2026年中考一轮复习讲义 专题22矩形(核心考点+模拟真题突破)

专题22矩形中考一轮复习讲义 ●分值占比：矩形是中考四边形板块的核心考点，总分值约 10-15 分，覆盖选择、填空、解答（含几何综合题）三种题型，常与三角形、圆等知识结合命题。 ●常考考点：聚焦矩形的定义与性质（角、边、对角线、对称性）、矩形的三种判定方法（定义法、角判定法、对角线判定法）、矩形与直角三角形斜边中线定理的关联、矩形折叠 / 旋转等图形变换问题、矩形与坐标系结合的计算、矩形面积与周长的综合计算六大方向。 ●命题趋势：基础题侧重矩形性质与判定的直接应用，中档题强化矩形与全等 / 相似三角形的逻辑推理，难题多为矩形与图形变换、函数、圆的多模块综合，且实际场景类、动态探究类题型占比逐年提升。 模拟01.矩形性质基础应用题 模拟02.矩形与函数综合题 模拟03.矩形与面积.周长计算 模拟04.矩形判定定理应用题 模拟05.矩形与全等.相似三角形综合题 模拟06.矩形与折叠.旋转综合题 模拟07.矩形与圆.扇形综合题 模拟08.矩形实际应用与几何建模题 【知识点01:矩形的定义】 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（长方形）。 ▶ 核心：矩形是特殊的平行四边形，具备平行四边形所有性质。 【知识点02: 矩形的性质（边 + 角 + 对角线 + 对称性）】 1.通用性质（继承平行四边形） 对边平行且相等； 对角线互相平分； 邻角互补，内角和 360°。 2.特有性质（核心考点） 角：四个角都是直角（∠A=∠B=∠C=∠D=90°）； 对角线：对角线相等（AC=BD）； ✔ 推论：直角三角形斜边中线等于斜边的一半（矩形对角线分矩形为 4 个等腰三角形，取其一直角三角形可得）。 3.对称性 矩形是轴对称图形（2 条对称轴，过对边中点的直线）；也是中心对称图形（对称中心为对角线交点）。 【知识点03:矩形的判定（3种核心方法，紧扣定义/性质逆推）】 1.定义法（基础） 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2.角判定法 三个角是直角的四边形是矩形。 3.对角线判定法（高频） 对角线相等且互相平分的四边形是矩形； ▶ 推论：对角线相等的平行四边形是矩形（平行四边形 + 对角线相等→矩形，中考常考）。 ✔ 判定关键：先证平行四边形，再补 1 个矩形特有条件（直角 / 对角线相等）；或直接证四边形满足矩形专属条件。 【知识点04:矩形的相关计算(中考必考点)】 1.边长 / 周长计算 结合勾股定理（对角线分矩形为两个全等的直角三角形）： 若矩形长为 a，宽为 b，对角线为 c，则 a2+b2=c2； 周长：C=2(a+b)， 面积：S=ab（平行四边形面积公式通用）。 2.对角线相关计算 对角线相等且互相平分，故对角线交点到各顶点距离相等； 结合直角三角形斜边中线定理，快速求线段长度（如已知矩形对角线长，求直角三角形斜边中线）。 3.折叠问题（重难点） 矩形折叠后，对应边相等、对应角相等，折叠前后图形全等； 解题关键：找折叠后的直角三角形，用勾股定理列方程求解边长。 【知识点05:常考易错点】 1.混淆 “平行四边形判定” 和 “矩形判定”：对角线相等的四边形不一定是矩形，必须先证平行四边形； 2.忽略矩形的轴对称性：对称轴是过对边中点的直线，不是对角线； 3.直角三角形斜边中线定理的逆用：若三角形一边中线等于这边一半，则该三角形是直角三角形（常用来证直角）。 【模拟01.矩形性质基础应用题】 1．（2025·辽宁大连·二模）下列关于矩形叙述正确的是（    ） A．对角线相等且互相垂直 B．对角线互相垂直的平行四边形 C．对角线相等且互相平分的四边形 D．矩形的对角线平分一组对角 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形对角线的性质． 根据矩形的性质，逐一分析每个选项是否正确． 【详解】A．矩形的对角线相等，但互相垂直仅当矩形为正方形时成立，故A错误； B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，而非矩形，故B错误； C．对角线互相平分的四边形是平行四边形，若对角线相等，则此平行四边形为矩形，故C正确； D．矩形的对角线平分一组对角仅当其为正方形时成立，普通矩形不满足，故D错误． 故选：C． 2．（2025·广西·一模）如图所示，在矩形中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质证明，根据作图痕迹可得是的平分线，进而利用角平分线的性质即可解决问题． 本题考查了作图-基本作图、矩形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由作图痕迹可知：是的平分线， ∴． 故选：A． 3．（2025·河北沧州·模拟预测）将图1的七巧板拼成火箭图案，并把图案放到图2的矩形中．在矩形中，（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，七巧板，设图1中正方形边长为，再表示出七巧板中各个图形的边长，然后在图2中找到对应的长度求出矩形的边长，最后根据正方形和矩形面积公式计算即可． 【详解】解：如图， 设图1中正方形边长为，则七巧板中最小直角三角形三边长分别为，，；最大直角三角形三边长分别为，，；平行四边形的边长为，，小正方形的边长为， ∴图2的矩形中，，， ∴，，， ∴， 故选：D． 4．（2025·湖北十堰·模拟预测）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成矩形．若，则矩形的面积是（  ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、矩形的性质等知识点，把三角形的面积化为矩形的面积是解题的关键． 先证明、，把三角形的面积化为矩形的面积进而求解即可． 【详解】解：∵D是的中点，四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴的面积=矩形的面积． 故选：A． 5．（2025·山东东营·三模）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点D作交的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定和性质，先判断是平行四边形，然后根据矩形和平行四边形的性质逐项判断解答即可． 【详解】解：∵是矩形， ∴，，， 又∵， ∴是平行四边形， ∴，， 故B、C、D选项不符合题意， 故选：A． 6．（2025·山西·一模）墙面上贴有规格相同的矩形瓷砖．如图，矩形瓷砖与矩形瓷砖之间用三角形瓷砖与三角形瓷砖拼接，点，，与点，，分别在同一直线上．小雅发现与全等，她的依据是（   ） A．SAS B．ASA C．HL D．SSS 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据矩形的性质得到，，即可由证明全等． 【详解】解：∵矩形瓷砖与矩形瓷砖，且规格相同， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7．（2025·浙江衢州·二模）如图，矩形内有一点，且满足，若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 根据矩形得到，由等边对等角以及三角形内角和定理表示，然后得到，，再表示，最后由可求解． 【详解】解：有四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【模拟02.矩形与函数综合题】 8．（2025·贵州遵义·一模）如图，矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，O为坐标原点，已知，，直线经过点，当该直线平分矩形的面积时，直线的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先连接，且相交于一点G，再结合，，求出，因为直线平分矩形的面积，则经过点，把，代入，进行计算，得，即可作答． 【详解】解：连接，且相交于一点G，则点是的中点，如图所示： ∵矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，O为坐标原点，且，， ∴， ∴， ∵直线平分矩形的面积， ∴经过点， ∵直线经过点， ∴把，代入， 得， 解得， ∴， 故选：B． 9．（2025·浙江金华·二模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴交轴于点，轴交轴于点，连结．若矩形的周长为8，对角线的长为，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查反比例函数性质、矩形周长公式及勾股定理的综合运用，解题关键是通过设点坐标，利用矩形周长和勾股定理建立等式求出反比例函数中的值． 设，由反比例函数性质得．根据矩形周长公式得出的值，两边平方得到的值．利用勾股定理得出的值，代入上式求出，进而得到的值． 【详解】设A点坐标为（，）， ∵点A在反比例函数图象上， ∴． ∵矩形周长为， 即，，， 则，化简得． 将两边同时平方得 ， 即． ∵对角线长为， 在中， 根据勾股定理， 即． 把代入中得 ． 解得． ∵， ∴． 故答案为：3． 10．（2025·广东江门·二模）如图，在矩形中，，，E是矩形内部的一个动点，且，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆周角定理、圆的基本性质及矩形的性质、勾股定理，根据可知点E在以为直径的半上，再进一步求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴点E在以为直径的半上， 连接交于点， ∴当点E位于点位置时，线段取得最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， 则. 故选：B． 11．（2025·安徽·三模）如图，分别以，为边作矩形，，点是边的中点，反比例函数的图像分别交边和与两点，此时点满足，作轴，轴，已知阴影部分面积为2，则的值是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、矩形的性质，解题的关键是利用矩形的性质和中点的定义，设出合适的坐标，结合反比例函数图像上点的坐标特征以及阴影部分面积．首先，由矩形的性质可知相关边的平行与相等关系，点是边的中点可得出点坐标的相关关系．然后，根据反比例函数系数k的几何意义四边形得面积．最后，根据阴影部分面积为2建立方程，即可求解． 【详解】如图： ， ， 四边形，是矩形，轴，轴， 则四边形是矩形， ，， 又是边的中点， ∵反比例函数的图像分别交边与P， 四边形得面积， 解得： 故答案为：12． 12．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，矩形的顶点，分别在轴、轴上，点，，是矩形对角线的交点，双曲线在如图所示的位置上．请写出一个符合要求的双曲线的表达式： ． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的性质、平面直角坐标系中点的坐标、求反比例函数的解析式． 根据矩形的性质和点，的坐标，可以求出点的坐标，分别求出双曲线过点和点时的表达式，可得的取值范围，在取值范围内取一个值写出一个双曲线的表达式即可． 【详解】解：点，， ，， 点是矩形对角线的交点， 点的坐标是，点的坐标是， 如果双曲线经过点， 则有， 解得：， 如果双曲线经过点， 则有， 解得：， 如图所示的双曲线的的取值范围是， 当时，双曲线析表达式是． 故答案为： (答案不唯一)． 13．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，已知，分别是反比例函数与，且轴，点的坐标为，分别过点，作轴于点，轴于点．若四边形的面积为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，矩形的判定，延长交轴于点，求出，然后证明四边形，四边形，四边形是矩形，又点在反比例函数图象上，则，再通过，即，求出的值并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交轴于点， ∵点的坐标为在反比例函数上， ∴， ∵轴，点的坐标为，分别过点，作轴于点，轴于点， ∴轴， ∴， ∴四边形，四边形，四边形是矩形， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， ∴，解得：， ∵， ∴， 故选：． 14．（2025·陕西咸阳·二模）如图，点分别在函数 的图象上，且轴，过点作轴的垂线，垂足分别为点．点在线段上，若的面积为，则 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，平行轴的直线上的点的坐标特征，三角形面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 设，由轴，得到，求出，由轴推出，得到，求出， 即可得到答案． 【详解】解：点分别在函数 的图象上， 设， 轴， ， ， 轴， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【模拟03.矩形与面积.周长计算】 15．（2026·江西·模拟预测）新考法数形 结合如图，在一个矩形公园中划分出两个矩形草地（阴影部分），若为定值，两阴影部分的面积和为S，周长和为C，则下列关于S和C的说法正确的是（    ） A．S和C均为定值 B．只有S为定值 C．只有C为定值 D．S和C均不为定值 【答案】C 【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，解题的关键是理解题意． 根据题意，列出代数式逐个进行分析即可． 【详解】解：由题意可知，矩形公园的长、宽为定值， 如图，设矩形公园的长和宽分别为b，a，利用线段平移可知，两阴影部分的周长和，则C为定值， 设图中两阴影部分的面积分别为，长分别为m，n，则.将向下平移个单位长度后，两阴影部分的面积和． ∴只有当时，S为定值， 故选：C． 16．（2025·吉林通化·模拟预测）如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么x满足的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据矩形场地的长、宽及道路的宽度，可得出停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合阴影部分的总面积是，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵矩形场地的长为长，宽，且所修建停车位的两侧是宽的道路，中间是宽的道路， ∴停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形． 根据题意，得， 故答案为： 17．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，是矩形的对角线，点为边上的点，连接、，交于点，若，，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形的面积公式. 由矩形的性质得，，，则，，所以，即可求得. 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 18．（2025·安徽淮北·一模）如图，矩形对角线的交点为，点在轴的正半轴上，平分，的面积为．若双曲线经过点，交于点，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】过点作轴，过点作轴，得，根据，得，根据点，在反比例函数上，则，根据线段之间的等量关系，得到，根据矩形的性质，平行线的判定，得，得到，再根据，，即可求出． 【详解】过点作轴，过点作轴， ∴， ∵， ∴， ∵点，在反比例函数上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：．    【点睛】本题考查反比例函数和几何的综合，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质，矩形的性质，的几何意义．， 19．（2025·浙江宁波·二模）小镇和小海玩掷飞镖的游戏，他们设计了如图所示的矩形靶子，点E，F分别是边，上的点，，小镇投掷的1次飞镖落在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查矩形的判定和性质，概率计算公式，从图中找到题目中所要求的信息．用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比． 将图形分为矩形和矩形两部分，可得三角形是矩形面积的一半，三角形是矩形面积的一半，从而可得飞镖落在阴影部分的概率． 【详解】解：∵分别是矩形的两边上的点，， ∴， ∴四边形和四边形是矩形， ∴， ∴， ∴飞镖落在阴影部分的概率是， 故选：C． 20．（2025·陕西西安·一模）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从矩形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两矩形面积相等（如图①，）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，如图②，M是矩形的对角线上的点，且，过点M作分别交于点E、F，连接，若，，则图中阴影部分的面积和为 ． 【答案】24 【分析】此题主要考查矩形与三角形，熟练掌握矩形的判定和性质定理，材料中的推论，平行线分线段成比例，三角形面积公式，为解答本题的关键． 根据矩形的性质及材料，三角形面积公式即可解答． 【详解】解：如图，过点M作，交于G，交于H， ∵矩形中， ∴四边形、四边形都是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：24． 21．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在矩形中，，．点P从点A出发，沿边向点B以1个单位长度/秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边向点C以2个单位长度/秒的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)当时，求的面积； (2)当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ (3)是否存在某一时刻t，使的面积等于矩形面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8 (2)的面积最大，且为 (3)不存在，理由见详解 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的其他应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由矩形的性质得，结合时间和速度，得出，运用三角形面积公式进行列式计算，即可作答． （2）先由矩形的性质得，结合时间和速度，得出，运用三角形面积公式进行列式得，根据二次函数的性质进行分析，即可作答． （3）先由矩形的性质得，且结合题意得，运用三角形面积公式进行列式得，即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， 依题意，当时，则， ∴， ∴的面积； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 依题意， ， ∴， ∵当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ∴， 即， ∴； ∵， ∴函数的开口向下，在时，有最大值， 即把代入，得， ∴当t为秒时，的面积最大？最大面积是； （3）解：不存在，理由如下： 在矩形中，，． ∴，矩形的面积， ∵的面积等于矩形面积的， ∴， 由（）得， ∴， 则， ∴， 此时无法找到一个t使得成立， 即不存在某一时刻t，使的面积等于矩形面积的． 【模拟04.矩形判定定理应用题】 22．（2025·福建三明·一模）木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（   ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量对角线是否互相垂直 C．测量是否有三个角是直角 D．测量对角线是否相等 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得解，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴现要判断这个四边形是否为矩形，可以测量是否有三个角是直角， 故选：C． 23．（025·黑龙江齐齐哈尔·二模）有下列四个条件：①，②，③，④．从中选取两个作为补充条件，使为正方形（如图）．现在文文选择了②③，你认为文文选择的 （填“对”或“不对”） 【答案】不对 【分析】根据文文的选择结合矩形的判定和正方形的判定只能证明四边形是矩形，无法证明为正方形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， 再根据现有条件无法证明为正方形， ∴文文选择的不对， 故答案为：不对． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，正方形的判定，熟知矩形的判定和正方形的判定定理是解题的关键． 24．（2025·河北邢台·三模）如图1是多媒体上展示的一道数学题，淇淇的部分作图过程如图2所示，接下来淇淇以点C为圆心，长为半径作弧交射线于点D，连接，则四边形即为所求．对于淇淇得到的四边形，下列说法正确的是（   ） A．四边形一定是平行四边形 B．当时，四边形一定是矩形 C．四边形一定不是平行四边形 D．当时，四边形是平行四边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、矩形的判定、尺规作图、角平分线的性质、等腰三角形的性质．核心素养表现为推理能力和空间观念．先证明，，进而得出，按作图要求得出四边形可能是平行四边形，得出结论． 【详解】解：平分． ， ， ， ， ．以点为圆心，长为半径作弧交射线于点，点会有两个位置，右侧的点可以使四边形为平行四边形，左侧的点使四边形为梯形， 四边形可能是平行四边形． 当时，点仅会有一个位置，故四边形一定是矩形， 故选B． 25．（2025·河南周口·三模）如图所示，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，要使四边形为矩形，则可添加下列条件中的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的判定；根据矩形的判定条件进行解答即可． 【详解】解：添加条件为：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． 故选：A． 26．（2025·云南曲靖·二模）如图，已知在四边形中，对角线，交于点O，且，要使四边形是矩形，可添加一个条件是 ． 【答案】不唯一 【分析】根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形，添加条件即可．本题考查了矩形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】∵，， ∴四边形是矩形， 故答案为：． 27．（2025·湖南常德·模拟预测）如图，在中，、是上的两点，，连接、、、．请你添加一个条件 ，使得四边形是矩形．    【答案】（答案不唯一） 【分析】由平行四边形的性质可知，，，再证，则四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论． 【详解】解：添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是，理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ， ， 即， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 28．（2025·湖南·模拟预测）下列说法正确的是（   ） A．若直角三角形的两边长分别为6，8，则该直角三角形的斜边长为10 B．若菱形的一个内角为，且其中一条对角线长为3，则该菱形的边长为3 C．若经过菱形的顶点A，B，C，则该菱形的一个内角为 D．若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、矩形的判定等知识．根据菱形的性质、勾股定理、矩形的判定分别进行判断即可． 【详解】A． 若直角三角形的两边长分别为6，8，则该直角三角形的斜边长为或，故该选项错误； B． 若菱形的一个内角为，若较短的一条对角线长为3，则该菱形的边长为3，故该选项错误； C． 若☉O经过菱形的顶点A，B，C，则都是等边三角形，所以该菱形的一个内角为，故该选项正确； D．对角线相等的四边形不一定是矩形，也可能是等腰梯形，故该选项错误； 故选：C． 【模拟05.矩形与全等.相似三角形综合题】 29．（2025·黑龙江牡丹江·二模）如图，在矩形中，点E在上，，请添加一个条件 ，使．(只填写一个即可) 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要查了矩形的性质，全等三角形的判定．根据矩形的性质可得，从而得到，即可解答． 【详解】解：添加， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：（答案不唯一） 30．（2025·广东清远·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在双曲线和上，点在轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、勾股定理，连接交于点D，先根据矩形的性质得点D是、的中点，，设，则，再得，，然后根据勾股定理得，即，解方程即可得解． 【详解】解：如图，连接交于点D， ∵四边形为矩形， ∴点D是、的中点，， 设，则， ∴， ∴， ∴，，， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 故答案为：． 31．（2025·重庆铜梁·一模）如图，在正方形中，点P是对角线上一点，，垂足分别为E，F，连接．若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形，矩形的性质及应用，解题的关键是掌握正方形的对称性和矩形的判定定理和性质定理，连接交于O，可知，根据四边形是正方形，，，可得四边形是矩形，故，从而，即得，故． 【详解】解∶连接交于O．如图∶ 正方形的对称性可知，， 四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ． ． ． 故选∶A． 32．（2025·河南南阳·三模）如图，某数学兴趣小组测量南阳解放纪念碑高度的方案如下（图中所有点均在同一平面内）：他们在距点B水平距离处立一高度为的标杆，后退在点F处望见E、C、A三点共线，，则高度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，过点E作于点N，交于点M，则四边形和四边形均为矩形，得，，，即得，进而由得，代入计算求出即可求解，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，过点E作于点N，交于点M， ， 则，， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 即的高度约为 故选：B． 33．（2025·云南曲靖·一模）如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，角平分线的性质，熟练掌握这些判定和性质是解此题的关键． （1）由在平行四边形中，得到由可得根据矩形的判定即可求证． （2）根据平行线的性质和角平分线的性质可得由勾股定理可求出即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． （2）解：∵平分 ∴矩形的面积是： 34.．（2025·江苏无锡·二模）如图，在菱形中，对角线，，动点、分别从点、同时出发，均以的速度沿、向终点、匀速运动；同时，动点、也分别从点、出发，均以的速度沿、向终点、匀速运动，顺次连接、、、．设运动的时间为，若四边形是矩形，则的值为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查平行四边形的性质及动点问题，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 首先证四边形是平行四边形，则当时，四边形是矩形，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，，，， ， 动点、分别从点、同时出发，均以的速度沿、向终点、匀速运动；同时，动点、也分别从点、出发，均以的速度沿、向终点、匀速运动， ，， 在和中， ， ， ， 同理可证：， 四边形是平行四边形， 如图，连接，，过点作于，于， 当时，四边形是矩形， 即当时，四边形是矩形， ， ， ， ， 同理可求：，，， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 35．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，在中，点在边上，和分别是和的角平分线，以为对角线向外作四边形，使，． (1)求证：四边形是矩形； (2)已知，，求四边形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）因为四边形是平行四边形，得，，结合平行线的性质以及，，整理得，，所以，，根据角平分线的定义，则，即可通过有一个直角的平行四边形是矩形，得证四边形是矩形； （2）结合平行四边形的性质以及角的运算整理得，所以，再根据勾股定理列式计算得，运用四边形是矩形进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，， ，，， ，， ，， ，， 四边形是平行四边形， 和分别是和的角平分线， ，， ， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是平行四边形， ，， ，， ，， ， ， ， ， 由（1）得四边形是矩形； ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，30度角的直角三角形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【模拟06.矩形与折叠.旋转综合题】 36．（2025·广东东莞·三模）如图，在矩形OABC中，，，将矩形OABC绕点C逆时针旋转至矩形DEFC，若DE经过点B，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质以及旋转的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 通过矩形的边长关系以及旋转后线段的位置关系，利用三角函数来求解角度． 【详解】解：，．矩形绕点逆时针旋转至矩形， ，． 在中，，， 根据余弦函数的定义， 将，代入可得 ． 是锐角，且， ． ，， ，即 ． 故选：B． 37．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在矩形中，，，点是的中点，点是直线上一点，将沿所在的直线翻折，点落在对称点处，当时，的长为 ． 【答案】或 【分析】当在的上方时，连接，则过的中点，交于点，由矩形的性质及勾股定理得，，，又由折叠的性质得，，再在中，利用勾股定理构造方程即可求解，当在的下方时，连接，则过的中点，射线交于点，同理可得的长． 【详解】解：如下图，当在的上方时，连接，则过的中点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 由折叠可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴即， 解得， 如下图，当在的下方时，连接，则过的中点，射线交于点， 同理可得：，，，， ，， ∴即， 解得， 综上，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一，折叠的性质，熟练掌握矩形的性质及勾股定理是解题的关键． 38．（2025·山东聊城·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到，再由矩形的性质可得，由旋转的性质可得，，据此可得答案． 【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形， ∴，， ∴轴， ∴点的坐标为， 故选：C． 39．（2025·河南南阳·模拟预测）如图，矩形中，边、分别在轴和轴上，把矩形沿折叠，点落在点处，则点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的折叠，勾股定理，解直角三角形，坐标与图形，熟练掌握折叠的性质，勾股定理，正切的定义是解题的关键．过点作轴于点，交的延长线于点，则四边形是矩形，根据点的坐标得出，进而根据得出，即可得出的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，交的延长线于点，则四边形是矩形， ∵四边形是矩形， ∴ ∵点的坐标为， ∴，则， ∴ ∵矩形沿折叠，点落在点处， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴，即 ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ 故答案为：． 40．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在矩形中，，，点E为上一个动点，把沿直线折叠，当点D的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，则的长为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠和矩形的性质，垂直平分线的性质和勾股定理，解决此题的关键是正确的计算；先根据折叠的性质可知，根据勾股定理和垂直平分线的性质即可解决问题； 【详解】解：如图，作垂直平分，分别交于点，交于点，则点在直线上， ∴，， 在矩形中，， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可知：，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即， 解得：， ∴； 故选：A． 41．（2025·山东泰安·一模）如图，在矩形中，，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查翻折变换性质和矩形性质，三角形面积公式，勾股定理．根据题意连接，根据三角形面积公式求出，得到，根据直角三角形判定得到，再根据勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：连接交于点， ∵四边形是矩形 ∴ ∵，点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，使点B落在矩形内点F处， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， 故选：D． 42．（2025·广东·模拟预测）如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，已知，且，则折痕长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，正切函数；能熟练，勾股定理，正切函数进行求解是解题的关键．结合矩形的性质和折叠的性质，由正切函数得，由勾股定理得，，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：，， 四边形为矩形， ，，， ， ， 由勾股定理得， ， ， 设，则， 在中， ， ， 解得：， ， 在中，（）； 故答案为：． 【模拟07.矩形与圆.扇形综合题】 43．（2025·湖北荆州·二模）如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．在如下定理中：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②对角线相等的平行四边形是矩形，③矩形的四个角都是直角，④三个角都是直角的四边形是矩形，这种检测方法用到的数学根据是（    ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】C 【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判定书架是矩形，由矩形的性质可得结论． 【详解】解：用绳子分别测量两条对角线，如果相等，则是矩形，依据是对角线相等的平行四边形为矩形，然后由矩形的四个角都是直角可得侧边和上、下底都垂直， 故选C． 【点睛】本题主要考查对矩形的性质和判定的理解和掌握，能熟练地运用矩形的判定定理解决实际问题是解此题的关键． 44．（2025·吉林延边·模拟预测）如图，在矩形中，，，以点为圆心，线段为半径的弧交于点，则阴影部分的扇形面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求扇形面积，矩形的性质，解直角三角形的相关计算，由题意可得出，由矩形的性质得出，，由正弦的定义得出，进而可得出，再根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意可知：， ∵四边形是矩形， ∴， 在中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 45．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形为矩形，点在边上，，半径为2的与四边形的各边都相切，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可先转化阴影部分的面积，如图，圆心连接切点，得，要求出梯形面积关键是求出，的长，设， ，半径为2，则可得，，利用勾股定理求出，则各边长度即可求出，问题就迎刃而解了． 【详解】解：如图，点分别连接切点M，N，F， 设，则， 的半径为2，且与四边形的各边都相切， ，， ∴， 在中，， ， ， ，， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了多边形的内切圆、矩形的性质、勾股定理以及图形的面积，求不规则图形的面积问题，关键把它转化为规则图形的面积和差问题． 46．（2025·广东·模拟预测）如图，矩形中，，．以为直径的半圆O与相切于点E，连接，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，扇形面积公式等知识点． 连接交于点，根据切线的性质可得，可得到四边形和四边形为矩形，再证得，可得，从而得到阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：连接交于点，如图， 以为直径的半圆与相切于点， ， ， 四边形为矩形， ，， 四边形和四边形为矩形， ，， 在和中， ， ， ， 阴影部分的面积． 故选：C． 47．（2025·江西·模拟预测）已知矩形，，以为直径作，点为上一点． (1)如图1，连接，交于点，若，． ①求证：是的切线； ②求的长； (2)如图2，若点是上的动点，将四边形沿折叠，点恰好落在处，点的对应点为点，交于点．若，求的长． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】本题主要运用矩形的性质、全等三角形的判定与性质、切线的判定、勾股定理以及弧长公式等知识求解，灵活运用这些性质定理是解题关键． （1）①通过证明三角形全等得到直角来判定切线；对于②，利用全等三角形性质和勾股定理求线段长度； （2）根据折叠性质求出角度，进而确定三角形形状，再用弧长公式求弧长． 【详解】（1）①证明：如解图①，连接， 四边形是矩形， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； ②解：如解图①，由①可知 ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ． 在中，， ， ， 解得； （2）(2)解：如解图②，连接，由题意可知， ， ， ． ， 是等边三角形， ， 的长为． 48．（2025·江苏宿迁·三模）如图，正方形的边与相切于点，、是正方形与圆的另两个交点．若，则的半径是 ． 【答案】 【分析】连接，并延长交于点，连接，首先证明四边形是矩形，根据矩形的性质得出，进而根据垂径定理得出，设，根据勾股定理列出方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：连接，并延长交于点，连接，如下图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 即， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 即的半径是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、切线的性质定理、垂径定理、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键． 49．（2025·江苏泰州·一模）如图，在四边形中，，，，分别与扇形相切于点A与点E．当时，的长为 ． 【答案】9 【分析】连接，作于点H，根据题目所给条件可得：，，再由勾股定理求得的长，证明四边形是矩形；在中，根据勾股定理列式求解即可． 【详解】解：如图，连接，作于点H，则， 分别与扇形相切于点A，E，， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 在中，， ， 解得：． 故答案为：9． 【点睛】此题考查了切线的性质定理，切线长定理，勾股定理，矩形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键． .【模拟08.矩形实际应用与几何建模题】 50．（2025·江苏淮安·一模）如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，勾股定理的应用及圆的最值问题等，作出对称图形是本题的关键．以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，并延长，交于一点G，则就是最小值；根据勾股定理求得的长，即可求得最小值． 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，并延长，交于一点G，则就是最小值； ∵矩形中，，圆A的半径为1， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为4， 故选：A． 51．（2025·广东深圳·二模）如图，矩形护栏中，竖直方向加装4条平行且等距的钢条（相邻钢条间距相等，钢条粗细不计），连接交第一根钢条于点，连接并延长交于点，若，则的长度为 ． 【答案】15 【分析】此题主要考查矩形的性质，相似三角形的性质与判定，首先利用矩形性质可以证明，，然后利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，矩形护栏中，， ， ， ， ， ， 故答案为：15． 52．（2025·宁夏银川·二模）如图，在矩形中，是边的中点，，垂足为点，连接，分析下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． ①正确．只要证明，即可；④正确．由，推出，推出，由，推出，即；②正确，过点D作交于点N，证明四边形是平行四边形，进一步证明垂直平分即可得到结论；③正确．设，，则，由，有，即，可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵于点F， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 过点D作交于点N， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴，     ∴ ∵，垂足为点， ∴， ∴垂直平分。， ∴ 故②正确； 设，，则， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，故③错误； 综上所述，正确结论①②④， 故答案为：①②④． 53．（2025·河南周口·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，为长方形，其中点A，C的坐标分别为，且轴交y轴于点M，轴交x轴于点N．一动点 P 从点A 出发，以 个单位长度/秒的速度沿向点 B 运动，在某一时刻t，的面积等于长方形面积的，此时点 P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，根据矩形的性质可得轴，则，据此可得，，再求出，得到，根据的面积等于长方形面积的，得到，可得，则． 【详解】解：∵四边形为长方形，轴，轴， ∴轴， ∵点A，C的坐标分别为， ∴， ∴，， ∵轴交y轴于点M， ∴， ∴， ∵的面积等于长方形面积的， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 故选：A． 54．（2025·山东日照·二模）如图1，墙壁上的点A处装有一个壁挂式吊灯，已知支架长度为，且与墙壁所成夹角，为壁灯吊杆，与的夹角可调节．吊灯连接杆垂直于地面，． (1)如图2，当时，灯口与固定点A在同一水平面上，求吊杆的长； (2)如图3，现有一靠墙放置的学习桌，与地面平行，其距离地面的高度为，为了日常使用方便，当与夹角调整至时，灯口需距离桌面．求点A距离地面的高度．（参考数据：，，，，，，结果保留一位小数） 【答案】(1)阿 (2) 【分析】本题考查解直角三角形在实际几何问题中的应用，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数关系及矩形性质来求解线段长度． （1）过点作辅助线构造直角三角形和以及矩形，先在中利用三角函数求出，再借助矩形性质得到，算出，最后在中根据三角函数求出． （2）过点作辅助线，先在中利用三角函数求出，再根据角度关系求出，进而在中求出，结合已知、桌面与地面距离及灯口距桌面距离求出点到地面距离，最后通过点到地面距离与的关系得出点到地面的高度． 【详解】（1）过点作于点，与的延长线交于点，则， ， ，， ， 在中 ， ， ， 由题意得：，灯口与固定点A在同一水平面上， ； ∴四边形为矩形， ∴ ∵， ∴， 在中 ∴； （2）过点作于点，与的延长线交于点， 则， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，需距离桌面， 点到地面的距离为：， 由题意得：与地面平行， 点到地面的距离约为， 点A到地面的距离为． 55．（2025·青海西宁·一模）如图，矩形中，，，为，，边上的点，且，，，，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是矩形的判定及性质、勾股定理，得到四边形是矩形是解题的关键． 首先过作于点，利用矩形的判定可得四边形是矩形，根据矩形的性质得，，由求得的长，然后再在中，利用勾股定理求的长． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故选：． 56．（2025·江苏连云港·二模）在新书发布现场，常会将一些新书按一定造型摆放，如图1某数学书籍发行现场，将四本新书按着如图2方式摆放在书架的一个格挡中（图中4个完全相同的矩形是书的侧面），最左侧的书贴边垂直摆放，其他三本书倾斜摆放，且，最右侧书的一角S恰好落在格挡边沿．若已知书的高度，宽，解决下列问题： (1)图中的度数为______°； (2)求的长（精确到）； (3)请直接写出格挡的宽度的大小（精确到）（参考数据：，，，，） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）延长交于点，易得，则减去的度数即为的度数； （2）延长交于点，根据的余弦值可得的长度，根据的正切值可得的值，则，加上的长度即为的长度； （3）延长，交于点，作于点，分别求出，，，，的长度，再加上和的长度，即为的大小． 【详解】（1）解：延长交于点X， 由题意得：、， 、是的外角 故答案为：； （2）解：延长交于点Y， ， 、、 由（1）知， 的长约为； （3）解：延长，交于点Z，与于点， 由（1）知 、 作于点，则 根据题意可得 在中，由勾股定理得： 由题意得：， 的长约为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，利用所给长度的线段和角度构造合适的直角三角形是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题22矩形中考一轮复习讲义 ●分值占比：矩形是中考四边形板块的核心考点，总分值约 10-15 分，覆盖选择、填空、解答（含几何综合题）三种题型，常与三角形、圆等知识结合命题。 ●常考考点：聚焦矩形的定义与性质（角、边、对角线、对称性）、矩形的三种判定方法（定义法、角判定法、对角线判定法）、矩形与直角三角形斜边中线定理的关联、矩形折叠 / 旋转等图形变换问题、矩形与坐标系结合的计算、矩形面积与周长的综合计算六大方向。 ●命题趋势：基础题侧重矩形性质与判定的直接应用，中档题强化矩形与全等 / 相似三角形的逻辑推理，难题多为矩形与图形变换、函数、圆的多模块综合，且实际场景类、动态探究类题型占比逐年提升。 模拟01.矩形性质基础应用题 模拟02.矩形与函数综合题 模拟03.矩形与面积.周长计算 模拟04.矩形判定定理应用题 模拟05.矩形与全等.相似三角形综合题 模拟06.矩形与折叠.旋转综合题 模拟07.矩形与圆.扇形综合题 模拟08.矩形实际应用与几何建模题 【知识点01:矩形的定义】 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（长方形）。 ▶ 核心：矩形是特殊的平行四边形，具备平行四边形所有性质。 【知识点02: 矩形的性质（边 + 角 + 对角线 + 对称性）】 1.通用性质（继承平行四边形） 对边平行且相等； 对角线互相平分； 邻角互补，内角和 360°。 2.特有性质（核心考点） 角：四个角都是直角（∠A=∠B=∠C=∠D=90°）； 对角线：对角线相等（AC=BD）； ✔ 推论：直角三角形斜边中线等于斜边的一半（矩形对角线分矩形为 4 个等腰三角形，取其一直角三角形可得）。 3.对称性 矩形是轴对称图形（2 条对称轴，过对边中点的直线）；也是中心对称图形（对称中心为对角线交点）。 【知识点03:矩形的判定（3种核心方法，紧扣定义/性质逆推）】 1.定义法（基础） 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2.角判定法 三个角是直角的四边形是矩形。 3.对角线判定法（高频） 对角线相等且互相平分的四边形是矩形； ▶ 推论：对角线相等的平行四边形是矩形（平行四边形 + 对角线相等→矩形，中考常考）。 ✔ 判定关键：先证平行四边形，再补 1 个矩形特有条件（直角 / 对角线相等）；或直接证四边形满足矩形专属条件。 【知识点04:矩形的相关计算(中考必考点)】 1.边长 / 周长计算 结合勾股定理（对角线分矩形为两个全等的直角三角形）： 若矩形长为 a，宽为 b，对角线为 c，则 a2+b2=c2； 周长：C=2(a+b)， 面积：S=ab（平行四边形面积公式通用）。 2.对角线相关计算 对角线相等且互相平分，故对角线交点到各顶点距离相等； 结合直角三角形斜边中线定理，快速求线段长度（如已知矩形对角线长，求直角三角形斜边中线）。 3.折叠问题（重难点） 矩形折叠后，对应边相等、对应角相等，折叠前后图形全等； 解题关键：找折叠后的直角三角形，用勾股定理列方程求解边长。 【知识点05:常考易错点】 1.混淆 “平行四边形判定” 和 “矩形判定”：对角线相等的四边形不一定是矩形，必须先证平行四边形； 2.忽略矩形的轴对称性：对称轴是过对边中点的直线，不是对角线； 3.直角三角形斜边中线定理的逆用：若三角形一边中线等于这边一半，则该三角形是直角三角形（常用来证直角）。 【模拟01.矩形性质基础应用题】 1．（2025·辽宁大连·二模）下列关于矩形叙述正确的是（    ） A．对角线相等且互相垂直 B．对角线互相垂直的平行四边形 C．对角线相等且互相平分的四边形 D．矩形的对角线平分一组对角 2．（2025·广西·一模）如图所示，在矩形中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河北沧州·模拟预测）将图1的七巧板拼成火箭图案，并把图案放到图2的矩形中．在矩形中，（   ） A． B．1 C． D． 4．（2025·湖北十堰·模拟预测）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成矩形．若，则矩形的面积是（  ） A．12 B．10 C．8 D．6 5．（2025·山东东营·三模）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点D作交的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（2025·山西·一模）墙面上贴有规格相同的矩形瓷砖．如图，矩形瓷砖与矩形瓷砖之间用三角形瓷砖与三角形瓷砖拼接，点，，与点，，分别在同一直线上．小雅发现与全等，她的依据是（   ） A．SAS B．ASA C．HL D．SSS 7．（2025·浙江衢州·二模）如图，矩形内有一点，且满足，若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【模拟02.矩形与函数综合题】 8．（2025·贵州遵义·一模）如图，矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，O为坐标原点，已知，，直线经过点，当该直线平分矩形的面积时，直线的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·浙江金华·二模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴交轴于点，轴交轴于点，连结．若矩形的周长为8，对角线的长为，则的值为 ． 10．（2025·广东江门·二模）如图，在矩形中，，，E是矩形内部的一个动点，且，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 11．（2025·安徽·三模）如图，分别以，为边作矩形，，点是边的中点，反比例函数的图像分别交边和与两点，此时点满足，作轴，轴，已知阴影部分面积为2，则的值是 ． 12．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，矩形的顶点，分别在轴、轴上，点，，是矩形对角线的交点，双曲线在如图所示的位置上．请写出一个符合要求的双曲线的表达式： ． 13．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，已知，分别是反比例函数与，且轴，点的坐标为，分别过点，作轴于点，轴于点．若四边形的面积为，则的值为（　　） A． B． C． D． 14．（2025·陕西咸阳·二模）如图，点分别在函数 的图象上，且轴，过点作轴的垂线，垂足分别为点．点在线段上，若的面积为，则 【模拟03.矩形与面积.周长计算】 15．（2026·江西·模拟预测）新考法数形 结合如图，在一个矩形公园中划分出两个矩形草地（阴影部分），若为定值，两阴影部分的面积和为S，周长和为C，则下列关于S和C的说法正确的是（    ） A．S和C均为定值 B．只有S为定值 C．只有C为定值 D．S和C均不为定值 16．（2025·吉林通化·模拟预测）如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么x满足的方程是 ． 17．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，是矩形的对角线，点为边上的点，连接、，交于点，若，，则图中阴影部分的面积为 ．    18．（2025·安徽淮北·一模）如图，矩形对角线的交点为，点在轴的正半轴上，平分，的面积为．若双曲线经过点，交于点，且，则的值为 ． 19．（2025·浙江宁波·二模）小镇和小海玩掷飞镖的游戏，他们设计了如图所示的矩形靶子，点E，F分别是边，上的点，，小镇投掷的1次飞镖落在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 20．（2025·陕西西安·一模）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从矩形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两矩形面积相等（如图①，）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，如图②，M是矩形的对角线上的点，且，过点M作分别交于点E、F，连接，若，，则图中阴影部分的面积和为 ． 21．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在矩形中，，．点P从点A出发，沿边向点B以1个单位长度/秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边向点C以2个单位长度/秒的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)当时，求的面积； (2)当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ (3)是否存在某一时刻t，使的面积等于矩形面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【模拟04.矩形判定定理应用题】 22．（2025·福建三明·一模）木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（   ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量对角线是否互相垂直 C．测量是否有三个角是直角 D．测量对角线是否相等 23．（025·黑龙江齐齐哈尔·二模）有下列四个条件：①，②，③，④．从中选取两个作为补充条件，使为正方形（如图）．现在文文选择了②③，你认为文文选择的 （填“对”或“不对”） 24．（2025·河北邢台·三模）如图1是多媒体上展示的一道数学题，淇淇的部分作图过程如图2所示，接下来淇淇以点C为圆心，长为半径作弧交射线于点D，连接，则四边形即为所求．对于淇淇得到的四边形，下列说法正确的是（   ） A．四边形一定是平行四边形 B．当时，四边形一定是矩形 C．四边形一定不是平行四边形 D．当时，四边形是平行四边形 25．（2025·河南周口·三模）如图所示，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，要使四边形为矩形，则可添加下列条件中的（    ） A． B． C． D． 26．（2025·云南曲靖·二模）如图，已知在四边形中，对角线，交于点O，且，要使四边形是矩形，可添加一个条件是 ． 27．（2025·湖南常德·模拟预测）如图，在中，、是上的两点，，连接、、、．请你添加一个条件 ，使得四边形是矩形．    28．（2025·湖南·模拟预测）下列说法正确的是（   ） A．若直角三角形的两边长分别为6，8，则该直角三角形的斜边长为10 B．若菱形的一个内角为，且其中一条对角线长为3，则该菱形的边长为3 C．若经过菱形的顶点A，B，C，则该菱形的一个内角为 D．若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形． 【模拟05.矩形与全等.相似三角形综合题】 29．（2025·黑龙江牡丹江·二模）如图，在矩形中，点E在上，，请添加一个条件 ，使．(只填写一个即可) 30．（2025·广东清远·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在双曲线和上，点在轴上，则点的坐标为 ． 31．（2025·重庆铜梁·一模）如图，在正方形中，点P是对角线上一点，，垂足分别为E，F，连接．若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 32．（2025·河南南阳·三模）如图，某数学兴趣小组测量南阳解放纪念碑高度的方案如下（图中所有点均在同一平面内）：他们在距点B水平距离处立一高度为的标杆，后退在点F处望见E、C、A三点共线，，则高度约为（    ） A． B． C． D． 33．（2025·云南曲靖·一模）如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 34.．（2025·江苏无锡·二模）如图，在菱形中，对角线，，动点、分别从点、同时出发，均以的速度沿、向终点、匀速运动；同时，动点、也分别从点、出发，均以的速度沿、向终点、匀速运动，顺次连接、、、．设运动的时间为，若四边形是矩形，则的值为 ． 35．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，在中，点在边上，和分别是和的角平分线，以为对角线向外作四边形，使，． (1)求证：四边形是矩形； (2)已知，，求四边形的面积． 【模拟06.矩形与折叠.旋转综合题】 36．（2025·广东东莞·三模）如图，在矩形OABC中，，，将矩形OABC绕点C逆时针旋转至矩形DEFC，若DE经过点B，则的度数是（   ） A． B． C． D． 37．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在矩形中，，，点是的中点，点是直线上一点，将沿所在的直线翻折，点落在对称点处，当时，的长为 ． 38．（2025·山东聊城·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 39．（2025·河南南阳·模拟预测）如图，矩形中，边、分别在轴和轴上，把矩形沿折叠，点落在点处，则点的坐标为，则点的坐标为 ． 40．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在矩形中，，，点E为上一个动点，把沿直线折叠，当点D的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，则的长为（    ） A． B． C． D．5 41．（2025·山东泰安·一模）如图，在矩形中，，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 42．（2025·广东·模拟预测）如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，已知，且，则折痕长是 ． 【模拟07.矩形与圆.扇形综合题】 43．（2025·湖北荆州·二模）如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．在如下定理中：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②对角线相等的平行四边形是矩形，③矩形的四个角都是直角，④三个角都是直角的四边形是矩形，这种检测方法用到的数学根据是（    ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 44．（2025·吉林延边·模拟预测）如图，在矩形中，，，以点为圆心，线段为半径的弧交于点，则阴影部分的扇形面积是 ． 45．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形为矩形，点在边上，，半径为2的与四边形的各边都相切，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 46．（2025·广东·模拟预测）如图，矩形中，，．以为直径的半圆O与相切于点E，连接，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 47．（2025·江西·模拟预测）已知矩形，，以为直径作，点为上一点． (1)如图1，连接，交于点，若，． ①求证：是的切线； ②求的长； (2)如图2，若点是上的动点，将四边形沿折叠，点恰好落在处，点的对应点为点，交于点．若，求的长． 48．（2025·江苏宿迁·三模）如图，正方形的边与相切于点，、是正方形与圆的另两个交点．若，则的半径是 ． 49．（2025·江苏泰州·一模）如图，在四边形中，，，，分别与扇形相切于点A与点E．当时，的长为 ． .【模拟08.矩形实际应用与几何建模题】 50．（2025·江苏淮安·一模）如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 51．（2025·广东深圳·二模）如图，矩形护栏中，竖直方向加装4条平行且等距的钢条（相邻钢条间距相等，钢条粗细不计），连接交第一根钢条于点，连接并延长交于点，若，则的长度为 ． 52．（2025·宁夏银川·二模）如图，在矩形中，是边的中点，，垂足为点，连接，分析下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ． 53．（2025·河南周口·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，为长方形，其中点A，C的坐标分别为，且轴交y轴于点M，轴交x轴于点N．一动点 P 从点A 出发，以 个单位长度/秒的速度沿向点 B 运动，在某一时刻t，的面积等于长方形面积的，此时点 P的坐标是（    ） A． B． C． D． 54．（2025·山东日照·二模）如图1，墙壁上的点A处装有一个壁挂式吊灯，已知支架长度为，且与墙壁所成夹角，为壁灯吊杆，与的夹角可调节．吊灯连接杆垂直于地面，． (1)如图2，当时，灯口与固定点A在同一水平面上，求吊杆的长； (2)如图3，现有一靠墙放置的学习桌，与地面平行，其距离地面的高度为，为了日常使用方便，当与夹角调整至时，灯口需距离桌面．求点A距离地面的高度．（参考数据：，，，，，，结果保留一位小数） 55．（2025·青海西宁·一模）如图，矩形中，，，为，，边上的点，且，，，，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 56．（2025·江苏连云港·二模）在新书发布现场，常会将一些新书按一定造型摆放，如图1某数学书籍发行现场，将四本新书按着如图2方式摆放在书架的一个格挡中（图中4个完全相同的矩形是书的侧面），最左侧的书贴边垂直摆放，其他三本书倾斜摆放，且，最右侧书的一角S恰好落在格挡边沿．若已知书的高度，宽，解决下列问题： (1)图中的度数为______°； (2)求的长（精确到）； (3)请直接写出格挡的宽度的大小（精确到）（参考数据：，，，，） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $