专题05 特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理）（几何模型讲义）数学新教材苏科版八年级下册

专题05.特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 4 10 “瓜豆原理”的名称源自中国传统文化，其数学模型则源于现代几何学对动点轨迹规律的总结，“瓜豆原理”直接借用了中国古代农谚“种瓜得瓜，种豆得豆”的因果关联意象，强调从动点（豆）轨迹与主动点（瓜）轨迹的相似性：即主动点沿直线运动则从动点轨迹亦为直线；主动点沿圆周运动则从动点轨迹亦为圆。 21世纪初中数学教育者将此类主从联动轨迹问题命名为“瓜豆原理”，借农谚的通俗性帮助学生理解几何变换（旋转、位似）的抽象规律。典型案例包括动点最值、路径相似性证明等。如今瓜豆原理成为解决动点最值、路径证明等中考几何问题的核心工具，典型案例如求线段最小值、轨迹长度比例关系等。 （2025·广西南宁·三模）如图，正方形的边长为2，点E在边上运动，连接并绕点D逆时针旋转得到，点E运动过程中，的最小值为 ． （2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（    ） A．15 B． C． D．18 条件：1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 条件：2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可， 比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。 解题策略：1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下方法进行确定： ①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；②某动点所在与某直线所成夹角为定值时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；⑤若动点轨迹用上述方法都不合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。 例1（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在菱形中，，，对角线，相交于点，点是对角线上的一个动点，连结，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，则的最小值是 ． 例2（24-25九年级上陕西西安阶段练习）如图，正方形的边长为，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为 ．    例3（2025·湖南·校考一模）如图，已知，点在线段上，是底边长为6的等腰三角形且，以为边在的右侧作矩形，连接，点是的中点，连接，则线段的最小值为 ． 例4（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，D在延长线上，作平行四边形，则的最小值为 ． 例5（2025·四川·校考一模）如图，矩形中，已知，点F是上一动点，点P是的中点，连接，则的最小值为________． 例6（24-25九年级下·河南南阳·期中）如图，菱形的边长为，，对角线，相交于点，为线段上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转至，连接，则线段的长的最小值为 ，最大值为 ． 1．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，正方形的边长为4，，点E是直线上一个动点，连接，线段绕点B顺时针旋转得到，连接，则线段长度的最小值等于（    ）    A． B． C． D． 2.（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，，点D为x轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．4 3.（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是（   ） A．4 B．8 C． D． 4．（2025·江苏·校考二模）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为___． 5．（25-26·成都市·九年级期中）如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，则线段长的最小值为__ ． 6．（2026·湖北随州·校考一模）如图，在正方形中，点是上一动点，点是的中点，绕点顺时针旋转得到，连接，．则______，若正方形的边长为2，则点在射线上运动时，的最小值是______． 7．（25-26上·福建三明·八年级统考期中）如图，在长方形中，，，为边上的点，且．为边上的动点，以为边在其右侧作等腰直角三角形，．设中点为，则的最小值为 ．      8．（25-26上·天津河东·九年级统考期中）如图，长方形中，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，连接，则的最小值为      9．（25-26上·陕西西安·九年级校考期中）如图，矩形中，，，是的中点，是直线上一动点，为的中点，则的最小值为 ． 10．（24-25·江苏·扬州八年级期末）如图，已知正方形的边长为，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到连接，则的最小值是_____． 11.（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，，点D为x轴上的一个动点，以为边在右侧作等边，连接，则的最小值为 . 12．（2025·辽宁营口·二模）如图，在矩形中，，，点为对角线上一动点，连接，以为边在其上方作等边，连接，则的最小值为 ． 13．（24-25九年级上·河南焦作·期末）如图，菱形的边长为，，对角线与相交于点，点为线段上一动点（不与点重合）．连接，将线段绕点逆时针旋转得到，则线段的最小值为 ，最大值为 ．    14．（25-26九年级上·天津和平·期末）如图，在矩形中，，，点是线段上一动点，将线段绕点顺时针转得到线段，连接，则的最小值为 ．    15．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）【问题呈现】军军在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】军军通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：（1）证明：；（2）的大小为_度，线段长度的最小值为_． 【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图．军军收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米． 16．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）【问题背景】（材料原题）已知：如图①，在菱形中，，点、分别在边、上． 【问题探究】（1）①，②，从上面两个条件中选择一个说明是等边三角形； 【问题拓展】（2）如图②，在（1）的条件下，与交于点，若，求的长； 【问题延伸】（3）如图③，在（1）的条件下，点在延长线上，若，取的中点，连接，求的最小值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05.特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 4 10 “瓜豆原理”的名称源自中国传统文化，其数学模型则源于现代几何学对动点轨迹规律的总结，“瓜豆原理”直接借用了中国古代农谚“种瓜得瓜，种豆得豆”的因果关联意象，强调从动点（豆）轨迹与主动点（瓜）轨迹的相似性：即主动点沿直线运动则从动点轨迹亦为直线；主动点沿圆周运动则从动点轨迹亦为圆。 21世纪初中数学教育者将此类主从联动轨迹问题命名为“瓜豆原理”，借农谚的通俗性帮助学生理解几何变换（旋转、位似）的抽象规律。典型案例包括动点最值、路径相似性证明等。如今瓜豆原理成为解决动点最值、路径证明等中考几何问题的核心工具，典型案例如求线段最小值、轨迹长度比例关系等。 （2025·广西南宁·三模）如图，正方形的边长为2，点E在边上运动，连接并绕点D逆时针旋转得到，点E运动过程中，的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：延长到，使，连接， ∵绕点D逆时针旋转得到，∴,， ∵四边形是正方形，∴∴， ∴，∴点在直线上运动，当时，最小， ∵四边形是正方形，∴，， ∴，∴，∴， ∵∴当时，是等腰直角三角形， ∴．故答案为： （2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（    ） A．15 B． C． D．18 【答案】B 【详解】解：过点作，交于，过点作垂足为， ∵矩形，∴，∴， ∴四边形和都是矩形，∴， 由旋转的性质得，，∴， ∴，∴，∴点在平行于，且与的距离为5的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，最小值为，∵，，∴，故选：B． 条件：1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 条件：2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可， 比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。 解题策略：1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下方法进行确定： ①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；②某动点所在与某直线所成夹角为定值时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；⑤若动点轨迹用上述方法都不合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。 例1（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在菱形中，，，对角线，相交于点，点是对角线上的一个动点，连结，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，则的最小值是 ． 【答案】2 【详解】解：菱形，，， ，是等边三角形，，， ，， 绕点按逆时针方向旋转，得到，，， ，，如图，连接， ，，点在射线上， ∴当时，有最小值，最小值为，的最小值是，故答案为：． 例2（24-25九年级上陕西西安阶段练习）如图，正方形的边长为，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：由题意可知，点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动，将绕点旋转，使与重合，得到，       ∴，，， ∵是等边三角形，∴，∴为等边三角形， ∴，，点在垂直于的直线上，过点作， 则即为的最小值，过点作，则四边形为矩形， ∴，∴，∴， 则，故的最小值为．故答案为：． 例3（2025·湖南·校考一模）如图，已知，点在线段上，是底边长为6的等腰三角形且，以为边在的右侧作矩形，连接，点是的中点，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，过点作于，交于，过点D作，垂足为点H， 四边形是矩形，点是的中点，点在对角线，的交点，， ，，点的运动轨迹是直线，当时，的值最小， ，，，，， ，，， ，，， ，，，， 的最小值为．故答案为：． 例4（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，D在延长线上，作平行四边形，则的最小值为 ． 【答案】13 【详解】解：如图，作于，∵四边形是平行四边形，∴，， ∴在平行于且与距离为的直线上运动， 作关于直线的对称点，连接，，则，、、三点共线， ， ∵，∴，∴，当且仅当，，，依次共线时取等号， 在中，，∴的最小值为，故答案为：． 例5（2025·四川·校考一模）如图，矩形中，已知，点F是上一动点，点P是的中点，连接，则的最小值为________． 【答案】 【详解】解：如图：当点F与点C重合时，点P在处，， 当点F与点E重合时，点P在处，，∴且． 当点F在上除点C、E处的位置时，有． 由中位线定理可知：且．∴点P的运动轨迹是线段， ∴当时，取得最小值．∵矩形中，，E为的中点， ∴为等腰直角三角形，．∴． ∴．∴．∴，即，∴的最小值为的长． 在等腰直角中，，∴∴的最小值是．故答案是：． 例6（24-25九年级下·河南南阳·期中）如图，菱形的边长为，，对角线，相交于点，为线段上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转至，连接，则线段的长的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 【详解】解：如图1，在上取一点，使，连接． ∵四边形是菱形，，边长为， ∴，，，， ∴，，， 由旋转知，，∴， ∴，∴，∴．由点为定点，为线段上的一个动点， ∴当时，有最小值，此时， ∵，∴，∴最小值为，∴的最小值为； 如图2，当点P运动到点B时，最大，即有最大值， ∵，∴，∴， 此时Q，C，D三点共线，过点B作．∵，，∴，， ∴，∴， ∴有最大值，最大值为，∴的最大值为．故答案为：；． 1．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，正方形的边长为4，，点E是直线上一个动点，连接，线段绕点B顺时针旋转得到，连接，则线段长度的最小值等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接，在上截取，使得，连接，过点D作于点H．    ∵四边形是正方形，∴， ∴，∴， ∵，∴， 在和中，∴，∴， ∴点F在直线上运动，当点F与H重合时，的值最小， ∵∴，∴的最小值为，故选：B． 2.（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，，点D为x轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】解：如图，作轴于H，连接． ∵，∴，，∴， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴，∴， ∴点在的角平分线所在直线上运动，作于M，则是等腰直角三角形， ∵正方形，，∴，∴，即的最小值为，故选：B． 注意：该题也可以先设出点D的坐标，再在平面直角坐标中表示出点E的坐标，从而证明点E在定直线上运动，最后运用点到线的距离求出最值。 3.（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【详解】解：如图：当点与点重合时，点在处，，此时为中点， 当点与点重合时，点在处，，此时为中点， ∴是中位线，且， 当点在上除点、的位置时，为中点，∴是中位线，是中位线， ，，∴点在线段上， 点的运动轨迹是线段，当时，取得最小值， 矩形中，，，为的中点，为中点， ∴，， 、、为等腰直角三角形，，， ∵，，， ，即，的最小值为的长， 在等腰直角中，，的最小值是．故选：D． 4．（2025·江苏·校考二模）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为___． 【答案】 【详解】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H． ∵四边形是矩形，∴，∵都是等边三角形， ∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴， ∵，，∴点Q在射线上运动， ∵，∴， ∵，∴． 根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，的值最小，最小值为．故答案为：． 5．（25-26·成都市·九年级期中）如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，则线段长的最小值为__ ． 【答案】 【详解】解：在上取一点，使得，连接，，作直线交于，过点作于．，，是等边三角形，，， ，，是等边三角形，，， ，， 在和中，，， ，，点在射线上运动， 根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小， ，，，，，∴GT//AB∵BG//AT 四边形是平行四边形，，， ∴ 在中， ∴ ，的最小值为，故答案为：． 6．（2026·湖北随州·校考一模）如图，在正方形中，点是上一动点，点是的中点，绕点顺时针旋转得到，连接，．则______，若正方形的边长为2，则点在射线上运动时，的最小值是______． 【答案】 /度 【详解】解：如图1所示，延长交的延长线于点， 点是的中点，，四边形是正方形，， ，，，， 又，，绕点顺时针旋转得到， ，，， ，， ，， ，； 如图2所示，连接，过点作于， ，点在直线上运动，当时，有最小值，最小值为的长度， ，，，即有最小值为，故答案为：，． 7．（25-26上·福建三明·八年级统考期中）如图，在长方形中，，，为边上的点，且．为边上的动点，以为边在其右侧作等腰直角三角形，．设中点为，则的最小值为 ．      【答案】 【详解】解：如图，过点作于，过点作，∴， ∵四边形是长方形也就是矩形，，， ∴，，∴， ∵是等腰直角三角形，，∴， ∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴点在平行且到距离为的直线上运动， 当点、、共线时，，则，此时有最小值， 此时，∴四边形是长方形， ∴，∴，∴的最小值为，故答案为：．      8．（25-26上·天津河东·九年级统考期中）如图，长方形中，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，连接，则的最小值为      【答案】 【详解】解：如图，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，连接交于点J，    ∵四边形是矩形，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴点G在射线上运动，∴当时，的值最小， ∵，∴，∴， ∴，∴四边形是矩形， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴的最小值为． 9．（25-26上·陕西西安·九年级校考期中）如图，矩形中，，，是的中点，是直线上一动点，为的中点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：取中点H，连接，交于点O，如图， ∵四边形为矩形，∴，，， ∵点E为中点，点H为中点，∴，，∴四边形为矩形，， ∵点O为的中点，∴为点P的运动轨迹， ∵在直线上运动，∴当点F与点E重合时最小为，故答案为：． 10．（24-25·江苏·扬州八年级期末）如图，已知正方形的边长为，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到连接，则的最小值是_____． 【答案】 【详解】解：连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G， ∵将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，∴EF⊥DE，且EF＝DE， ∵，，∴∠EDA＝∠FEG， ∴在△AED和△GFE中，∴△AED≌△GFE（AAS），∴FG＝AE，， 又∵，∴，∴，∴， 又∵，∴是等腰直角三角形，∴， ∴BF是∠CBC′的角平分线，即F点在∠CBC′的角平分线上运动， 过点C作BF的对称点，则 ∴C点在AB的延长线上，是等腰直角三角形， ∴当D、F、C三点共线时，DF+CF＝最小， ∴在中，AD＝4，， ∴，∴DF+CF的最小值为，故答案为：． 11.（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，，点D为x轴上的一个动点，以为边在右侧作等边，连接，则的最小值为 . 【答案】 【详解】解：如图，以为边在右侧作等边三角形，∴， 连接并延长交y轴于点M，过点O作于点H， 在矩形中，∵，∴，，∴， ∵是等边三角形，∴，，∴， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴，∴， ∴点E在过定点G且与垂直的直线上运动，即点E在直线上运动， ∵是等边三角形，∴，∴， ∵，∴，当点E与H不重合时，， 当点E与H重合时，，综上所述：，∴的最小值为，故答案为：． 12．（2025·辽宁营口·二模）如图，在矩形中，，，点为对角线上一动点，连接，以为边在其上方作等边，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：连接交于点，连接并延长交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵，，∴， ∴，∴为等边三角形， ∴，∴， ∵是等边三角形，∴，， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴，， ∴当点在对角线上运动时，点在射线上运动， ∵，即平分， 又∵，∴，且是边上的中线，此时为的最小值， ∵，∴的最小值为．故答案为：． 13．（24-25九年级上·河南焦作·期末）如图，菱形的边长为，，对角线与相交于点，点为线段上一动点（不与点重合）．连接，将线段绕点逆时针旋转得到，则线段的最小值为 ，最大值为 ．    【答案】 【详解】解：如图，连接，      ∵四边形是菱形，∴，，， ∵，∴是等边三角形，∴，， ∴，同理可证：是等边三角形， 由旋转性质可知：，，∴， ∴，∴，∴， ∴点在等边中平分线上运动，∴当时，最小，如图， ∵，∴， 当与点重合时，最大，如图，过作于点，设与交于点，连接，  由上可知，∴， ∵是等边三角形，，∴， ∴，，∴，∴，∵四边形是菱形，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴， 综上可知：的最小值为，最大值为，故答案为：，． 14．（25-26九年级上·天津和平·期末）如图，在矩形中，，，点是线段上一动点，将线段绕点顺时针转得到线段，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：∵四边形为矩形，，，∴，， 如下图，当点与点重合时，在上，且，此时点与点重合，    ∵，∴，当点与点重合时，运动到处，∴点在线段上运动， 当点在上时，∵，∴， ∵，∴，∵，∴，∴，， ∵，，∴，∴， ∵，∴，过点作，当与点重合时，取最小值， 此时，∴， 在中，，即 ∴，∴的最小值为．故答案为：． 15．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）【问题呈现】军军在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】军军通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：（1）证明：；（2）的大小为_度，线段长度的最小值为_． 【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图．军军收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米． 【答案】（1）见解析；（2），；方法应用：线段长度的最小值为米 【详解】问题呈现：（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形，∴，，∵，∴； （2）是等边三角形，∴， 又∵，∴,由（1）知，∴； 当时，最小，此时（所对直角边是斜边的一半 ）， ∵，∴，又，最小值为 ．故答案为：30，2； 方法应用：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接， ∴四边形是平行四边形，∴，，∵∴， ∵四边形是矩形，∴，；∴；∴ ∵；∴∵，； ∴；∴∴当时，最小，此时最小，作于点， 在中，，；∴，∴；∴ 在中，，；∴，∴线段长度的最小值为米． 16．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）【问题背景】（材料原题）已知：如图①，在菱形中，，点、分别在边、上． 【问题探究】（1）①，②，从上面两个条件中选择一个说明是等边三角形； 【问题拓展】（2）如图②，在（1）的条件下，与交于点，若，求的长； 【问题延伸】（3）如图③，在（1）的条件下，点在延长线上，若，取的中点，连接，求的最小值． 【答案】（1）选①，说明见解析；选②，说明见解析；（2）；（3）最小值为 【详解】（1）选①证明：菱形，， ，， ，，， ，是等边三角形． 选②证明：菱形，， ，， 又，，，，是等边三角形． （2）解：作垂直于延长线，垂足为，作，垂足分别为， 由题得，，， 平分，，，． （3）解：取中点中点，作，交于点，连接，，取中点， ，，， ，，，，，， 又，，为中点， 又为中点，与重合，共线，点在线段上运动， 当时，值最小，，， ，，， ，最小值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $