第8章 四边形题型过关专练-2025-2026学年苏科版八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】

第8章 四边形 思维导图 【类型一】平行四边形的概念与性质 1．如图，四边形是平行四边形，平分，交边于，若，，则的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等角对等边，熟练掌握相关的性质，是解题的关键．根据平行线的性质得出，，，证明，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．如图，在直角坐标系中，的对角线的交点在原点，若顶点的坐标为，则顶点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解题时注意：平行四边形的对角线互相平分．依据的对角线的交点在原点，即可得到点与点关于原点中心对称，依据顶点的坐标为，即可得出顶点的坐标是． 【详解】解：的对角线的交点在原点， 点与点关于原点中心对称， 又顶点的坐标为， 顶点的坐标是， 故选：． 3．如图，在中，对角线AC，BD交于点O．若，，，则BC的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质定理，勾股定理，勾股逆定理，熟练掌握相关定理是解题的关键； 利用平行四边形的性质求得、的长，再根据勾股逆定理判断形状并求边长即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． 在中， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且． 在中， ． 故答案为：． 【类型二】平行四边形的个数 1．如图，在中，，，，的交点在上，则图中面积相等的平行四边形有（   ）对 A．5 B．3 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定与性质可知，平行四边形的对角线将平行四边形的面积平分，可推出3对面积相等的平行四边形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，是对角线， ∴，，． ∵，， ∴，， ∴四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形都是平行四边形， ∵是平行四边形的对角线， ∴， ∵是平行四边形的对角线， ∴． ∴， 即， ∴， 同理可得：． 即：，，． 故选：B． 【点睛】本题考查了数图形中平行四边形的个数，利用平行四边形的判定与性质求解，利用平行四边形性质和判定证明，利用平行四边形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 2．如图，中，，则图中共有平行四边形的个数为（　　） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的定义，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可． 【详解】解：图中的平行四边形为：，，，，，，，，，共个， 故选：A． 3．根据如图所示的三个图所表示的规律依次数下去，第n个图中平行四边形的个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的变化规律，找出一行中的平行四边形的个数，再找出所有的行数，由此找出第个图中平行四边形的个数为是解题的关键．首先发现第一个图中平行四边形的个数是个，第二个图中平行四边形的个数是，第三个图中平行四边形的个数是，由此发现规律解答即可． 【详解】解：∵第一个图中平行四边形的个数是个， 第二个图中平行四边形的个数是， 第三个图中平行四边形的个数是， ∴第个图中平行四边形的个数是， 故答案为：． 【类型三】矩形的性质 1．在矩形中，对角线相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义．先根据矩形的性质，结合角平分线的定义求出，利用等腰三角形的性质求出，即可求出答案． 【详解】解：在矩形中，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，在矩形中，平分交于点，连接，为的中点，连接，若，，则的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，角平分线的定义，勾股定理．由矩形的性质和平分，容易证得，则．运用勾股定理求出，最后用直角三角形的性质求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， ∵为的中点， ∴． 故选：C． 3．如图，在平面直角坐标系中，矩形的点A和点C分别落在x轴的正半轴和y轴负半轴上，，直线l：经过点C，将直线l向上平移m个单位，若直线可将矩形的面积平分，则m的值为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，矩形的性质，根据题意求出点A和点C的坐标，进而求出的中点的坐标，由平移方式可得平移后的直线解析式，根据矩形的性质可得平移后的直线一定经过的中点，据此求解即可． 【详解】解：∵，且点A在x轴的正半轴上， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴的中点坐标为， ∵将直线l向上平移m个单位， ∴平移后的直线解析式为， ∵四边形是矩形， ∴点是矩形的中心， ∵平移后的直线平分矩形的面积， ∴平移后的直线一定经过点， ∴， ∴， 故答案为：10． 【类型四】平行线之间的距离 1．在菱形ABCD中，，，求平行线AB与CD之间的距离为　　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图：作OE⊥AB于E交CD于F．利用勾股定理求出菱形的边长，再利用面积法求出高EF即可． 【详解】如图：作OE⊥AB于E交CD于F． ∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC=6，OB=OD=8，AC⊥BD，∴AB==10， ∵AB•EF=•AC•BD，∴EF=． 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、平行线之间的距离等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型． 2．如图，四边形是平行四边形，点M在边上，，垂足分别为E、N，则平行线与之间的距离是（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线之间的距离等知识点，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 由平行四边形的性质和平行线之间的距离可求解即可． 【详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴平行线与之间的距离是的长． 故选：B． 3．在菱形中，，，则平行线与之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查等面积法求线段长，涉及菱形的性质、勾股定理及菱形的面积等知识，过点作于点，如图所示，在菱形中，，，且，在中，由勾股定理求出，结合等面积法，由代值求解即可得到答案．熟记菱形的性质、勾股定理及菱形的面积等知识是解决问题的关键． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 在菱形中，，，则，，且， 在中，由勾股定理可得， ，则， 解得， 平行线与之间的距离为， 故答案为：． 【类型五】菱形的性质 1．如图，在菱形中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧相交于，两点，过，两点的直线交边于点，连接．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直平分线的性质推出，再结合菱形的性质得，则． 【详解】解：依题得：直线是线段的垂直平分线， ， ， 又菱形中，， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是垂直平分线的性质、等边对等角、菱形的性质，解题关键是熟练掌握垂直平分线的性质． 2．如图，菱形的周长为，，则AC的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，含角的直角三角形的性质，属于基础题，解答本题的关键是掌握菱形的基本性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.由，可得，根据菱形的周长求出的长度，在中，求出，继而可得出的长． 【详解】解：∵四边形是菱形，周长为， ∴， ∴在中， ∴， ∴． 故选：B． 3．如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，由菱形的性质得出，，，由勾股定理得出，再根据菱形的面积即可得出. 【详解】解：四边形是菱形，， ，，， 在中，， ， ， ． 故答案为： 【类型六】正方形的性质 1．如图，四边形是正方形，是等边三角形，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质， 先根据正方形和等边三角形的性质得，可求出，再根据等边对等角得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．如图，在正方形和正方形中，点在上，点在同一条直线上，，，是的中点，连接，则的长是（    ）． A．6 B． C． D．10 【答案】C 【分析】连接，延长交于，则，四边形是矩形，，，，，由勾股定理得，，由是的中点，，可得，计算求解即可． 此题考查了运用矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、斜边的中线等于斜边的一半. 【详解】解：如图，连接，延长交于， ∵正方形和正方形， ∴， ∴，四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由勾股定理得，， ∵是的中点，， ∴， 故选：C． 3．如图，正方形的对角线相交于点O，正方形与正方形的边长相等，在正方形绕点O旋转的过程中，当重叠部分为四边形且面积为时，则正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，关键是证明两个三角形全等，把重叠部分面积转化为三角形面积．根据正方形的性质易证，从而这两个三角形的面积相等，从而可得重叠部分的面积是正方形面积的，再进一步求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形 ∴，，， ∴， ∵四边形为正方形 ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴， 解得：， ∴正方形的边长为：． 故答案为： 【类型七】三角形的中位线 1．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，点、分别是、的中点，若，则的长是（    ） A．16 B．14 C．12 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线定理、矩形的性质，熟练掌握相关的性质定理正确推理计算是解题的关键． 根据三角形中位线定理和矩形的性质解题即可． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴， ∵矩形， ∴． 故选：A． 2．如图，在中，点、分别是边、的中点，连接，点在线段上，连接、，，若，，则的长为（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是利用中位线定理得出的长度，结合直角三角形斜边中线性质求出，进而计算． 由D、E是、中点，得是的中位线，故；在中，E是中点，故；用减去得的长度． 【详解】解：∵D、E分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，E是中点， ∴． ∴． 故选：C． 3．如图，在中，平分，D是的中点，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质，首先延长、交于点，可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可得，又根据点是的中点，可证是的中位线，根据中位线的性质可得的长度． 【详解】解：如图所示，延长、交于点， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， 点是的中点， 是的中位线， ． 故答案为：2． 【类型八】等腰梯形与直角梯形 1．下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 【答案】D 【分析】本题考查了梯形定义，熟练掌握梯形的特征是解题的关键． 根据梯形的定义：梯形是只有一组对边平行的四边形，进行判断即可. 【详解】解：A、因为有一组对边平行的四边形可能为平行四边形（两组对边平行），不一定是梯形，该选项说法错误，不符合题意； B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，该描述不是梯形的定义，且当其为平行四边形时，不符合梯形只有一组对边平行的特点，故该选项说法错误，不符合题意； C、因为有两组对边平行的四边形是平行四边形，不是梯形，该选项说法错误，不符合题意； D、只有一组对边平行的四边形是梯形，符合梯形定义，符合题意. 故选：D． 2．如图，等腰梯形中，，，交于点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【分析】本题考查了等腰梯形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握等腰梯形的性质是解题的关键． 过点分别作的垂线，垂足为点，证明，再证明，最后证明即可． 【详解】解：过点分别作的垂线，垂足为点， ∵， ∴， ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， 故A、B、C正确，不符合题意，D不能证明， 故D不符合题意， 故选：D． 3．已知在直角梯形中，，，，，，那么梯形的周长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了直角梯形，矩形的判定与性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．过D作于H，可证四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，求得，从而，得到，于是得到结论． 【详解】解：过D作于H，则， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 故答案为：． 【类型九】添加条件证矩形、菱形、正方形 1．已知四边形中，对角线与相交于点O，，，再添加一个条件使四边形是菱形，添加条件不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了证明四边形是菱形、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，证明，得出，从而可得垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，，再结合各选项逐项分析即可得解，熟练掌握菱形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：如图： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， A、∵， ∴， ∴四边形是菱形，故不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故不符合题意； C、∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故不符合题意； D、添加不能说明四边形是菱形，故符合题意； 故选：D． 2．在下列条件中选取一个作为增加条件，能使平行四边形成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定方法，解决此题的关键是熟练掌握矩形的判定方法．根据矩形的判定可知，有一个角为直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，即可得到答案． 【详解】解：A. ，对角线相等，可判断是矩形，故选项A正确，符合题意； B. ，是已具有的性质，不能判断是矩形，故选项B错误，不符合题意； C. ，对角线互相垂直，可判断是菱形，故选项C错误，不符合题意； D. ，是已具有的性质，不能判断是矩形，故选项D错误，不符合题意． 故选：A． 3．如图，在中，．再添加一个条件，就能判定四边形是正方形．这个条件可以是 ．（只填一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定是解题的关键．根据矩形的判定定理及正方形的判定定理即可解答． 【详解】解：由在中，，可知四边形是矩形，根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：或或或或． 故答案为：（答案不唯一）． 【类型十】中点四边形 1．在一个四边形中依次连接各边的中点得到的四边形是矩形，则对角线与一定有如下关系（   ） A．垂直 B．相等 C．垂直且互相平分 D．互相平分 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质．根据题意画出相应的图形，如图所示，由四边形为矩形，根据矩形的四个角为直角得到，又为的中位线，根据中位线定理得到与平行，根据两直线平行，同旁内角互补得到，同理根据三角形中位线定理得到与平行，再根据两直线平行，同旁内角互补得到，根据垂直定义得到与垂直． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵点E、F分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 又∵点E、H分别是各边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 即． 故选：A． 2．如图，，，，分别是矩形四边中点，已知，，则四边形的面积是（   ） A．20 B．26 C．30 D．40 【答案】A 【分析】本题考查的是矩形的性质，全等三角形的判定与性质，中点四边形，熟知矩形的对边相等且各角都是直角是解答此题的关键． 先根据E，F，G，H分别是矩形各边的中点得出，，故可得出，根据即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵E，F，G，H分别是矩形各边的中点，，， ，． 在与中， ∵， ． 同理可得， ． 故选：A． 3．如图，在菱形中，边长为10，．顺次连结菱形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；按此规律继续下去…．则四边形的周长是 ；四边形的周长是 【答案】 20 【分析】先证明四边形是菱形，求出， ，，求出周长，同理可得四边形、、……为菱形，且对应的边长：，，…… ，进而求出四边形的周长即可． 【详解】解：连接，，，，如图所示： ∵菱形中，边长为10， ∴，，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵顺次连结菱形各边中点，得到四边形， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵顺次连结四边形各边中点，可得四边形， ∴，，，， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， ∴是等边三角形，四边形是菱形， ∴的周长为； 同理可得：四边形、、……为菱形， 且对应的边长：， ， …… ∴四边形为菱形，边长为， ∴四边形的周长为： ． 故答案为：20；． 【点睛】本题考查了中点四边形，三角形中位线的性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，根据题意发现中点四边形性质，分别求出菱形矩形边长并发现规律进行推理是解题关键． 【类型一】平行四边形的判定 1．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作于点N，过点C作于点M，连接AM，CN．求证：四边形ANCM为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 方法：通过平行四边形的性质得到，由垂直的定义得到，即可通过证明，通过全等三角形的性质得到，最后根据对角线互相平分的四边形为平行四边形进行证明即可；方法：通过平行四边形的性质得到，，，，两直线平行内错角相等可得到，由垂直的定义得到，即可通过证明，通过全等三角形的性质得到，再通过线段的和差关系得到，最后根据对角线互相平分的四边形为平行四边形进行证明即可． 【详解】方法：证明：∵四边形为平行四边形， ． ，， ． 在和中， ， ， ∴四边形为平行四边形． 方法：∵四边形为平行四边形， ，，，， ． ，， ． 在和中， ， ， ，即， ∴四边形为平行四边形． 2．如图，在中，D是边上任意一点，F是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识． （1）证明，则，又由即可证明结论； （2）过点C作于点G，求出，  由勾股定理得到，证明，则，即可得到的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴，．           ∵F是AC的中点， ∴， ∴，           ∴， 又∵， ∴四边形ADCE是平行四边形． （2）解：过点C作于点G， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴，           ∴， ∵， ∴，           ∴． 3．如图，在四边形中，，对角线，相交于点，且． (1)求证： ． 四边形为平行四边形． (2)过点作，交于点，交于点，连结若，，求的度数． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）根据，可得，利用可证； （2）根据，可得，又因为，则可得四边形为平行四边形； （3）可证是的垂直平分线，则，根据等腰三角形三线合一可知，再由平行线的性质可求． 【详解】（1）证明：， ． 在和中， 同理可证， ． 又， 四边形为平行四边形； （2）解：， ， ， ， ， ． ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 【类型二】矩形的判定 1．如图，在中，的平分线和的平分线交于点，点在边上，以、为边作． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的性质，矩形的判定，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，求矩形的面积； （1）根据平行四边形的性质，角平分线的性质求出即可； （2）根据题意，结合勾股定理求出，，再利用矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵和分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）得四边形是矩形， ∴． 2．如图，和相交于点O，，，E，F 分别是，的中点． (1)求证：． (2)当时，求证：四边形 是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）直接证明，得出，根据、分别是、的中点，即可得证； （2）证明四边形是平行四边形，进而根据，推导出是等边三角形，进而可得，即可证明四边形是矩形． 【详解】（1）证明：在与中， ∴， ∴， 又∵、分别是、的中点， ∴； （2）证明：∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 3．如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，连接，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的面积 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了矩形的性质和判定、等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （1）首先根据为和的中点，得出四边形是平行四边形，在中，结合，得到，可证出结论． （2）根据矩形性质求出，求出，根据直角三角形的性质求出即可． 【详解】（1）证明：∵是、的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， 又 ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ． 【类型三】菱形的判定 1．如图，四边形是矩形，点是的中点，将绕点旋转，分别交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)37.5． 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形性质和判定，菱形的判定及性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握勾股定理及菱形的判定及性质定理是解本题的关键． （1）利用矩形性质证明，进而得到四边形为平行四边形，结合旋转的性质，以及对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判定即可； （2）结合菱形性质设，则，由勾股定理可求的长，进而即可求出菱形的面积． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ， ， 是中点， ， 在和中， （）， ， 四边形是平行四边形， ∵绕点旋转， ∴， 四边形是菱形； （2）解：， 由菱形性质可设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， ， ． 2．如图，在四边形中，，，对角线交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）先证明四边形是平行四边形，进而即可求证； （）利用菱形的性质和勾股定理求出，再根据直角三角形的性质即可求解； 本题考查了等腰三角形的判定，菱形的判定和性质，直角三角形的性质等，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 3．如图，在中，，为的中线．，，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)连接，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得四边形为平行四边形，再由直角三角形的性质得出，即可得证； （2）设交于点，由（1）可得，四边形为菱形，，由菱形的性质可得，，，证明为等边三角形得出，求出，由菱形的性质可得，最后由计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵，为的中线． ∴， ∴平行四边形为菱形； （2）解：如图，设交于点， ， 由（1）可得，四边形为菱形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴． 【类型四】正方形的判定 1．如下图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，，．求证：四边形ABCD是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形与正方形的判定、全等三角形的判定与性质，掌握矩形中一组邻边相等即可判定为正方形是解题的关键． 通过已知角的关系推导出，再结合和公共边，证明，从而得到，进而判定矩形为正方形． 【详解】证明：∵，，， ∴． 在和中： ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 2．已知：如图，在中，，点D在上，，垂足为F，且，点E为线段的中点，过点F作交射线于G，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． (3)当时，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）证明，得出，，证明，得出，，证明，得出； （2）根据平行线的性质得，证明，根据等腰三角形的判定得出，证明，即可证明结论； （3）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据正方形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，； （2）证明：∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， 由（1）知：，， ∴， ∴四边形是菱形． （3）证明：∵，， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定，菱形的判定和性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形，熟练掌握全等三角形的判定方法和菱形、正方形的判定方法，是解题的关键． 3．如图，，，，分别是正方形四条边上的点，且． (1)求证：四边形是正方形． (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】（1）先利用正方形的边相等、角为直角的性质，结合已知线段相等，证明四个三角形全等，得出四边形的四边相等，再通过角的关系证明其有一个直角，从而判定为正方形； （2）根据和的长度，算出的长度，用勾股定理求出四边形的边长，再计算其周长． 【详解】（1）（1）证明：四边形是正方形， ，． ， ， ， ，， 四边形是菱形． ， ， ， 四边形是正方形． （2）解：，， ， ． 四边形是正方形， 四边形的周长． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，掌握正方形的边与角的性质、全等三角形的判定方法，及勾股定理的应用是解题的关键． 【类型五】拼剪问题 1．19世纪，匈牙利数学家鲍耶证明了下述定理：任意给定两个面积相等的多边形，它们互相之间都可以通过剪拼得到．追述历史，我们发现他证明这个定理时就是运用化归的方法，从简单的问题作为起点、作为阶梯从而获得了成功．三角形和四边形是最简单的多边形，如图1，任意三角形沿着中位线剪一刀，可以拼成一个与原面积相等的平行四边形，仿照图示的方法，解答下列问题： (1)如图2，对任意三角形，能否最多剪两刀，将它剪拼成一个与原三角形面积相等的矩形，画出分割线与拼图； (2)如图3，对任意四边形，能否最多剪两刀，将它剪拼成一个与原四边形面积相等的平行四边形，画出分割线与拼图． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）对于任意，取、的中点、，过点作，由三角形中位线定理可得，则有；以和为分割线，再拼成四边形，则有，利用矩形的判定即可得出是矩形； （2）对于任意四边形，依次取、、、的中点、、、，利用三角形的中位线定理可得，，可得是平行四边形，进而得到和相互平分；以和为分割线，得到4个小四边形，再拼成四边形，则有，，利用平行四边形的判定即可得出是平行四边形． 【详解】（1）解：对于任意，取、的中点、，过点作， 以和为分割线，再拼成矩形，如图即为所求： （2）解：对于任意四边形，依次取、、、的中点、、、， 以和为分割线，得到4个小四边形，再拼成平行四边形，如图即为所求： 【点睛】本题主要考查了全等三角形拼平行四边形问题，三角形的中位线定理，矩形的判定，平行四边形的判定等知识点，理解题意，仿照图示的方法剪拼图形是解题的关键． 2．【情境】部分图形通过剪拼后能够得到矩形． 【操作1】嘉嘉将如图1所示的平行四边形通过裁剪拼成了矩形．若，拼接时应将沿平移 cm． 【操作2】淇淇将如图2所示的三角形通过裁剪拼成了矩形．依据图中呈现的操作方法，可知与的数量关系为 ，与的位置关系为 ． 【操作3】淇淇将如图3所示的四边形通过操作2中的方法裁剪拼成了矩形．请在图3中补全剪拼过程和剪拼后的图形．（直接在原图形上画图，裁剪线用虚线，矩形用实线） 【操作4】嘉淇将如图4所示的菱形沿剪开，将筝形（有两组邻边分别相等的四边形）沿剪开，之后通过旋转平移等操作拼成了矩形．若，，求矩形中较长的边的长． 【答案】操作1：10；操作2：，；操作3：见解析；操作4： ． 【分析】操作1：根据平移的性质即可求解； 操作2：由拼接知：是的中位线，，据此求解即可； 操作3：根据（2）的方法拼接即可； 操作4：连接，由拼接知，根据菱形的性质求得，，，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：操作1：嘉嘉将如图1所示的平行四边形通过裁剪拼成了矩形，若，拼接时应将沿平移； 故答案为：10； 操作2：，， 由拼接知：，， ∴是的中位线， ∴； ∵拼接图形是矩形， ∴， 由拼接知：， ∴， 故答案为：，； 操作3：如图，矩形即为所作； 操作4：连接，由拼接知，设与相交于点， ∵菱形， ∴，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 即矩形中较长的边的长为． 【点睛】本题考查了平移的性质，图形的拼接，三角形中位线定理，勾股定理，菱形的性质．灵活运用中位线定理和构造全等三角形是解答本题的关键． 3．如图所示的三种拼块，，，每个拼块都是由一些大小相同、面积为个单位的小正方形组成，如拼块的面积为个单位． 现用若干个这三种拼块拼正方形，拼图时每种拼块都要用到，这三种拼块拼图时可平移、旋转． (1)若用个拼块，个拼块，个拼块拼正方形，则拼出的正方形的面积为______ 个单位（拼块之间无缝隙，且不重叠）； (2)在图和图中，各画出了某个正方形拼图中的个拼块和个拼块，请分别用不同的拼法将图和图中的正方形拼图补充完整要求：正方形拼图的面积为个单位；用实线画出边界线；拼块之间无缝隙，且不重叠 【答案】(1)25 (2)见解析 【分析】（1）求出各个图形的面积和即可． （2）分别用个，个，个或个，个，个，拼面积为的正方形即可． 【详解】（1）个种拼块，个种拼块，个种拼块，面积， 故答案为：． （2）图形如图所示： 【点睛】本题考查利用旋转，平移设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【类型六】尺规作图问题 1．如图，在四边形中，，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)利用尺规分别作和的角平分线保留作图痕迹，并记两条角平分线的交点为．若点恰好落在边上，试判断和的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查作角平分线，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据要求作出图形即可．证明，可得结论． 【详解】（1）证明：， ，， ， ， 四边形都是平行四边形； （2）解：图形如图所示： 结论：． 四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， 同理可得， ， ． 2．尺规作图（仅用无刻度的直尺和圆规）： (1)如图1，南南用尺规分别以的点A，B为圆心，为半径画圆弧，交于点E，F，连接．请你证明四边形为菱形． (2)在图2中，请用尺规在的边上分别作出点E，F，使四边形为菱形．（要求：方法与（1）不同，保留作图痕迹，不要求证明） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义及其尺规作图，解题的关键是利用相应的性质进行画 （1）根据四边形为平行四边形，得出，由作图过程可知，结合即可证明； （2）根据尺规作图，分别作和的平分线，分别交、于F、E，连接，则四边形即为所求． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形 ∴，即， 由作图知， ∴四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是菱形； （2）解：如图，四边形即为所求作： 作图理由：∵平分，平分， ∴，， ∵∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴，， ∴，， ∴，， 同理（1）四边形是菱形． 3．如图，已知四边形是平行四边形． (1)实践与操作：利用尺规作对角线的垂直平分线，分别交于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）的条件下，连接，证明：四边形为菱形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作的垂直平分线交于E，交于F即可； （2）如图：连接，，证，即可解答； 【详解】（1）解：如图： （2）证明：如图：连接，， 垂直平分， ，，， ∵四边形是平行四边形， ， ， ，，， ， ， ， 四边形为菱形； 【点睛】本题考查尺规基本作图—作线段垂直平分线，菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质．证是解题的关键． 【类型一】(特殊)平行四边形与图象结合问题 1．如图，已知的面积为8，点在边上从点向点运动（不含端点），设的面积为，的面积为，则关于的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的面积公式、一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的面积公式是解题关键．过点作于点，先根据平行四边形的面积公式可得，从而可得的面积为4，再利用的面积减去的面积可得的值，然后根据求出的取值范围，最后根据一次函数的图象与性质即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 的面积为8， ， 的面积为， ∵的面积为，的面积为， ， 点在边上从点向点运动（不含端点）， ，即， 解得， 则关于的函数图象大致是在内的一条线段，且随的增大而减小， 故选：B． 2．如图1，在菱形中，连接，动点从点出发沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，点为第2段函数图象上的最低点，结合图象判断以下结论：①；②为等边三角形；③菱形的面积为；④最低点的坐标为．其中结论正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图像，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等等．根据题意求得，得到和为等边三角形，作于点，利用勾股定理求得，据此求解可得结论． 【详解】解：∵菱形， ∴， 当点P运动到点B处时，，即， 当点P运动到点D处时，，所以，故①正确； ∴， ∴和为等边三角形，故②正确； 作于点， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积为，故③错误； 当点P运动到点H处时，，， ∴最低点的坐标为，故④正确； 综上，①②④正确； 故选：B． 3．如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，，图②是关于的函数图象，且图象上最低点的坐标为，则正方形的边长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，动点问题的函数图象，全等三角形的性质与判定，连接，由正方形的性质可得，证明，得到，则可推出当D、E、P三点共线时，有最小值，即此时y有最小值，最小值为的长，在图②中，图象上最低点的坐标为，则；由勾股定理可得，则，即，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当D、E、P三点共线时，有最小值，即此时y有最小值，最小值为的长， ∵图②中，图象上最低点的坐标为， ∴； ∵点是的中点， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∴， ∴正方形的边长为2， 故答案为：2． 【类型二】(特殊)平行四边形的正确结论问题 1．如图，在和中，，，，是的中线，相交于点，以下7个结论：①；②；③；④的面积等于的面积；⑤；⑥平分；⑦平分，其中正确结论的个数是（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、角平分线的判定等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． ①证明可得，即可判断①；②由全等三角形的性质可得，再根据三角形内角和定理以及等量代换可得，即可判断②；如图：延长到H，使得，连接．证明可得，，即， 再证明可得，进而判断③；由可得，再证明可得，然后根据面积关系可判定④；⑤由可得，再根据平角的性质可得，进而得到，即，从而判定⑤； 通过假设法可判断⑥；如图：过 A 作 于 P， 于 Q，由可得、，再利用三角形的面积可得，最后根据角平分线的判定定理可判断⑦． 【详解】解：①∵， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； 如图：相交于点G，    ∵， ∴， ∵，， ∴，即，故②正确； 如图：延长到H，使得，连接． ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即④正确； ⑤设与交于 N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即．故结论⑤正确． ⑦如图：过 A 作 于 P， 于 Q． ∵ ， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∴ 平分 ，结论⑦正确． ⑥假设平分，则． ∵ 平分 ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 但这一相等关系不一定成立，结论⑥错误． 综上，正确的结论有①②③④⑤⑦，共6个． 故选C． 2．如图，在正方形中，点P是对角线上一点（点P不与B，D重合），连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接，，交于点G，给出三个结论：，．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点．添加辅助线，构造全等三角形是解决本题的关键． 根据题意，由勾股定理即可判断；过P点作，延长交于Q点，通过分析可证即可判断；将绕点A顺时针旋转得到，证，即可判断． 【详解】解： 连接并延长交于点E，过点P作交于点F， 是直角三角形， 正确； 如图，过P点作，延长交于Q点，则，四边形是矩形， ，， ， 四边形是正方形， 是对角线， ，， 是等腰直角三角形， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在和中， ， ， 正确； 将绕点A顺时针旋转得到，如图2， ， ， C，B，H共线， ， ， ， 在和中， ， ， ， 正确； 综上，均正确． 故答案为：D． 3．如图所示，是矩形内的任意一点，连接，得到，设它们的面积分别是，给出如下结论：  ；；若，则；  若， 则点在矩形的对角线上．其中正确结论的序号是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）． 【答案】 【分析】此题主要考查了矩形的性质，三角形面积，过点分别作于点，于点， 根据矩形性质，三角形面积，逐一判断即可，掌握相关知识点的是解题的关键． 【详解】解：如图，过点分别作于点，于点， 当点在矩形的对角线上时，，但是矩形内的任意一点， ∴该等式不一定成立，故不一定正确； ∵以为底边，以为底边， ∴此时两三角形的高的和为，即可得出， ∴， ∴，故正确； 若，只能得出与高度之比，不一定等于， 故不一定正确； ∵，， ∴， ∴， ∴点在矩形的对角线上，故正确， 故答案为：． 【类型三】矩形折叠问题 1．如图，将一张长方形纸片沿着折叠，使点A，B分别落在点E，F处．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形及折叠性质，解题关键在于能够得到的角度． 先由折叠性质得到，再由平行线性质得到与，进而得到，从而得到． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠性质可知，， ． ∵， ． 又由折叠性质可得， ． 故选：A． 2．如图，折叠矩形的一边，使点落在边上的点处，已知，．则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由矩形的性质可得，，由折叠的性质可得，设，则，由勾股定理可得，，再根据列方程求解即可． 【详解】解：∵矩形，， ∴，， ∵折叠矩形的一边，使点落在边上的点处， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴，解得：或0（不符合题意舍去）． ∴． 故答案为：． 3．已知点E，F分别在矩形纸片的边、所在直线上，连接，将矩形纸片沿折叠，点A落在处，点B落在'处．当，时，请解决下列问题： (1)如图1，若点恰好与点D重合，与相交于点O，连接、，求的长； (2)如图2，若点恰好在边上时，交于点G，且满足，求证：； (3)若点在边所在直线上，且满足，求的长． 【答案】(1)的长为 (2)见解析 (3)的长为5或3 【分析】（1）利用折叠的性质和勾股定理即可求解； （2）利用折叠的性质得出，，利用证得，得到，利用等边对等角得到，然后证得，得到，即可证得； （3）分①当在的延长线上时，②当在线段时，两种情况讨论，根据折叠的性质．利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：设，则， 由折叠的性质可知， 在中，， ∴， 解得， ∴； （2）证明：由折叠的性质可知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：①当在的延长线上时，如图①， 由，设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴； ②当在线段时，如图②， 设，则， 由折叠的性质可知， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 综上，的长为5或3． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了轴对称的性质，勾股定理的应用，三角形全等的判定和性质，分类讨论思想的运用是解题的关键． 【类型四】正方形的半角模型 1．如图，正方形中，，点在边上，，将沿DE对折至，延长交边于点，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了图形的翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积计算，综合性较强． ①根据正方形的性质和折叠的性质可得，，于是根据“”判定； ②再由，，为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出，，即可判断； ③根据①和面积公式即可求出的面积； ④结合①可得，先求出的面积，再根据等高的两个三角形的面积的比等于底与底的比即可求出的面积． 【详解】解：①由折叠可知，，， 在和中，， ，故①正确； ②正方形边长是12，， ， 设，则， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ，，即，故②正确； ③， ，故③错误； ④， ，， ， ，故④正确． 综上可知，正确的结论有3个． 故选：B． 2．边长为12的正方形中，是的中点，以为折痕将翻折，使点落在处，延长交于，则的长是 ．    【答案】 【分析】本题考查了折叠性质、勾股定理、正方形的性质，熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题的关键；根据翻折的性质及正方形的性质可证明，得，分别表示出，，，利用勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图所示，连接，   四边形是边长为的正方形， ，， 以为折痕将翻折得， ，，， ， ， ， ， 又， ， ， 设，， M是的中点， ， ， 在中，，即， 解得， ， 故答案为：． 3．正方形的边长为，点是边上一点不与端点重合，将沿所在直线对折至，延长交边于点，连接，可得，连接． (1) ； (2)如图1，若，点为边的中点，求的面积； (3)如图2，若，判断与是否平行？并说明理由； (4)请直接写出 用含的式子表示． 【答案】(1) (2) (3)与平行，理由见解析 (4) 【分析】本题考查正方形半角模型以及勾股定理和面积的应用，解题关键是能够熟练运用这些知识去解题． （1）通过证明，，进而得到答案； （2）设，结合，利用勾股定理解直角三角形得到的值，再通过相似即可得到答案； （3）通过勾股定理得到为中点，得到，通过倒角得到答案； （4）利用正方形的面积与三角形面积与五边形的面积的关系，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1，四边形是正方形， ，， 将沿直线翻折，得到， ，，，， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． （2）作，垂足为点，如图， 设，则， 为中点， ， 由（1）知，， 在中，由勾股定理得， ， ， 整理得：， 解得：， ，， ， ， ； （3）与平行，理由如下， 设，则，如图， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 整理得：， ∴ ， ， 由折叠可知，， 又， ， ， ， ； （4）设，，则，，如图， 在中，由勾股定理得， ， ∴， 整理得：，① 由，② ∴把①代入②得， ， ∵， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：． 【类型五】一次函数中的(特殊)平行四边形 1．如图，在平面直角坐标系中，函数的图像分别交轴，轴于，两点，过点的直线交轴正半轴于点，且BM=2MO．在平面直角坐标系内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请你画出图形，确定点的坐标． 【答案】满足条件的点坐标为或或 【分析】先求出A、B、C三个点的坐标，再分三种情况①以MB，为边，②以BM、为边，③以AM、为边，根据平行四边形的判定的方法求出C点的坐标． 【详解】当时，=6 ∴B(0，6) ∵BM=2MO，且位于轴正半轴， ∴M(0,2) BM=6-2=4， 当=0时，， ， 以，，，为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况： 如图所示： 以MB，为边， 此时，MB=AC， ∴C(3,4)， 以BM 、为边， 此时，MB=AC ∴C（3，-4）， 以AM、为边， 此时BC∥AM，BC=AM 把B(0,6)向左平移3个单位，再向上平移2个单位即可得到C点 ∴C(-3，8)， 综上，满足条件的点坐标为或或 【点睛】本题属于一次函数与特殊图形综合题目，主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，分别交坐标轴于点，，，． (1)求直线的解析表达式； (2)如图，点是直线上的一个动点，当的面积为时，求点的坐标； (3)直线上有一点，在平面直角坐标系内找一点，使得以为一边，以点，，，为顶点的四边形是菱形、矩形，请直接写出符合条件的点的坐标．（菱形和矩形分别求才能得满分） 【答案】(1) (2)或 (3)点，，，为顶点的四边形是菱形时，点的坐标为或或；点，，，为顶点的四边形是矩形时，点的坐标为或 【分析】(1)先把点的坐标代入直线的解析式，求出，再把点的坐标代入直线的解析式求出的值，即可求出直线的解析式； (2)根据解析式分别求出点、的坐标，分点在轴左侧时和点在轴右侧时两种情况求解； (3)以点，，，为顶点的四边形是菱形时：分两种情况求解，一种是是菱形的对角线，另一种情况是是菱形的边；以点，，，为顶点的四边形是菱形时：分两种情况求解，一种是是矩形的对角线，另一种情况是是矩形的边． 【详解】（1）解：点在直线：上， ， 点的坐标是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析是； （2）解：当，可得：， 点的坐标是， 当时，可得：， 点的坐标是， ， 设点的坐标是， 当点在轴左侧时， 可得：， 解得：或(不符合题意，舍去)， 则， 点的坐标是； 当点在轴右侧时， ， 点在点的右侧， 可得：， 解得：， 则， 点的坐标是； 综上所述，点的坐标是或； （3）解：以点，，，为顶点的四边形是菱形时： 如下图所示， 当是菱形的对角线时，点和点的纵坐标是， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标是， 点和点关于对称， 点的坐标是； 如下图所示， 当是菱形的一条边时，则有， 设点的坐标是， ， ， 解得：， 当时，可得：， 则点的坐标为， ，， 点的纵坐标是， 点的坐标是； 当时，可得：， 则点的坐标为， ，， 点的纵坐标是， 点的坐标是； 综上所述，点，，，为顶点的四边形是菱形时，点的坐标为或或； 以点，，，为顶点的四边形是矩形时： 如下图所示， 当是矩形的边时，则有点与点的纵坐标相等， 即点的纵坐标为， 可得：， 解得：， 四边形是矩形， ，， 点的横坐标是，纵坐标是， 点的坐标是； 如下图所示， 当是矩形的对角线时，则有， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标是， ， 又， ， ， ， ， 过点作轴， 四边形是矩形， ，， ，， ， , ， ，， 点的坐标是； 综上所述，点，，，为顶点的四边形是矩形时，点的坐标为或. 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用、一次函数的性质、待定系数法、菱形的性质，解决本题的关键是利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 3．在平面直角坐标系中，已知直线与直线交于点，直线，分别交坐标轴于点、、、． (1)求直线的函数表达式，并求出点、、、的坐标； (2)如图2，点为线段上的一个动点，将绕点逆时针旋转得到．点随着点的运动而运动，请求出点运动所形成的线段所在直线的解析式； (3)直线上有任意一点，平面直角坐标系内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)；，，， (2) (3)存在；或或或 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． （1）把点代入，求出，得，把代入，求出，再求出直线与坐标轴的交点坐标即可； （2）证明，求出点，则可得结论； （3）分为边、为对角线两种情况，利用平移的性质和中点公式分别求解即可． 【详解】（1）解：已知点在直线的图象上， ， ∴， 把点代入直线，得， 解得：， 直线的函数表达式为：； 在直线中，令，则， ， 令，则， 解得， ， 直线中，令，则， ， 令，则， 解得， ． （2）解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， 旋转， ，， ，且， ， ，， 点在直线的图象上， 设，则， ，，， ， 令，， ，， ， ∴整理得，， 点运动所形成的线段所在直线的解析式为：； （3）解：存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或或或． 理由如下：在直线中，令，则， ，则， 点是直线上有任意一点， 设， 第一种情况，如图所示，以，为边，四边形是菱形，过点作轴于点， 则，， ，， ，即，解得，， 或， 或． 第二种情况，如图所示，以为对角线，四边形是菱形， ，， ，， ， 点于点重合， ， ； 第三种情况，如图所示，以为对角线，四边形是菱形，连接交以点， ， ， 四边形是菱形， ，， 点的纵坐标为，即，解得，， ， ； 综上所述，存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或或或． 【类型六】梯形中位线问题 1．如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底的长为，下底长为，上下底相距，在两腰中点连线处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，甬道面积是梯形面积的，（提示：梯形的中位线是连接梯形两腰中点的线段，其长度等于两底和的一半） (1)梯形的中位线长是____________m； (2)梯形花坛的面积是____________； (3)甬道的宽应是多少米？ 【答案】(1)70 (2)4200 (3)甬道的宽度为5米 【分析】本题考查梯形的中位线，梯形的面积，一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点，正确的列出方程是解题的关键： （1）根据梯形的中位线的计算方法进行求解即可； （2）根据梯形的面积公式进行计算即可； （3）设甬道的宽度为，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：花坛上底的长为，下底长为， ∴梯形的中位线为：； 故答案为：70； （2）∵花坛上底的长为，下底长为，上下底相距， ∴梯形花坛的面积为：； 故答案为：4200． （3）设甬道的宽度为米，由题意，得： ， 解得：或（舍去）； 答：甬道的宽度为5米． 2．如图，梯形中，，，，，，点是射线上一动点（不与点重合），将沿着进行翻折，点的对应点记为点．    (1)如图，当点落在梯形的中位线上时，求的长． (2)如图，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出定义域． (3)如图，连接，线段与射线交于点，当是等腰三角形时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）如图中，延长交的延长线于，证明垂直平分线段，得，得到，由，，推出，即可得解； （2）如图中，设交于，，，证明得，可得，证明得，可得，继而得到，再根据，即可得出结论； （3）分三种情形：①如图中，当时；②如图中，当时；③如图中，当时，点与重合．分别求解即可． 【详解】（1）解：如图中，延长交的延长线于， ∵梯形中，，， ∴， ∵是梯形的中位线， ∴，，， ∴，即， ∵将沿着进行翻折，点的对应点为点， ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的长为；        （2）如图2中，过点作于点，设交于，设，， ∴，， ∵在梯形中，，，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵点在线段上（不与点重合），，， ∴， ∵将沿着进行翻折，点的对应点为点， ∴，， ∴垂直平分线段， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ，得：， ∴， ∴与之间的函数关系式为；    （3）①如图3中，当时，延长交于，设， ∵在梯形中，，，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵将沿着进行翻折，点的对应点为点， ∴，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴；    ②如图中，当时， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴，设， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴；      ③如图中，当时，点与重合， ∵垂直平分， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当是等腰三角形时，的长为或或．    【点睛】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，梯形的性质，梯形的中位线，垂直平分线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 3．知识回顾 例如，在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的倍长中线方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决． 实践操作 如图②，在梯形中，，是腰的中点，请你延长交延长线于点，我们易证（自行补充图形）． 数学发现 如图③，在梯形中，，、分别是两腰、的中点，我们把叫做梯形的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想和、有怎样的位置和数量关系？   （用字母及符号表示） ． 证明猜想 请结合“实践操作”完成猜想的证明． 已知： 求证： 证明：    实际应用 如图，在中，，，是边的中点，是内一点，且 连接并延长，交于点，若，求的长．    【答案】数学发现：，，证明见解析；实际应用： 【分析】数学发现：连接并延长，交的延长线于点，证明 ，得到，，在中，利用三角形的中位线可得，，进而可得结论； 实际应用：由题意可知是梯形的中位线，根据梯形的中位线定理可得，求出，再根据平行四边形的性质得，最后根据线段的和差即可求解． 【详解】数学发现： 已知：如图，，、分别是两腰、的中点，连接． 求证：和． 证明：如图，连接并延长，交的延长线于点．   ， ， 是的中点， ， ， ， ，， 点是的中点，又点是的中点， 是的中位线， ，， ， ，， ， ，； 实际应用： 是边的中点，且，， 中，， ，，是边的中点， 是的中点， 是梯形的中位线， ， ， ， 又， ．    【点睛】本题考查了三角形的中位线，梯形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，平行四边形的性质，解题的关键是添加辅助线，利用转化的思想解决问题． 【类型七】(特殊)平行四边形的动点求t 1．如图，在中，∠=，，，，将绕斜边中点旋转得到，再将沿翻折得到．动点从出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向点运动，动点从出发，沿以每秒个单位长度的速度向点运动，再沿以每秒个单位长度的速度向点运动．，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒()． (1)直接写出线段的长为 ；用含的式子表示：当点在边上运动时，的长为 ，当点在边上运动时，的长为 ； (2)当点在边上运动时， 是否存在值，使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，求出符合条件的值，若不存在，请说明理由； (3)连接，当直线平分四边形的面积时，求的值； (4)当满足 条件时，是以为底或以为底的等腰三角形． 【答案】(1)，， (2)存在， (3)当运动时间为秒时直线平分四边形的面积 (4)或 【分析】本题考查了旋转、轴对称的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的定义等知识． （1）根据旋转、轴对称的性质求解即可； （2）已知，，要使点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，只需，列出方程求解即可； （3）分点在上运动和点在边上运动两种情况讨论，用含的方程表示出左侧梯形的面积，解方程即可； （4）分点在上运动和点在边上运动两种情况讨论：当点在上运动时，是以为底的等腰三角形；当点在边上运动时，只可能是以为底的等腰三角形，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵绕斜边的中点旋转得到， ∴， ∴，，． 又∵沿翻折得到， ∴，且共线， ∴． 当点在边上运动时， ∵，，∴. 当点在边上运动时，从点到点的运动时间为秒，速度为个单位长度/秒， ∴． 故答案为：，，； （2）解：当在边上运动时，，，. ∵，， ∴要使点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等， 只需，即，解得； （3）解：如图，当点在上运动时，直线交于点,，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 易得四边形的面积为， ∴当直线平分四边形的面积时， 四边形的面积为，即，解得=； 如图，当点在边上运动时，，，， ∴， 四边形的面积为，即，解得=(不满足题意)． 综上，当运动时间为秒时直线平分四边形的面积； （4）解：由（3），当点在上运动时，，△是以为底的等腰三角形； 当点在边上运动时，∵，， ∴△只可能是以为底的等腰三角形，． 如图，连接，过点作，则，， 在和中，， ∴， ∴，即，解得． 综上，当满足或时，，是以为底或以为底的等腰三角形． 故答案为：或． 2．如图，在长方形中，，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿的路径运动，连接．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)写出的长（用含的代数式表示）． (2)当线段将长方形分割为两个长方形时，______． (3)若点到达点后，以原速度的2倍返回到点，同时点以原速度继续向点运动．在点的整个运动过程中： ①当线段平分长方形的周长时，求的值； ②作点关于点的中心对称点，直接写出的面积是面积的时的值． 【答案】(1) (2) (3)①或；②的面积是面积的时的值为或或． 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）分两种情况：当时，，当时，； （2）依题意可知，当线段将长方形分割后，所得两个图形是长方形，则，得到，即，求解即可； （3）①分两种情况：当时，当时，分别求解即可； ②分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形，， ， ∵动点从点出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点从点出发，以每秒 5 个单位长度的速度沿的路径运动， ∴点到达点的时间为：， 点到达点的时间为：， 点到达点的时间为：， 当时，， 当时，， ． （2）解：依题意可知，当线段将长方形分割后，所得两个图形是长方形，则，如图： ， ， 解得：， 故答案为：； （3）解：①点到达点后，以原速度的 2 倍返回到点的时间为：， 长方形的周长为：． 当平分周长时，， 当时，， 解得：， 当时，． 解得：； ②当时，，如图： ， ， ， ∵的面积是面积的， ， 解得：， 当时，，如图： ， ， ， ∵的面积是面积的， ， 解得：， 当时，， 如图：     ， ， ， ∵的面积是面积的， ， 解得：， 综上，的面积是面积的时的值为或或． 3．如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向以的速度向终点运动．同时动点从点出发，沿方向以的速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动时间为，以、、、为顶点的四边形的面积为，规定三角形是特殊的四边形． (1)直线与之间的距离是_________； (2)求S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (4)当点关于直线的对称点恰好落在直线上时，请直接写出的值． 【答案】(1)2.5 (2)当时，；当时， (3) (4)或2 【分析】（1）根据题目提供的进行求解即可； （2）分为两种情况进行讨论：点在线段上和点在点右侧进行求解即可； （3）假设存在，使得与互相平分，则可以得到四边形为平行四边形，再根据其性质求解即可； （4）分为两种情况进行讨论：点Q在线段上和点Q在点C右侧．根据平行线的性质及角平分线的性质，分别得出和分别为等腰三角形，再由相应的表达式求出值． 【详解】（1）解：设高为h（即与的距离）， ∵，得：， ∴， 故答案为：； （2）解：当Q 在线段上（，此时）， 根据题意得，， ∵四边形的高为， ∴ ； 当Q在延长线上（，此时）， 根据题意得，， ∵四边形的高为， ∴面积 ， 综上所述，当时，；当时， ； （3）解：假设存在，使得与互相平分， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴点Q在延长线上， ∴，， ∴ ， 解得； （4）解：当点Q运动到点时，平分， 根据角平分线的性质，点P的对称点G在线段上； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点Q运动到点时，平分， 由角平分线的性质，点P的对称点K也在线段延长线上， ∵， ∴， ， ， ， ． 故值为或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，轴对称的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，解决本题的关键是解答时注意分类讨论． 【类型八】(特殊)平行四边形的新定义 1．定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． 【理解定义】 （1）如图1，是等边三角形，在上任取一点（、除外），连接，把绕点逆时针旋转，则与重合，点的对应点为．请根据给出的定义判断，四边形是否为等补四边形，并说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，在等补四边形中，，，若四边形的面积为8，求的长． 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形中，，，，求四边形面积的最大值．（用含的代数式表示） 【答案】（1）是等补四边形，见解析；（2）4；（3） 【分析】（1）根据旋转性质得到，，结合即可判断； （2）根据，得到绕点B顺时针旋转得，即可得到D、G、C三点共线，结合面积即可得到答案； （3）根据旋转得到、、三点共线，得到，结合当时，的面积最大，求解即可得到答案； 【详解】解：（1）是等补四边形， 理由：由旋转得，， ， ， 四边形是等补四边形． （2）如图，，， 将绕点顺时针旋转得， ，，， ， ， 、、三点共线， ， ， （负值舍去）． （3）， 将绕点逆时针旋转使与重合， 得，如图， ，，， ， ， 、、三点共线， ， 当时，的面积最大，为． 四边形面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了利用旋转作全等三角形，三角形和四边形的面积，等补四边形的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用旋转作辅助线，构造全等三角形解决问题． 2．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，正方形中是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形_____（填“是”或“不是”）“直等补”四边形； (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点作于点． ①过作于点，试证明：； ②若，，求的长． 【答案】(1)是 (2)①见解析；②14 【分析】（1）由旋转的性质可得，，根据正方形的性质得，可得出，即可得出答案； （2）①首先证明四边形是矩形，则，，再证，根据全等三角形的判定和性质可得，，等量代换即可得； ②设，根据勾股定理求出的值即可，即可求解． 【详解】（1）将绕点旋转，与重合，点的对应点在的延长线上， ，， 四边形是正方形， ， ， ，即， ， ，， 四边形是“直等补”四边形． 故答案为：是； （2）①，理由如下： 如图 四边形是“直等补”四边形，，， ，， ， ，， ，， 四边形是矩形， ，， ，， ， ，， ， ，， ， ； ②四边形是矩形， ，， ， ，， ， 设， ，则， 在中，， 解得：， ， ∴． 【点睛】本题是考查，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，轴对称的性质． 3．在学习了“特殊的平行四边形”这一章后，同学小明对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”．请你根据以上定义，回答下列问题： (1)下列关于“双直四边形”的说法，正确的有_______（把所有正确的序号都填上）； ①“双直四边形”的对角线不可能相等： ②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半； ③若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形． (2)如图①，正方形中，点、分别在边、上，连接，，，，线段、于点O，若，证明：四边形为“双直四边形”； (3)如图②，在平面直角坐标系中，已知点，，点在线段上，且，在第一象限内，是否存在点，使得四边形为“双直四边形”，若存在；请直接写出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)②③ (2)证明见解析 (3)存在，点的坐标或 【分析】（1）由“双直四边形”的定义依次判断即可． （2）设的交点为点，先根据SAS证明    ，于是得，再证明，即可得 ，由此得四边形为“双直四边形”． （3）先求出的解析式，再分三种情况讨论：，，，分别求出点D的坐标即可． 【详解】（1）解：∵正方形是“双直四边形”，正方形的对角线相等． 故①不正确． ∵“双直四边形”的对角线互相垂直， ∴“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半． 故②正确． ∵中心对称的四边形是平行四边形，对角线互相垂直且有一个角是直角的平行四边形是正方形． ∴若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形． 故③正确． 故答案为：②③； （2）证明：如图，设与的交点为， ∵四边形是正方形， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ，     ∴四边形为“双直四边形”． （3）解：假设存在点在第一象限，使得四边形为“双直四边形”． 如图，设的交点为 ∵，， ， 即， ， 解得， ， 是的中点， ， 设直线的解析式为则      解得      ∴直线的解析式为     设， ①当时，则， ， 则； ②当时， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， 此时点坐标还是； ③当时， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ∵，， ∴， ∴， 整理得， ， 当时，， 此时在第四象限，不符合题意． 当时，， 此时在第一象限，符合题意． 综上，或． 【点睛】本题是一道四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，一次函数等知识，综合性较强，题目难度较大．熟练掌握以上知识以及分类讨论思想是解题的关键． 【类型九】无刻度尺作图 1．“无刻度直尺”是尺规作图的工具之一，它的作用在于连接任意两点、作任意直线、延长任意线段．结合图形的性质，只利用无刻度直尺也可以解决一些几何作图问题． (1)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，且，连接CE．求证：CE是的角平分线． (2)如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，请利用无刻度直尺作图（仅用无刻度直尺作图并保留作图痕迹，不写画法）． ①在图1中，请过点E作AB的平行线交AD于点F． ②在图2中，请过点E作AC的平行线交AB于点F． (3)如图，点E、F分别在平行四边形ABCD的边上，．连接DF，请过点A作DF的垂线，垂足为G（仅用无刻度直尺作图并保留作图痕迹，不写画法）． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 (3)见解析 【分析】（1）先证明，再证明，从而可得结论； （2）①连接AC，BD，得到AC，BD的交点，再过这个交点与点E作直线交AD于F即可；②连接AC，BD，交于点M，作直线EM交AD于P，再连接AE，BP，交于点H，作直线MH交AB于F，再作直线EF即可； （3）方法一：连接AC，BD交于点P，连接CE，连接EP，延长EP交BC于M，连接AM，交DF于G．方法二：连接AC，交DF于M，作直线EM交DC于P，连接AP交DF于G，延长AB，DF交于点H即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵ABCD是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴CE是的角平分线． （2）①如图，EF即为所求作的直线， ②如图，直线EF即为所求作的直线， （3）方法一：如图，AG即为DF的垂线， 方法二：如图AG即为DF的垂线， 理由如下： 平行四边形ABCD， 是的垂直平分线， 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，同时考查了复杂的作图，熟练的利用几何图形的性质进行作图是解本题的关键． 2．如图，是矩形的对角线，延长至点，使．请仅用无刻度的直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中，作的边上的高． (2)在图2中，作一个菱形． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，高线，菱形的定义，掌握菱形的性质是解题的关键． （1）连接交与点，连接即为所作的点； （2）连接交与点，连接并延长，延长，交于点，四边形即为所求． 【详解】（1） 连接交与点，连接 因为四边形为矩形， 所以为中点， 又因为， 所以为等腰三角形， 所以， 所以为的边上的高 （2） 连接交与点，连接并延长，延长，交于点， 因为四边形为矩形， 所以，为中点， 所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 又因为， 所以为等腰三角形， 所以， 所以四边形为菱形． 3．如图，在矩形中，P，M分别是，的中点．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，以为边作一个非特殊的平行四边形； (2)在图2中，以为边作一个菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接交于点，连接，则四边形即为所求． （2）连接交于点，连接并延长与边交于，则四边形即为所求. 【详解】（1）解：如图1，四边形即为所求． 理由如下： ∵矩形， ∴， ∵P，M分别是，的中点． ∴，，，， 而，， ∴四边形为平行四边形，，. （2）解：如图2，四边形即为所求． 理由如下： 同理可得：，，，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； ∴，即， ∴四边形为菱形. 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定，三角形的中位线的性质，熟练的作图是解本题的关键. 1．（25-26九年级上·吉林长春·月考）如图，在平行四边形中，，，分别以点A、B为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点E、F，直线交于点G，连接，恰好垂直于边，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了基本作图、垂直平分线的性质和平行四边形的性质，熟练掌握基本作图的方法是解题的关键．利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，再利用平行四边形的性质得到，设，则，然后再中利用勾股定理得到，再解方程即可求出． 【详解】解：由作法得到垂直平分， ， 四边形是平行四边形， ， 设，则， ， 在中，， 解得：，即， 故选：B． 2．（25-26九年级上·四川达州·月考）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为边的中点，菱形的周长为，则的长为（    ） A． B．4 C．7 D．14 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 由菱形四边相等，对角线垂直，可得，，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，且其周长为， ∴，， ∴， ∵点为边的中点， ∴． 故选：A． 3．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·月考）如图1，矩形中，点E为的中点，点P沿从点B运动到点C，设，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据勾股定理求出的长是解题的关键．当，即在点时，；利用两点之间线段最短，得到，得的最大值为；在中，设的长度为，由勾股定理求出的长，再根据求出的长，即可求解． 【详解】解：由函数图象知：当，即在点时，． 利用三角形中任意两边之差小于第三边，得到， 当点P、E重合时，有， ∴． 的最大值为， ． 在中，由勾股定理得：， 设的长度为， 则， ， 解得或， 由于， ． ， ∵点为的中点， ， ∵四边形是矩形， ∴． 故选：D． 4．（24-25八年级下·上海徐汇·月考）在等腰梯形中，，对角线相交于点，，，厘米，则的面积为（    ）平方厘米 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰梯形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作，得到四边形是矩形，推出证明，得到，求出厘米，，继而得到厘米，求出厘米， 得到（平方厘米）， （平方厘米） （平方厘米），求出（平方厘米），计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作 等腰梯形中，， ， ，四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，， ，（厘米） ， ， ， （厘米）， （平方厘米）， （平方厘米） （平方厘米）， ，， ， 厘米， 厘米，厘米 （平方厘米） （平方厘米）， 故选：A． 5．（25-26八年级上·上海·月考）如图，中，，的周长为，则与的周长和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的对边相等及平行线判定相似三角形的性质是解题的关键． 先证明四边形是平行四边形，得到对应边相等，再结合平行线判定三角形相似，推导与的周长和与周长的关系． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，； ∵的周长为，的周长为， ∴与的周长和为 ， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，四边形是正方形，E为上一点，将绕点A顺时针旋转至，连接，于点H，交于点G，若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】连接，根据垂直平分，即可得出，设，则，，，再根据△中，，即可得到的长． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 四边形是正方形， ，， 由旋转可得，， ， 为的中点， 垂直平分， ， 设，则，，， ， 在△中，， ， 解得； 即； 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，旋转的性质等，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 7．（25-26九年级上·浙江衢州·月考）如图，长方形中，，，E为上一点，且，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先分析题意，将线段绕点E顺时针旋转得到线段．结合矩形的性质以及旋转的性质得，则点G在射线上运动，当时，的值最小，再证明四边形是矩形，则，，运用勾股定理以及等腰三角形的性质得，再代入数值到进行计算，即可作答． 【详解】解：如图，将线段绕点E顺时针旋转得到线段．与交于点， ∵四边形是矩形， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴点G在射线上运动， ∴当时，的值最小， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·江苏淮安·月考）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，． (1)请画出关于y轴对称的（其中D，E，F分别是A，B，C的对应点，不写画法）； (2)请画出先向下平移4格，再向右平移4格的对应图像（其中H，M，N分别是A，B，C的对应点，不写画法），点N坐标为； (3)若在第一象限存在一个点P，使四边形是平行四边形，则点P的坐标为． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， (3) 【分析】本题考查了网格作图-轴对称，直角坐标系中点的坐标，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据关于轴对称的特征作图即可； （2）先根据平移的性质确定点H，M，N的位置，然后顺次连接，再根据图形写出点N坐标； （3）根据平行四边形的性质画出图形，然后写出点P的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求，； （2）解：如图，即为所求， 故答案为：； （3）解：如图，． 9．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，在四边形中，，是的中点，、交于点，，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． （1）先根据三角形的中位线定理可得，则可得四边形为平行四边形，再根据矩形的判定即可得证； （2）先根据矩形的性质可得 ，再根据三角形的中位线定理可得，然后利用勾股定理可得的长，根据线段中点的定义即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴点是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． （2）解：由（1）已证：四边形为矩形， ∴ ， ∵， ∴， 由（1）得：是的中位线， ∴，   ∵， ∴， ∴在中， ， ∵是的中点， ∴． 10．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）矩形折叠问题： 如图，把矩形（）折叠，折痕为，点在边上，点在边上，记点落在点处，点落在点处． (1)如图1，已知，． ①甲同学折叠时使，点落在矩形的一边上，求的长． ②乙同学折叠时使，且，求的长． (2)如图2，点在点处，作的平分线交的延长线于，过作的平行线交，分别于R，T．连结，，若，，求的值． 【答案】(1)①的长为或；②的长度为 (2) 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，具有极强的综合性，解题的关键在于添加准确的辅助线确定运动状态． （1）①对点P的落点进行分类讨论，分析当点落在、边上，结合折叠性质，矩形的性质，勾股定理，依次计算可得的边长，令，通过等量关系得出对应方程，进行求解即可；②由关键信息，结合折叠性质，可得出，，通过假设，得出相关线段的表达式，利用方程解出答案； （2）令，，根据特殊平行四边形的性质，得出其他线段的表达式，结合勾股定理，得出，通过角度关系，证出，也能得出的另一种表达式为，故可得方程，解出即可得出的值． 【详解】（1）解：①当点落在边上时，过点作交于点，如下图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴， ∵，得， 在中，由勾股定理得， ∴， 令， ∴， 又∵， 由得， 得方程， 解得， 故此时的长度为； 当点落在边上时，连接，如下图所示： 由，可得， 解得， ∴， 令， ∴， 在和中， ，, ∴， 可得方程 解得， 故此时的长度为； 综上，当点落在矩形的一边上，的长为或． ②连接、、、、，过点作交于点，延长交于点，如下图所示： 根据翻折的性质，可得， ∴， ∵， 故， 观察图象，可知， ， ∴要满足，应满足， 令，则， ∵翻折的性质， ∴， 在中，可得， 在中，可得， ∴， ∵， ∴为的角平分线，结合， ∴，且点为中点， ∴， ∵， ∴， 得方程， 解得或， 故的长度为． （2）解：延长交于点，如下图所示： ∵翻折的性质， 得，， ∵平分， ∴，， 故四边形为正方形， 令，， ∴， 由， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 得方程， 解得， ∴． 1．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在梯形 中，，是中点，，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了梯形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据梯形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、由题意无法得出，不符合题意； 、由题意无法得出，不符合题意； 、如图，延长交延长线于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，符合题意； 、由题意无法得出，不符合题意； 故选：． 2．（25-26九年级上·天津河西·期中）如图，过平行四边形对角线的交点O的一条直线，分别交边于点E，F，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．与全等 D．四边形与四边形的面积相等 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质是解题的关键．由题意得，，证得，即可判断D正确； 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：四边形与四边形的面积相等，故D正确； A、B、C根据现有条件，均不能推导出； 故选：D 3．（24-25八年级下·云南红河·期中）如图，在中，于点D，E，F，G，H分别是，，，的中点，若，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理． 根据中位线定理得到，，即． 【详解】解：∵E，F分别是，的中点， ∴是中位线， ∴， 同理可得， 即． 故选：D． 4．（25-26九年级上·四川达州·期中）如图，正方形中，点、分别在、上，是等边三角形，连接交于，下列结论：①，②，③垂直平分，④，⑤．其中正确结论有（   ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】通过条件可以得出，从而得出，，由正方形的性质就可以得出，就可以得出垂直平分，设，由勾股定理就可以得出与，利用三角形的面积公式分别表示出和，再通过比较大小就可以得出结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴，故①正确； ∵， ∴， 即，故②正确； ∵， ∴−−，即， ∵， ∴垂直平分，故③正确； ∴， 设，由勾股定理，得，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴−， ∴，故④错误； ∵，， ∴，故⑤正确． 综上所述，正确的有①②③⑤，共个． 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质是解题的关键． 5．（25-26九年级上·四川成都·期中）如下图，在中，按如下步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的一半长为半径作弧，两弧交于点G；③作射线交的延长线于点M．如果，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查作角平分线、平行四边形的性质，熟练掌握角平分线的定义、平行四边形的性质是解答本题的关键．由作图过程可知，为的平分线，可得．由平行四边形的性质可得，，则，进而可得，再根据可得答案． 【详解】解：由作图过程可知，为的平分线， ． 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·重庆开州·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点，点是边上一点，连接，把沿直线翻折到菱形所在平面内得到，点正好落在的延长线上，若，则的度数为 ． 【答案】/46度 【分析】本题主要考查菱形的性质、折叠的性质、等边对等角，利用折叠的性质得到等边对等角是解题的关键． 首先根据菱形的性质得出，再根据折叠得到，，即可将拆分为进行计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在边长为的正方形中，若分别是边上的动点，，与交于点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的综合运用，理解点的运动，得到点在以为直径的圆弧上运动，掌握正方形的性质，勾股定理的计算是关键． 根据正方形的性质可证，得到，即，则点在以为直径的圆弧上运动，根据两点之间线段最短，得当点共线时，，此时的值最小，结合勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴点在以为直径的圆弧上运动，如图所示，取的中点，以点为圆心，以为半径画弧， ∴根据两点之间线段最短，得当点共线时，，此时的值最小， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为： ． 8．（24-25八年级下·内蒙古包头·期中）如图，在中，点M，N分别在边上，且，对角线分别交于点E，F．求证． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，平行线的性质，由平行四边形的性质得到，由平行线的性质和对顶角相等推出，，据此证明，则可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，是的角平分线，过点作，交于点，在上取一点，连接，使得． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，，求的长度和四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）根据平行线的判定定理得，推出四边形是平行四边形，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，求得，得到，根据菱形的判定定理得到四边形是菱形； （2）连接，交于点，根据菱形的性质得到，设菱形的边长为，则，，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到，求得，根据菱形的面积公式得到菱形的面积为． 【详解】（1）证明：， ， ， 四边形是平行四边形， 是的角平分线， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：连接，交于点， 四边形是菱形，， ， 设菱形的边长为，则，， ， ， ，即， 解得（舍去）， 经检验，是原分式方程的解， ， 在菱形中，，， ， ， 菱形的面积为． 【点睛】本题考查了菱形的判定定理、性质及面积计算，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 10．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒2个单位的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当的值为多少时，四边形为菱形？并求出该菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)当t时，四边形为菱形，此时菱形的面积是 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．解题时注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． （1）根据直角三角形的性质得到，得到，根据平行四边形的性质得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形； （2）首先得出四边形为平行四边形，进而利用菱形的判定与性质得出时，求出的值，进而得出答案． 【详解】（1）证明：在中，，， ． ， ． ，， ． ∴四边形为平行四边形． （2）解：在中，， ， ． ， ． ． ． 若使平行四边形为菱形，则需， 即，解得t． 即当t时，四边形为菱形． 此时， ， ， ， ∴菱形的面积． 1．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，在四边形中，与相交于点E，点E是的中点，要判定四边形是平行四边形，能添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的判定定理，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判断即可，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故A正确； 选项B，C，D均不能证明四边形是平行四边形， 故选：A． 2．（25-26八年级上·贵州黔东南·期末）如图，、、分别是三条边上的中点，若的面积是12，则阴影部分的面积和是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了三角形面积，理解题意是解决本题的关键． 设的面积分别为，根据D、E、F是三边的中点，可得，进而求解即可． 【详解】解：设的面积分别为， ∵D、E、F是三边的中点， ∴， ∵的面积是12， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积和是6， 故选B． 3．（25-26七年级下·北京海淀·期末）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，E是AD的中点，连接BE，若∠EBA＝30°，BE＝6，则梯形ABCD的面积等于（    ） A．6 B．9 C．15 D．18 【答案】D 【分析】过作交于点，再求出，，，由为梯形中位线，则，最后由梯形面积公式得到答案． 【详解】解：过作交于点， 则为梯形的中位线，， 又， ， ，， ， 梯形的面积为． 故选：D． 【点睛】本题考查了梯形的中位线的性质及解直角三角形，注意构造梯形的中位线是梯形中常见的辅助线． 4．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在菱形中，，，对角线相交于点O，点E是对角线上的一个动点，连接，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，则的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，根据菱形的性质和已知条件推出是等边三角形，得到，证明，得，得到点在射线上，当时，有最小值，据此可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F在射线上运动， ∴由垂线段最短可知，当时，有最小值，此时， ∵菱形的对角线交于点O， ∴， ∴，即的最小值为， 故选：A。 5．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：（1）分别以A、B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于P、Q两点；（2）连接分别交于F、E两点；（3）连接，若，，则的面积为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了作图-基本作图，平行四边形的性质．利用基本作图得到，再根据平行四边形的性质得到，然后利用三角形面积公式计算． 【详解】解：由作图得垂直平分， 即， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴的面积． 故答案为：30． 6．（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，在边长为3的正方形中，点、分别是、边上一点且，连接和相交于点，点是边上的一点，当时， ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，证明得出是解题关键. 先证明，从而可得，再利用面积法求出斜边的高，从而可得，在中，利用勾股定理即可求出. 【详解】解：∵边长为3的正方形中， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴. 故答案为. 7．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在矩形中，，，点E，F分别是，边上的两动点，且，点G为的中点，点H为边上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了最短路径问题，轴对称图形的性质以及勾股定理．因为，点为的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出，所以是以为圆心，以1为半径的圆弧上的点，作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以1为半径的圆于，此时的值最小；根据勾股定理求得问题可求． 【详解】解：∵，G是的中点，则有， 则点在以圆心，1为半径的圆在长方形内的弧上运动． 作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以1为半径的圆于点， ∴， 由两点之间线段最短，此时的值最小， 则的最小值= 且， 则的最小值． 故答案为：9． 8．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在中，连接． (1)用尺规完成以下基本作图：作的角平分线交于点E，与交于点F，连接： (2)在（1）所作的图形中，若，求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴① ，， ∴， ∵的角平分线交于点E， ∴， ∴② ∴， ∴③ ∵， ∴， ∵ ∴ ∴④ 在和中， ∴． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④；⑤ 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据平行四边形的性质得到，，则由角平分线的定义和平行线的性质证明，得到，由等边对等角得到，则可证明，据此根据全等三角形的判定定理可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵的角平分线交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ 在和中， ∴． 9．（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，在中，点是边的中点，点是边的三等分点，连接、并相交于点． (1)若，求的面积； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)30 (2) 【分析】本题考查三角形的中位线的性质，根据三角形的中线求面积，等腰三角形的判定和性质勾股定理． （1）过点作，得是的中位线，根据题意得，即可解答； （2）过点作于M，证是等腰三角形，由勾股定理得求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵点是边的中点， ∴是的中位线， 可得，则， ∵点是边的三等分点， ∴， ∴则 ∵，点A到直线的距离不变， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵，，， ∴由（1）得，，， ∴，， ∴是等腰三角形， 过点作于M，则， ∴， ， ∴． 10．（25-26八年级上·四川成都·期末）定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线，例如，如图1，在菱形中，E是的中点，连接，，则折线叫做菱形的折中线，折线的长叫做折中线的长． 已知，在菱形中，，E是的中点，连接，． (1)如图1，已知折中线将菱形的面积分为了三部分，、、的面积之比为 ； (2)如图2，若，，求折中线的长； (3)若，且折中线中的或与菱形的一条对角线相等，求折中线的长． 【答案】(1) (2)折中线的长为 (3)或 【分析】（1）根据E是菱形的边的中点，即可解决问题； （2）连接，根据题意证得为等边三角形，利用勾股定理求出，，即可解答； （3）当时，过点E作，交的延长线于点F，过点B作于点G，利用勾股定理即可解答；当时，过点C作，过点E作，交的延长线于点G，过点C作于点H，交的延长线于点F，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：在菱形中， ∵E是的中点， ∴， ∴、、的面积之比为， （2）解：如图，连接， 在菱形中，，， ∴为等边三角形， ∵点E为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴折中线的长为； （3）解：由已知得折中线中的或只能与菱形中较短的对角线相等， 当时，如图，过点E作，交的延长线于点F，过点B作于点G， 则四边形是矩形， 在菱形中，，E是的中点， ， ∴，， ∴， 在中， ， 在中， ， ∵，， 在中， ， ∴； 当时，如图，过点C作，交的延长线于点F，过点E作，交的延长线于点G，过点C作于点H， ∴四边形是平行四边形，四边形是矩形， ∴，，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴H是的中点，即， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，折中线的长为或． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质，菱形的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 四边形 思维导图 【类型一】平行四边形的概念与性质 1．如图，四边形是平行四边形，平分，交边于，若，，则的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，在直角坐标系中，的对角线的交点在原点，若顶点的坐标为，则顶点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，对角线AC，BD交于点O．若，，，则BC的长为 ． 【类型二】平行四边形的个数 1．如图，在中，，，，的交点在上，则图中面积相等的平行四边形有（   ）对 A．5 B．3 C．2 D．4 2．如图，中，，则图中共有平行四边形的个数为（　　） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 3．根据如图所示的三个图所表示的规律依次数下去，第n个图中平行四边形的个数是 ． 【类型三】矩形的性质 1．在矩形中，对角线相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，平分交于点，连接，为的中点，连接，若，，则的长为（    ）． A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，矩形的点A和点C分别落在x轴的正半轴和y轴负半轴上，，直线l：经过点C，将直线l向上平移m个单位，若直线可将矩形的面积平分，则m的值为 ． 【类型四】平行线之间的距离 1．在菱形ABCD中，，，求平行线AB与CD之间的距离为　　 A． B． C． D． 2．如图，四边形是平行四边形，点M在边上，，垂足分别为E、N，则平行线与之间的距离是（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 3．在菱形中，，，则平行线与之间的距离为 ． 【类型五】菱形的性质 1．如图，在菱形中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧相交于，两点，过，两点的直线交边于点，连接．则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，菱形的周长为，，则AC的长为（ ） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高为 ． 【类型六】正方形的性质 1．如图，四边形是正方形，是等边三角形，的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形和正方形中，点在上，点在同一条直线上，，，是的中点，连接，则的长是（    ）． A．6 B． C． D．10 3．如图，正方形的对角线相交于点O，正方形与正方形的边长相等，在正方形绕点O旋转的过程中，当重叠部分为四边形且面积为时，则正方形的边长为 ． 【类型七】三角形的中位线 1．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，点、分别是、的中点，若，则的长是（    ） A．16 B．14 C．12 D．8 2．如图，在中，点、分别是边、的中点，连接，点在线段上，连接、，，若，，则的长为（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 3．如图，在中，平分，D是的中点，，则的长为 ． 【类型八】等腰梯形与直角梯形 1．下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 2．如图，等腰梯形中，，，交于点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．平分 3．已知在直角梯形中，，，，，，那么梯形的周长为 ． 【类型九】添加条件证矩形、菱形、正方形 1．已知四边形中，对角线与相交于点O，，，再添加一个条件使四边形是菱形，添加条件不正确的是（　　） A． B． C． D． 2．在下列条件中选取一个作为增加条件，能使平行四边形成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，．再添加一个条件，就能判定四边形是正方形．这个条件可以是 ．（只填一个条件即可） 【类型十】中点四边形 1．在一个四边形中依次连接各边的中点得到的四边形是矩形，则对角线与一定有如下关系（   ） A．垂直 B．相等 C．垂直且互相平分 D．互相平分 2．如图，，，，分别是矩形四边中点，已知，，则四边形的面积是（   ） A．20 B．26 C．30 D．40 3．如图，在菱形中，边长为10，．顺次连结菱形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；按此规律继续下去…．则四边形的周长是 ；四边形的周长是 【类型一】平行四边形的判定 1．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作于点N，过点C作于点M，连接AM，CN．求证：四边形ANCM为平行四边形． 2．如图，在中，D是边上任意一点，F是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 3．如图，在四边形中，，对角线，相交于点，且． (1)求证： ． 四边形为平行四边形． (2)过点作，交于点，交于点，连结若，，求的度数． 【类型二】矩形的判定 1．如图，在中，的平分线和的平分线交于点，点在边上，以、为边作． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 2．如图，和相交于点O，，，E，F 分别是，的中点． (1)求证：． (2)当时，求证：四边形 是矩形． 3．如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，连接，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的面积 【类型三】菱形的判定 1．如图，四边形是矩形，点是的中点，将绕点旋转，分别交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 2．如图，在四边形中，，，对角线交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 3．如图，在中，，为的中线．，，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)连接，若，，求四边形的面积． 【类型四】正方形的判定 1．如下图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，，．求证：四边形ABCD是正方形． 2．已知：如图，在中，，点D在上，，垂足为F，且，点E为线段的中点，过点F作交射线于G，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． (3)当时，求证：四边形是正方形． 3．如图，，，，分别是正方形四条边上的点，且． (1)求证：四边形是正方形． (2)若，，求四边形的周长． 【类型五】拼剪问题 1．19世纪，匈牙利数学家鲍耶证明了下述定理：任意给定两个面积相等的多边形，它们互相之间都可以通过剪拼得到．追述历史，我们发现他证明这个定理时就是运用化归的方法，从简单的问题作为起点、作为阶梯从而获得了成功．三角形和四边形是最简单的多边形，如图1，任意三角形沿着中位线剪一刀，可以拼成一个与原面积相等的平行四边形，仿照图示的方法，解答下列问题： (1)如图2，对任意三角形，能否最多剪两刀，将它剪拼成一个与原三角形面积相等的矩形，画出分割线与拼图； (2)如图3，对任意四边形，能否最多剪两刀，将它剪拼成一个与原四边形面积相等的平行四边形，画出分割线与拼图． 2．【情境】部分图形通过剪拼后能够得到矩形． 【操作1】嘉嘉将如图1所示的平行四边形通过裁剪拼成了矩形．若，拼接时应将沿平移 cm． 【操作2】淇淇将如图2所示的三角形通过裁剪拼成了矩形．依据图中呈现的操作方法，可知与的数量关系为 ，与的位置关系为 ． 【操作3】淇淇将如图3所示的四边形通过操作2中的方法裁剪拼成了矩形．请在图3中补全剪拼过程和剪拼后的图形．（直接在原图形上画图，裁剪线用虚线，矩形用实线） 【操作4】嘉淇将如图4所示的菱形沿剪开，将筝形（有两组邻边分别相等的四边形）沿剪开，之后通过旋转平移等操作拼成了矩形．若，，求矩形中较长的边的长． 3．如图所示的三种拼块，，，每个拼块都是由一些大小相同、面积为个单位的小正方形组成，如拼块的面积为个单位． 现用若干个这三种拼块拼正方形，拼图时每种拼块都要用到，这三种拼块拼图时可平移、旋转． (1)若用个拼块，个拼块，个拼块拼正方形，则拼出的正方形的面积为______ 个单位（拼块之间无缝隙，且不重叠）； (2)在图和图中，各画出了某个正方形拼图中的个拼块和个拼块，请分别用不同的拼法将图和图中的正方形拼图补充完整要求：正方形拼图的面积为个单位；用实线画出边界线；拼块之间无缝隙，且不重叠 【类型六】尺规作图问题 1．如图，在四边形中，，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)利用尺规分别作和的角平分线保留作图痕迹，并记两条角平分线的交点为．若点恰好落在边上，试判断和的数量关系，并证明． 2．尺规作图（仅用无刻度的直尺和圆规）： (1)如图1，南南用尺规分别以的点A，B为圆心，为半径画圆弧，交于点E，F，连接．请你证明四边形为菱形． (2)在图2中，请用尺规在的边上分别作出点E，F，使四边形为菱形．（要求：方法与（1）不同，保留作图痕迹，不要求证明） 3．如图，已知四边形是平行四边形． (1)实践与操作：利用尺规作对角线的垂直平分线，分别交于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）的条件下，连接，证明：四边形为菱形 【类型一】(特殊)平行四边形与图象结合问题 1．如图，已知的面积为8，点在边上从点向点运动（不含端点），设的面积为，的面积为，则关于的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．如图1，在菱形中，连接，动点从点出发沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，点为第2段函数图象上的最低点，结合图象判断以下结论：①；②为等边三角形；③菱形的面积为；④最低点的坐标为．其中结论正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，，图②是关于的函数图象，且图象上最低点的坐标为，则正方形的边长为 ． 【类型二】(特殊)平行四边形的正确结论问题 1．如图，在和中，，，，是的中线，相交于点，以下7个结论：①；②；③；④的面积等于的面积；⑤；⑥平分；⑦平分，其中正确结论的个数是（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图，在正方形中，点P是对角线上一点（点P不与B，D重合），连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接，，交于点G，给出三个结论：，．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，是矩形内的任意一点，连接，得到，设它们的面积分别是，给出如下结论：  ；；若，则；  若， 则点在矩形的对角线上．其中正确结论的序号是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）． 【类型三】矩形折叠问题 1．如图，将一张长方形纸片沿着折叠，使点A，B分别落在点E，F处．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，折叠矩形的一边，使点落在边上的点处，已知，．则的长为 ． 3．已知点E，F分别在矩形纸片的边、所在直线上，连接，将矩形纸片沿折叠，点A落在处，点B落在'处．当，时，请解决下列问题： (1)如图1，若点恰好与点D重合，与相交于点O，连接、，求的长； (2)如图2，若点恰好在边上时，交于点G，且满足，求证：； (3)若点在边所在直线上，且满足，求的长． 【类型四】正方形的半角模型 1．如图，正方形中，，点在边上，，将沿DE对折至，延长交边于点，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．边长为12的正方形中，是的中点，以为折痕将翻折，使点落在处，延长交于，则的长是 ．    3．正方形的边长为，点是边上一点不与端点重合，将沿所在直线对折至，延长交边于点，连接，可得，连接． (1) ； (2)如图1，若，点为边的中点，求的面积； (3)如图2，若，判断与是否平行？并说明理由； (4)请直接写出 用含的式子表示． 【类型五】一次函数中的(特殊)平行四边形 1．如图，在平面直角坐标系中，函数的图像分别交轴，轴于，两点，过点的直线交轴正半轴于点，且BM=2MO．在平面直角坐标系内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请你画出图形，确定点的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，分别交坐标轴于点，，，． (1)求直线的解析表达式； (2)如图，点是直线上的一个动点，当的面积为时，求点的坐标； (3)直线上有一点，在平面直角坐标系内找一点，使得以为一边，以点，，，为顶点的四边形是菱形、矩形，请直接写出符合条件的点的坐标．（菱形和矩形分别求才能得满分） 3．在平面直角坐标系中，已知直线与直线交于点，直线，分别交坐标轴于点、、、． (1)求直线的函数表达式，并求出点、、、的坐标； (2)如图2，点为线段上的一个动点，将绕点逆时针旋转得到．点随着点的运动而运动，请求出点运动所形成的线段所在直线的解析式； (3)直线上有任意一点，平面直角坐标系内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【类型六】梯形中位线问题 1．如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底的长为，下底长为，上下底相距，在两腰中点连线处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，甬道面积是梯形面积的，（提示：梯形的中位线是连接梯形两腰中点的线段，其长度等于两底和的一半） (1)梯形的中位线长是____________m； (2)梯形花坛的面积是____________； (3)甬道的宽应是多少米？ 2．如图，梯形中，，，，，，点是射线上一动点（不与点重合），将沿着进行翻折，点的对应点记为点．    (1)如图，当点落在梯形的中位线上时，求的长． (2)如图，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出定义域． (3)如图，连接，线段与射线交于点，当是等腰三角形时，求的长． 3．知识回顾 例如，在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的倍长中线方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决． 实践操作 如图②，在梯形中，，是腰的中点，请你延长交延长线于点，我们易证（自行补充图形）． 数学发现 如图③，在梯形中，，、分别是两腰、的中点，我们把叫做梯形的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想和、有怎样的位置和数量关系？   （用字母及符号表示） ． 证明猜想 请结合“实践操作”完成猜想的证明． 已知： 求证： 证明：    实际应用 如图，在中，，，是边的中点，是内一点，且 连接并延长，交于点，若，求的长．    【类型七】(特殊)平行四边形的动点求t 1．如图，在中，∠=，，，，将绕斜边中点旋转得到，再将沿翻折得到．动点从出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向点运动，动点从出发，沿以每秒个单位长度的速度向点运动，再沿以每秒个单位长度的速度向点运动．，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒()． (1)直接写出线段的长为 ；用含的式子表示：当点在边上运动时，的长为 ，当点在边上运动时，的长为 ； (2)当点在边上运动时， 是否存在值，使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，求出符合条件的值，若不存在，请说明理由； (3)连接，当直线平分四边形的面积时，求的值； (4)当满足 条件时，是以为底或以为底的等腰三角形． 2．如图，在长方形中，，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿的路径运动，连接．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)写出的长（用含的代数式表示）． (2)当线段将长方形分割为两个长方形时，______． (3)若点到达点后，以原速度的2倍返回到点，同时点以原速度继续向点运动．在点的整个运动过程中： ①当线段平分长方形的周长时，求的值； ②作点关于点的中心对称点，直接写出的面积是面积的时的值． 3．如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向以的速度向终点运动．同时动点从点出发，沿方向以的速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动时间为，以、、、为顶点的四边形的面积为，规定三角形是特殊的四边形． (1)直线与之间的距离是_________； (2)求S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (4)当点关于直线的对称点恰好落在直线上时，请直接写出的值． 【类型八】(特殊)平行四边形的新定义 1．定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． 【理解定义】 （1）如图1，是等边三角形，在上任取一点（、除外），连接，把绕点逆时针旋转，则与重合，点的对应点为．请根据给出的定义判断，四边形是否为等补四边形，并说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，在等补四边形中，，，若四边形的面积为8，求的长． 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形中，，，，求四边形面积的最大值．（用含的代数式表示） 2．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，正方形中是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形_____（填“是”或“不是”）“直等补”四边形； (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点作于点． ①过作于点，试证明：； ②若，，求的长． 3．在学习了“特殊的平行四边形”这一章后，同学小明对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”．请你根据以上定义，回答下列问题： (1)下列关于“双直四边形”的说法，正确的有_______（把所有正确的序号都填上）； ①“双直四边形”的对角线不可能相等： ②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半； ③若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形． (2)如图①，正方形中，点、分别在边、上，连接，，，，线段、于点O，若，证明：四边形为“双直四边形”； (3)如图②，在平面直角坐标系中，已知点，，点在线段上，且，在第一象限内，是否存在点，使得四边形为“双直四边形”，若存在；请直接写出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 【类型九】无刻度尺作图 1．“无刻度直尺”是尺规作图的工具之一，它的作用在于连接任意两点、作任意直线、延长任意线段．结合图形的性质，只利用无刻度直尺也可以解决一些几何作图问题． (1)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，且，连接CE．求证：CE是的角平分线． (2)如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，请利用无刻度直尺作图（仅用无刻度直尺作图并保留作图痕迹，不写画法）． ①在图1中，请过点E作AB的平行线交AD于点F． ②在图2中，请过点E作AC的平行线交AB于点F． (3)如图，点E、F分别在平行四边形ABCD的边上，．连接DF，请过点A作DF的垂线，垂足为G（仅用无刻度直尺作图并保留作图痕迹，不写画法）． 2．如图，是矩形的对角线，延长至点，使．请仅用无刻度的直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中，作的边上的高． (2)在图2中，作一个菱形． 3．如图，在矩形中，P，M分别是，的中点．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，以为边作一个非特殊的平行四边形； (2)在图2中，以为边作一个菱形． 1．（25-26九年级上·吉林长春·月考）如图，在平行四边形中，，，分别以点A、B为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点E、F，直线交于点G，连接，恰好垂直于边，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26九年级上·四川达州·月考）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为边的中点，菱形的周长为，则的长为（    ） A． B．4 C．7 D．14 3．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·月考）如图1，矩形中，点E为的中点，点P沿从点B运动到点C，设，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 4．（24-25八年级下·上海徐汇·月考）在等腰梯形中，，对角线相交于点，，，厘米，则的面积为（    ）平方厘米 A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·上海·月考）如图，中，，的周长为，则与的周长和为 ． 6．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，四边形是正方形，E为上一点，将绕点A顺时针旋转至，连接，于点H，交于点G，若，，则的长为 ． 7．（25-26九年级上·浙江衢州·月考）如图，长方形中，，，E为上一点，且，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，则的最小值为 ． 8．（25-26八年级上·江苏淮安·月考）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，． (1)请画出关于y轴对称的（其中D，E，F分别是A，B，C的对应点，不写画法）； (2)请画出先向下平移4格，再向右平移4格的对应图像（其中H，M，N分别是A，B，C的对应点，不写画法），点N坐标为； (3)若在第一象限存在一个点P，使四边形是平行四边形，则点P的坐标为． 9．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，在四边形中，，是的中点，、交于点，，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 10．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）矩形折叠问题： 如图，把矩形（）折叠，折痕为，点在边上，点在边上，记点落在点处，点落在点处． (1)如图1，已知，． ①甲同学折叠时使，点落在矩形的一边上，求的长． ②乙同学折叠时使，且，求的长． (2)如图2，点在点处，作的平分线交的延长线于，过作的平行线交，分别于R，T．连结，，若，，求的值． 1．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在梯形 中，，是中点，，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·天津河西·期中）如图，过平行四边形对角线的交点O的一条直线，分别交边于点E，F，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．与全等 D．四边形与四边形的面积相等 3．（24-25八年级下·云南红河·期中）如图，在中，于点D，E，F，G，H分别是，，，的中点，若，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．5 4．（25-26九年级上·四川达州·期中）如图，正方形中，点、分别在、上，是等边三角形，连接交于，下列结论：①，②，③垂直平分，④，⑤．其中正确结论有（   ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 5．（25-26九年级上·四川成都·期中）如下图，在中，按如下步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的一半长为半径作弧，两弧交于点G；③作射线交的延长线于点M．如果，，，则的长为 ． 6．（25-26九年级上·重庆开州·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点，点是边上一点，连接，把沿直线翻折到菱形所在平面内得到，点正好落在的延长线上，若，则的度数为 ． 7．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在边长为的正方形中，若分别是边上的动点，，与交于点，连接，则的最小值为 ． 8．（24-25八年级下·内蒙古包头·期中）如图，在中，点M，N分别在边上，且，对角线分别交于点E，F．求证． 9．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，是的角平分线，过点作，交于点，在上取一点，连接，使得． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，，求的长度和四边形的面积． 10．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒2个单位的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当的值为多少时，四边形为菱形？并求出该菱形的面积． 1．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，在四边形中，与相交于点E，点E是的中点，要判定四边形是平行四边形，能添加的条件是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·贵州黔东南·期末）如图，、、分别是三条边上的中点，若的面积是12，则阴影部分的面积和是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 3．（25-26七年级下·北京海淀·期末）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，E是AD的中点，连接BE，若∠EBA＝30°，BE＝6，则梯形ABCD的面积等于（    ） A．6 B．9 C．15 D．18 4．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在菱形中，，，对角线相交于点O，点E是对角线上的一个动点，连接，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，则的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 5．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：（1）分别以A、B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于P、Q两点；（2）连接分别交于F、E两点；（3）连接，若，，则的面积为 ． 6．（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，在边长为3的正方形中，点、分别是、边上一点且，连接和相交于点，点是边上的一点，当时， ． 7．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在矩形中，，，点E，F分别是，边上的两动点，且，点G为的中点，点H为边上一动点，连接，，则的最小值为 ． 8．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在中，连接． (1)用尺规完成以下基本作图：作的角平分线交于点E，与交于点F，连接： (2)在（1）所作的图形中，若，求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴① ，， ∴， ∵的角平分线交于点E， ∴， ∴② ∴， ∴③ ∵， ∴， ∵ ∴ ∴④ 在和中， ∴． 9．（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，在中，点是边的中点，点是边的三等分点，连接、并相交于点． (1)若，求的面积； (2)若，，，求的长度． 10．（25-26八年级上·四川成都·期末）定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线，例如，如图1，在菱形中，E是的中点，连接，，则折线叫做菱形的折中线，折线的长叫做折中线的长． 已知，在菱形中，，E是的中点，连接，． (1)如图1，已知折中线将菱形的面积分为了三部分，、、的面积之比为 ； (2)如图2，若，，求折中线的长； (3)若，且折中线中的或与菱形的一条对角线相等，求折中线的长． 学科网（北京）股份有限公司 $