精品解析：黑龙江牡丹江市第三高级中学2025-2026学年度第一学期期末考试高二数学试卷

2025-2026学年度第一学期期末考试高二数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 命题人：孟庆德 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则的值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意，根据数量积的坐标表示计算可得. 【详解】因为且， 所以，解得. 故选：C 2. 已知直线与圆交于两点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用弦长公式得圆心到直线的距离为1，再利用点到直线的距离公式得到方程，解出即可. 【详解】圆的圆心， 所以圆心到直线的距离为，则， 而，所以，解得：. 故选：A. 3. 以直线：和：的交点为圆心，并且与直线相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出交点，得到圆心坐标，由点到直线距离得到半径，从而得到圆的方程. 【详解】联立方程组，解得，即所求圆的圆心坐标为， 所以圆心到直线的距离， 故所求圆的方程为． 故选：A 4. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把抛物线方程化为标准方程，由此可得焦点坐标． 【详解】因为抛物线的标准方程为，，，，所以焦点坐标为， 故选：A． 5. 设椭圆的离心率分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 【详解】由，得，因此，而，所以. 故选：A 6. 已知在等差数列中，，，则等于（ ） A. -2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列性质求出公差及指定项. 【详解】在等差数列中，，解得，公差， 所以. 故选：C 7. 已知方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方程表示焦点在轴上的椭圆的充要条件是，列出不等式组，解得. 【详解】解：因为方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆， 所以解得即 故选 【点睛】本题考查椭圆的定义的应用，是基础题，解题时要熟练掌握椭圆的简单性质． 8. 已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意整理可得，可知数列为等差数列，结合题意求首项和公差，结合等差数列通项公式可得，即可得结果. 【详解】因为，可得，可知数列为等差数列， 又因为，即，即， 可知是2为公差的等差数列， 且，则， 可得，即，所有. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，且短轴长为2，离心率为，过焦点作轴的垂线，交椭圆于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆方程为 B. 椭圆方程为 C. D. 的周长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知求得b，再由离心率结合隐含条件求得a，可得椭圆方程，进一步求得通径及的周长判断得答案． 【详解】由已知得，2b=2，b=1，， 又，解得， ∴椭圆方程为， 如图： ∴，的周长为． 故选：ACD． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 10. 若数列满足：对任意正整数，为递减数列，则称数列为“差递减数列”.给出下列数列，其中是“差递减数列”的有（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】 分别求出四个选项中数列对应的，再进行判断. 【详解】对，若，则，所以不为递减数列，故错误； 对，若，则，所以为递增数列，故错误； 对，若，则，所以为递减数列，故正确； 对，若，则，由函数在递减，所以数为递减数列，故正确. 故选：. 【点睛】本题考查数列新定义、数列单调性及递推关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 11. 已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ） A. 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C. 若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 【答案】ABD 【解析】 【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解. 【详解】圆心到直线l的距离， 若点在圆C上，则，所以， 则直线l与圆C相切，故A正确； 若点在圆C内，则，所以， 则直线l与圆C相离，故B正确； 若点在圆C外，则，所以， 则直线l与圆C相交，故C错误； 若点在直线l上，则即， 所以，直线l与圆C相切，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高等于___________. 【答案】2 【解析】 【分析】先求出平面的法向量，然后求出在方向上的投影的绝对值即可得答案 【详解】设平面的法向量，则 ，令，则， 因为， 所以四棱锥的高为， 故答案为：2 13. 已知双曲线，若，则该双曲线的离心率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用双曲线离心率即可计算得到答案. 【详解】. 故答案为：. 14. 抛物线上的点到直线的距离最小，则点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】设抛物线上的动点坐标为，利用点到直线的距离公式结合二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设抛物线上的动点坐标为， 则点到直线的距离 ， 当，即时，距离最小值为， 此时点坐标为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系内，已知的三个顶点坐标分别为． （1）求边的垂直平分线所在的直线的方程； （2）若的面积为5，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】 【分析】（1）由题意直线的斜率公式，两直线垂直的性质，求出的斜率，再用点斜式求直线的方程． （2）根据的面积为5，求得点到直线的距离，再利用点到直线的距离公式，求得的值． 【详解】解：（1），， 的中点的坐标为， 又 设边的垂直平分线所在的直线的斜率为 则 ， 可得的方程为， 即． 边的垂直平分线所在的直线的方程 （2）边所在的直线方程为 设边上的高为即点到直线的距离为 且 解得 解得或， 点的坐标为或． 16. 已知等差数列中，且，为方程的两个实根． （1）求此数列的通项公式； （2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由． 【答案】（1）； （2）268是此数列的第136项. 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，，再利用等差数列的通项公式列方程，解得，，然后写通项即可； （2）令，解得即可. 【小问1详解】 由已知条件得，， 又∵为等差数列，设首项为，公差为， ∴，，解得，． ∴． ∴数列的通项公式为． 【小问2详解】 令，解得． ∴268是此数列的第136项． 17. 如图在边长是的正方体中，，分别为，的中点．应用空间向量方法求解下列问题． （1）证明：平面； （2）证明：平面． 【答案】（1） 由题意，可知，，，， 的中点，的中点，则， 易知平面的一个法向量， ，，平面，平面. （2） 由题意，可知，，， 在平面内，取，，设其法向量， 则，即，令，则， 故平面的一个法向量， ，平面，即平面， 【解析】 【分析】（1）由题意，求得直线的方向向量，以及平面的法向量，由空间向量数量积，可得答案； （2）由题意，求得平面的法向量，由（1）的直线的方向向量，根据空间向量的共线定理，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且. （1）求抛物线的标准方程； （2）直线与抛物线交于，两点，若线段的中点为，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦半径公式得，求得，即可求解方程； （2）由点差法化为，根据中点坐标可得直线斜率从而求出直线方程． 【小问1详解】 因为点在抛物线上，所以 又因为，解得，故抛物线的标准方程为； 【小问2详解】 设，则 ，所以，化为 又因为的中点为，所以， 则 ，故直线的斜率为，所以直线的方程为 整理得． 19. 已知双曲线C的中心在原点，是它的一个顶点.是它的一条渐近线的一个方向向量. （1）求双曲线C的方程； （2）设，M为双曲线右支上动点，当|PM|取得最小时，求四边形ODMP的面积； （3）若过点任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求证:为定值. 【答案】（1）； （2）； （3）证明：显然直线AB不垂直于y轴，设直线AB方程：，由消去x得：， 当时，恒成立，设， 则有，， 因此，， 所以为定值0. 【解析】 【分析】(1)根据给定条件设出双曲线C的方程，利用待定系数法计算得解. (2)根据给定条件求出点M的坐标，并求出点M到直线DP距离，再借助三角形面积公式计算即得. (3)设出直线AB方程：，联立直线AB与双曲线C的方程，借助韦达定理计算即可作答. 【小问1详解】 因双曲线C的中心在原点，一个顶点是，则设双曲线C的方程为：， 于是得双曲线C的渐近线方程为，而双曲线C的一条渐近线的一个方向向量是， 则有， 所以双曲线C的方程为. 【小问2详解】 依题意，设点，则，即， ，当时，，此时， 点M到直线DP：的距离为，而，如图， 四边形ODMP的面积， 所以四边形ODMP的面积为. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末考试高二数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 命题人：孟庆德 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则的值为 （ ） A. B. C. D. 2. 已知直线与圆交于两点，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 以直线：和：的交点为圆心，并且与直线相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 设椭圆的离心率分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知在等差数列中，，，则等于（ ） A. -2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 已知方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，且短轴长为2，离心率为，过焦点作轴的垂线，交椭圆于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆方程为 B. 椭圆方程为 C. D. 的周长为 10. 若数列满足：对任意正整数，为递减数列，则称数列为“差递减数列”.给出下列数列，其中是“差递减数列”的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ） A. 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C. 若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高等于___________. 13. 已知双曲线，若，则该双曲线的离心率为__________. 14. 抛物线上的点到直线的距离最小，则点坐标是________． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系内，已知的三个顶点坐标分别为． （1）求边的垂直平分线所在的直线的方程； （2）若的面积为5，求点的坐标． 16. 已知等差数列中，且，为方程的两个实根． （1）求此数列的通项公式； （2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由． 17. 如图在边长是的正方体中，，分别为，的中点．应用空间向量方法求解下列问题． （1）证明：平面； （2）证明：平面． 18. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且. （1）求抛物线的标准方程； （2）直线与抛物线交于，两点，若线段的中点为，求直线的方程． 19. 已知双曲线C的中心在原点，是它的一个顶点.是它的一条渐近线的一个方向向量. （1）求双曲线C的方程； （2）设，M为双曲线右支上动点，当|PM|取得最小时，求四边形ODMP的面积； （3）若过点任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求证:为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $