安徽淮北市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

数学（沪科版）九年级卷四 参考答案及评分标雅 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）》 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A 0 D C B D B 10.解析：如图，，'∠MAC=∠MCD,AC⊥BD, ∴.∠MCD+∠MCA=90°，∠MAC+∠MCA=90°， .∠AMC-90° 即点M在以AC为直径的圆上 当B,O,M三点共线时，BM取最大值. D AC=6, 第10题图 0C=3 在Rt△OBC中， ,OC-3,BC=4, ∴.OB=VOC2+BC2=5, ∴.BM-BO+OME=5+3=8,故选B. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.1+5 12.2元 13.3.6cm 14.(1)-6 解析：(1)由题意，得 -1-m-n=0, -9+3m-n=0, 解得m=2, n=-3. ∴.作-6. (2)设直线PN与直线h交于点Q', ,点M与点N关于对称轴h对称， ∴.当点Q运动到点Q'时，连接MQ',此时△PMQ'的周长最小 设直线PN的表达式为yk+b, 由题意，得3+b=0, b=3, 解得-1 b=3, ∴.直线PN的表达式为=-x+3. ,抛物线的表达式为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴.此抛物线的对称轴为h=1, ∴.点0'的坐标为(1,2)， 第14题图 ∴.PVOP2+OW2=V32+32=3V2, M0'=√22+22=2W2 当△P0的周长最小时，器的最小值为兴--号 QM2W2-21 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.证明：，AB·AD=AC·AE, 1 .4B=AC ...3分 AE AD '∠BAD=∠CAE, ∴.∠BADH∠DAC=∠CAE+∠DAC, ..6分 即∠BAC=∠EAD, ∴.△ABC∽△AED. .8分 16.证明：假设点D与点E重合. ,AD是△ABC的中线，AE LBC, ∴，AD垂直平分BC ∴AB=AC,这与AC>AB相矛盾， 点D与点E不重合 ……………8分 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.解：根据题意，画出如图所示的侧面展开图. 第17题图 根据侧面展开图，PQ的长即为蚂蚁爬行的最短路径 ,PA=2×(4+2)=12(cm),QA=5cm, .PQ2=PA2+QA2=132, ∴.PQ=13cm. 18.解：(1)如图 -8-7-6-5-4-3-2-1Q12.3.4567x -2 第18题图 ………….4分 (2)由图可知， 0B=V82+22=V68,0A=V62+42=V52, 线段AB扫过的面积为SB0g-S据A04=90πx68_90πX52=4r. 360 360 .8分 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.解：(1)tanD=cD AC=x=1。=2-5 2x+V3x2+V5 ∴.tan15°=2-√5 …5分 2 (2)延长CB到点D,使BD=BA. :∠ABC=45°，AB=DB, ∴∠D=∠DAB=22.5°. 令AC=x,则BC=x,AB=√2x, .BD=AB=√2x, .CD=CB+DB=x+√2x 在Rt△4CD中，tamD=AC=√2-L, CD 即tan22.5°=√2-1. ……10分 20.解：(1)如图，连接OA,OD.C是AB的中点，CD LAB AD=DB=号AB=号×8=4m,CD所在的直线经过圆心0 2 在Rt△ADO中， .OA2=AD2+OD2,OA=OC=5m, .0D2=0A2-AD2=52-42=9, 第20题图2 OD=3m(舍去负数)， ∴.CD=0C-OD=5-3=2m. 答：拱高CD(AB的中点C到水面的距离)是2m ..5分 (2)如图，设OC与EF相交于点G,连接OE. ,C是AB的中点，CDLAB, MD=DB=号AB=号×8=4mCD所在的直线经过圆心0 2 在Rt△EGO中， .OF2=EG2+OG2,OE=OC=5 m,OG=OC-CG=5-3=2 (m), ∴.EG2=0E2-0G2-52-22=21, ,EG=√21m(舍去负数)， .EFP-2EG=2√21m. 答：水面的宽度EF是2√21m …………10分 六、（本题满分12分） 21解：(1)：把点M1,6)代入y=,得k1×6=6, ·y=6 x 把点N(-3,m代入y=,得m=6=-2, -3 .点N的坐标为(-3，-2). 3 把点M(1,6)和点N(-3,-2)代入y=ax-b,得 a-b=6, a=2, -3a-b=-2 解得b=4 y=2x+4, ∴.k=6,b=-4,n=-2. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分 (2)令y=0,则0=2x+4, 解得x=-2 .点C的坐标为(-2,0)， +0Cy+CO -×2x6+ 1×2×2=8. .12分 七、（本题满分12分） 22.解：(1)AD是⊙O的切线， ∴.∠DAC+∠CAB=90 ,AB是⊙O的直径， .∠C=90°， ∴∠CAB+∠B=90°， .∠DAC=∠B. …….4分 (2)如图，过点A作直径AB',连接CB' ,AD是⊙O的切线， ∴.∠DAC+∠CAB'=90°. AB'是⊙O的直径， .∠ACB'=90°， ∴.∠CAB'+∠B'=90°， 第22题图2 ∠DAC=∠B'. ∠B=∠B', ∴.∠DAC=∠B …………………8分 (3)'∠DAC=∠B,∠ADC=∠BDA, .△ADBn△CDA, AD DB CD DA :AD=2W3,DB=6, .CD=2, ∴.BC=DB-CD=4. ...12分 八、（本题满分14分） 23.解：(1).BP⊥PQ,CQ⊥PQ, .∠BPA=∠AOC=90°， .∠ABP+∠BAP=90° ,∠BAC=90°， ∴.∠BAP+∠CAQ=90°， 4 .∠ABP=∠CAO, .△APB∽△CQA ……………………………4分 (2)①BP=BO, ∴∠P-∠Q ∠PBQ=90°， ∴.∠P∠0=45°. ,∠P+∠PBA+∠PAB=180°，∠PAB+∠BAC+∠OAC=180°， 又.∠BAC=45°， ∴.∠PBA=∠QAC, ∴.△BPA∽△AQC .9分 ②由①，得△BPA∽△AQC, 器尝装 在Rt△POB中， .'BP=BO,PO=10 cm, ar-0-g--55(am) 设CO=xcm,则BC=5√2-xcm, .△ABC是等腰三角形，且∠ACB=∠Q+∠CAQ>∠BAC .只有两种情形 第一种：当AB=AC时， 船影山 ..AO-PB=5v2 cm,CO-PA=PO-A0-10-5v2 cm. 第二种：当BC=AC时，则∠BAC=∠ABC=∠P=∠Q=45°. .∠ACB=90°， .AB=AQ,AC⊥BQ, .C为BQ的中点， ice-8o- 2 …….14分 5数学（沪科版）九年级卷四 试题卷 注意事项： 1.满分150分，时间为120分钟. 2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页，请务必在“答题卷” 上答题，在“试题卷”上答题无效， 3.范围：第21~25章 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.葫芦在我国古代常被看作吉祥物.如图所示的是一个工艺葫芦的示意图，下列关于它的三视图的说 韵 法，正确的是 ( A.主视图与左视图相同 B.主视图与俯视图相同 C.左视图与俯视图相同 D.主视图、左视图与俯视图都相同 D 正面 01234x 第1题图 第4题图 第7题图 2.将抛物线y=-5x2先向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式 为 ) A.y=-(5x-3)2+3 B.y=-5(x-3)2+3 C.y=-5(x+3)2+3 D.y=-5(x+3)2-3 3.房间窗户的边框形状是矩形，在阳光的照射下边框在房间的地面上形成了投影，则投影的形状可能 是 A.平行四边形 B.椭圆 C.三角形 D.圆 4.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点分别为O(0,0),A(4,3),B(3,0).以点O为位似中心，在第 三象限内将△OAB按相似比；缩小，得到△OCD,则点C的坐标为 ( A（) B.(传 c.( D.1 5.已知点P(a+1,2a-3)关于原点的对称点在第二象限，则a的取值范围是 Aa B.as C.a<-1 D.-1<a<3 6.已知正六边形ABCDEF的面积为6√3，则正六边形的边长为 A.1 B.√5 C.2 D.4 7如图，点B是y轴正半轴上一点，过点B作x轴的平行线交反比例函数y=2和y=三于C,A两点， 则△CAO的面积是 A.3 B.1.5 C.6 D.7 数学（沪科版）九年级卷四试题卷第1页（共4页） 8.某购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡AD与水平方向 的夹角为a(0°<a<90°)，地下停车场层高CD=3m,则在停车场的入口处，可通过汽车的最大高度 是 A.3m B.、3 m C.3sina m D.3cos a m cosa 一楼C入人gA 2 E 13 B 地下停车场 D D 第8题图 第9题图 第10题图 9.如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线1,3，l4,2上，直线h1∥12∥13且相邻两直线间距离相等.若 AB=6,BC=4,则12,3之间的距离为 A.5 B号 c号 D跨 10.如图，AC⊥BD,垂足为点C,AC=6,BC=4,点M是平面内的一个动点，且满足∠MAC=∠MCD,则线 段BM的最大值为 ( A.10 B.8 C.2V13 D.4V13 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.计算√2sin45°+tan60°的值为 12.在半径为6的圆中，60°的圆心角所对的弧长是 13.中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因.图1是小孔成像示意图，其对 应的数学模型如图2所示.已知AC与BD交于点O,AB∥CD,点O到AB的距离为10cm,点O到 CD的距离为15cm,蜡烛火焰AB的高度是2.4cm,则蜡烛火焰倒立的像CD的高度是 D 10cm 15 cm M 第13题图1 第13题图2 第14题图 14.如图，已知二次函数y=-x2+mx-n的图象与x轴交于点M(-1,0),N(3,0),与y轴交于点P(0,3),点 Q是对称轴上一动点. (1)mn= 2)当△PMg的周长最小时，则PW "OM 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.如图，在△ABC和△AED中，AB·AD=AC·AE,∠BAD=∠CAE.求证：△ABC∽△AED. D 第15题图 数学（沪科版）九年级卷四试题卷第2页（共4页） 16.如图，在△ABC中，AC>AB,AD是△ABC的中线，AE⊥BC于点E,用反证法证明点D与点E不【合. B E D 第16题图 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm,高为5cm.若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行 一圈到达点Q,则蚂蚁爬行的最短路径长为多少？ 2 cm 4 cm 第17题图 18.如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，△ABO的顶点坐标分别为A(-4,6), B(-8,2),0(0,0) V (1)求作将△AB0绕点O按顺时针方向旋转90°后得到 的△A'B'O. 6 (2)求(1)中线段AB扫过的面积. 3 1t 3310-234567x -t--t-1-1-1-J 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 第18题图 19.阅读材料，并解决下列问题. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用.例如，在计算ta肌15°时，可构造如图1 所示的图形.在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=30°，设AC=x(x>0),延长CB至点D,使BD=AB, 连接AD,易知∠D=l5°，CD=BD+BC=AB+BC=2x+√3x,所以tan15°=tanD. (1)请根据上面的步骤，完成tan15°的计算 (2)请用这种方法计算图2中tan22.5°的值. 30° 15 45入 22.5 B B D 第19题图1 第19题图2 20.如图1所示的是一座中国古代石拱桥，其示意图如图2所示，主桥拱是圆弧形，已测得水面AB的宽 度为8m,主桥拱所在圆的半径是5m. (1)求图2中拱高CD(AB的中点C到水面的距离) (2)某天水位下降到EF的位置，此时拱高为3m,求水面 的宽度EF. 第20题图1 第20题图2 数学（沪科版）九年级卷四试题卷第3页（共4页） 六、（本题满分12分） 21.已知一次函数y=ax-b(a≠0，b≠0)的图象与反比例函数y=《(k≠0)的图象相交于点M(1,6), N(-3,n),与x轴交于点C,连接OM,ON. (1)求k,b,n的值. (2)求△OMN的面积. 第21题图 七、（本题满分12分） 22.综合实践。 【观察】定义：如图1，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AD是⊙O的切线，则∠DAC叫作弦切角， (1)【探究】根据上述条件，求证：∠DAC=∠B. (2)【猜想】如图2，在⊙O中，试猜想：(1)中的结论是否成立，若成立，请证明：若不成立，请说明 理由 学 (3)【应用】试用(2)中的结论解决下面的问题：如图3，在⊙O中，AB,AC是⊙O的弦，且AD=2V3, DB=6,求BC的长. 焙 a D 第22题图1 第22题图2 第22题图3 八、（本题满分14分） 烟 23.【温故知新】如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,PQ过点A,BP⊥PQ,CQ⊥PQ,垂足分别为 点P,Q,易证△APB2△CQA.(不必证明) 【初步感知】(1)如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，PQ过点A,BP⊥PQ,CQ⊥PQ,垂足分别为P,Q, 咳 求证：△APB∽△CQA, 【探究应用1(2)如图3，在△PBQ中，∠PBQ=90°，BP=BQ,点A为PQ上一动点（点A不与点P,Q重 合)，∠BAC=45°，AC交BQ于点C. ①求证：△BPA∽△AQC ②若PQ=10cm,△ABC为等腰三角形，则CQ的长为多少？ ph 第23题图1 第23题图2 第23题图3 数学（沪科版）九年级卷四试题卷第4页（共4页）