专题01 平面向量的运算（压轴题专项训练）高一数学苏教版必修第二册

专题01 平面向量的运算 （七类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、平面向量的线性运算 类型二、平面向量共线定理及推论的应用 类型三、与向量运算有关的三角形的重心、内心问题 类型四、平面向量的数量积及其应用 类型五、平面向量模长的应用 类型六、平面向量夹角的应用 类型七、投影向量及其应用 压轴专练 类型一、平面向量的线性运算 平面向量的线性运算： 1．向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。表示：． 规定：零向量与任一向量，都有． 说明：①共线向量的加法： ②不共线向量的加法：如图（1），已知向量，，求作向量. 作法：在平面内任取一点（如图（2）），作，，则 . （1） （2） 2．向量加法的法则： （1）三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。 表示：． （2）平行四边形法则：以同一点为起点的两个已知向量，为邻边作，则 则以为起点的对角线就是与的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行 四边形法则。 3．向量的加法运算律： 交换律：． 结合律：． 4．向量的减法：求两个向量差的运算，叫做向量的减法。表示． 5．向量减法的法则： 已知如图有，，求作． （1）三角形法则：在平面内任取一点，作，，则． 说明：可以表示为从的终点指向的终点的向量（，有共同起点）． （2）平行四边形：在平面内任取一点，作 ，， 则． 6.向量数乘运算： 实数λ与向量a的积是一个 ，这种运算叫做向量的 ，记作λa， 其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|. 特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0. 7.向量数乘的运算律： :设为实数，那么①；②；③. 注：，. 【技巧方法】 1.向量的加法法则分三角形法则与四边形法则，三角形法则需要向量首位相连，四边形法则需要向量起点相同。 2.向量的减法法则需要两个向量的起点一致，结果是由减向量的终点指向被减向量的终点。 理解向量的加减法的几何意义，所以可以用数形结合来解决平面向量的加减运算。 注：（1）零向量与任意向量的和为该向量本身。 （2）将多个向量相加转化为首尾相接的形式，实现简化。 （3）平面向量线性运算问题的求解思路： ①解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化； ②在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示. 例1．（1）如图，在中，， ，则（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的线性关系即可得到结果. 【解析】∵，， ∴，， ∴，故AB选项错误； ∴，故C选项正确，D选项错误. 故选：C （2）在中，M为边中点，N为的中点，，则（　　） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【解析】 因为在中，M为边中点，N为的中点， 所以， 所以. 故选：C. 变式1-1．已知在梯形中，，，点P在线段BC上，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图形，由向量的加法法则计算即可； 【解析】因为， ， 所以， 故选：A. 变式1-2．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且，设，则 ． 【答案】 【分析】根据五角星中的长度关系，由平面向量的线性运算即可求解. 【解析】由题意：， 则， 因为，同样, 所以， 则． 故答案为：. 变式1-3．在所在平面中有一点P满足，且，则_________ 【答案】 【分析】应用向量加减的运算法则得，结合已知即可得答案. 【解析】由题设，则， 即，则， 又，所以 . 故答案为：. 变式1-4．在矩形中，已知，，为的中点，且，则 ． 【答案】/0.625 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【解析】如图，由可得， 则 ， 则，，故． 故答案为：. 类型二、平面向量共线定理及推论的应用 平面向量共线定理及推论： 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 【技巧方法】 （1）利用向量共线定理求参的求解思路： 一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如)表示向量,，设(≠)，化成关于的方程，由于不共线，则解方程组即可. 注：若与不共线且，则. （2）利用平面向量共线定理证明点共线的策略： ①是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用. ②当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线. 例2．（1）在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，即可得到，再根据平面向量共线定理的推论得到，解得即可. 【解析】因为，所以，即， 又，所以， 因为点是线段上一点，即、、三点共线， 所以，解得. 故选：B （2）点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由结合，可得点是线段上靠近点的四等分点，结合图形分析可得答案. 【解析】， 因为中点，则， 代入可得，从而三点共线，， 即点是线段上靠近点的四等分点. 则，而，故. 故选：B. 变式2-1．已知，，，是平面中四个不同的点，则“（）”是“，，三点共线”的（  ） A.充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据共线的向量表示进行充分性与必要性的分析即可求解. 【解析】，， 又，有公共点，所以，，三点共线，所以充分性成立； 若，，三点共线，则存在实数使得，即， 当时明显不满足，所以必要性不成立. 即“（）”是“，，三点共线”的充分不必要条件. 故选：A. 变式2-2．如图，设，，线段与交于点F，且，则（  ）    A．4 B．3 C． D．5 【答案】D 【分析】先计算出，进而得到，利用共线定理的推论得到，得到答案. 【解析】，， 又，故，所以， 因为，，所以， 因为三点共线，所以， 故. 故选：D. 变式2-3．已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为（  ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】如图，根据平面向量的线性运算可得，则在线段上，且，设，结合和计算即可求解. 【解析】由，得， 如图，分别是的中点，    则， 所以在线段上，且， 得，设，则，所以， 因为，，， 所以，则，解得. 故选：B. 变式2-4．已知向量，且 与方向相同，则的取值范围是___________ 【答案】（-1，+∞） 【分析】与同向，用共线基本定理得到关系，表示依据的范围去求. 【解析】因为与同向，所以可设 则有，又因为，， 所以 所以的取值范围是(-1，+∞)， 故答案为：(-1，+∞). 变式2-5．如图，在中，点O是BC的中点，，分别连接MO、NO并延长，与边AB的延长线分别交于P，Q两点，若，则_________    【答案】1 【分析】利用向量共线的推论与线性关系，求解系数再结合向量减法即可求参. 【解析】因为三点共线，所以， 又因为是中点，所以，因为，所以， 所以，则 所以， 因为三点共线，所以， 又因为是中点，所以，因为，所以， 所以，则 所以， 所以， 所以. 故答案为：1. 变式2-6．在，点是中线上一点（不包含端点），且，则的最小值是_______ 【答案】25 【分析】利用共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可解. 【解析】由是的中点得，所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是25. 故答案为：25 类型三、与向量运算有关的三角形的四心问题 利用重心、内心的定义以及其性质： 1.若点为的重心 （1）重心：三角形各边中线的交点，重心在中线的三等分点处。 （2）重心的性质： ①； ③若为所在平面内一点，则有 ④若或，，则一定经过三角形的重心 2.若点为的内心 （1）内心：三角形角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。 （2）内心的性质： ①，则直线经过的内心（从几何意义理解） ② （根据中垂线可推导出） 3.若点为的外心 （1）外心：三角形各边的中垂线的交点，即三角形外接圆的圆心，其到三角形三个顶点的距离相等。 （2）外心的性质： ①（根据外心到三个顶点距离相等） ② （根据中垂线可推导出） ③动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心.（将移到式子左边，两边同时 化简两边都为0） ④；（根据投影向量可推导出） 4.若点为的垂心 （1）垂心：三角形各边高线的交点。锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外。 （2）垂心的性质： ①，则直线经过的垂心（两边同时 化简两边都为0） ②（根据垂直可得） 【技巧方法】 利用重心、内心、外心、垂心的定义以及其性质解决问题。 例3．在中，若，，则点的轨迹必经过的（  ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据平面向量加法及数乘的几何意义作出图形，即可得出判断． 【解析】因为是与同向的单位向量，是与同向的单位向量， 如图，设，， 则可化为：，且， 以，为邻边作平行四边形， 则，且平行四边形为菱形，所以平分， 所以， 又为公共端点，所以，，三点共线，所以在的平分线上， 则点的轨迹必经过的内心， 故选：A． 变式3-1．已知点G为的重心，若，则（  ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】根据重心性质以及平面向量不共线，解出参数即可求得结果. 【解析】如下图所示，延长交于点， 易知为的中点，且 又， 因为，且不共线，所以可知； 因此. 故选：B 变式3-2．已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（  ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 【答案】C 【分析】取中点为，根据向量的线性运算，以及共线定理，即可判断. 【解析】先设的中点为，则，      又因为， 而， 由三点共线的充要条件知三点共线， 则点的轨迹一定经过的重心. 故选：C． 变式3-3．已知O是所在平面上的一点，若，则点O是的（  ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据向量数量积的运算律，即可得，结合外心定义即可求解. 【解析】由已知得， 所以，所以， 所以点O是的外心， 故选:A． 变式3-3．已知在同一个平面上有和一点，且满足关系式：，则为的（  ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】根据可得，同理根据可得：，所以为的垂心. 【解析】由， ，所以. 同理由可得：. 所以为的垂心. 故选：D 变式3-4．已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（  ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】在，上分别取点，，使得，，以，为邻边作平行四边形，即可得到四边形是菱形，再根据平面向量线性运算法则及共线定理得到，，三点共线，即可得到在的平分线上，同理说明可得在其它两角的平分线上，即可判断. 【解析】在，上分别取点，，使得，，则． 以，为邻边作平行四边形，如图，    则四边形是菱形，且． 为的平分线．   ，      即， ． ，，三点共线，即在的平分线上． 同理可得在其它两角的平分线上， 是的内心． 故选：B． 类型四、平面向量的数量积及其应用 平面向量的数量积 1.平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　 2.平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． 3.数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①； ②； ③． 4.数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①． ②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④． ⑤． 【技巧方法】 直接利用平面向量数量积的定义和运算律来求平面向量数量积 例4．如图，在平行四边形中，，点E满足，点F满足，且，则（  ） A． B． C． D．9 【答案】D 【分析】用分别表示出，结合已知，可得，然后进行数量积的运算即可得出． 【解析】因为， 所以， 即，解得， 又因为，可知点E为AB的中点， 则， 所以. 故选：D． 变式4-1．在边长为2的正三角形中，点满足，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等边三角形的性质结合平面向量数量积的几何意义计算即可. 【解析】 如图所示，取的中点，则， 由题意易知， 不难发现在上的投影为，所以. 故选：A 变式4-2．如图，已知等腰中，，点是边上的动点，则的值（  ）    A．为定值 B．不为定值，有最大值 C．为定值 D．不为定值，有最小值 【答案】C 【分析】先记的中点为，然后利用是等腰三角形，得到，再利用向量数量积的几何意义求解即可. 【解析】如图，记的中点为，由题可知，， ，，所以. 故选：C.    变式4-3．（多选）六角螺帽也叫六角螺母，是一种常见的紧固用零件，与螺丝、螺栓、螺钉相互配合使用，起连接紧固机件的作用．如图，这是某六角螺帽的截面图，O是正六边形的中心，也是圆O的圆心．M，N是圆O上的动点，且线段MN经过点O．已知，，P是六边形边上的动点，则下列结论正确的是（  ） A．若点P与点A重合，则的最大值是7 B．若P是线段AB的中点，则 C．若P是线段AB的中点，则 D．的最大值是7 【答案】ACD 【分析】运用数量积的运算律，结合线性运算转化，进行计算，逐个判断即可. 【解析】对于A，若点P与点A重合，连接PO并延长，与圆O的另一个交点为H． 当点M与点H重合时，取得最大值7，则A正确． 对于B，当P是线段AB的中点时，，则B错误． 对于C，因为，，所以，则C正确． 对于D，因为，且，所以，则D正确. 故选：ACD. 变式4-4．P是边长为2的正六边形ABCDEF的六条边上的一个动点，则的最大值是__________- 【答案】6 【分析】利用数量积的几何意义，结合图形分析即可得解. 【解析】因为， 如图，过点作， 由图可知，当与点重合时，向量在上的投影取得最大值， 此时取得最大值，则， 因为，则，， 所以. 故答案为：6 类型五、平面向量模长的应用 1.理解向量的模的定义。 2.，对这个式子的理解，可以从向量加减的几何图形结合，用三角形三边或者共线的时候长度关系来理解模长之间的关系。 注：在用三角形法则理解加减运算找模之间关系的时候，不要漏了共线的情况。 【技巧方法】 利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算 例5．已知向量 满足 ，且 ，则 （  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据向量夹角余弦的表示代入计算得，再利用向量垂直的数量积的表示即可得到答案. 【解析】，即，则， 因为，则，则，则， 则，则. 故选：B. 变式5-1．已知非零向量满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过向量垂直的条件得出与的关系，再计算，最后开方得到的值. 【解析】已知，根据向量模长公式可得：， 因此， 因为，根据向量垂直的性质有：，即， 所以， 将和代入得：， 由，所以. 故选：A. 变式5-2．在中，“为锐角”是“”的（  ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据向量的运算及充分必要条件的定义即可判断； 【解析】对于充分性，若为锐角，则， 所以，即，故充分性正确； 对于必要性，若，两边平方得，即， 所以，又因为是的内角，所以为锐角，故必要性也成立. 所以 “为锐角”是“”的充分必要条件. 故选：A 变式5-3．均为单位向量，且，向量满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据平面向量的数量积的运算律求得，再结合向量三角不等式求解即可. 【解析】由题意，均为单位向量，且， 则， 由，则，解得， 则的取值范围是. 故答案为：. 类型六、平面向量夹角的应用 直接利用公式计算的时候要注意向量夹角，没有注意向量方向可能会误导夹角的大小 【技巧方法】 1.利于向量数量积公式=来计算向量的夹角。 2.有关向量夹角的两个结论 (1)若与的夹角为锐角，则；若，则与的夹角为锐角或0. (2)若与的夹角为钝角，则；若，则与的夹角为钝角或π. 例6．已知向量 满足： ，则 （  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量垂直的数量积表示求出，再由平面向量的夹角公式求解即可. 【解析】， 则， 即，解得， 所以， 又，所以. 故选：B 变式6-1．已知单位向量满足，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用数量积的运算律及向量夹角公式计算得解. 【解析】单位向量满足，则， ，， 所以. 故选：A 变式6-2．（多选）都是非零向量，则下列命题中正确的是（  ） A．若的夹角为锐角，则 B．若，则的夹角为钝角 C．若，则与同向 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据向量夹角可分析数量积正负判断A；由数量积正负分析夹角注意特殊情况判断B；由向量线性运算化简后判断C；根据向量加法、减法的几何意义判断D. 【解析】对A，的夹角为锐角，则大于零，所以大于零，A对． 对B，当共线且方向相反时，有，所以B错． 对C，，所以与同向，C对． 对D，当时，以为邻边的平行四边形是矩形，所以，D对． 故选：ACD． 变式6-3．已知，，设，的夹角为，则的最小值为 . 【答案】 【分析】令，利用向量的模，可得向量的数量积，利用向量的夹角公式可得，从而求得.利用向量夹角公式求得，令，求得的最值，从而求得的最小值. 【解析】设，由可得，化简可得， 根据向量夹角公式，可得， 由，可得，解得. 由，的夹角为可得， ， 分子分母同除以，可得， 令，则，所以， 当，时取得最大值；当或时，取得最小值， 所以的最小值为，的最大值为. 故答案为：. 变式6-4．已知在上的投影向量为，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】给已知等式两边平方化简可求出和，然后根据投影向量的计算公式求解即可. 【解析】因为，所以， 即，， 所以，， 所以，， 因为在上的投影向量为，所以， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 故答案为： 类型七、投影向量及其应用 设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为． 【技巧方法】 根据投影向量公式，向量在上的投影向量：，公式比较长，可以从几何角度去理解记忆，先求投影数量，再乘上单位向量。 注：区分投影向量与投影数量的概念。 例7．已知向量满足，则在方向上的投影向量是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数量积的运算律和投影向量公式求解即可. 【解析】因为向量满足， 所以，解得， 所以在方向上的投影向量是， 故选：D. 变式7-1．已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影向量公式，与题中给出的投影向量比较，可求出, 用公式求出与夹角余弦值，确定夹角大小. 【解析】因为在上的投影向量为， 则，， ， 所以与的夹角为. 故选：B. 变式7-2．已知平面向量，设在上的投影向量为，则与的夹角为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量公式可得，再根据向量夹角公式求解即可. 【解析】在上的投影向量为，即， 所以，则， 因为，所以. 故选：A. 变式7-3．已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为 . 【答案】 【分析】由题可得，从而得到为直角三角形，由投影向量的概念求解. 【解析】因为， 所以，即， 所以在上， 又因为点为的外心， 所以的外接圆以为圆心，为直径， 所以为直角三角形，且，为中点，    因为向量在向量上的投影向量为， 所以，即， 又，所以 由于为锐角，所以 故答案为： 变式7-4．已知平行四边形，，分别为，中点，设在方向上投影向量为，在方向上投影向量为，已知，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用表示，然后利用投影向量的公式求出，计算化简得到，最后根据及均值不等式求最值. 【解析】在平行四边形中，，，， 又分别为中点，则， 因为在方向上投影向量为，所以， 因为在方向上投影向量为，所以 所以， 解得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最大值为. 故选：C. 1.如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据、三点共线，可得、，利用平面向量线性运算的应用将表示，由此可得方程组求得，进而得到的值. 【解析】连接，如图， 因为三点共线，设，则， 所以； 因为三点共线，设，则， 所以， 则，解得，所以， 则，所以. 故选：D 2.设是两个不共线的向量，是在上的投影向量，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意画出图形，令，结合向量数量积的定义逐项判断即可； 【解析】 如图，由题意可设， 对于A，由数量积的定义可得，故A错误； 对于B，根据向量数量积的定义得，故B正确； 对于C，设，则，由于可以为任意正数，故C错误； 对于D，由数量积的定义可得，故D错误； 故选：B. 3.《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深遂的哲理解释了自然，社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形，其中为正八边形的中心，则下列说法正确的是（  ） A． B． C． D．和不能构成一组基底 【答案】ACD 【分析】利用相等向量的定义可判断A选项；利用平面向量的加法可判断B选项；利用平面向量加法的平行四边形法则可判断C选项；推导出，可判断D选项. 【解析】对于A选项，由题意知，，，， 所以，，所以，，所以，， 又因为，由相等向量的定义可知，，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，根据平面向量的加法法则可知， 为以、为邻边的正方形中以为始点的一条对角线所对应的向量， 所以，，所以，， 又因为，故，C对； 对于D选项，连接，如下图所示： 由正八边形的几何性质可得， ，， 又因为，则为等腰三角形，则， 所以，， 所以，，所以，， 因为，所以，，故和共线，即和不能构成一组基底，D对. 故选：ACD. 4.已知向量，不共线，且向量，，若与反向，则实数的值为（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据共线定理有，可得. 【解析】∵向量，不共线，且向量，，与反向， ∴存在实数使， 于是． 整理得． 由于向量，不共线，所以有， 整理得， 解得或． 又因为，所以， 故． 故选：B． 5.在中，，则为（  ） A．直角三角形 B．三边均不相等的三角形 C．等边三角形 D．等腰非等边三角形 【答案】C 【分析】将条件，利用向量加法的几何意义及数量积的运算转化为角平分线与高线合一可得等腰三角形；再利用数量积定义求解角，即可判断形状. 【解析】由，得， 由和分别是与、方向相同的单位向量， 如图，在边上取点，使， 作平行四边形，则， 由，则平行四边形为菱形，则对角线即为的平分线； 由，可得，故， 延长交于，即，则既是高线，也是的平分线， 为等腰三角形，且； 由， 所以，由，所以， 故，即为等边三角形. 故选：C. 6.（多选）已知平面向量，下列说法不正确的有（  ） A．若，，则 B． C． D．若，则 【答案】AB 【分析】由时不成立可得选项A错误；根据数量积的概念可知选项B错误；根据可得选项C正确；根据得，化简可得选项D正确. 【解析】A.当时，满足，，但不一定成立，选项A错误. B.设，则，与关系不确定，选项B错误. C. ，选项C正确. D.由得，，即， ∴，即，选项D正确. 故选：AB. 7.（多选）在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，，则下列说法正确的是（  ） A． B．的最小值为 C． D．的最小值为 【答案】BC 【分析】先利用向量的线性运算判断AC，再利用三点共线得到，进而利用基本不等式与“1”的妙用即可得解. 【解析】如图所示，因为，则，即， 所以，故A错误； 又因为， 所以，故C正确； 因为三点共线，则， 所以，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D错误； 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确. 故选：BC. 8.（多选）如图，在中，点D为的中点，点E为的四等分点（靠近点C），，，，则下列结论正确的是（  ）    A． B． C． D．是在上的投影向量 【答案】AD 【分析】对于A，由向量的加法法则分析判断，对于B，给两边平方化简可求出，对于C，将用表示，代入化简判断，对于D，利用投影向量的定义求解判断. 【解析】对于A，因为在中，点D为的中点，所以， 所以，所以A正确， 对于B，因为，，，， 所以， 所以，即，所以B错误， 对于C，因为， 所以 ，所以C错误， 对于D，因为点E为的四等分点（靠近点C），所以， 所以在上的投影向量为，所以D正确. 故选：AD 9.设向量、满足，，且、的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由与的数量积小于0且不共线即可求得实数的取值范围. 【解析】解：向量、满足，，且、的夹角为， 故. 因为与向量的夹角为钝角， 所以且向量与向量不共线， 所以且， 解之得：且， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 10.设在中，，，，，，若，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】用、作为一组基地表示出、，再由数量积的运算律计算可得. 【解析】因为，所以， 又，所以， 则， 又，，，所以， 所以 ， 又，即，解得. 故答案为： 11.如图，在平行四边形中，，分别是边，的中点，与交于点，且，则 ；若，，，则 ．    【答案】 96 【分析】根据向量的线性运算，结合三点共线的结论即可求解，进而由向量的数量积即可求解. 【解析】设，，因为，分别是边，的中点，所以，则， 因为，，三点共线，所以，解得， 所以，， 所以．又， 所以． 故答案为：，96 12.在四边形中，，点是四边形所在平面上一点，满足．设分别为四边形与的面积，则 ． 【答案】 【分析】若分别为的中点，得到，根据已知得，且为梯形，再应用梯形、三角形面积公式求四边形与的面积，即可结果. 【解析】由， 所以，若分别为的中点，如下图， 则，即，又，则， 故，所以， 综上，， 令梯形的高为，则，， 所以. 故答案为： 13.如图，在梯形中，，，，为的中点，.    (1)若，试确定点在线段上的位置； (2)若，当为何值时，最小? 【答案】(1)在线段上靠近点的四等分点处；(2) 【分析】（1）结合图形，先证得四边形是平行四边形，利用向量的线性运算即可判断点在线段上的位置； （2）结合（1）中的结论，得到关于的表达式，进而利用向量数量积运算求模得到关于的二次表达式，从而可求得最小以及相应的值. 【解析】（1）过作交于，如图，    因为，所以， 则四边形是平行四边形，故，即是的中点， 所以， 因为，所以， 所以 又因为， 所以，解得， 所以在线段上靠近点的四等分点处； （2）因为，所以， 所以， 因为，，， 所以， 所以当，即时，取得最小值. 所以的最小值为，此时. 14.如图，在中，. (1)证明:为等边三角形. (2)试问当为何值时，取得最小值?并求出最小值. (3)求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2)，；(3) 【分析】（1）利用向量的数量积公式，求出，得到，进而得证； （2）用基底和分别表示和，从而得到，利用函数求最值即可； （3）设，找到与的等量关系，表示出，再利用函数求取值范围. 【解析】（1）因为，所以， 因为，所以， 因为，所以为等边三角形. （2）， ， 则 ， 当时，取得最小值，最小值为. （3）由题意可得， 在中，， 设， 则， 所以， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且， 所以的取值范围为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量的运算 （七类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、平面向量的线性运算 类型二、平面向量共线定理及推论的应用 类型三、与向量运算有关的三角形的重心、内心问题 类型四、平面向量的数量积及其应用 类型五、平面向量模长的应用 类型六、平面向量夹角的应用 类型七、投影向量及其应用 压轴专练 类型一、平面向量的线性运算 平面向量的线性运算： 1．向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。表示：． 规定：零向量与任一向量，都有． 说明：①共线向量的加法： ②不共线向量的加法：如图（1），已知向量，，求作向量. 作法：在平面内任取一点（如图（2）），作，，则 . （1） （2） 2．向量加法的法则： （1）三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。 表示：． （2）平行四边形法则：以同一点为起点的两个已知向量，为邻边作，则 则以为起点的对角线就是与的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行 四边形法则。 3．向量的加法运算律： 交换律：． 结合律：． 4．向量的减法：求两个向量差的运算，叫做向量的减法。表示． 5．向量减法的法则： 已知如图有，，求作． （1）三角形法则：在平面内任取一点，作，，则． 说明：可以表示为从的终点指向的终点的向量（，有共同起点）． （2）平行四边形：在平面内任取一点，作 ，， 则． 6.向量数乘运算： 实数λ与向量a的积是一个 ，这种运算叫做向量的 ，记作λa， 其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|. 特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0. 7.向量数乘的运算律： :设为实数，那么①；②；③. 注：，. 【技巧方法】 1.向量的加法法则分三角形法则与四边形法则，三角形法则需要向量首位相连，四边形法则需要向量起点相同。 2.向量的减法法则需要两个向量的起点一致，结果是由减向量的终点指向被减向量的终点。 理解向量的加减法的几何意义，所以可以用数形结合来解决平面向量的加减运算。 注：（1）零向量与任意向量的和为该向量本身。 （2）将多个向量相加转化为首尾相接的形式，实现简化。 （3）平面向量线性运算问题的求解思路： ①解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化； ②在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示. 例1．（1）如图，在中，， ，则（  ）    A． B． C． D． （2）在中，M为边中点，N为的中点，，则（　　） A． B． C． D．1 变式1-1．已知在梯形中，，，点P在线段BC上，且，则（  ） A． B． C． D． 变式1-2．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且，设，则 ． 变式1-3．在所在平面中有一点P满足，且，则_________ 变式1-4．在矩形中，已知，，为的中点，且，则 ． 类型二、平面向量共线定理及推论的应用 平面向量共线定理及推论： 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 【技巧方法】 （1）利用向量共线定理求参的求解思路： 一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如)表示向量,，设(≠)，化成关于的方程，由于不共线，则解方程组即可. 注：若与不共线且，则. （2）利用平面向量共线定理证明点共线的策略： ①是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用. ②当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线. 例2．（1）在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，则（  ） A． B． C． D． （2）点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（  ） A． B． C． D． 变式2-1．已知，，，是平面中四个不同的点，则“（）”是“，，三点共线”的（  ） A.充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式2-2．如图，设，，线段与交于点F，且，则（  ）    A．4 B．3 C． D．5 变式2-3．已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为（  ） A． B． C． D．2 变式2-4．已知向量，且 与方向相同，则的取值范围是___________ 变式2-5．如图，在中，点O是BC的中点，，分别连接MO、NO并延长，与边AB的延长线分别交于P，Q两点，若，则_________    变式2-6．在，点是中线上一点（不包含端点），且，则的最小值是_______ 类型三、与向量运算有关的三角形的四心问题 利用重心、内心的定义以及其性质： 1.若点为的重心 （1）重心：三角形各边中线的交点，重心在中线的三等分点处。 （2）重心的性质： ①； ③若为所在平面内一点，则有 ④若或，，则一定经过三角形的重心 2.若点为的内心 （1）内心：三角形角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。 （2）内心的性质： ①，则直线经过的内心（从几何意义理解） ② （根据中垂线可推导出） 3.若点为的外心 （1）外心：三角形各边的中垂线的交点，即三角形外接圆的圆心，其到三角形三个顶点的距离相等。 （2）外心的性质： ①（根据外心到三个顶点距离相等） ② （根据中垂线可推导出） ③动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心.（将移到式子左边，两边同时 化简两边都为0） ④；（根据投影向量可推导出） 4.若点为的垂心 （1）垂心：三角形各边高线的交点。锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外。 （2）垂心的性质： ①，则直线经过的垂心（两边同时 化简两边都为0） ②（根据垂直可得） 【技巧方法】 利用重心、内心、外心、垂心的定义以及其性质解决问题。 例3．在中，若，，则点的轨迹必经过的（  ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 变式3-1．已知点G为的重心，若，则（  ） A．0 B．1 C． D．3 变式3-2．已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（  ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 变式3-3．已知O是所在平面上的一点，若，则点O是的（  ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 变式3-3．已知在同一个平面上有和一点，且满足关系式：，则为的（  ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 变式3-4．已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（  ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 类型四、平面向量的数量积及其应用 平面向量的数量积 1.平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　 2.平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． 3.数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①； ②； ③． 4.数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①． ②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④． ⑤． 【技巧方法】 直接利用平面向量数量积的定义和运算律来求平面向量数量积 例4．如图，在平行四边形中，，点E满足，点F满足，且，则（  ） A． B． C． D．9 变式4-1．在边长为2的正三角形中，点满足，则（  ） A． B． C． D． 变式4-2．如图，已知等腰中，，点是边上的动点，则的值（  ）    A．为定值 B．不为定值，有最大值 C．为定值 D．不为定值，有最小值 变式4-3．（多选）六角螺帽也叫六角螺母，是一种常见的紧固用零件，与螺丝、螺栓、螺钉相互配合使用，起连接紧固机件的作用．如图，这是某六角螺帽的截面图，O是正六边形的中心，也是圆O的圆心．M，N是圆O上的动点，且线段MN经过点O．已知，，P是六边形边上的动点，则下列结论正确的是（  ） A．若点P与点A重合，则的最大值是7 B．若P是线段AB的中点，则 C．若P是线段AB的中点，则 D．的最大值是7 变式4-4．P是边长为2的正六边形ABCDEF的六条边上的一个动点，则的最大值是__________- 类型五、平面向量模长的应用 1.理解向量的模的定义。 2.，对这个式子的理解，可以从向量加减的几何图形结合，用三角形三边或者共线的时候长度关系来理解模长之间的关系。 注：在用三角形法则理解加减运算找模之间关系的时候，不要漏了共线的情况。 【技巧方法】 利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算 例5．已知向量 满足 ，且 ，则 （  ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式5-1．已知非零向量满足，，则（ ） A． B． C． D． 变式5-2．在中，“为锐角”是“”的（  ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 变式5-3．均为单位向量，且，向量满足，则的取值范围是 ． 类型六、平面向量夹角的应用 直接利用公式计算的时候要注意向量夹角，没有注意向量方向可能会误导夹角的大小 【技巧方法】 1.利于向量数量积公式=来计算向量的夹角。 2.有关向量夹角的两个结论 (1)若与的夹角为锐角，则；若，则与的夹角为锐角或0. (2)若与的夹角为钝角，则；若，则与的夹角为钝角或π. 例6．已知向量 满足： ，则 （  ） A． B． C． D． 变式6-1．已知单位向量满足，则（  ） A． B． C． D． 变式6-2．（多选）都是非零向量，则下列命题中正确的是（  ） A．若的夹角为锐角，则 B．若，则的夹角为钝角 C．若，则与同向 D．若，则 变式6-3．已知，，设，的夹角为，则的最小值为 . 变式6-4．已知在上的投影向量为，则的取值范围为 ． 类型七、投影向量及其应用 设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为． 【技巧方法】 根据投影向量公式，向量在上的投影向量：，公式比较长，可以从几何角度去理解记忆，先求投影数量，再乘上单位向量。 注：区分投影向量与投影数量的概念。 例7．已知向量满足，则在方向上的投影向量是（  ） A． B． C． D． 变式7-1．已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 变式7-2．已知平面向量，设在上的投影向量为，则与的夹角为（  ） A． B． C． D． 变式7-3．已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为 . 变式7-4．已知平行四边形，，分别为，中点，设在方向上投影向量为，在方向上投影向量为，已知，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 1.如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（  ） A． B． C． D． 2.设是两个不共线的向量，是在上的投影向量，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 3.《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深遂的哲理解释了自然，社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形，其中为正八边形的中心，则下列说法正确的是（  ） A． B． C． D．和不能构成一组基底 4.已知向量，不共线，且向量，，若与反向，则实数的值为（  ） A． B． C．或 D．或 5.在中，，则为（  ） A．直角三角形 B．三边均不相等的三角形 C．等边三角形 D．等腰非等边三角形 6.（多选）已知平面向量，下列说法不正确的有（  ） A．若，，则 B． C． D．若，则 7.（多选）在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，，则下列说法正确的是（  ） A． B．的最小值为 C． D．的最小值为 8.（多选）如图，在中，点D为的中点，点E为的四等分点（靠近点C），，，，则下列结论正确的是（  ）    A． B． C． D．是在上的投影向量 9.设向量、满足，，且、的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是 . 10.设在中，，，，，，若，则实数的值为 ． 11.如图，在平行四边形中，，分别是边，的中点，与交于点，且，则 ；若，，，则 ．    12.在四边形中，，点是四边形所在平面上一点，满足．设分别为四边形与的面积，则 ． 13.如图，在梯形中，，，，为的中点，.    (1)若，试确定点在线段上的位置； (2)若，当为何值时，最小? 14.如图，在中，. (1)证明:为等边三角形. (2)试问当为何值时，取得最小值?并求出最小值. (3)求的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $