精品解析：陕西省西安中学2025-2026学年高三上学期期末考试数学试题

西安中学2025—2026学年度第一学期期末考试 高三数学试题 （时间：120分钟 满分：150分 命题人：陈晓曙） 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则共轭复数 A. B. C. D. 2. 设，则“”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是 A. B. C. D. 4. 已知，数列满足，且对一切，有，则（ ） A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. 是等比数列 D. 是等比数列 5. 如图，正方形的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形的周长是（ ） A. 4 B. 6 C. D. 8 6. 在椭圆上有一点，左、右焦点分别为和，则下列说法正确的是（ ） A. 的周长为8 B. 存在点使得 C. 满足的点有且只有4个 D. 如果线段的中点在轴上，此时的面积为 7. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，直线，为上的动点.过点作的切线，切点为，当四边形面积最小时，直线的方程为（ ）. A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分. 9. 设随机变量X的分布列为，，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则（ ） A. 圆锥的母线长为3 B. 圆锥的表面积为 C. 圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 D. 若一蚂蚁从点A出发沿圆锥的侧面爬行一周回到点A，则爬行的最短距离为 11. 已知双曲线上的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为A、B，P为双曲线C上任意一点，判断以下选项正确的是（ ） A. 若，则或 B. 的内心I到y轴的距离为2 C. 当点P不在x轴上时，直线PA与PB的斜率之积为 D. 点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某小型餐饮公司统计了最近300天的营业额（单位：元），发现每天的营业额满足：.据统计，每天营业额不低于4000元的天数为90，则该公司每天营业额在的天数约为__________天. 13. 已知的展开式中，的系数记为，则_________. 14. 已知函数，曲线在点处的切线与平行.则的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为，且． （1）求的离心率； （2）射线与交于点，且，求的周长． 16. 设为数列的前项和，已知，且为等差数列. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和. 17. 已知函数. （1）求在上的单调递增区间； （2）在锐角中，内角所对的边分别为，且，求的取值范围. 18. 某社区100名居民参加2019年国庆活动，他们的年龄在30岁至80岁之间，将年龄按，，，，分组，得到的频率分布直方图如图所示. （1）求a的值，并估计该社区参加2019年国庆活动的居民的年龄中位数； （2）现从年龄在，的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用X表示参与座谈的居民的年龄在的人数，求X的分布列和数学期望； （3）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地30岁至80岁之间的市民中抽取20名进行调查，其中有k名市民的年龄在的概率为（，1，2，…，20），当最大时，写出k的值.（不用说明理由） 19. 如图，正四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面α与底面ABCD平行且与四棱锥的四条侧棱（不含端点）分别交于点E，F，G，H，四棱台与四棱锥的棱长和相等（“棱长和”指多面体的所有棱长之和）． （1）若E是棱PA的中点，求四棱台的体积； （2）求平面PAD与平面PBC的夹角的余弦值； （3）已知四棱柱Ω的底面是边长为m的正方形，侧棱长为n，且侧棱与底面所在平面所成的角为，若平面α任意上下平移时，总存在正数m，n，使得四棱柱Ω与四棱台有相同的体积，也有相同的棱长和，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安中学2025—2026学年度第一学期期末考试 高三数学试题 （时间：120分钟 满分：150分 命题人：陈晓曙） 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则共轭复数 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：首先求得复数z，然后求解其共轭复数即可. 详解：由题意可得：， 则其共轭复数. 本题选择B选项. 点睛：本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的概念等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2. 设，则“”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线一般式中平行满足的关系即可求解. 【详解】若直线与直线平行， 则，解得或， 经检验或时两直线平行． 故“”能得到“直线与直线平行”，但是 “直线与直线平行”不能得到“” 故选：A 3. 下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：确定函数过定点（1，0）关于x=1对称点，代入选项验证即可． 详解：函数过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有过此点． 故选项B正确 点睛：本题主要考查函数的对称性和函数的图像，属于中档题． 4. 已知，数列满足，且对一切，有，则（ ） A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. 是等比数列 D. 是等比数列 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式列出数列递推关系式，再结合等差数列和等比数列的定义逐项验证选项可得出答案. 【详解】由题意知，所以，所以，，所以是等比数列，且, 所以，选项A，B，C错误，选项D正确. 故选：D． 5. 如图，正方形的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形的周长是（ ） A. 4 B. 6 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】将直观图还原为平面图形是平行四边形，然后计算． 【详解】将直观图还原为平面图形，如图所示. ＝，，所以， 所以原图形的周长为8cm， 故选：D. 6. 在椭圆上有一点，左、右焦点分别为和，则下列说法正确的是（ ） A. 的周长为8 B. 存在点使得 C. 满足的点有且只有4个 D. 如果线段的中点在轴上，此时的面积为 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据椭圆方程求，再根据椭圆的定义和性质，即可判断选项. 【详解】椭圆中，△F1PF2的周长，故A错误； 当∠F1PF2最大时此时P在椭圆短轴的端点，此时三角形为等腰三角形边长分别为2、2、此时，故B错误； 时，，由椭圆的对称性可知存在4个点，故C正确； 如果线段PF1的中点在y轴上时，设的中点为，此时是的中位线，轴，△F1PF2的面积，故D错误. 故选：C． 7. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数有两个极值点转化为有两个不同的根，进而利用有解问题即可求解. 【详解】由，得. 因为函数有两个极值点， 所以有两个不同的解， 即有两个不同的解转化为与的图象有两个交点； 设，则， 令，即，解得 当时，； 当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减. 分别作出函数与的图象，如图所示 由图可知，0，解得. 所以实数的取值范围为. 故选：D. 8. 已知，直线，为上的动点.过点作的切线，切点为，当四边形面积最小时，直线的方程为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何性质可得当最小时四边形面积最小，求出四边形外接圆的方程后可求直线的方程. 【详解】由题意可知，. 故四边形的面积. 由圆得①， 圆心，半径，即. 要使四边形面积最小，即最小， 又，即求的最小值. 当直线与垂直时，最小. 直线的斜率，则方程为即. 联立得，即 . 中点，则四边形外接圆为②， 直线方程为①-②，即. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分. 9. 设随机变量X的分布列为，，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用分布列的性质可得概率之和为1，得出，利用概率的性质可判断A选项，再利用均值方差定义公式以及其性质逐项判断BCD即可. 【详解】因为随机变量的分布列为，由分布列的性质可知，，解得， 对于A，，故A不正确； 对于B，， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D不正确. 故选：BC. 10. 如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则（ ） A. 圆锥的母线长为3 B. 圆锥的表面积为 C. 圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 D. 若一蚂蚁从点A出发沿圆锥的侧面爬行一周回到点A，则爬行的最短距离为 【答案】BD 【解析】 【分析】由题意可求出圆锥的母线长判断A；由此可求得圆锥的表面积判断B；由侧面展开图扇形的形状可判断C；由侧面展开图的扇形求最短距离判断D. 【详解】设圆锥的母线长为l，则以S为圆心，SA为半径的圆的面积为，圆锥的侧面积， 因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了3周， 所以圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为，故C错误； ，解得，所以圆锥的母线长为9，故A错误； 圆锥的表面积，故B正确； 如图为圆锥沿SA的侧面展开图，连接，则为等腰三角形， 所以蚂蚁爬行的最短距离为，故D正确. 故选：BD. 11. 已知双曲线上的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为A、B，P为双曲线C上任意一点，判断以下选项正确的是（ ） A. 若，则或 B. 的内心I到y轴的距离为2 C. 当点P不在x轴上时，直线PA与PB的斜率之积为 D. 点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】圆的切线长定理、双曲线的定义、直线斜率公式、点到直线距离公式逐一判断即可. 【详解】A：由双曲线的定义可知， 因为，所以解得或， 由， 所以双曲线上的点到右焦点的距离最小值为， 所以不成立，故本选项不正确； B：根据双曲线的对称性，不妨设在第一象限， 设的内切圆与三边相切的切点分别为， 由圆的切线长定理可得：， 由双曲线的定义，得， 有， 即，而， 解得，由上可知， 所以点重合，显然， 所以内心I的横坐标为，故本选项正确； C：设，则有，， 直线PA与PB的斜率之积为， 所以本选项正确； D：双曲线的渐近线方程为， 设，则有， 所以点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为： ， 所以本选项正确， 故选：BCD 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某小型餐饮公司统计了最近300天的营业额（单位：元），发现每天的营业额满足：.据统计，每天营业额不低于4000元的天数为90，则该公司每天营业额在的天数约为__________天. 【答案】60 【解析】 【分析】根据满足：，由求解. 【详解】因为营业额不低于4000元的天数为90， 所以， 所以， 所以该公司每天营业额在的天数约为， 故答案为：60 13. 已知的展开式中，的系数记为，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式中特定项的系数可求解. 【详解】由题可得： 故答案为： 14. 已知函数，曲线在点处的切线与平行.则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求得，根据题意，得到，求得，得到，求得函数的单调性，进而求得最小值. 【详解】由函数，可得， 则， 因为曲线在点处的切线与平行， 可得，即，解得，所以， 可得函数的定义域为，且， 令，即，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为，且． （1）求的离心率； （2）射线与交于点，且，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，的关系，进而求出椭圆的离心率； （2）由（1）可得与，与的关系，设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得点的坐标，求出的表达式，由题意可得，的值，由椭圆的性质可得的周长为，即求出三角形的周长． 【小问1详解】 依题意可得上顶点，左，右焦点分别为，， 所以，， 又， 所以，即，即， 所以，所以离心率； 【小问2详解】 由（1）可得，，则椭圆方程为， 射线的方程为， 联立，整理可得， 解得或，则，即， 所以，解得，则， 所以的周长． 16. 设为数列的前项和，已知，且为等差数列. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列定义求出，进而利用与之间关系可求得数列的通项公式； （2）采用分组求和法，分别对奇数项和偶数项求和，结合等比数列求和公式和裂项相消法可求得结果. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，因为， 所以，即， 所以，即， 当时，， 当时，，满足上式，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 则 所以数列的前项和为. 17. 已知函数. （1）求在上的单调递增区间； （2）在锐角中，内角所对的边分别为，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简函数，由，得到，结合三角函数的性质，列出不等式，即可求解； （2）由（1）及，求得，求得，利用三角恒等变换的公式，化简得到，再由为锐角三角形，求得，结合三角函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 由函数 ， 因为，可得， 令，解得，即函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 由（1）知：， 因为，可得，即， 因为为锐角三角形，可得，则， 所以，解得， 设的外接圆的半径为，因为， 由正弦定理得，则， 又因为，可得，所以， 则 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 则，所以，则， 所以的取值范围为. 18. 某社区100名居民参加2019年国庆活动，他们的年龄在30岁至80岁之间，将年龄按，，，，分组，得到的频率分布直方图如图所示. （1）求a的值，并估计该社区参加2019年国庆活动的居民的年龄中位数； （2）现从年龄在，的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用X表示参与座谈的居民的年龄在的人数，求X的分布列和数学期望； （3）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地30岁至80岁之间的市民中抽取20名进行调查，其中有k名市民的年龄在的概率为（，1，2，…，20），当最大时，写出k的值.（不用说明理由） 【答案】（1），； （2）分布列见解析，期望为； （3） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中所有频率和为1求得，在频率分布直方图中求出频率为0.5对应的年龄即为中位数； （2）由频率分布直方图知抽取的8人中，年龄在的有6人，在的有2人，的可能值是，分别求出概率的分布列，由期望公式计算期望； （3）用样本的频率代替概率，从中任取1名人员，年龄在的概率为， 则，由可求得值． 【小问1详解】 由题意，， 年龄在间的频率为，而间的频率为， 设中位为，则，． 所以年龄中位数为， 【小问2详解】 由频率分布直方图知，年龄在，的人员比为，因此抽取的8人中，年龄在的有6人，在的有2人，从这8人中抽取3人，X表示参与座谈的居民的年龄在的人数，则的可能值是， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 ； 【小问3详解】 用样本的频率代替概率，从中任取1名人员，年龄在的概率为， 则， 由，解得，，所以， 所以时，最大． 19. 如图，正四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面α与底面ABCD平行且与四棱锥的四条侧棱（不含端点）分别交于点E，F，G，H，四棱台与四棱锥的棱长和相等（“棱长和”指多面体的所有棱长之和）． （1）若E是棱PA的中点，求四棱台的体积； （2）求平面PAD与平面PBC的夹角的余弦值； （3）已知四棱柱Ω的底面是边长为m的正方形，侧棱长为n，且侧棱与底面所在平面所成的角为，若平面α任意上下平移时，总存在正数m，n，使得四棱柱Ω与四棱台有相同的体积，也有相同的棱长和，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意易得四棱锥也是正四棱锥，进而结合四棱锥的体积公式求解即可； （2）设AD，BC的中点分别为M，N，连接PM，PN，MN．设平面PAD与平面PBC的交线为l，易得平面PAD与平面PBC的夹角即（或其补角），进而求解即可； （3）由题意知四棱柱Ω的高为，体积为，当平面α任意上下平移时，设，，易得，结合四棱柱Ω与四棱台的棱长和相等，可得，进而得到,令，进而结合其导数求解即可. 【小问1详解】 由题意知平面， 所以四棱锥也是正四棱锥， 因为四棱台与四棱锥的棱长和相等， 所以， 即，故， 即四棱锥和正四棱锥的侧面都是正三角形， 连接AC，设点P在底面ABCD上的射影为O，则O为AC的中点． 由已知得，， 所以是等腰直角三角形，所以AC上的高， 即四棱锥的高为，所以， 当E是棱PA的中点时，， 所以四棱台的体积为． 【小问2详解】 设AD，BC的中点分别为M，N，连接PM，PN，MN， 因为，平面，平面， 所以平面，设平面PAD与平面PBC的交线为l， 又平面PAD，所以， 因为是等边三角形，所以，所以，同理可得， 所以平面PAD与平面PBC的夹角即（或其补角）， 由已知可得，， 所以， 所以平面PAD与平面PBC的夹角的余弦值为． 【小问3详解】 由题意知四棱柱Ω的高为，体积为． 当平面α任意上下平移时，设，， 则，四棱台的体积为， 所以．① 又四棱柱Ω与四棱台的棱长和相等，所以， 所以，, 将其代入①，得, 令，则， 当时，，当时，， 所以在处取得极大值，也是最大值，最大值为， 所以，则． 又，且总存在满足题中条件的m和n， 所以， 故，解得， 又，所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $