精品解析：湖南省湘西州2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试卷

湖南省湘西州2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试卷 注意：本卷包括26道大题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（每小题只有1个正确选项，每小题3分，共30分） 1. 2025年12月27日，湖南省足球联赛（简称“湘超”）在长沙贺龙体育场落下帷幕，14个市州队徽设计充分体现了各地地方特色与足球元素的融合，见证了湖南足球的荣耀与风采．下列四个地市队徽中的足球元素，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列成语中，表示必然事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 守株待兔 C. 水涨船高 D. 刻舟求剑 3. 已知的半径为3，点P在内，则的长可能是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 4. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. B. C. 5，2，1 D. 5. 点（－2，3）关于原点对称的点的坐标是 A. (2,3) B. (－2,－3) C. (2,－3) D. (－3,2) 6. 如图，是的弦，半径于点D，若，则半径的长是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是一个标准的五角星，若将它绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，则至少应将它旋转的度数是　　 A. B. C. D. 9. 据统计，湖南省2025年第一季度人均可支配收入10860元，第三季度达到28248元，若第一季度至第三季度间人均可支配收入的增长率都为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象与轴正半轴交于点，对称轴为直线，以下结论：①；②；③；④若点均在函数图象上，则；⑤对于任意实数，都有．其中结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 抛物线的顶点坐标是______． 12. 如图，A、B、C、D是上的四点，若，则的度数为____________． 13. 已知一个圆锥底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为________． 14. 数学小组对如图所示的二维码开展数学实验，已知二维码区域的大正方形边长为2，通过计算机随机掷点的大量重复实验，发现掷点落在黑色区域的频率稳定在0.75左右，由此可估计黑色部分的面积约为__________． 15. 若关于的方程满足，称此方程为“三新”方程．已知方程是“三新”方程，则代数式____________． 16. 如图，把绕点A顺时针方向旋转到的位置，使点C在线段上，连接，则的度数为____________． 17. 2025年下半年，吉首市把一块块城市闲置空地，变身绿意盎然的“口袋公园”，得到广大市民的一致好评．为确保绿地的质量，工作人员需要用喷灌喷水进行养护．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离是____________米． 18. 如图，正方形的边长为的半径为3，若在正方形内平移（可以与正方形的边相切），则点A到上的点的距离的最大值为____________． 三、解答题（本大题共8道小题，满分66分） 19. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 20. 已知关于的方程． （1）若方程总有两个实数根，求的取值范围； （2）若与是该方程的两个实数根，且满足，求的值． 21. 湘西州是全国宜居和旅游城市，旅游资源相当丰富．春节期间，小华和爸爸妈妈准备前往湘西旅游．小华一家计划先坐高铁到吉首，再考虑从以下四个地点中选择两个前往：凤凰古城、花垣十八洞村、芙蓉镇景区、永顺老司城景区．由于时间紧和意见难以统一，小华爸爸在外观相同的4个小球表面写上“A”，“B”，“C”，“D”，分别代表凤凰古城、花垣十八洞村、芙蓉镇景区、永顺老司城景区，并将小球装入不透明袋子里面，让小华从中随机抽取小球，来用以决定前往旅游的地点． （1）判断：小华一家前往凤凰古城旅游与前往花垣十八洞村旅游的概率__________（填“相等”或“不相等”）； （2）小华很想去花垣十八洞村，但是妈妈想去凤凰古城．于是爸爸说：小华可以随机摸出两个小球，第一次摸出第一个小球后不放回袋子里，再摸第二次，摸出第二个小球，如果摸出的两个小球中，至少有一个小球表面写的有字母“B”，那么就去花垣十八洞村．请你求出小华一家去花垣十八洞村旅游的概率． 22. 在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出绕点逆时针旋转后得到，写出点的坐标； （2）在（1）的条件下，求点A旋转到点，所扫过的面积． 23. 春节临近，“喜洋洋”饰品店试销一款定制对联，每副对联的进价为18元．试销一段时间后发现，若每副对联售价定为38元，每天可销售60副；若每副对联的售价每降价2元，每天的销售量就增加12副． （1）若该饰品店销售这款对联想要每天获利1200元，并且尽可能让利于顾客，那么每副对联的售价应为多少元？ （2）通过计算说明，每副对联的售价为多少元时，每天销售这种对联获利最大，最大利润是多少元？ 24. 如图，在等腰直角中，是边上任意一点（不与B、C重合），将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接和． （1）求的度数； （2）若，求的长． 25. 【问题背景】 如图①，的直径，，是的两条切线，切点分别为点A、点B，直线与相切于点E，并与、分别交于点D、C两点． 【问题探究】 （1）如果设，，小明和小华同学在探究过程中，发现线段与线段的乘积为一个定值，他们在探究过程中采取了两种不同的思路方法，请你按照这两位同学的思路方法完成他们探究所得出的结论． ①小明同学的思路是：如图②，过点D作于点F，请完成解答过程． ②小华同学的思路是：如图③，连接、、，也顺利的完成了探究，请补全图形，并完成解答过程． 【问题解决】 （2）请结合图形解决下列问题：如图③，若的面积是，求此时线段的长度； （3）在（1）的条件下，令，，，，请比较a、b的大小，并说明理由． 26. 【阅读材料】如图①，过的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条线，外侧两条直线之间的距离叫的“水平宽”，中间的这条直线在内部线段的长度叫的“铅垂高”．我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半． 【解决问题】 如图②，已知抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式； （2）若点P为第二象限拋物线上一动点，其横坐标为的面积为，求关于的函数关系式，并求出的最大值； （3）若点P是抛物线上与A、B、C不重合的一点，过P作轴于点M，交直线于点N，当时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省湘西州2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试卷 注意：本卷包括26道大题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（每小题只有1个正确选项，每小题3分，共30分） 1. 2025年12月27日，湖南省足球联赛（简称“湘超”）在长沙贺龙体育场落下帷幕，14个市州队徽设计充分体现了各地地方特色与足球元素的融合，见证了湖南足球的荣耀与风采．下列四个地市队徽中的足球元素，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的定义逐项分析即可得出结果，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 2. 下列成语中，表示必然事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 守株待兔 C. 水涨船高 D. 刻舟求剑 【答案】C 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】A．水中捞月，是不可能事件，故本选项不符合题意； B．守株待兔，是随机事件，故本选项不符合题意； C．水涨船高是，是必然事件，故本选项符合题意； D．刻舟求剑，是不可能事件，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 已知的半径为3，点P在内，则的长可能是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点在圆内时，点到圆心的距离与半径的大小关系是解题关键． 【详解】解：∵的半径为3，点P在内， ∴， ∵选项中只有， ∴的长可能是2， 故选：D． 4. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. B. C. 5，2，1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的基本概念，明确一元二次方程的“二次项系数、一次项系数、常数项”的定义是解题关键． 一元二次方程的一般形式为，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 【详解】解：方程，二次项系数为5，一次项系数为，常数项为． 故选：D 5. 点（－2，3）关于原点对称的点的坐标是 A. (2,3) B. (－2,－3) C. (2,－3) D. (－3,2) 【答案】C 【解析】 【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即：求关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数． 【详解】解：∵点（-2，3）关于原点对称， ∴点（-2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，-3）． 故选：C． 6. 如图，是的弦，半径于点D，若，则半径的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键；连接，由题意易得，然后根据勾股定理可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴； 故选C． 7. 如图，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理． 根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半作答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 8. 如图是一个标准的五角星，若将它绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，则至少应将它旋转的度数是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由于是正五角星，设O的是五角星的中心，那么∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠AOE，所以要使正五角星旋转后与自身重合，那么它们就是旋转角，而它们的和为360°，由此即可求出绕中心顺时针旋转的角度． 【详解】 如图，设O的是五角星的中心， ∵五角星是正五角星， ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠AOE， ∵它们都是旋转角，而它们的和为360°， ∴至少将它绕中心顺时针旋转360÷5=72°，才能使正五角星旋转后与自身重合． 故答案为B． 【点睛】此题主要考查了旋转对称图形的性质，解答此题的关键是找到对应点：A和B重合，B和C重合…，进而判断出将它绕中心顺时针旋转的最小角度． 9. 据统计，湖南省2025年第一季度人均可支配收入10860元，第三季度达到28248元，若第一季度至第三季度间人均可支配收入的增长率都为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据题意列一元二次方程． 从第一季度到第三季度经历两次增长，设增长率为x，则经过两次增长后，收入为，等于28248． 【详解】解：∵从第一季度到第三季度有两次增长，且增长率为x， ∴第三季度收入第一季度收入， 即． 故选：A． 10. 如图，二次函数的图象与轴正半轴交于点，对称轴为直线，以下结论：①；②；③；④若点均在函数图象上，则；⑤对于任意实数，都有．其中结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，包括系数符号的判断、函数值的计算与比较、不等式的证明等知识点，解题的关键是根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点等信息，确定的符号及它们之间的关系，并灵活运用二次函数的对称性和最值性质，根据抛物线开口向上，判断．根据对称轴，判断，结论①正确，是当时的函数值．利用抛物线的对称性，和，关于对称轴对称，所以时的函数值与时的函数值相等，②错误；将代入中，结合，得，③错误；根据二次函数的性质，点到对称轴的距离越远，函数值越大（因为开口向上），即可判断④正确；将等价转化为恒成立，即可判断⑤正确． 【详解】解：由图象开口向上得，对称轴得， 与轴交点在负半轴得，故，①正确； 当时，，由对称性，关于的对称点为， 此时，故，②错误； 将代入中，结合，得，③错误； 点距对称轴最远，在顶点，距对称轴较近，故，④正确； 由，知等价于恒成立，⑤正确， 故①④⑤正确，共3个， 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 12. 如图，A、B、C、D是上的四点，若，则的度数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的对角互补计算即可得出结果，熟练掌握圆内接四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵A、B、C、D是上的四点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 已知一个圆锥底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为________． 【答案】##144度 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的有关计算和弧长公式，根据底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长以及弧长公式求解即可，正确理解圆锥的母线长是圆锥侧面展开图的扇形半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解决本题的关键． 【详解】设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为，根据题意，得 ， ， 圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为， 故答案为：． 14. 数学小组对如图所示的二维码开展数学实验，已知二维码区域的大正方形边长为2，通过计算机随机掷点的大量重复实验，发现掷点落在黑色区域的频率稳定在0.75左右，由此可估计黑色部分的面积约为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了频率估计概率的实际应用，掌握用频率的集中趋势来估计概率是解题的关键．先求出点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.75左右，再用这个结果乘以大正方形的面积即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 若关于的方程满足，称此方程为“三新”方程．已知方程是“三新”方程，则代数式____________． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握整体代入的方法是解题的关键． 根据“三新”方程的定义，可得，从而得到，，，再通过整体代入求值即可． 【详解】解：∵方程是“三新”方程， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：2026 16. 如图，把绕点A顺时针方向旋转到的位置，使点C在线段上，连接，则的度数为____________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】该题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据旋转可得，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：根据旋转可得， 则， 故答案为：． 17. 2025年下半年，吉首市把一块块城市闲置空地，变身绿意盎然的“口袋公园”，得到广大市民的一致好评．为确保绿地的质量，工作人员需要用喷灌喷水进行养护．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离是____________米． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键． 根据顶点式求得抛物线解析式，进而求得与轴的交点坐标即可求解． 【详解】解：∵喷水头的高度（即的长度）是1米，当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度米， 设抛物线解析式为， 将点代入，得： 解得， ∴抛物线解析式为：， 令，则， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ． 故答案为：20． 18. 如图，正方形的边长为的半径为3，若在正方形内平移（可以与正方形的边相切），则点A到上的点的距离的最大值为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，正方形的性质，直线和圆的位置关系，勾股定理，连接，利用切线的性质得到是解题的关键． 由题意画出符合题意的图形，当与，相切时，点到上的点的距离取得最大值，利用勾股定理即可求得结论． 【详解】解：由题意，当与，相切时，点到上的点的距离取得最大值，如图， 由对称性可知：圆心在上． ∵正方形的边长为12， ∴在中，． 与相切于点， ． 四边形是正方形， ． ∴为等腰直角三角形． ． ． ， ∴点A到上的点的距离的最大值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8道小题，满分66分） 19. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可得出结果； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 20. 已知关于的方程． （1）若方程总有两个实数根，求的取值范围； （2）若与是该方程的两个实数根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据方程有实数根得到，进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到关于m的方程，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵方程有两个实数根， ∴， 即， 解得； 【小问2详解】 解：∵与是该方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴ 解方程 得． 21. 湘西州是全国宜居和旅游城市，旅游资源相当丰富．春节期间，小华和爸爸妈妈准备前往湘西旅游．小华一家计划先坐高铁到吉首，再考虑从以下四个地点中选择两个前往：凤凰古城、花垣十八洞村、芙蓉镇景区、永顺老司城景区．由于时间紧和意见难以统一，小华爸爸在外观相同的4个小球表面写上“A”，“B”，“C”，“D”，分别代表凤凰古城、花垣十八洞村、芙蓉镇景区、永顺老司城景区，并将小球装入不透明袋子里面，让小华从中随机抽取小球，来用以决定前往旅游的地点． （1）判断：小华一家前往凤凰古城旅游与前往花垣十八洞村旅游的概率__________（填“相等”或“不相等”）； （2）小华很想去花垣十八洞村，但是妈妈想去凤凰古城．于是爸爸说：小华可以随机摸出两个小球，第一次摸出第一个小球后不放回袋子里，再摸第二次，摸出第二个小球，如果摸出的两个小球中，至少有一个小球表面写的有字母“B”，那么就去花垣十八洞村．请你求出小华一家去花垣十八洞村旅游的概率． 【答案】（1）相等 （2） 【解析】 【分析】本题考查概率定义，列表法或树状图法求概率． （1）根据题意利用等可能性可得答案； （2）先根据题意画出树状图可得共有12种等可能的结果，其中至少有一个小球表面写的有字母B的结果有6种，即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：小华一家前往凤凰古城旅游与前往花垣十八洞村旅游的概率相等； 故答案为：相等 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中至少有一个小球表面写的有字母B的结果有6种， ∴一家去花垣十八洞村旅游的概率为：． 22. 在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出绕点逆时针旋转后得到，写出点的坐标； （2）在（1）的条件下，求点A旋转到点，所扫过的面积． 【答案】（1） 如图：即为所作， ， 坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图—旋转变换，写出平面直角坐标系中点的坐标，勾股定理，求扇形面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据旋转的性质作出，再写出点的坐标即可； （2）根据扇形面积公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：由图可得：坐标为； 【小问2详解】 解：由题意可得：点A旋转扫过的面积为扇形面积， 半径，圆心角为， ∴面积． 23. 春节临近，“喜洋洋”饰品店试销一款定制对联，每副对联的进价为18元．试销一段时间后发现，若每副对联售价定为38元，每天可销售60副；若每副对联的售价每降价2元，每天的销售量就增加12副． （1）若该饰品店销售这款对联想要每天获利1200元，并且尽可能让利于顾客，那么每副对联的售价应为多少元？ （2）通过计算说明，每副对联的售价为多少元时，每天销售这种对联获利最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）每副对联的售价应为28元 （2）每副对联售价为33元时，每天获利最大，最大利润为1350元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用． （1）设每副对联降价元，根据题意列方程求解，进而根据“让利于顾客”计算即可； （2）求出总利润的函数解析式，进而根据二次函数的性质作答即可． 【小问1详解】 解：设每副对联降价元， 根据题意，得：， 解得：， ∵让利于顾客， ∴当时，售价元， ∴此时每副对联的售价应为28元； 【小问2详解】 解：设每天总利润为元， 根据题意，得： ， ，抛物线开口向下， ∴当时，取得最大值1350元， 此时售价：元． 答：每副对联售价为33元时，每天获利最大，最大利润为1350元． 24. 如图，在等腰直角中，是边上任意一点（不与B、C重合），将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接和． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据是等腰直角三角形，，得出，由旋转性质得，证明，得出，即可求出． （2）在等腰直角中，，勾股定理求出，结合，得出，由（1）知，则，在中，再根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵是等腰直角三角形，， ， 由旋转性质得， ， ， 在与中， ， ， 则， ． 【小问2详解】 解：在等腰直角中，， ， ， ， 由（1）知， ， 又， ∴在中， ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 25. 【问题背景】 如图①，的直径，，是的两条切线，切点分别为点A、点B，直线与相切于点E，并与、分别交于点D、C两点． 【问题探究】 （1）如果设，，小明和小华同学在探究过程中，发现线段与线段的乘积为一个定值，他们在探究过程中采取了两种不同的思路方法，请你按照这两位同学的思路方法完成他们探究所得出的结论． ①小明同学的思路是：如图②，过点D作于点F，请完成解答过程． ②小华同学的思路是：如图③，连接、、，也顺利的完成了探究，请补全图形，并完成解答过程． 【问题解决】 （2）请结合图形解决下列问题：如图③，若的面积是，求此时线段的长度； （3）在（1）的条件下，令，，，，请比较a、b的大小，并说明理由． 【答案】（1）①∵，、是的切线，是的切线， ，，，， 于F，则四边形是矩形， ，，． 又， 在中，由勾股定理：， ， 展开得：， 化简得：， ，即为定值； ②连接、、， 由①知，则， ， 由切线长定理知平分，平分， ，， 则， 是直角三角形， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，，由勾股定理得：， 代入得：， 整理得， 化简得：， ； （2）的长度为或； （3），理由如下： 由（1）知，， 把代入中，得， 又， ． 【解析】 【分析】（1）①由切线长定理可得，，，，证明四边形是矩形，由矩形的性质得出，，．，再由勾股定理计算即可得出结果；②连接、、，由①知，则，证明，再结合勾股定理计算即可得出结果； （2）由，，，得，从而可得，再结合，计算即可得出结果； （3）由（1）知，，把代入中，得，再结合，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2），，， ， ， 又， 联立， 解得或， ∴此时，的长度为或． （3）略 【点睛】本题考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理、角平分线的定义等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 26. 【阅读材料】如图①，过的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条线，外侧两条直线之间的距离叫的“水平宽”，中间的这条直线在内部线段的长度叫的“铅垂高”．我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半． 【解决问题】 如图②，已知抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式； （2）若点P为第二象限拋物线上一动点，其横坐标为的面积为，求关于的函数关系式，并求出的最大值； （3）若点P是抛物线上与A、B、C不重合的一点，过P作轴于点M，交直线于点N，当时，求点P的坐标． 【答案】（1）抛物线解析式为，直线AC解析式为 （2）S关于m的函数关系式为，S的最大值为 （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与面积的综合问题，以及等腰三角形的判定等知识点． （1）由待定系数法求解函数解析式； （2）由题意得，点P横坐标为，则，过点作轴于点M，交直线于点N，则，则的水平宽，铅垂高为，那么的面积，再由二次函数的性质求解最值即可； （3）设点P的横坐标为t，则，，则，过C作于D，则，故是等腰直角三角形，则，然后根据建立方程求解． 【小问1详解】 解：将代入抛物线，得方程组： 解得， 故抛物线解析式为． 当， 则抛物线与y轴交点C的坐标为， 而直线经过点， 设直线的解析式为， 代入得：， 解得 故直线解析式为； 【小问2详解】 解：由题意得，点P横坐标为，则． 过点作轴于点M，交直线于点N，则， 的水平宽， 铅垂高为 的面积 ， ∵， ∴当时，S取得最大值． 综上，S关于m的函数关系式为，S的最大值为． 【小问3详解】 解：设点P的横坐标为t，则，． ∴ 过C作于D，则， 故是等腰直角三角形， 则 由，得． ∵点P与C不重合，故 ∴ 解得或 ∴或． 综上，点P的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $