精品解析：陕西省安康市汉阴县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025~2026学年度第一学期期末学科素养检测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 抛物线的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，的对称轴是直线． 根据顶点式二次函数的解析式，可得二次函数的对称轴，可得答案． 【详解】解：∵抛物线为的形式， 其中，，， ∴对称轴为直线， 故选C． 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形即可判断出． 本题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键． 【详解】解：A:不是中心对称图形，故选项错误； B：不是中心对称图形，故选项错误； C:不是中心对称图形，故选项错误； D:是中心对称图形，故选项正确； 故选：D． 3. 在一批同型号的产品中，随机抽取1件产品进行检测并记录结果，然后放回搅匀，视为完成1次检测．已知共完成了200次检测，其中有4次检测到不合格品，则可估计从这批产品中随机抽取一件是合格品的概率是（ ） A. 0.98 B. 0.92 C. 0.88 D. 0.72 【答案】A 【解析】 【分析】本题通过频率估计概率，合格品的频率即为概率的估计值． 本题主要考查由频率估算概率，解题的关键是理解题意． 【详解】解：∵总检测次数为200次，其中不合格品4次， ∴合格品的次数为次， ∴合格品的概率估计值为； 故选：A． 4. 用配方法解方程，配方后所得方程为，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】通过配方法将二次方程转化为完全平方形式，比较得出和的值，再计算． 本题考查了配方法解一元二次方程，掌握基本概念是解题关键． 【详解】对方程 配方： ∵ ∴ 即 与 比较，得 a = 3, b = 1 ∴ 故选：D． 5. 如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作，点恰好在上，则劣弧的长为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查弧长公式的应用，关键是先确定圆心角的度数，再代入弧长公式计算． 【详解】解：∵、是⊙的半径， ∴， ∴， ∴， ∴劣弧的长为． 故选：A． 6. 已知反比例函数（k为常数，且）的图象经过点、，则下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由反比例函数性质，可以分析函数的图象在二 、四象限，即可求解． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数的增减性是解决本题的关键． 【详解】∵ ， ∴反比例函数 的图象在第二、四象限， ∴ 当 时，；当 时， 对于点 ：， ∴ ． 对于点 ：， ∴ ． ∴ ， 故选： B 7. 如图，为的直径，弦交于点E，连接、、，若，点B是的中点，，则的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理，解直角三角形等知识．根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到，求出，即可求出的面积． 【详解】解：连接， ∵为的直径，点B是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：B 8. 抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对称轴公式和交点坐标代入方程，推导出关系式． 本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 【详解】∵ 对称轴为直线 ， ∴ ， 即 . ∵ 抛物线与 轴的一个交点坐标为 ， ∴ ，即 . 将 代入： ∴ ， ∴. ∴ 结论 C 一定正确. 对于选项 A，，代入 得 ，其符号取决于 ，不一定小于 0； 选项 B，； 选项 D，由于对称轴 和交点 ，可得另一交点为 ，故判别式 ，不成立． 故选：C． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 任意时段打开电视，正在播放体育赛事，这个事件是________事件填“必然”“不可能”或“随机”）． 【答案】随机 【解析】 【分析】此题主要考查了必然事件、随机事件的概念．要理解一件事情要么是不可能发生，要么是可能发生，要么是必然发生．熟练掌握各种事件的概念是判断此类问题的依据．根据事件可能发生，也可能不发生，像这样的事件称为随机事件；一定会发生的事件为必然事件，即可求解． 【详解】解：“随时打开电视机，正在播新闻”有可能发生也有可能不发生，所以为随机事件， 故答案为：随机． 10. 如图，正五边形内接于，点P在劣弧上，连接、，则的度数为____________°． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正多边形与圆，涉及了正多边形的性质以及圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．先由正五边形内接于求出，再利用四边形是的内接四边形得，从而求得的度数． 【详解】解：正五边形内接于， ， 四边形是的内接四边形， ， ， 故答案为：． 11. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是____________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与方程根的个数关系是解题的关键． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，判别式需大于零，由此求出的取值范围，并选择一个符合的值． 【详解】解：在方程中，，，， 判别式， 由题意， 即，解得， 因此可取， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则的度数为____________． 【答案】106 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理．根据是的直径，可得，从而得到，再由圆内接四边形的性质，即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴． 故答案为：106 13. 在平面直角坐标系中，矩形的位置如图所示，轴，反比例函数的图象经过点A、C，若点A、C关于原点对称，则矩形的面积为____________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，关于原点对称的点的坐标特点，设，则，根据矩形的性质可证明轴，则可得到，据此求出的长，再根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：设， ∵点A、C关于原点对称， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到（点、的对应点分别是点、)，取的中点，连接，则线段的最大值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理及线段最值问题，解题关键是确定点的运动轨迹，利用“点圆位置关系”求最值． 【详解】解：如图，连接． 在中，，，， 由勾股定理得． 绕点顺时针旋转得到， ， ，． 是的中点， ． 由题意，点在以为圆心、为半径的圆上运动， 根据线段的最值性质，(当且仅当、、三点共线且在延长线上时取等号)， 的最大值为． 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键．先移项，然后用因式分解法，解一元二次方程即可． 【详解】解：， 移项得：， 因式分解得：， 即：， 或， 解得：，． 16. 已知反比例函数的图象经过点，判断点是否在该反比例函数的图象上，并说明理由． 【答案】不在，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与解析式，掌握好反比例函数图象上的点的特征是解题关键． 将点代入函数解析式，求出m后，计算当时，是否为1． 【详解】解：不在，理由如下： 将点代入中，得， 解得，则， 令，则， ∴点不在该反比例函数的图象上． 17. 将抛物线向左平移6个单位长度，得到的新抛物线经过点，求m的值． 【答案】的值为 【解析】 【分析】此题考查了抛物线的平移，求二次函数解析式．根据二次函数的图象平移规律得到新抛物线的函数解析式，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：将抛物线向左平移6个单位长度，得到的新抛物线的函数解析式为， 将点代入中，得， 的值为． 18. 如图，为的直径，请用尺规作图法作的内接等腰．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，涉及等腰三角形的定义，圆周角定理等知识点．分别以点A，B为圆心，大于长为半径作弧，过点O及两弧的交点作直线，与的交点即为点C． 【详解】解：如图，即为所求．（作法不唯一，点C的位置不唯一） 19. 如图，在正方形中，点在对角线上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了根据旋转的性质求解，根据正方形的性质证明，全等的性质和等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据旋转的性质得出，，再根据正方形的性质得出，，然后证明，从而可得． 【详解】证明：由旋转得：，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 20. 字谜是一种文字游戏，也是汉字特有的一种语言文化现象．现有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，依次记作（如图），将这四张卡片背面朝上洗匀．小虎和小麦两人玩猜字谜游戏，规则为：小虎从四张卡片中随机抽取一张不放回并猜卡片上字谜的谜底，小麦再从剩下的三张中随机抽取一张并猜卡片上字谜的谜底．已知小虎只能猜出卡片上的谜底；小麦只能猜出卡片上的谜底． （1）小虎猜不出自己所抽取卡片上字谜谜底的概率为______； （2）请用列表法或画树状图法求小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率公式是解题的关键． （1）用小虎猜不出卡片上的字谜的卡片数除以卡片总数即可得到答案； （2）画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有四张卡片，每张卡片被抽取概率相同，其中小虎猜不出卡片上的字谜的卡片有B和C， ∴小虎猜不出自己所抽取卡片上字谜谜底的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知：一共有12种等可能的结果，其中小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底的结果有2种， （小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底）． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出绕原点O逆时针旋转后得到的（点A、B、C的对应点分别为点、、）； （2）请写出点B关于原点O对称的点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了旋转的作图和点的坐标等知识，准确作图是解题的关键． （1）分别找到点A、B、C绕原点O逆时针旋转后得到的对应点、、，顺次连接即可； （2）根据关于原点O对称的点的特征写出答案即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：点的坐标为． 22. 水箱是一种储存水的容器，在各个领域都有广泛用途．某水箱的容量一定，注入水的流量与注满水箱的时间成反比例关系，且当时，． （1）求关于的函数表达式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）当时，求水流量的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数实际应用． （1）设P与t之间的函数表达式为，根据当时，，代入计算即可； （2）将代入计算即可． 【小问1详解】 解：设关于的函数表达式为， ∵当时，， ， 解得， 关于的函数表达式为； 【小问2详解】 解：将代入中， 得， 水流量的值为． 23. 某网店销售成本为30元/箱的猕猴桃，当售价为60元/箱时，每天可售出100箱．为了迎接新年，该网店决定采取适当的降价措施，尽可能扩大销售量．经市场调查发现，每箱猕猴桃的售价每降低1元，每天可多售出10箱，现要使销售该种猕猴桃平均每天盈利3960元，求每箱猕猴桃的售价应降低多少元？ 【答案】每箱猕猴桃的售价应降低12元 【解析】 【分析】设未知数，根据题意，构造等量关系利润乘以数量等于总盈利． 本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，寻找等量关系并列方程是解题关键． 【详解】解：设每箱猕猴桃的售价降低x元， 根据题意，得：， 解得：，， ∵要尽可能扩大销售量，， 答：每箱猕猴桃的售价应降低12元． 24. 如图，四边形内接于，连接、交于点F，为的直径，过点D作的切线交的延长线于点E． （1）求证：； （2）连接，若，，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为 【解析】 【分析】此题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练掌握切线的性质、圆周角定理是解题的关键． （1）根据切线的性质和圆周角定理得到即，，即可得到结论； （2）设的半径为r，则，求出，，表示出，利用勾股定理即可求出答案． 【小问1详解】 证明：， ， 是的直径， ， 即， 是的切线， ， ， ． 【小问2详解】 解：设的半径为r，则， ，， ， 是的直径， ， ， ， ∵在中，， ， 解得， 的半径为． 25. 某农户有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的直线，点O是抛物线与地面所在直线的交点，是保温墙，，已知塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米，以所在直线为x轴，以过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）若保温墙的高度为米，且保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧，求保温墙到点O的水平距离（即的长）． 【答案】（1） （2）保温墙到点O的水平距离为8米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确审题和用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据顶点坐标，设抛物线的函数解析式为，代入求解即可； （2）将代入解析式，求出x的值即可． 【小问1详解】 解：由题可得，顶点， 设抛物线的函数解析式为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 当时，， 解得，， ∵保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧， ， 答：保温墙到点O的水平距离为8米． 26. 【问题提出】 （1）如图，内接于，，过作于点． ①如图1，求证：； ②如图2，当圆心恰好落在上时，求的度数； 【问题解决】 （2）如图3，在某城市公园的规划中，设计了一个圆形人工湖，湖边设有多个观景台与休息点，公园主入口与湖边的观景台、可通过步道、直接到达，点、、在上，且米，石板小路是一条从观景台出发的内部通道，其延长线与人工湖交于点，点为公园出口，于点，沿铺设石子小路，在道路上设置一个休息点，其中，（观景区）的面积为平方米，试求步道段的长．（景观台、休息点的大小及步道、石板小路、石子小路的宽度均忽略不计） 【答案】（1）①见解析；②；（2）步道段的长为米 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的性质与判定，勾股定理的应用． （1）①根据得出，则，进而根据，即可得出结论； ②证明为等边三角形即可求解； （2）如图，在上取一点G，连接，使得，则，同（1）得，得出，则，过点G作于点I，于点J，得出，证明得出，根据（观景区）的面积为平方米，得出，进而可得，进而根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）①证明：， ， ， ． ， ， ， ． ②解：，经过点O， ， ． ， ， ，即为等边三角形， ． （2）解：如图，在上取一点G，连接，使得， ． ，同（1）得， ， ． 如图，过点G作于点I，于点J， ，， ． ， ． 在和中，， ，， ， ． ， ， ， ， 中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， ，即步道段的长为200米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期末学科素养检测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 抛物线对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在一批同型号的产品中，随机抽取1件产品进行检测并记录结果，然后放回搅匀，视为完成1次检测．已知共完成了200次检测，其中有4次检测到不合格品，则可估计从这批产品中随机抽取一件是合格品的概率是（ ） A. 0.98 B. 0.92 C. 0.88 D. 0.72 4. 用配方法解方程，配方后所得方程为，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作，点恰好在上，则劣弧的长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知反比例函数（k为常数，且）的图象经过点、，则下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为的直径，弦交于点E，连接、、，若，点B是的中点，，则的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 抛物线（a、b、c为常数，且）对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 任意时段打开电视，正在播放体育赛事，这个事件是________事件填“必然”“不可能”或“随机”）． 10. 如图，正五边形内接于，点P在劣弧上，连接、，则的度数为____________°． 11. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是____________．（写出一个即可） 12. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则的度数为____________． 13. 在平面直角坐标系中，矩形的位置如图所示，轴，反比例函数的图象经过点A、C，若点A、C关于原点对称，则矩形的面积为____________． 14. 如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到（点、的对应点分别是点、)，取的中点，连接，则线段的最大值为____________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15 解方程：． 16. 已知反比例函数的图象经过点，判断点是否在该反比例函数的图象上，并说明理由． 17. 将抛物线向左平移6个单位长度，得到的新抛物线经过点，求m的值． 18. 如图，为的直径，请用尺规作图法作的内接等腰．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，正方形中，点在对角线上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．求证：． 20. 字谜是一种文字游戏，也是汉字特有的一种语言文化现象．现有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，依次记作（如图），将这四张卡片背面朝上洗匀．小虎和小麦两人玩猜字谜游戏，规则为：小虎从四张卡片中随机抽取一张不放回并猜卡片上字谜的谜底，小麦再从剩下的三张中随机抽取一张并猜卡片上字谜的谜底．已知小虎只能猜出卡片上的谜底；小麦只能猜出卡片上的谜底． （1）小虎猜不出自己所抽取卡片上字谜谜底的概率为______； （2）请用列表法或画树状图法求小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底的概率． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出绕原点O逆时针旋转后得到的（点A、B、C的对应点分别为点、、）； （2）请写出点B关于原点O对称的点的坐标． 22. 水箱是一种储存水的容器，在各个领域都有广泛用途．某水箱的容量一定，注入水的流量与注满水箱的时间成反比例关系，且当时，． （1）求关于的函数表达式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）当时，求水流量的值． 23. 某网店销售成本为30元/箱的猕猴桃，当售价为60元/箱时，每天可售出100箱．为了迎接新年，该网店决定采取适当的降价措施，尽可能扩大销售量．经市场调查发现，每箱猕猴桃的售价每降低1元，每天可多售出10箱，现要使销售该种猕猴桃平均每天盈利3960元，求每箱猕猴桃的售价应降低多少元？ 24. 如图，四边形内接于，连接、交于点F，为的直径，过点D作的切线交的延长线于点E． （1）求证：； （2）连接，若，，，求的半径． 25. 某农户有如图1所示蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的直线，点O是抛物线与地面所在直线的交点，是保温墙，，已知塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米，以所在直线为x轴，以过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）若保温墙的高度为米，且保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧，求保温墙到点O的水平距离（即的长）． 26. 【问题提出】 （1）如图，内接于，，过作于点． ①如图1，求证：； ②如图2，当圆心恰好落在上时，求的度数； 【问题解决】 （2）如图3，在某城市公园的规划中，设计了一个圆形人工湖，湖边设有多个观景台与休息点，公园主入口与湖边的观景台、可通过步道、直接到达，点、、在上，且米，石板小路是一条从观景台出发的内部通道，其延长线与人工湖交于点，点为公园出口，于点，沿铺设石子小路，在道路上设置一个休息点，其中，（观景区）的面积为平方米，试求步道段的长．（景观台、休息点的大小及步道、石板小路、石子小路的宽度均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $