱形的判定进行证明即可得到答案；②根据正方形的判定进行证明即可得到答案； （3）由勾股定理得出的长，由求出的长，再由勾股定理求出的长，最后由面积公式进行计算即可． 【详解】解：（1）①根据题意可得：， 将沿折叠，与完全重合， ， 与的关系为：垂直， 故答案为：垂直； ②由题意得：，，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 故答案为：矩形； （2）①由题意得：， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故答案为：菱形； ②四边形是正方形， 理由如下： 根据题意得：，，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 四边形是正方形； （3）由（2）可得：， 根据题意得：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定、勾股定理、三角形的等面积法等知识，熟练掌握平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，是解题的关键． 40．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）四边形为正方形，E为对角线上一动点，连接．过点E作交直线于点F，以为邻边作矩形． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，，求正方形的边长； (3)点E关于的对称点为P，连接，若的最小值为， ①求的长为_______； ②正方形的面积的最小值为_______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）过E作于M，于N，证明四边形是矩形，得到，进而得到，证明得到，然后根据正方形的判定可得结论； （2）先证明得到，过G作于H，则是等腰三角形，进而可得，，在中，利用勾股定理求得即可求解； （3）①作D关于的对称点K，则K在的延长线上，连接交于P，连接交于M，连接，此时值最小，最小值为的长，则，由轴对称性质得到，则，利用勾股定理求解即可；在中，由得， ②利用垂线段最短知，当时，取得最小值，此时正方形的面积最小，进而求解的最小值即可． 【详解】（1）证明：如图，过E作于M，于N，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∴，则， ∵四边形是矩形， ∴，则， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴四边形为正方形； （2）解：如图，过G作于H， ∵四边形为正方形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 过G作于H，则是等腰三角形，又， ∴， ∴， 在中，， ∴正方形的边长为； （3）解：①∵， ∴点E关于的对称点P在上，， 作D关于的对称点K，则K在的延长线上，连接交于P，连接交于M，连接， 此时值最小，最小值为的长，则， 由轴对称性质得，则， 在中，由得， 解得（负值已舍去）， 故答案为：； ②在中，，则， ∵点E为上一点， ∴当时，取得最小值， ∵，， ∴的最小值为， ∵是正方形的边长， ∴正方形的面积的最小为， 故答案为：4． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、轴对称性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短、角平分线的性质等知识，综合性强，涉及知识点较多，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加适当的辅助线构造全等三角形和等腰直角三角形是解答的关键． 41．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图1，正方形的边长为4，连接，点为线段上任意一点（点不与，重合），过点作分别交于点．点为的中点，连接． (1)若，则________，________； (2)如图2，连接，．求证：且； (3)如图3，在（2）的条件下，设交于点，延长交于点，连接． ①探究之间的数量关系，并说明理由； ②若，则________． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)①，理由见解析；② 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 根据等腰直角三角形的性质得出； 可证得，从而，进而得出结论； 连接，延长至，使，可证得，从而，进而证得，从而，进一步得出结论； 设，则，，在中，由勾股定理得方程，求得的值，可证得． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， ， ∴， ， 四边形是矩形，， ， ， 为的中点， ， ， 故答案为：； （2）证明：在正方形和矩形中， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ； （3）解：：如图， ，理由如下： 连接，延长至，使， 由知，， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 设，则，， 在中，由勾股定理得， ， ， ， ， 由知，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 42．（24-25八年级下·江苏南通·期末）已知四边形为菱形，是射线上的一个动点，．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，旋转角． (1)如图1，若点在线段上，连接，求证； (2)如图2，若，点恰好在边的延长线上，求的长（用含的式子表示）； (3)若，△为直角三角形，以△的两直角边为邻边构造矩形，矩形的另一个顶点为，连接，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据菱形的性质以及旋转的性质证明△和△全等即可； （2）根据（1）以及角直角三角形三边的关系求解即可； （3）根据直角的不同分类讨论，根据角三角形三边关系以及全等三角形，先求出和的数量关系，然后根据勾股定理求解，即可得到和的比值． 【详解】（1）证明：四边形为菱形， ，， ， ， ， 由旋转的性质可知，， 在△和△中， ， ， ； （2）解：如图： ，四边形为菱形， ，， ，， 又， ， ∴， ， 同理可得，， ，，， ，，； （3）解：①当时，如图： ，， ， ， ， ∴， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ； ②当时，如图： 同理可得，， ， ， 延长交于， ， △为等边三角形， ， ， ， 在线段上， ， △不存在， 故不符合题意； ③当时，连接延长交于，如图： 设， ， ， ， 在上截取， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形， ，， 四边形为矩形， ， ， 四边形为矩形， ，，， ，， ， ； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、菱形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，含角的直角三角形三边关系，等腰三角形的性质，合理构造全等三角形是本题解题的关键． 题型十一 特殊四边形与一次函数综合（共4小题） 1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）在数学综合与实践活动课上，李老师对正方形纸片进行如下操作：如图1，将正方形纸片沿过点D的一条直线翻折，使点A落在点F处，折痕为，请同学们在图1的基础上进行探究． 【操作发现】 （1）如图2，小林同学延长交射线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点．求证：； 【深入探究】 （2）如图3，小明在图2的基础上延长，交的延长线于点H．求证：； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若正方形纸片的边长为6，当时，请直接写出线段AH的长______． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）12或． 【分析】（1）根据折叠的性质，得，证出，再根据，和，得出，即可证明； （2）根据正方形性质得出，，证明．得出，即可证明； （3）根据题意，分两种情况讨论．①当点在线段上时，如图1所示．②当点在的延长线上时，如图2所示． 【详解】（1）证明：由折叠的性质，得， ∵在正方形中，， ∴． ∵， ∴． ∵在正方形中，， ∴． ∴． ∴； （2）证明：在正方形中，，， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴， 即； （3）根据题意，分两种情况讨论． ①当点在线段上时，如图1所示．    ∵，， ∴，． ∴． 由（1）知， ∴． 由（2）知， ∴； ②当点在的延长线上时，如图所示．      同①可得，． ∴． ∴． ∴． 综上所述，线段的长为12或， 故答案为：12或． 【点睛】该题主要考查了折叠的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 2．（重庆市第一中学校2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）四边形中，，，，，．动点P从A点出发，沿方向以每秒1个单位的速度运动，同时，动点Q从点A出发，沿折线方向以每秒2个单位的速度运动，当Q点到达C点时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，， (1)请直接写出关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)若函数的图象跟函数的图象有两个交点，请直接写出b的取值范围． 【答案】(1) (2)图见解析，当时，随x的增大而减小（答案不唯一） (3) 【分析】本题考查动点的函数图象问题、勾股定理、矩形的判定和性质等： （1）作于点H，得到矩形，当时，点Q在线段上，当时，点Q在线段上，列分段函数即可； （2）根据（1）中解析式描点作图，根据所得图象的增减性可得函数的性质； （3）通过一次函数图象的平移解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于点H， ，，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 动点Q从点A出发，沿折线方向以每秒2个单位的速度运动， 点Q从点A到点D用时：，从点A到点C用时：， 当时，点Q在线段上， ，， ； 当时，点Q在线段上， ，， ； 综上可知，； （2）解：的图象如下图所示，由图可知，当时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大； （3）解：如图，当时，函数的图象跟函数的图象有两个交点． 3．（专题09一次函数的综合运用题（六大题型）【好题汇编】-备战2023-2024学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（天津专用））如图，在平面直角坐标系中，点，点，点关于轴的对称点为． (1)点的坐标为 　　； (2)已知一次函数的图象经过点与，求这个一次函数的解析式； (3)点是轴上的一个动点，当　　时，的周长最小； (4)点，是轴上的两个动点，当 时，的周长最小； (5)点，点分别是轴和轴上的动点，当四边形的周长最小时，　　 ，此时四边形的面积为 　　 ． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)，． 【分析】（）根据对称的性质直接可得； （）根据待定系数法求函数解析式，设直线的解析式为，代入，的坐标计算即可； （）根据轴对称的性质，三点共线时，最小，由（）中解析式即可求出的值； （）作，且，得四边形为平行四边形，所以，即共线时，最小，求出的函数解析式解决问题； （5）根据轴对称的性质，作关于轴的对称点，关于轴的对称点，连接交轴于，交轴于，点共线时，，此时四边形周长最小，再根据已知数据进行计算． 【详解】（1）解：∵点关于轴的对称点为， ∴， 故答案为：； （2）解：设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为； （3）解：∵周长为，且为定值， ∴只要最小， ∵， ∴三点共线时，最小， 令，得， 故答案为：； （4）解：如图，四边形周长为 ∴只要最小， 作，且，连接， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴，即共线时，最小， ∵，， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， 故答案为：； （5）解：根据轴对称的性质，作关于轴的对称点，关于轴的对称点，连接交轴于，交轴于， 此时四边形周长为， ∴点共线时，，此时四边形周长最小， ∵，， ∴，， 设直线的函数解析式为， ∴，解得：， ∴直线的函数解析式为， 当时，；当时，， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求函数解析式，轴对称的性质，线段最短，平行四边形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 4．（24-25八年级下·江苏南通·期中）已知一次函数的图象经过点A，B．点A的坐标为，点B的横坐标为m． (1)求b的值； (2)若线段的最高点与最低点的纵坐标差为6，求m的值； (3)已知点，以坐标原点O为中心构造矩形，且轴，若线段与矩形只有一个公共点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)的值为或 (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法，将代入解一元一次方程即可得到答案； （2）根据题意，分两种情况：线段的最高点是与最低点是；线段的最高点是与最低点是，列方程求解即可得到答案； （3）分图3-1，图3-2，图3-3，图3-4，图3-5五种情况利用数形结合的思想求出对应的临界值即可得到答案． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点， 将代入一次函数得到， 解得； （2）解：由（1）知一次函数， 点的横坐标为， ， ，线段的最高点与最低点的纵坐标差为6， 分两种情况：线段的最高点是与最低点是；线段的最高点是与最低点是， 当线段的最高点是与最低点是时，则， 解得； 当线段的最高点是与最低点是时，则， 解得； 综上所述，的值为或； （3）解：由（2）可得 如图3-1所示，当时， ∵， ∴直线一定在线段下方，即此时线段与矩形不可能有交点，不符合题意；    如图3-2所示，时， ∵， ∴直线一定与线段有一个交点，即此时线段与矩形有一个交点，符合题意；    如图3-3所示，当，且点D恰好在直线上时， 由对称性可得， ∴， 解得， ∴此时线段与矩形有一个交点，这个交点为D， 当时，此时矩形不可能与线段有交点，不符合题意；    如图4-4所示，当时， 此时， ∴此时直线一定在线段之间，且直线在点B下方，且点D在直线左上方， ∴此时线段与线段，线段都有一个交点，故此时不符合题意；    如图3-5所示，当时， 此时， ∴此时直线一定在线段上方，且直线在点B下方，且点D在直线左上方， ∴此时线段与线段有一个交点，即此时线段与矩形有一个交点，符合题意；    综上所述，或或． 【点睛】本题考查一次函数与矩形综合，难度较大，涉及待定系数法确定函数解析式、一次函数图象与性质、矩形性质、点的对称性求坐标等知识，熟练掌握一次函数图象与性质、矩形性质与点的对称是解决问题的关键． 题型十二 特殊四边形与一次函数存在性问题（共4小题） 47．（24-25八年级下·全国·期末）如图，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于点D、E，且，点M是直线上的一个动点． (1)求的值； (2)连结，若三角形的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标； (3)设点N是平面内的一点，以、、、为顶点的四边形是菱形，直接写出N的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】（1）先根据矩形的性质可得，再求出，则可得，代入一次函数的解析式求解即可得； （2）设点的坐标为，再分两种情况：①当点在线段上时，则，②当点在线段延长线上时，则，根据的面积建立方程，解方程即可得； （3）分三种情况：①当为菱形的对角线时，②当为菱形的对角线时，③当为菱形的对角线时，根据菱形的性质求出点的坐标，再利用菱形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 将代入一次函数得：， ∴， ∵， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴， 将点代入一次函数得：， 解得． （2）解：由（1）得：， ∴， ∴， 由（1）得：一次函数的解析式为， 设点的坐标为，则的边上的高为， ①当点在线段上时，则， ∵三角形的面积与四边形的面积之比为， ∴的面积为， ∴， 解得， ∴，， ∴此时点的坐标为； ②当点在线段延长线上时，则， ∵三角形的面积与四边形的面积之比为， ∴的面积为， ∴， 解得， ∴，， ∴此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或． （3）解：①如图，当为菱形的对角线时， 由菱形的性质可知，与互相垂直且平分， ∴点的纵坐标与的中点的纵坐标相等，即为， 将代入一次函数得：，解得， ∴， 又∵与互相垂直且平分， ∴点与点关于轴对称， ∴； ②如图，当为菱形的对角线时，则， 设点的坐标为， ∵， ∴， 整理得：， 解得， 当时，，则， 当时，，则， 由菱形的性质可知，， ∵轴， ∴轴， ∴或， 即或； ③如图，当为菱形的对角线时，则， 设点的坐标为， ∴， 整理得：， ∵当时，点与点重合， ∴， ∴由得：， 解得， ∴， ∴， 由菱形的性质可知，， ∵轴， ∴轴， ∴，即； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、两点之间的距离公式、矩形的性质、菱形的性质、二次根式的应用、利用平方根解方程等知识，熟练掌握一次函数的应用是解题关键． 48．（24-25八年级下·重庆·期末）已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，一次函数经过线段中点，且与轴交于，与轴交于点．    (1)用待定系数法求一次函数的解析式； (2)点是一次函数的图象上一点，若，求点的坐标； (3)是直线上一点，试问在轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）先求出点A和点B的坐标，进而根据中点坐标公式求出点C坐标，据此利用待定系数法求解即可； （2）求出，则，再分点F在点B左侧和点F在点B右侧，两种情况讨论求解即可； （3）先求出，再求出直线解析式为，设，分为对角线，为对角和为对角线，三种情况根据平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解即可． 【详解】（1）解；在中，当时，，当时，， ∴， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为； （2）解：∵，， ∴， ∴， 当点F在点B左侧时，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴点F的坐标为； 当点F在点B右侧时， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，当时，， ∴点F的坐标为；    综上所述，点F的坐标为或； （3）解：在中，当时，， ∴， 同理可得直线解析式为， 设， 当为对角线时，则， ∴， ∴点N的坐标为； 当为对角线时，则， ∴， ∴点N的坐标为； 当为对角线时，则， ∴， ∴点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或或． 49．（24-25八年级下·重庆渝北·期末）如图，一次函数与轴交于点，与轴交于点，将该一次函数向下平移5个单位后其图象与轴交于点，与轴交于点，过点的直线与一次函数的图象在第二象限交于点． (1)求直线的函数解析式： (2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点，交直线于点． ①当时，求点的坐标． ②当点运动到线段的中点时，在平面内存在一点，使得以E、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形．请求出符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)①或；②或或 【分析】（1）先求出点B的坐标，再根据平移的性质得到点D的坐标，将点代入一次函数求出的值，即可利用待定系数法求解； （2）①由（1）知直线的函数解析式为，直线的函数解析式为，设，则，求出，根据，建立方程求解即可；②设，分为对角线，为对角线，为对角线，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将代入，则， ∴， ∵一次函数向下平移5个单位后，则一次函数的解析式为， 将代入，则， ∴， ∵过点的直线与一次函数的图象在第二象限交于点， ∴， ∴， 设直线的函数解析式为：， 则，解得：， ∴直线的函数解析式为； （2）解：①由（1）知直线的函数解析式为，直线的函数解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴，即， 当时，解得：； 当时，解得：； 综上，当时，点的坐标为或； ②令，解得：， ∴， ∵点运动到线段的中点， ∴， 将代入，则； 将代入，则； ∴， ∵，以E、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形， 设， 当为对角线时，，解得， ∴； 当为对角线时，，解得， ∴； 当为对角线时，，解得， ∴； 综上，符合条件的点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数的平移问题，一次函数与坐标轴的交点问题，平行四边形的性质．讨论平行四边形存在性问题时，按对角线进行分类讨论，画出图形再计算． 50．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴，y轴分别交于点A，点B，一次函数经过点B． (1)求线段的长； (2)动点P从点C出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，连接，设点P的运动时间为t（秒）． ①当的面积为6时，请求出t的值； ②在线段上存在点D，点E是坐标平面内一点，以点B，E，P，D为顶点的四边形是正方形时，请求出t的值． 【答案】(1)9 (2)①见解析，②的值为或5 【分析】（1）先求出点A，B的坐标，然后求出直线的解析式，再求出点C的坐标解答即可； （2）①分为点P在点O的左侧，点P在点O的右侧两种情况表示长，然后根据三角形的面积公式求出值即可； ②当点P在点O右侧时，过点D作轴，垂足为G，证明，得到解题即可；当点P在点O左侧时，过点D作轴，垂足为点H，同理可得，进而得到，求出长解答即可． 【详解】（1）解：把代入，， ∴， 把代入，， ∴， 把代入中 ∴，当时，， ∴． ∴； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴，， 当点P在点O的左侧时，， ∴ 当点P在点O的右侧时，，， ∴． ②∵直线的解析式为， 当点P在点O右侧时，过点D作轴，垂足为G，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 把代入，， ∴， ∴， 即， 当点P在点O左侧时，过点D作轴，垂足为点H，如图， ∵四边形是正方形， 同上可证∴， ∴， 设， ∴， 把代入，， 则，， 则， ， ∴，即． 综上所述，的值为或5． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，正方形的性质，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握性质及定理是解本题的关键，并注意运用分类讨论的思想解决问题． 51．（24-25八年级下·吉林白山·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在线段上，过点P分别作于点C，于点D． (1)求线段的长； (2)若四边形为正方形，求点P的坐标； (3)点M在x轴上，点N在第一象限，若以A，B，M，N 为顶点的四边形是菱形，直接写出点N的坐标． 【答案】(1)10 (2) (3)或 【分析】（1）因为一次函数 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，所以先求出点A和点B的坐标，再运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）根据正方形的性质得到，设，得到，把代入，再解方程组，即可得到结论； （3）按照以为菱形的对角线和菱形的边长分类讨论，再分别列式计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一次函数 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴令则， 解得， 即； ∴令则， 即； 则 （2）解：四边形为正方形，且过点P分别作于点C，于点D． ， 设， ， 把代入, 得， 解得， 点的坐标为； （3）解：由（1）得，， 由题意得点在轴上，点在坐标平面内，以，，，为顶点的四边形是菱形， 当为菱形的边长， ①当时， 当在左侧时则， ∴点的坐标为； 当在右侧时，则 ∴点的坐标为， 此时，， ∵， 当坐标为时，， ∵点N在第一象限， ∴舍去， ∵ ∴当坐标为时，； ②时，此时、都为等腰三角形， ∵， ∴ ∵以，，，为顶点的四边形是菱形， ∴与不重合, 故， 此时互相垂直且平分 ∵，， 则 ∵点N在第一象限， ∴舍去， 当为菱形的对角线时， 由题意可得，设坐标为， 则， 解得， 坐标为， ，且， ， ∵，且点N在第一象限， 坐标为； 综上所述，或． 【点睛】本题一次函数与特殊平行四边形综合，难度较大，涉及一次函数的图象与性质、待定系数法确定函数解析式、正方形性质、解二元一次方程组求坐标、勾股定理、菱形的性质、两点之间距离公式、等腰三角形的判定与性质等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． $专题01 四边形综合的培优突破 题型1 平行四边形性质与判定综合证明 题型7四边形中的动点与存在性问题（难点） 题型2 特殊平行四边形性质与判定综合证明 题型8四边形中的将军饮马与最值问题（重点） 题型3 矩形的折叠与勾股定理综合（常考点） 题型9四边形中的平移变换综合 题型4菱形的对角线性质与面积计算（常考点） 题型10四边形与全等三角形综合 题型5正方形的对称性与多结论探究（重点） 题型11特殊四边形与一次函数综合（难点） 题型6特殊四边形与分类讨论（难点） 题型12特殊四边形与一次函数存在性问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 平行四边形性质与判定综合证明（共4小题） 1．（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，在中，点O是对角线的中点．某数学学习小组要在上找两点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取的中点E，F 作于点E，于点F 请回答下列问题： (1)选择其中一种方案并证明． (2)若，，求的面积． 2．（23-24八年级下·安徽铜陵·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度运动．以，为邻边构造平行四边形．在线段延长线上有一动点E，且满足，设点P运动时间为t秒． (1)当点C运动到线段中点时， ，点E的坐标为 ； (2)当点C在线段上运动时，求证：四边形为平行四边形； (3)当时，求四边形的周长． 3．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，在中，，，，将以点为中心逆时针旋转，得到，连接，再将以点为中心顺时针旋转得到，连接、． (1)求证：； (2)求证：、、都是等边三角形： (3)求的大小． 4．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，点E是的中点，点P是上一点，连接，交于点M，N是上一点，且，连接并延长交于点F． 【初步尝试】 （1）四边形是平行四边形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，请说明理由； 【深入探究】 （2）如图2，若在图1的基础上连接交于点H，过点A作交于点G， ①猜想与的数量关系，并说明理由； ②如图3，当点P为中点时，若，，且，请求出的面积（结果用含a，b的式子表示）． 题型二 特殊平行四边形性质与判定综合证明（共5小题） 5．（24-25八年级下·云南丽江·期末）如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的运动速度都是，连接，，．设点，的运动时间为． (1)当为何值时，四边形是矩形？ (2)当为何值时，四边形是菱形？ 6．（16-17八年级下·湖北·期末）已知四边形是矩形． (1)如图，对角线相交于点O，且，求证：四边形是菱形； (2)如图，对角线相交于点O，的平分线交于点F，且，求的值； (3)如图，点P在矩形内部．若，则 ． 7．（24-25八年级下·河北沧州·期末）【操作发现】如图1，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形．转动其中一张纸条，发现四边形总是平行四边形，其判断的依据是______；若要使四边形是矩形，边和满足的位置关系是______； 【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条和平行四边形纸条，其中，将它们按如图2所示放置，落在边上，，与边分别交于点M，N，且．求证：四边形是菱形； 【结论应用】保持图2中的平行四边形纸条不动，将平行四边形纸条沿或平移，且始终在边上，当时，恰有H，B的连线垂直于，此时，延长，交于点P，得到图3．若四边形的周长为40，求四边形的面积． 8．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点，点重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点与边交于点． 特例感知】 （1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是_____； 【类比探究】 （2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，连接，求的长度． 9．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）【问题提出】 （1）如图1，在矩形中，，，点为边的中点，点在边上，且，连接、、，试判断是否为等腰直角三角形，并说明理由； 【问题解决】 （2）节能环保日益受到人们的重视，水污染治理工程仍然任重道远．如图2，某工厂有一块四边形工业区，经测量，，，为了方便处理污水，该工厂在边上取点，上取点、（点在点的左侧，且、、三点均不与端点重合），使得，连接、并延长交于点，在点处安装一个污水处理设备．根据规划要求，与应相等，请问与是否相等？并说明理由． 题型三 矩形的折叠与勾股定理综合（共4小题） 10．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）在数学综合与实践活动中，小明发现折叠矩形纸片可以得到一些特殊角，我们将折痕与矩形原有边形成的夹角称为“折叠角”． 【尝试与感悟】 （1）如图，点在边上，将矩形沿折叠，点落在边上的点处，此时折痕与边形成的夹角就是“折叠角”，且 ______ ； （2）如图，先将矩形对折，使得与重合，折痕为，点在边上，再将纸片沿着折叠，点落在上的点处求“折叠角”的度数； 【探索与发现】 （3）在图中与垂直的射线、上分别取点、，使得四边形是矩形，将其沿着经过点的直线折叠后，点落在边上并且得到的“折叠角”请你用无刻度的直尺与圆规分别确定点、不写作法，保留作图痕迹 11．（24-25八年级下·广西钦州·期末）活动探究：矩形的折叠． (1)如图1，在矩形中，E，F分别是的中点，M，N分别是上的点，且，将沿着折叠，点D的对应点为G；将沿折叠，点B的对应点为H，点G，H都在矩形内部． ①求证：； ②判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，在矩形中，E是边上的一个动点，将沿着折叠，点D的对应点为F，已知，若以F，C，B为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 12．（24-25八年级下·广西南宁·期末）【问题情境】综合与实践课上，老师让同学们以“平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．已知中，，点，，，分别在的边，，，上． 【操作判断】（1）如图1，若点，分别是，边的中点，分别沿和折叠，使点与点重合，点与点重合． ①四边形________平行四边形（填“是”或“不是”）； ②若四边形是矩形，求的度数． 【迁移思考】（2）如图2，沿折叠，点恰好与点重合，求证：四边形是菱形． 【拓展探索】（3）如图3，若点为边的中点，沿折叠，点的对应点为点，延长与射线交于点．若，，请直接写出线段的长． 13．（24-25八年级下·河北承德·期末）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，现有矩形纸片，其中，． (1)【操作发现】如图1，将矩形纸片纸片沿对角线折叠，使点B落在点处，将纸片展平后再次折叠，使点A与点C重合，折痕为，然后展平得到图2，则以点A，F，C，E为顶点的四边形是什么特殊四边形？并说明理由． (2)【实践探究】如图3，在矩形纸片中，点为的中点，将纸片沿折叠，使点B落在点处，连接． ①与折痕的位置关系为________； ②求的长． (3)【拓展应用】将矩形纸片裁剪为，，在图3的情形下，若点G为上任意一点，其他条件不变，当点A与点的距离最小时，直接写出的长． 题型四 菱形的对角线性质与面积计算（共4小题） 14．（24-25八年级下·山西临汾·期末）（1）如图1，在中，，为斜边上的中线，那么与之间存在什么样的数量关系呢？ 为解决这一问题，小明同学想的办法是：如图2，延长到D，使，连接…… 请你顺着小明的思路完成后面的解答； 思考：通过第（1）小题的解答，你能得到什么结论：_______； 【深入探究】 （2）如图3，已知，E为的中点．则与之间的数量关系为_______； 【应用提升】 （3）如图4，在正方形中，E为上一点，F为的中点，分别过点D、C作的平行线，交于点G，求证：四边形为菱形； （4）若，请直接写出菱形的面积． 15．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）【探究】如图1，正方形和正方形有公共顶点C．连接求证：． 【变式】如图2，菱形和菱形有公共顶点C，且、连接    （1）是否仍存在结论？若存在，给出证明，若不存在，请说明理由； （2）如图3，当点G恰好落在对角线上时，点F在延长线上，且，若的面积为9，直接写出菱形的面积． 16．（22-23八年级下·江苏南京·期末）点O为矩形的中心． (1)命题1：如图①，过点O的直线，分别交，于点E，F，则四边形是菱形． 命题2：如图②，P，Q两点在，上，且线段过点O，过点O的直线，分别交，于点E，F，则四边形是菱形． 请先判断两个命题的真假，并选择一个真命题进行证明． (2)若把图①的四边形的面积记为，图②的四边形的面积记为，则_________．（填“＞”或“＜”或“=”） 17．（22-23八年级下·浙江杭州·期末）在中，，，将绕点C顺时针旋转到，其中点A，点B的对应点分别为点E，点D，连结． (1)如图1，当点D在线段的延长线上时， ①证明：四边形是平行四边形． ②若点A为的中点，求四边形的面积． (2)如图2，当点D在线段上时，若点D为的中点，求的长． 题型五 正方形的对称性与多结论探究（共4小题） 18．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 19．（24-25八年级下·河北沧州·期末）已知：如图，在正方形外取一点，连接、、过点作的垂线交于点若，下列结论：①；②点到直线的距离为；③；④，其中正确结论的序号是（    ） A．①④ B．①②④ C．①②③④ D．①③④ 20．（24-25八年级下·湖南娄底·期末）如图，在正方形中，，点E在边上，且，将沿所在直线翻折得到，延长交边于点G，连接、，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论是（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①③⑤ D．①②④ 21．（24-25八年级下·北京怀柔·期末）如图，在正方形中，点P是对角线上一点（点P不与B，D重合），连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接，，交于点G，给出三个结论：，．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A． B． C． D． 题型六 特殊四边形与分类讨论（共5小题） 22．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）已知一个菱形有一个内角等于，一条对角线长是6，那么这个菱形的面积是___________． 23．（2023·上海黄浦·二模）我们规定：在四边形中，是边上一点，如果与全等（对应关系不确定），那么点叫做该四边形的“等形点”．在四边形中，，，，，如果该四边形的“等形点”在边上，那么四边形的周长是__________． 24．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，在梯形中，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．设点，的运动时间为，在此运动过程中当四边形为平行四边形时，的值为___________． 25．（24-25八年级下·山西大同·期末）如图1，将矩形沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在边上，折痕与交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，点是的中点，勤学小组的同学将矩形沿直线折叠，点的对应点为，连接并延长，交于点． ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②连接交于点，点是的中点，若点是的三等分点，，直接写出的长． 26．（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，正方形的边长为4，P为边上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，得到线段． (1)如图1，当时，求点Q到直线的距离； (2)如图2，连接，取的中点M，连接．求证：； (3)连接，，当为等腰三角形时，求的长． 题型七 四边形中的动点与存在性问题（共4小题） 27．（24-25九年级上·广东梅州·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点从点A出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示 ． (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ (3)只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点Q的运动速度应为多少？ 28．（24-25八年级下·江西南昌·期末）综合与实践 特例感知  （1）如图1，在等腰直角中，D为斜边的中点，P是斜边上一动点，过点P分别作与的垂线，垂足分别为E，F，连接，，则，的关系是______． 类比迁移  （2）如图2，在等腰直角中，D为斜边的中点，P是斜边延长线上一动点，过点P分别作与的垂线，垂足分别为E，F，连接，，，求证：是等腰直角三角形． 拓展应用  （3）如图3，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，C是的中点，P是射线上一动点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为F，D，连接，，点E与点C关于对称，连接，． ①当点P在线段上运动时，请判断点E是否在一条直线上运动．若在，请直接写出这条直线的解析式；若不在，请说明理由． ②设点F的横坐标为x，四边形的面积为y，求y与x的函数解析式．      29．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动．连结，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形． (1)______； (2)求证：； (3)当四边形的面积为20时，求出此时的长． (4)在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值． 30．（22-23八年级下·广东肇庆·期中）如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒 个单位的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是 （）．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)四边形能成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； (3)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 题型八 四边形中的将军饮马与最值问题（共4小题） 31．（24-25八年级下·山东威海·期末）数学研究小组发现，求线段最值问题的解决策略：对两条线段作某种变换（平移、轴对称、旋转等），最终转化为“两点之间线段最短问题”去解决． (1)如图1，已知菱形，，，点E是边中点，点F是对角线边上的动点．连接，，则的最小值为________； (2)如图2，已知矩形，，．点E是上的点，且，点F，G是上的动点，且，连接．则的最小值为________； (3)如图3，已知正方形，，E是上的动点，F是上的动点，且．连接，，求的最小值． 32．（23-24八年级下·浙江台州·期末）问题：如图，分别是矩形的边，，，上的点，依次连接它们得到四边形，探究四边形周长的最小值． 探究： （）如图，分别是边和上点，在边上作一点，使得的值最小，并证明（用没有刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）． （）如图，求证；当四边形的周长最小时，它是平行四边形． （）如图，若矩形中，，，求四边形周长的最小值． 拓展：如图，四边形中，，，，，，，直接写出四边形的内接四边形周长的最小值． 33．（23-24八年级下·山东济南·期末）唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使的值最小． 解决方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则点P即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 问题1．如图2，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． 问题2．如图3，在平面直角坐标系中，点，点． （1）请在x轴上确定一点P，使的值最小，求出点P的坐标； （2）请直接写出的最小值． 【模型迁移】 问题3．如图4，在菱形中，对角线相交于点O，，．点P和点E分别为上的动点，求的最小值． 34．（22-23八年级下·吉林长春·期末）（1）如图①，在边长是1的网格中，点A、B、C、D都在格点上，在线段上找一点P，使得最短．    （2）如图②，在正方形中，，E是中点，P是对角线AC上一动点，求的最小值．    （3）如图③，在正方形中， ，E、F是对角线上的两个动点，且，则的最小值是 ．    题型九 四边形中的平移变换综合（共4小题） 35．（24-25八年级下·四川成都·期末）综合与实践 问题情境：数学课外活动上，小苏和小都两位同学利用三角形纸片操作探究图形的平移问题．如图（1）所示，在三角形纸片中，已知，，，．如图（2）所示，小苏和小都两位同学首先沿边把这张三角形纸片剪成和两个三角形，然后将纸片沿直线的方向水平向右平移（纸片保持不动），当点与点重合时，停止平移．如图（3）所示，在平移过程中，设与交于点与分别交于点F，P． 操作探究1：在图（3）中，若，则纸片的平移距离为_________； 操作探究2：在图（3）中，小苏同学猜想与的数量关系为：．你认为他的猜想是否正确？说明理由． 操作探究3：在平移过程中，小都同学发现一个事实：始终成立．基于上述事实，设纸片的平移距离为，与重叠部分（图中阴影部分）的周长为，请你写出与的函数关系式，以及自变量的取值范围． 36．（24-25八年级下·山西朔州·期末）综合与探究 【问题情境】小明将两个全等的和重叠在一起，其中．固定不动，将沿直线向左平移，当点与点重合时，停止移动． 【猜想证明】 （1）如图，在平移过程中，当为的中点时，连接，请你猜想四边形的形状，并证明你的结论． （2）如图，在平移过程中，连接，四边形的形状在不断地变化，判断它的面积变化情况，并求出其面积． 【探索发现】 （3）在平移过程中，四边形有什么共同特征？（写出两个即可） 37．（23-24八年级下·广东佛山·期末）综合探究 两张全等的纸片和，，，． (1)如图1，两张纸片拼在一起，使点、重合，点、重合，判断四边形的形状并说明理由； (2)将图1中的纸片沿方向平移（如图2），边，相交于点，边、相交于点，当平移距离是多少时，？ (3)如图3，两张纸片拼在一起，使点、重合，点落在边上，点落在边上，将纸片沿方向平移（如图4），边，相交于点，边、相交于点，平移过程（不含点、重合时）中，能平分吗？如果能，求平移的距离，如果不能，说明理由. 38．（24-25八年级下·河南三门峡·期末）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置； 操作二：将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）至图2位置． 根据以上操作，填空： ①图1中四边形的形状是_____； ②图2中与的数量关系是_____；四边形的形状是_____． (2)迁移探究 小董将一副等腰直角三角板换成一副含角的直角三角板，重复上面操作，如图3．已知长为，当平移的距离为多少时，四边形是菱形？请写出证明过程． (3)拓展应用 在（2）的探究过程中：当为等腰三角形时，请直接写出的长． 题型十 四边形与全等三角形综合（共4小题） 39．（22-23八年级下·江苏镇江·期末）【问题情境】 在数学活动课上，同学们以小组为单位开展“矩形纸片的剪拼”活动，如图（1），将矩形纸片沿对角线剪开，得到和．同学们测量得，．      【操作发现】 （1）①快乐小组将这两张三角形纸片按图（2）摆放，连接，发现与的关系为______； ②快乐小组将图（2）中纸片沿射线的方向平移，连接，，在平移的过程中，如图（3），当与平行时，发现四边形的形状是______； （2）超越小组将图（1）中的以点为旋转中心，按顺时针方向旋转， ①当，得到如图（4）所示的，过点作的平行线，与的延长线交于点，直接写出四边形的形状是______； ②当点在同一条直线上时，得到如图（5）所示的，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接、，得到四边形，请判断四边形的形状，并证明你的结论； 【实践探究】 （3）如图（6），创新小组在图（5）的基础上，进行如下操作：将沿着射线的方向向左平移，使点与点重合，与相交于点，直接写出______． 40．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）四边形为正方形，E为对角线上一动点，连接．过点E作交直线于点F，以为邻边作矩形． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，，求正方形的边长； (3)点E关于的对称点为P，连接，若的最小值为， ①求的长为_______； ②正方形的面积的最小值为_______． 41．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图1，正方形的边长为4，连接，点为线段上任意一点（点不与，重合），过点作分别交于点．点为的中点，连接． (1)若，则________，________； (2)如图2，连接，．求证：且； (3)如图3，在（2）的条件下，设交于点，延长交于点，连接． ①探究之间的数量关系，并说明理由； ②若，则________． 42．（24-25八年级下·江苏南通·期末）已知四边形为菱形，是射线上的一个动点，．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，旋转角． (1)如图1，若点在线段上，连接，求证； (2)如图2，若，点恰好在边的延长线上，求的长（用含的式子表示）； (3)若，△为直角三角形，以△的两直角边为邻边构造矩形，矩形的另一个顶点为，连接，直接写出的值． 题型十一 特殊四边形与一次函数综合（共4小题） 1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）在数学综合与实践活动课上，李老师对正方形纸片进行如下操作：如图1，将正方形纸片沿过点D的一条直线翻折，使点A落在点F处，折痕为，请同学们在图1的基础上进行探究． 【操作发现】 （1）如图2，小林同学延长交射线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点．求证：； 【深入探究】 （2）如图3，小明在图2的基础上延长，交的延长线于点H．求证：； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若正方形纸片的边长为6，当时，请直接写出线段AH的长______． 2．（重庆市第一中学校2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）四边形中，，，，，．动点P从A点出发，沿方向以每秒1个单位的速度运动，同时，动点Q从点A出发，沿折线方向以每秒2个单位的速度运动，当Q点到达C点时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，， (1)请直接写出关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)若函数的图象跟函数的图象有两个交点，请直接写出b的取值范围． 3．（专题09一次函数的综合运用题（六大题型）【好题汇编】-备战2023-2024学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（天津专用））如图，在平面直角坐标系中，点，点，点关于轴的对称点为． (1)点的坐标为 　　； (2)已知一次函数的图象经过点与，求这个一次函数的解析式； (3)点是轴上的一个动点，当　　时，的周长最小； (4)点，是轴上的两个动点，当 时，的周长最小； (5)点，点分别是轴和轴上的动点，当四边形的周长最小时，　　 ，此时四边形的面积为 　　 ． 4．（24-25八年级下·江苏南通·期中）已知一次函数的图象经过点A，B．点A的坐标为，点B的横坐标为m． (1)求b的值； (2)若线段的最高点与最低点的纵坐标差为6，求m的值； (3)已知点，以坐标原点O为中心构造矩形，且轴，若线段与矩形只有一个公共点，求m的取值范围． 题型十二 特殊四边形与一次函数存在性问题（共4小题） 47．（24-25八年级下·全国·期末）如图，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于点D、E，且，点M是直线上的一个动点． (1)求的值； (2)连结，若三角形的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标； (3)设点N是平面内的一点，以、、、为顶点的四边形是菱形，直接写出N的坐标． 48．（24-25八年级下·重庆·期末）已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，一次函数经过线段中点，且与轴交于，与轴交于点．    (1)用待定系数法求一次函数的解析式； (2)点是一次函数的图象上一点，若，求点的坐标； (3)是直线上一点，试问在轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 49．（24-25八年级下·重庆渝北·期末）如图，一次函数与轴交于点，与轴交于点，将该一次函数向下平移5个单位后其图象与轴交于点，与轴交于点，过点的直线与一次函数的图象在第二象限交于点． (1)求直线的函数解析式： (2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点，交直线于点． ①当时，求点的坐标． ②当点运动到线段的中点时，在平面内存在一点，使得以E、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形．请求出符合条件的点的坐标． 50．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴，y轴分别交于点A，点B，一次函数经过点B． (1)求线段的长； (2)动点P从点C出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，连接，设点P的运动时间为t（秒）． ①当的面积为6时，请求出t的值； ②在线段上存在点D，点E是坐标平面内一点，以点B，E，P，D为顶点的四边形是正方形时，请求出t的值． 51．（24-25八年级下·吉林白山·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在线段上，过点P分别作于点C，于点D． (1)求线段的长； (2)若四边形为正方形，求点P的坐标； (3)点M在x轴上，点N在第一象限，若以A，B，M，N 为顶点的四边形是菱形，直接写出点N的坐标． $