精品解析：广东省揭阳市惠来县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025—2026学年度第一学期期末质量监测 九年级数学 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 如图，夜晚四个身高相同的小朋友站在路灯下，（ ）的影子最长． A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 2. 如图，这是反比例函数在第一象限内的图像．若的面积是2，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，若点A坐标为，则对应点的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 5. 一元二次方程的一个根是3，则另一个根是（　　） A. 2 B. 3 C. D. 6 6. 袋中有50个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在，则估计袋中红球的个数为（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 7. 如图，是菱形的对角线，点在上，过点作交边于点，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（　　） A. ﹣3＜x＜2 B. x＜﹣3或x＞2 C. ﹣3＜x＜0或x＞2 D. 0＜x＜2 10. 如图，若要测量小河两岸相对的两点A，B的距离，可以在小河边取的垂线上的一点C，测得米，，则小河宽为多少米？（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 反比例函数的图象在第二，四象限，那么实数m的取值范围是______． 12. 由若干个完全相同的小正方体组成一个几何体，从它的左面和上面看到的形状图如图所示，则小正方体的个数最少是________个． 13. 下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约是__________（精确到） ． 投篮次数 投中次数 投中频率 14. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为____________． 15. 如图，在▱中，点在边上，，连接交于点，若的面积为24，则的面积为___________ 三．解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 16. （1）解方程：． （2）计算：； 17. 如图，小树在路灯的照射下形成投影． （1）此光源下形成的投影属于______；（填“平行投影”或“中心投影”） （2）已知树高为，树影为，树与路灯的水平距离为．求路灯的高度． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的图形； （2）以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出缩小后的图形． （3）填空：直接写出点的坐标_____；与的周长比是_____；与的面积比是_____． 四．解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 综合应用．某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现当做功一定时，功率P（单位：W）与做功的时间t（单位：s）存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据： t（单位：s） 10 20 30 40 50 P（单位：W） 120 60 40 30 24 （1）请求出功率与做功的时间之间的函数关系式． （2）在平面直角坐标系中，描出上表中以各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象 （3）结合图象，当功率小于时，直接写出做功时间t的取值范围． 20. 某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元． （1）若销售单价为每件60元，则每天的销售量为______件，销售利润为______元； （2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，每件工艺品售价应为多少元？ （3）公司每天销售这种工艺品获利能否达到2000元？请说明理由． 21. 如图，在中，是边上一点，是边的中点，连接并延长至点，使得，连接，，，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求点到边的距离． 五，解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 【项目学习】配方法是数学中一种常见的解题方法，利用配方法可求一元二次方程的根，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，其实这种方法还经常被用到代数式的变形中并结合非负数的意义解决某些问题． 例1：把代数式进行配方． 解：原式 ． 例2：求代数式的最大值． 解：原式 ． ， ． ． 代数式的最大值为． 【问题解决】 （1）若，，满足，求的值． （2）若的三边长，，均为整数，，，满足，求的周长． 【迁移应用】 （3）如图，有一块锐角三角形余料，它的边厘米，高厘米．现要用它裁出一个矩形工件，使矩形的一边在上，其余的两个顶点分别在、上． ①设，试用含的代数式表示矩形工件的面积； ②运用“配方法”求的最大值． 23. 如图，直线：与双曲线：在第二象限内交于，两点（点在点右侧），已知，． （1）求的值； （2）请直接写出时自变量的取值范围； （3）点是线段上的一个动点，过点作轴于点，交双曲线于点，是轴上一点，当的面积最大时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末质量监测 九年级数学 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 如图，夜晚四个身高相同的小朋友站在路灯下，（ ）的影子最长． A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心投影的性质，根据相同高度的物体，距离灯光越远，则影子越长解答即可． 【详解】解：由图可知，四个身高相同的小朋友站在路灯下，丁离路灯最远，则丁的影子最长， 故选：D． 2. 如图，这是反比例函数在第一象限内的图像．若的面积是2，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，根据的面积是2，即可解答，掌握反比例函数系数的几何意义是正确解答的关键． 【详解】解：的面积, ， 点是反比例函数在第一象限内的图像上的点． 故， 故选：C． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：一元二次方程， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 4. 以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，若点A坐标为，则对应点的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查位似图形与坐标的关系，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于k或． 位似变换中，以原点O为位似中心，放大倍数为2时，对应点坐标可能同向或反向，因此有两种情况，据此求解即可． 【详解】解：∵ 位似中心O为原点，位似比为2， ∴ 点的对应点坐标满足：或 ， ∴ 坐标为或， 故选A． 5. 一元二次方程的一个根是3，则另一个根是（　　） A. 2 B. 3 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键．设方程的另一个根为m，由根与系数的关系即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为m， 则有， 解得：， 故选：A． 6. 袋中有50个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在，则估计袋中红球的个数为（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，据此得到从中摸出一个红球的概率为，再用球的总数乘以摸出红球的概率即可得到答案． 【详解】解：∵通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在， ∴从中摸出一个红球的概率为， ∴估计袋中红球的个数为， 故选：C． 7. 如图，是菱形的对角线，点在上，过点作交边于点，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，平行线的性质，根据菱形的性质得，由可得． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 8. 如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：在和中， ， ∴当时，；故选项 A 不符合题意； 当时，；故选项 B 不符合题意； 当时，；故选项 C 不符合题意； 当时，无法得到；故选项 D 符合题意； 故选：D． 9. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（　　） A. ﹣3＜x＜2 B. x＜﹣3或x＞2 C. ﹣3＜x＜0或x＞2 D. 0＜x＜2 【答案】C 【解析】 【分析】一次函数y1=kx+b落在与反比例函数y2= 图象上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求． 【详解】∵一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2= （c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点， ∴不等式y1＞y2的解集是﹣3＜x＜0或x＞2， 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键． 10. 如图，若要测量小河两岸相对的两点A，B的距离，可以在小河边取的垂线上的一点C，测得米，，则小河宽为多少米？（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 答：小河宽为米． 故选D． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用．熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 反比例函数的图象在第二，四象限，那么实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象和性质．根据反比例函数所在的象限，判定，然后通过解不等式即可求得的取值范围． 【详解】解：反比例函数的图象在第二、四象限内 ， 解得，； 故答案为：． 12. 由若干个完全相同的小正方体组成一个几何体，从它的左面和上面看到的形状图如图所示，则小正方体的个数最少是________个． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据从它的左面和上面看到的形状图进行空间想象，即可作答． 【详解】解：由从该几何体的左面和上面看到的形状图可得第一层有4个小正方体，第二层最少有1个小正方体， 那么搭成这个几何体的小正方体最少为 个． 故答案为：5 13. 下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约是__________（精确到） ． 投篮次数 投中次数 投中频率 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了利用频率估计概率的知识，掌握了以上知识是解答本题的关键； 本题根据频率估计概率的方法结合表格数据即可得答案； 【详解】解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数附近， ∴这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为， 故答案为：； 14. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为____________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，整式的化简求值，利用 m 是方程的根，得到 ，再根据多项式乘以多项式的运算法则把所求式子展开为，据此求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：3． 15. 如图，在▱中，点在边上，，连接交于点，若的面积为24，则的面积为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，四边形是平行四边形，，得，，则，可证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三．解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 16. （1）解方程：． （2）计算：； 【答案】，； ． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法、特殊角三角函数值的混合运算． 利用求根公式法解一元二次方程即可； 根据特殊角的三角形函数值，可得：原式，再根据实数的运算法则计算即可． 【详解】解：， 其中，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程的解为，； ． 17. 如图，小树在路灯的照射下形成投影． （1）此光源下形成的投影属于______；（填“平行投影”或“中心投影”） （2）已知树高为，树影为，树与路灯的水平距离为．求路灯的高度． 【答案】（1）中心投影； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了中心投影，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由中心投影的定义确定答案即可； （2）先判断相似三角形，再利用相似三角形的性质求解． 【小问1详解】 此光源属于点光源， 此光源下形成的投影属于中心投影， 故答案为：中心投影； 【小问2详解】 ，， ， ， ， 即：， 解得：， 路灯的高度为5米． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的图形； （2）以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出缩小后的图形． （3）填空：直接写出点的坐标_____；与的周长比是_____；与的面积比是_____． 【答案】（1） 解：即为所求； （2） 解：如图，即为所求； （3），， 【解析】 【分析】（1）分别作出点关于轴对称的，再顺次连接即可； （2）将的横纵坐标都除以得到点的坐标，再描点连接即可； （3）根据坐标系直接得到点的坐标，再根据位似图形的周长之比等于位似比，面积之比等于位似比的平方即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图可得， ∵与是关于原点位似，位似比为， ∴与的周长比是；与的面积比是， 故答案为：，，． 四．解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 综合应用．某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现当做功一定时，功率P（单位：W）与做功的时间t（单位：s）存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据： t（单位：s） 10 20 30 40 50 P（单位：W） 120 60 40 30 24 （1）请求出功率与做功的时间之间的函数关系式． （2）在平面直角坐标系中，描出上表中以各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象 （3）结合图象，当功率小于时，直接写出做功时间t的取值范围． 【答案】（1） （2） 如图所示，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握用待定系数法求解反比例函数关系式的方法和步骤，反比例函数的图象为双曲线，以及反比例函数的增减性． （1）设功率与做功的时间之间的函数关系式为，把代入，求出k的值，即可得出函数关系式； （2）根据表格中的数据描点，再用平滑的曲线连接起来即可； （3）先求出时t的值，再结合图象，即可求出t的取值范围． 【小问1详解】 解：设功率与做功的时间之间的函数关系式为， 把代入得：， 解得：， ∴功率与做功的时间之间的函数关系式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：把代入得： ， 解得：， 由图可知，当时，． 即做功时间t的取值范围为． 20. 某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元． （1）若销售单价为每件60元，则每天的销售量为______件，销售利润为______元； （2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，每件工艺品售价应为多少元？ （3）公司每天销售这种工艺品获利能否达到2000元？请说明理由． 【答案】（1）80；1600 （2）每件工艺品售价应为55元 （3）利润不能到2000元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据“销售单价每提高1元，每天就减少售出2件”可求出销售量，再根据“利润=每件的利润×每天的销售量”计算即可得解； （2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是件，根据每天的销售利润=每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． （3）同（2），利润=每件的利润×每天的销售量，判断该方程是否有解，且小于65，若存在，则能，否则则不能． 【小问1详解】 解：依题意得：销售量为：（件）， 销售利润为：（元）， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是件， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：每件工艺品售价应为55元． 【小问3详解】 解：设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是件， 依题意得：， 整理得：， ， ∴无解， 答：利润不能到2000元． 21. 如图，在中，是边上一点，是边的中点，连接并延长至点，使得，连接，，，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求点到边的距离． 【答案】（1） 证明：∵是边的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴四边形是矩形； （2）点到边的距离为 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，得，进而证明，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）过作于点，由矩形的性质得，再由直角三角形的性质得，则，进而由勾股定理求出，然后由三角形面积求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴， 由（1）知，四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即点到边的距离为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定、含角的直角三角形的性质、三角形面积以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 五，解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 【项目学习】配方法是数学中一种常见的解题方法，利用配方法可求一元二次方程的根，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，其实这种方法还经常被用到代数式的变形中并结合非负数的意义解决某些问题． 例1：把代数式进行配方． 解：原式 ． 例2：求代数式的最大值． 解：原式 ． ， ． ． 代数式的最大值为． 【问题解决】 （1）若，，满足，求的值． （2）若的三边长，，均为整数，，，满足，求的周长． 【迁移应用】 （3）如图，有一块锐角三角形余料，它的边厘米，高厘米．现要用它裁出一个矩形工件，使矩形的一边在上，其余的两个顶点分别在、上． ①设，试用含的代数式表示矩形工件的面积； ②运用“配方法”求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②最大面积为平方厘米 【解析】 【分析】（1）将所给式子配方求出，的值，即可求解； （2）将所给式子通过配方得到，利用非负数的性质求出、，即可求解； （3）①设的长度是厘米，的长度是厘米，根据矩形的性质可证明，根据相似三角形的性质求出与之间的函数关系式为，最后根据矩形的面积公式求解即可；②将配方，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1） ， ，， ； （2）， ， ， ，， ，， ， ， 即的周长为； （3）①设的长度是厘米，的长度是厘米， 四边形为矩形， ， ， ， ， 与之间的函数关系式为， 矩形面积； ② ， 故当的长度是厘米时，矩形零件的面积最大，最大面积为平方厘米． 【点睛】本题考查了配方法的应用，二次函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，非负数的性质，掌握相关知识是解题的关键． 23. 如图，直线：与双曲线：在第二象限内交于，两点（点在点右侧），已知，． （1）求的值； （2）请直接写出时自变量的取值范围； （3）点是线段上的一个动点，过点作轴于点，交双曲线于点，是轴上一点，当的面积最大时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，反比例函数与一次函数的交点问题，求函数解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法求一次函数解析式，得出，再将代入，得，即可作答； （2）依据直线与双曲线的上下位置关系，即可得到不等式的解集； （3）先求出双曲线的解析式为；设，，则，，根据求的面积列式得，结合二次函数的图象性质，，即可作答． 【小问1详解】 解：将，代入， 得， 整理得， 解得，(不合题意，舍去)， ∴ ∴，，， ∴直线的解析式为， 将代入， 得； 【小问2详解】 解：由（1）知，即，且相交于，两点， 根据函数图象，由不等式与函数图像的关系可得： 双曲线在直线上方的部分对应的范围是：或， 时自变量的取值范围：或； 【小问3详解】 解：由（1）可知， ∴双曲线的解析式为， 依题意，设，， ∵过点作轴于点， 则，， ∴，， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值． ∴点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $