精品解析：广东省广州市南沙区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025—2026学年第一学期九年级期末考试数学（A卷） 本试卷共8页，25小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 5.考试时不可使用计算器． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 明天不会下雨 B. 掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的数字是2 C. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯 D. 圆中最长的弦是直径 4. 如图，是的直径，是的弦，，则为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，把绕点O逆时针旋转一定角度，得到，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有一个根为1 7. 已知点，，都在反比例函数图象上，则（ ） A. B. C. D. 8. 自行车的示意图如图所示，其中，，，两车轮的半径均为，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以C，D为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，那么在前后轮的单面（阴影部分）安装铁皮，需要的面积约（ ） A. B. C. D. 9. 已知一次函数，k从2，中随机取一个值，b从1，，中随机取一个值，则该一次函数的图象经过第一、三、四象限的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②（t为实数）；③；④若和为图象上两点，且，则．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 二次函数的顶点坐标是__________． 12. 已知一元二次方程的两个实数根分别为，则 __． 13. 中国传统折扇展开形状近似扇形，如图一扇子完全打开后，扇骨，扇形的面积是，则这把扇子外边缘的长是______．（结果保留） 14. 列车从甲地驶往乙地．行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到__________． 15. 如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为____________． 16. 如图，的半径为2，四边形内接于，圆心O到的距离等于．下列说法中：①的长为2；②；③ 若劣弧被点D分为两部分，，则；④若点E是线段上一动点，连接，过点C作于点F，则的最小值是．所有正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤） 17. 解方程：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．画出将绕点B按顺时针方向旋转所得到的． 19. 电影《哪吒之魔童闹海》截止至2025年3月10日，票房突破亿元人民币，成为全球动画电影票房冠军．如图，有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：哪吒，敖丙，太乙真人，申公豹．将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片不放回，记录后搅匀，再随机取出1张卡片． （1）第一次取出的卡片图案为“哪吒”的概率为_______； （2）用画树状图或列表方法，求取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的概率． 20. 为更好优化交通与城市治理，某街道推进停车场建设，计划新建一个矩形停车场，布局如图所示．已知停车场外围的长为20米，宽为16米，阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的车道，若喷漆面积为221平方米． （1）设车道的宽度是x米，则停车位的横向长度长是______米（用含x的代数式表示）； （2）求车道的宽． 21. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）若抛物线过点，求该抛物线的解析式； （2）若抛物线顶点到x轴的距离为2个单位长度，求a的值． 22. 如图1，是的直径，是的一条弦，于H，连接． （1）求证：； （2）如图2，连接，延长至点F，使得，求证：为的切线． 23. 如图，已知点是函数图象上一点，连接延长至点，使，过点作轴交函数图象于点，连接，点的横坐标为4． （1）请写出：点坐标为______，点坐标为______，点的坐标为______； （2）观察函数图象，请直接写出当时，的取值范围； （3）连接，求面积． 24. 中国瓷器是世界最早且最精美陶瓷品类之一，亦是中华传统文化的重要标志．某数学兴趣小组以“玩转数学”活动为契机，开展跨学科项目式学习，特制定以下探究方案． 【设计方案求倾斜状态下杯里水面的宽度及最大深度】 问题情境 图1是一个竖直放置在水平桌面上的瓷杯，图2是其截面图，瓷杯高度，杯口宽，，杯体近似看成抛物线状（杯体厚度不计），当杯中盛满水时的最大深度． 任务一 如图2，以杯底的中点F为原点O，以所在直线为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．求杯体的抛物线解析式． 任务二 如图3，把瓷杯绕点B缓缓倾斜，倒出杯中的部分水，当水面CH与杯口的夹角为45°时停止倾斜（水面CH与y轴相交于点S，与杯体相交于点H）． ①求此时杯里水面的宽度CH； ②求此时杯里水的最大深度． 25. 如图，正方形的边长为，是正方形内一动点，连接，． （1）如图1，连接，若，， ①的度数为______； ②如图2，射线与的平分线相交于，求的长； （2）如图3，为上一点，，连接，，．若，求面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期九年级期末考试数学（A卷） 本试卷共8页，25小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 5.考试时不可使用计算器． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义判断即可求解． 【详解】解：只含有一个未知数，含未知数的最高次项的次数是2，左右两边都是整式的方程是一元二次方程，故选项D符合题意； A、，不是整式方程，故选项A不符合题意； B、是一元一次方程，故选项B不符合题意； C、是二元一次方程，故选项C不符合题意； 故选：D． 2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据定义逐项判断即可得到答案，正确掌握相关概念是解题关键． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、该图形是中心对称图形，故此选项符合题意； D、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 明天不会下雨 B. 掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的数字是2 C. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯 D. 圆中最长的弦是直径 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了必然事件的定义，必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、明天可能下雨，也可能不下雨，不是必然事件，不符合题意； B、掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的数字可能是2，也可能不是2，不是必然事件，不符合题意； C、车辆随机到达一个路口，可能遇到红灯，也可能不遇到红灯，不是必然事件，不符合题意； D、圆中最长的弦是直径，是必然事件，符合题意； 故选：D． 4. 如图，是的直径，是的弦，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角，三角形内角和定理，掌握圆的相关性质是解题关键．由直径可得，由同弧所对的圆周角相等，得到，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 故选：C． 5. 如图，把绕点O逆时针旋转一定角度，得到，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，旋转前后的图形，对应边相等，对应角相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，据此逐一判断即可． 【详解】解：由旋转的性质可得，，， 根据现有条件无法得到， 故选：B． 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有一个根为1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练记忆根的判别式是解题的关键． 通过计算判别式的值判断根的情况即可． 【详解】解：∵在方程中，，，， ∴ ， ∴方程没有实数根． 故选：C． 7. 已知点，，都在反比例函数图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．把点、、的坐标分别代入函数解析式，求得、、的值，然后比较它们的大小即可． 【详解】解：点，，都在反比例函数图象上， ，，． ， 故选：C． 8. 自行车的示意图如图所示，其中，，，两车轮的半径均为，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以C，D为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，那么在前后轮的单面（阴影部分）安装铁皮，需要的面积约（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积计算，平行线的性质，根据平行线的性质求出的度数，再根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴在前后轮的单面（阴影部分）安装铁皮，需要的面积约． 故选：A． 9. 已知一次函数，k从2，中随机取一个值，b从1，，中随机取一个值，则该一次函数的图象经过第一、三、四象限的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列举法求概率，根据一次函数的图象经过第一、三、四象限得到，列出所有可能性，再利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：k从2，中随机取一个值，b从1，，中随机取一个值，共有，6种等可能的结果，其中能使一次函数的图象经过第一、三、四象限的结果有2种情况， ∴； 故选A． 10. 抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②（t为实数）；③；④若和为图象上两点，且，则．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、性质与系数的关系，需结合图象和对称轴分析系数符号、函数最值及点的位置关系． 【详解】解：由抛物线开口向下，得； 对称轴为，即，得； 根据图象，当时，因对称轴为直线， ∴时． ①由，，，得，故①错误； ②对称轴为，抛物线开口向下，故时函数取最大值，对任意实数，有，化简得，故②正确； ③由图象，当时，，根据对称性，当时，，代入得，即，故③正确； ④∵和为图象上两点， ∴，． ， 整理化简得， ∵，不等式两边除以，不等号方向改变，得到， 解得：，故④正确； 综上，②③④正确，正确的个数为． 故选：C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 二次函数的顶点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，熟练掌握二次函数的顶点坐标公式，是解题的关键． 根据二次函数的顶点坐标公式求解（方法不唯一）． 【详解】解：对于二次函数，其中,,． ∴顶点横坐标为， 纵坐标为， ∴顶点坐标为（方法不唯一）． 故答案为：． 12. 已知一元二次方程的两个实数根分别为，则 __． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程的两个根为，则，熟记根与系数的两个关系式是解题的关键． 直接运用一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为， ∴． 故答案为：． 13. 中国传统折扇展开形状近似扇形，如图一扇子完全打开后，扇骨，扇形的面积是，则这把扇子外边缘的长是______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式和弧长公式，设，根据扇形面积公式建立方程求出n的值，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：设， 由题意得，， 解得， ∴这把扇子外边缘的长是， 故答案为：． 14. 列车从甲地驶往乙地．行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到__________． 【答案】240 【解析】 【分析】由设再利用待定系数法求解反比例函数解析式，把h代入函数解析式求解的值，结合图象上点的坐标含义可得答案. 【详解】解：由题意设 把代入得： 当h时，， 所以列车要在内到达，则速度至少需要提高到， 故答案为：. 【点睛】本题考查的是反比例函数的应用，掌握利用待定系数法求解反比例函数的解析式是解题的关键. 15. 如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据频率估算概率，概率公式的计算，理解图②中的频率得到相应的概率，掌握概率的计算公式是解题的关键． 根据图②可得频率稳定在，则概率为，计算出长为，宽为长方形，由不规则图形的面积除以长方形的面积等于，由此即可求解． 【详解】解：根据图②可得频率稳定在，则概率为， 长为，宽为的长方形的面积为，设不规则图案的面积为， ∴， 解得，， ∴不规则图案的面积大约为， 故答案为： ． 16. 如图，的半径为2，四边形内接于，圆心O到的距离等于．下列说法中：①的长为2；②；③ 若劣弧被点D分为两部分，，则；④若点E是线段上一动点，连接，过点C作于点F，则的最小值是．所有正确结论的序号是______． 【答案】①③④． 【解析】 【分析】由垂径定理得到，由勾股定理可得，据此可判断①；证明是等边三角形，得到，由圆周角定理和圆内接四边形的性质可得的度数，据此可判断②；可证明，据此可判断③；取的中点T，连接，则，可推出当三点共线时，有最小值，最小值为的值，利用等面积法可求出的长，据此可判断④． 【详解】解：①∵圆心O到距离等于， ∴， ∴， ∵的半径为2， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴；故①正确； ②∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴；故②不正确； ③连接， ∵， ∴， ∵， ∴；故③正确； ④取的中点T，连接， ∵， ∴， ∵点T是的中点， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的值， ∵是等边三角形，点T是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为，故④正确； 综上所述：正确的有①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定等，熟练掌握圆内接四边形的性质，垂径定理，圆周角定理和常用辅助线是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， 或， ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．画出将绕点B按顺时针方向旋转所得到的． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，根据网格的特点和旋转方式找到A、C的对应点的位置，描出，并顺次连接即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 19. 电影《哪吒之魔童闹海》截止至2025年3月10日，票房突破亿元人民币，成为全球动画电影票房冠军．如图，有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：哪吒，敖丙，太乙真人，申公豹．将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片不放回，记录后搅匀，再随机取出1张卡片． （1）第一次取出的卡片图案为“哪吒”的概率为_______； （2）用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“哪吒”的结果有1种，然后利用概率公式可得答案； （2）画树状图展示所有等可能的结果数以及取出的卡片为“哪吒”和“太乙真人”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“哪吒”的结果有1种， ∴第一次取出的卡片图案为“哪吒”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：任意取出1张卡片，记录后不放回，再从中任意取出1张卡片，作出树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的结果数为2种， ∴取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的概率为， 答：取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的概率为． 20. 为更好优化交通与城市治理，某街道推进停车场建设，计划新建一个矩形停车场，布局如图所示．已知停车场外围的长为20米，宽为16米，阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的车道，若喷漆面积为221平方米． （1）设车道的宽度是x米，则停车位的横向长度长是______米（用含x的代数式表示）； （2）求车道的宽． 【答案】（1） （2）3米 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式和一元二次方程的应用，正确理解题意列出方程和代数式是解题的关键． （1）用停车场外围的长减去车道的宽即可得到答案； （2）喷漆面积相当于一个长为米，宽为米的矩形面积，据此根据矩形面积建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，米， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：车道的宽为3米． 21. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）若抛物线过点，求该抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点到x轴的距离为2个单位长度，求a的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出顶点纵坐标，根据抛物线的顶点到x轴的距离为2个单位长度，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点到x轴的距离为2个单位长度， ∴，解得或． 22. 如图1，是的直径，是的一条弦，于H，连接． （1）求证：； （2）如图2，连接，延长至点F，使得，求证：为的切线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，等边对等角，切线的判定，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由垂径定理得到，则，再由圆周角定理可得到，据此可证明结论； （2）连接，由垂径定理得到，则可证明，根据等边对等角得到，则；证明，则可证明，据此可证明结论． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， ∵是的直径，是的一条弦，， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 证明：如图所示，连接， ∵是的直径，是的一条弦，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 23. 如图，已知点是函数图象上一点，连接延长至点，使，过点作轴交函数图象于点，连接，点的横坐标为4． （1）请写出：点坐标为______，点坐标为______，点的坐标为______； （2）观察函数图象，请直接写出当时，的取值范围； （3）连接，求面积． 【答案】（1）；； （2） （3）面积为3 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，关键是利用函数解析式求点的坐标，结合坐标特征分析图形面积． （1）先代入点的横坐标求出其纵坐标；再由，用中点坐标公式求点的坐标；最后根据轴，结合反比例函数解析式求点的坐标； （2）根据反比例函数单调性，当时，函数值随增大而减小，结合时的函数值，确定的取值范围； （3）取的中点，确定是的中位线，从而得到轴；将拆分为与，分别计算两个三角形的面积后求和． 【小问1详解】 解：∵点在函数的图象上，且横坐标为，代入得， ∴点的坐标为． ∵， ∴点是线段的中点， 设点的坐标为，由中点坐标公式得，， 解得，， ∴点的坐标为． ∵轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，为，代入得，解得， ∴点的坐标为； 故答案为：；；． 【小问2详解】 解：对于函数，当时，随的增大而减小，且时，且， ∴； 【小问3详解】 解：如图，取中点，连接D． ∴是的中位线， ∴．， ∵轴， ∴轴. 对于，到的垂直距离为，对于，到的垂直距离为， ∴，， ∴． 24. 中国瓷器是世界最早且最精美的陶瓷品类之一，亦是中华传统文化的重要标志．某数学兴趣小组以“玩转数学”活动为契机，开展跨学科项目式学习，特制定以下探究方案． 【设计方案求倾斜状态下杯里水面的宽度及最大深度】 问题情境 图1是一个竖直放置在水平桌面上的瓷杯，图2是其截面图，瓷杯高度，杯口宽，，杯体近似看成抛物线状（杯体厚度不计），当杯中盛满水时的最大深度． 任务一 如图2，以杯底的中点F为原点O，以所在直线为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．求杯体的抛物线解析式． 任务二 如图3，把瓷杯绕点B缓缓倾斜，倒出杯中的部分水，当水面CH与杯口的夹角为45°时停止倾斜（水面CH与y轴相交于点S，与杯体相交于点H）． ①求此时杯里水面的宽度CH； ②求此时杯里水的最大深度． 【答案】任务一： 任务二：①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了用待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，求直线与抛物线的交点问题和平行线间的距离处处相等，解题的关键在于将实际数据变为直角坐标系中的数据，再利用函数的性质解题． 任务一：根据条件写出、的坐标，再利用待定系数法求解即可； 任务二：①通过等腰三角形的性质可求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，通过直线和抛物线的解析式求得交点的坐标，最后利用勾股定理求两点间距离即可求解； ②将直线向下平移得到直线，当直线与抛物线只有一个交点时，两平行线间的距离即为杯里水的最大深度，设直线与轴交于点，过点作于，联立直线与抛物线的解析式，根据直线与抛物线只有一个交点求出，可得直线的解析式，进而求出点的坐标，的长，再求出即可得结论． 【详解】解：任务一：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得， ∴杯体的抛物线解析式为． 任务二：①∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 联立方程组， 解得，， ∴， ∴， ∴杯里水面的宽度为． ②将直线：向下平移得到直线：，当直线与抛物线只有一个交点时，两平行线间的距离即为杯里水的最大深度，设直线与轴交于点，过点作于， 联立， 得：， ∵只有一个交点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴杯里水的最大深度为． 25. 如图，正方形的边长为，是正方形内一动点，连接，． （1）如图1，连接，若，， ①的度数为______； ②如图2，射线与的平分线相交于，求的长； （2）如图3，为上一点，，连接，，．若，求面积的最小值． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①先求出，从而证是等边三角形，即可得到 ，再根据三角形内角和定理和等边对等角求出，最后根据求解即可； ②先证明，连接，设，则，，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解； （2）将绕点顺时针旋转得到，得出，，根据得出是直角三角形，则，进而可得，从而得出在以为圆心为半径的上运动，过点作于点，则在上时，取得最小值，面积取得最小值，再勾股定理求得的长，根据三角形面积公式，即可求解． 【小问1详解】 解：①四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ； ②∵ ∴ ∵，是的平分线 ∴垂直平分 ∴ ∴ 如图，连接， 在中， ∵是等边三角形， ∴ 设，则， 在中， ∴ 解得：（负值舍去） ∴ 方法二，如图，过点作于点， 同理可得， ∵是等边三角形， ∴ ∴， ∴ 【小问2详解】 解：如图，将绕点顺时针旋转得到 ∴，， ∴， ∵ ∴ ∴是直角三角形， ∴ ∴ 如图，以斜边作等腰直角，则，以为圆心为半径作圆， ∴ ∴ ∴，即在以为圆心为半径的上运动， 过点作于点，则在上时，取得最小值，面积取得最小值 如图，过点作的平行线，分别交的延长线于点，连接， ∴ ∴是等腰直角三角形 ∵正方形的边长为，， ∴, 在中，， ∵，则， ∴， ∴ ∴， 同理可得 ∴ 设，则 在中， ∴ 解得： ∴ ∴面积的最小值为 ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，正方形的性质，勾股定理及其逆定理的应用，圆外一点到圆上的距离的最值问题，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $