专题02 平面向量基本定理及坐标表示（压轴题专项训练）高一数学苏教版必修第二册

专题02 平面向量基本定理及坐标表示 （九类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、基底的概念及辨析 类型二、结合几何图形利用基底表示向量 类型三、利用平面向量基本定理求参数 类型四、平面向量基本定理的综合应用 类型五、利用平面向量的坐标表示处理平面向量的数量积、垂直、平行问题 类型六、利用平面向量的坐标表示处理平面向量的模长问题 类型七、利用平面向量的坐标表示处理平面向量的夹角问题 类型八、利用平面向量的坐标表示处理投影向量问题 类型九、平面向量基本定理与其他章节的融合 压轴专练 类型一、基底的概念及辨析 基底的概念： 平面内任意不共线的两个向量可作为一对基底。 【技巧方法】 两个向量是否能构成基底的判别方法： 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来. 例1．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面内不共线的两个向量可以作为一组基底，逐项判断即可. 【解析】对于：，所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误； 对于：，所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误； 对于：，所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误； 对于：设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底.故正确. 故选：D. 变式1-1．已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由零向量与任意向量共线判断A，根据判断B，设，建立方程，根据方程解的情况判断C，根据判断D. 【解析】对于A：零向量与任意向量均共线，所以此两个向量不可以作为基底； 对于B：因为，，所以，所以此两个向量不可以作为基底； 对于C：设，即，则，所以无解，所以此两个向量不共线，可以作为一组基底； 对于D：设，，所以，所以此两个向量不可以作为基底； 故选：C. 变式1-2．设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据平面内不共线的两个向量可以作为一组基底，逐项判断即可. 【解析】是平面内所有向量的一组基底，所以与不共线. 对于A，假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立. 所以与不共线，所以能作为基底，所以A错误； 对于B， 假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立. 所以与不共线，所以能作为基底，所以B错误； 对于C，因为，所以与共线，不能作为基底，所以C正确； 对于D，假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立. 与不共线，所以能作为基底，所以D错误. 故选：C. 变式1-3．（多选）如图所示，设是平行四边形的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BC 【分析】根据平面向量基底的定义，结合平行四边形的性质逐一判断即可. 【解析】A项中与共线，D项中与共线，B，C项中两向量不共线， 故选：BC 类型二、结合几何图形利用基底表示向量 【技巧方法】 1、运用向量的加法、减法、数乘等运算，理解运算的几何意义。 2、运用向量共线定理来表示向量。 例2．（多选）如图，在梯形中，，．且 为的中点．若 ，，则（  ）    A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由平面向量运算法则逐项计算即可. 【解析】对于A：，故选项 A 正确； 对于B：由 知 在 上，且 ，则 ， 计算得：，故选项B错误； 对于C： 为 中点，则 ，于是： ，故选项C正确； 对于D： ，其中 ， 则：，故选项 D 正确. 故选：ACD 变式2-1．如图，在中，，，则下列说法正确的是（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平面向量运算法则逐项计算即可. 【解析】由题意可得，，，所以，， 所以，因为， 所以, 所以 故选：C 变式2-2．如图，在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平面向量运算法则逐项计算即可. 【解析】因为点为中点，所以，又，， 所以 故选：C. 变式2-3．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别为CD，AD的中点，若以向量，为基底表示向量，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】注意到，后利用表示，即可得答案. 【解析】注意到. 又为DC中点，则； F为AD中点，则. 则； . 则. 故选：D 类型三、利用平面向量基本定理求参数 平面向量基本定理： 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的． 这说明如果且，那么． ③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础． 注：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量． 【技巧方法】 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种： （1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止． （2）将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解． 例3．（多选）如图所示，四边形为等腰梯形，，，，分别为，的中点，若，则（  ）    A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据平行向量的线性运算结合平面向量基本定理运算求解. 【解析】因为，，所以， 因为为的中点，所以， 所以，所以，. 可知：AD错误，BC正确. 故选：BC. 变式3-1．设向量和是某一平面内所有向量的一组基底，若，则实数y的值为（　　） A．3 B．4 C．－ D．－ 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算及基底的性质求解即可. 【解析】因为， 所以， 又因为和是某一平面内所有向量的一组基底， 所以 解得 故选：B． 变式3-2．如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若，则（  ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算及基底的性质求解即可. 【解析】正方形ABCD中，M是BC的中点，则，则， 于是，而， 所以. 故选：C 变式3-3．在中，，，，.若，则_____ 【答案】 【分析】以为基底表示向量，因为，则，建立与的等量关系，求解即可. 【解析】因为，，所以， 又，所以， 则，解得：，. 故答案为： 变式3-3．如图，已知在中，是的角平分线，与交于点，是的中点，延长交于点，，则 .    【答案】 【分析】利用平面向量基本定理建立方程，结合角平分线定理得到比例关系联立方程，求解即可. 【解析】因为在△ABC中，AD是的角平分线，所以，、 又因为，所以由角平分线定理得： 取为基底，则由H、M、B三点共线可得：①；、 由C、D、B三点共线可得：； 即，所以,所以. 即②. 因为M是AD的中点，所以,①式可化为：， 即③ 设，则 ②③对照得：，解得，即. 故答案为： 类型四、平面向量基本定理的综合应用 平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合． （1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的． （2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、，平面上的任何一个向量都可以用、唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、的代数运算． 【技巧方法】 平面向量基本定理的作用以及注意点： (1)根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算. (2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量　 应用平面向量基本定理一般思路： （1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系． （2）用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的．　 例4．已知中，D，E分别为线段AB，BC上的点，直线AE，CD交于点P，且满足，则的值为 . 【答案】 【分析】由向量的线性运算求得，具体为利用平行四边形定则结合图形关系令，，解得，再令，，解得，确定点是线段的中点，最后由面积关系得出结果. 【解析】如图，令，， 于是， 而，并且不共线，因此，解得， 令，， 则， 从而，解得，因此点是线段的中点， 所以，所以. 故答案为： 变式4-1．在平行四边形中，，分别是，的中点，点在线段上.若，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据向量线性运算可得，由题意可得，，计算可解. 【解析】如图，作出符合题意的图形， 因为，分别是，的中点， 所以，， 则， 因为点在线段上，设， 则， 若，则，， 所以，当时，有最大值为. 故选：C 变式4-2．在中，为边上一点，且满足，设，，若存在实数，使，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把用得到，， ，再根据的范围即可求解. 【解析】以为基底， ， 又，所以由平面向量基本定理可知，， 则，又，所以． 故选：C 变式4-3．（多选）在平行四边形中，点为边中点，点为边上靠近点的三等分点，连接，交于点，连接，点为上靠近点的三等分点，记，，则下列说法正确的是（  ） A．点，，三点共线 B．若，则 C． D．，为平行四边形的面积 【答案】ACD 【分析】根据向量的线性运算，将需要的向量都用来表示，设，，利用平面向量基本定理构造等式，可确定点的位置，依次判定选项. 【解析】如图所示:    平行四边形中，因为点为上靠近点的三等分点， 所以,, 所以, 设, 所以，又有公共点，所以点三点共线，故A选项正确； 设, ， 故， 所以，故B选项错误； , 因为，所以， 故，C选项正确； 因为，，故D选项正确. 故选：ACD. 变式4-4．如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于为线段上的一个动点．    (1)用和表示； (2)求； (3)设，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【分析】（1）根据向量的线性运算化简求解即可； （2）设，利用向量的共线求出即可得解； （3）令，利用向量基本定理可得的关系，转化为关于的二次函数求最值即可得解. 【解析】（1）依题意， ， ； （2）因交于，由（1）知， 由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，则， 所以，所以，即； （3）由已知， 因是线段上动点，则令， ， 又不共线，则有，得， 因为， 所以在上递增， 所以，故的取值范围是． 类型五、利用平面向量的坐标表示处理平面向量的数量积、垂直、平行问题 平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2). 数量积 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2 两个向量垂直 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 注：公式a·b＝|a||b|cos<a，b>与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cos<a，b>求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解． 【技巧方法】 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b与a⊥b的坐标表示如下： a∥b⇔x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0； a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0． 两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反． 例5．（1）已知向量，，若与平行，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的坐标表示以及平行关系，列方程即可得. 【解析】由，可得， 若若与平行可知， 解得. 故选：A （2）如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】建系，根据向量的坐标运算可得，结合二次函数分析求解. 【解析】在正方形中，建立如图所示坐标系， 由正方形边长为3且， 可得， 设，，则， 则， 故， 故当时，取得最小值为． 故答案为：． 变式5-1．已知向量，，，若点，，能构成三角形，则实数不可以是（  ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】求与，使之共线并求出的值，即可得解． 【解析】因为， ． 假设三点共线，则，即． 所以只要，则三点即可构成三角形. 故选：C 变式5-2．已知向量，，若，则（  ） A． B． C． D．7 【答案】A 【分析】根据向量的垂直，利用数量积为0，根据坐标计算即可求解. 【解析】因为向量， 所以，，， 因为 所以， 即，解得． 故选：A 变式5-3．已知的外接圆圆心为O，且，，点D是线段BC上一动点，则的最小值是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分析可知：O为的中点，，，建系，根据向量的坐标运算可得，结合二次函数分析求解. 【解析】因为，可知O为的中点， 又因为O为的外接圆圆心，则， 且，即， 可知为等边三角形，即， 如图，建立平面直角坐标系， 则，设， 可得， 则， 可知当时，取到最小值. 故选：C 变式5-4．已知菱形的边长为2，，点E，F分别在边，上，，，若，则的值为__________ 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，表达出，，根据平面向量数量积公式列出方程，求出的值. 【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系， 因为菱形的边长为2，， 所以，由于，所以， 设，则，解得， 故， 设，因为，故， 解得，所以， 故，解得. 故答案为： 类型六、利用平面向量的坐标表示处理平面向量的模长问题 平面向量的模的坐标表示： 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，，则有下表： 坐标表示 模 |a|2＝x＋y或|a|＝ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝ 【技巧方法】 向量的模即向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a＝(x，y)，则在平面直角坐标系中，一定存在点A(x，y)，使得＝a＝(x，y)，∴||＝|a|＝，即|a|为点A到原点的距离．同样，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，∴||＝，即平面直角坐标系中任意两点间的距离．由此可知，向量的模的坐标运算的实质为平面直角坐标系中两点间的距离的运算． 例6．已知，且，则的最小值为（  ） A．1 B． C． D．5 【答案】C 【分析】利用向量的坐标运算，设，由可得，可得，利用函数求最值即可得解. 【解析】设，则， 则，所以， 所以当时，取得最小值，为． 故选：C． 变式6-1．已知向量，，若不超过3，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的坐标表示和几何意义可得，解之即可求解. 【解析】由题意知，， 所以，得， 即，解得， 即实数m的取值范围为. 故选：B 变式6-2．在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，利用坐标运算表示及，根据二次函数的性质可得结果. 【解析】 如图，过点作于点，过点作于点， ∵，∴， ∴，故， 以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，则， 设，其中，则， ∴， ∴， ∴当时，取最小值． 故答案为：． 变式6-3．已知点是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，且．若存在，使得与垂直，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设，，根据向量线性运算可得，设，则，由向量垂直的坐标表示可构造方程，结合二次函数最值求法可求得，由可求得最小值. 【解析】设在直线上，又是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，，； 设，，则，， ， 不妨设在的左侧，，则， 与垂直，， 即有解，， ，即的最小值为. 故答案为：. 类型七、利用平面向量的坐标表示处理平面向量的夹角问题 平面向量的模与夹角的坐标表示： 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有下表： 坐标表示 夹角 cosθ＝＝(a，b为非零向量) 例7．已知向量，若，则与夹角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示求得向量，再利用平面向量夹角的坐标计算公式求值即可. 【解析】因为，所以， 因为，所以，解得，所以， 设与夹角为，则， 即与夹角的余弦值为． 故选：A. 变式7-1．已知向量，，若，，则（  ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据可得，再由可求出，即可根据向量夹角公式计算得出. 【解析】，，解得，， 设，则， 则，解得，故， ，， . 故选：D. 变式7-2．在四边形中，，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建系，利用平面向量夹角的坐标计算公式求值即可. 【解析】，，则且， 又，，所以，则， 所以四边形为直角梯形， 如图，以点为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系， 则，，，所以，， 所以. 故选：B. 变式7-3．已知向量，若与的夹角为锐角，其中，则的取值范围是 ． 【答案】. 【分析】由与的夹角为锐角，得到，求得，再由向量与共线时，求得，即可得到答案. 【解析】由向量，可得且， 则， 因为与的夹角为锐角， 可得，即，解得 当与共线时，可得，所以，解得， 所以且，即实数的取值范围为. 故答案为：. 变式7-4．已知向量,，，则向量最大夹角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】设，根据得到满足关系式，然后利用向量夹角公式算出夹角余弦的表达式，利用一元二次方程的判别式算出的取值范围，进而算出向量最大夹角的余弦值. 【解析】根据题意设，可得， 所以， 设向量夹角为， 则， 设，得，代入， 整理得， 由，得， 即， 解得， 则当时，有最大值， 此时有最小值， 由于，可知最小时角最大，所以最大夹角的余弦值为. 故答案为:. 类型八、利用平面向量的坐标表示处理投影向量问题 投影向量的定义： 设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为． 利用向量的坐标表示处理向量的模长、夹角进而表示投影向量。 例8．设向量在向量上的投影向量为，则的最小值为（  ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的知识列式，然后利用基本不等式求得正确答案. 【解析】依题意，， 向量在向量上的投影向量： ， 所以， 当且仅当时等号成立. 故选：A 变式8-1．已知向量，则向量在向量上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的定义运算求解. 【解析】，又， 所以在向量上的投影向量为. 故选：A. 变式8-2．已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则（  ） A． B． C．2 D．或2 【答案】C 【分析】利用投影向量的定义，由数量积的坐标表示即可求出. 【解析】利用投影向量的定义，由向量在向量上的投影向量为可得， 即可得， 结合，得， 即，所以， 故选：C． 变式8-3．已知向量，，且在上的投影向量为，则与夹角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合向量的坐标运算，根据投影向量公式求得，进而求出与的坐标，最后利用向量夹角的余弦值公式计算即可. 【解析】因为，，所以在上的投影向量为， 故，则，， 所以与夹角的余弦值为． 故选：A 类型九、平面向量基本定理与其他章节的融合 解决数量积的坐标表示与三角函数、不等式融合问题的基本思路： （1）先运用平面向量数量积的坐标表示的相关知识(平面向量数量积的坐标表示、平面向量模与夹角的坐标表示、平面向量平行与垂直的坐标表示等)将问题转化为与三角函数有关的问题(如化简、求值、证明等)，再利用三角函数的相关知识求解即可.解决这类问题时应注意充分挖掘题目中的隐含条件，使问题得到快速解决。 （2）先运用平面向量基本定理以及数量积的相关知识(平面向量数量积、平面向量模与夹角、平面向量平行与垂直等价条件等)将问题转化为利用基本不等式求最值有关的问题，使问题得到快速解决。 例9．（1）在中，，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是（  ） A．3 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得，，则，化简后利用基本不等式可求得结果 【解析】   因为，所以， 因为，所以， 因为三点共线，所以，， 所以 ，当且仅当，即、时取等号， 所以的最小值是. 故选：D （2）已知向量． ①求证：； ②若存在不为0的实数和，使，满足，试求此时的最小值． 【答案】①证明见解析；②. 【分析】①根据向量数量积的坐标运算，结合诱导公式化简，计算即可； ②由，求得关系，结合二次函数的最值，即可求得结果. 【解析】①． ， 故. ②显然， ， 故可得， 即，， ， 所以当时，取得最小值． 变式9-1．已知向量，，若，则（  ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据向量垂直的坐标运算得出，进而应用同角三角函数关系得出. 【解析】由， 可得， 所以，即得. 故选：C. 变式9-2．如图所示，四边形内接于圆，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【解析】 在延长线上取点，使，取AB中点， 又因为，所以， 由，可得，所以直线MN过圆心， 在中，，，所以，， 所以梯形高为，， 所以梯形面积为． 故答案为： 变式9-3．已知中，，，，，，则的取值范围为___________- 【答案】 【分析】根据已知可得到的距离为2，为等腰直角三角形，若为的两个四等分点，为中点，在线段上运动，且，数形结合求的取值范围. 【解析】由，结合向量加法法则知：到的距离为2， 又，则，所以，故为等腰直角三角形， 由，则，所以共线， 又，则，若为的两个四等分点，为中点，如下图示，    所以在线段上运动，且，，， 由图：若，则，又，此时， 故上述情况，易知， 由图知：与重合时，， 综上，的取值范围为. 故答案为： 变式9-4．已知是不共线的三点，且满足，直线与交于点，若. (1)求的值； (2)过点任意作一条动直线交射线于两点，，求的最小值. 【答案】(1)；；； (2) 【分析】（1）根据题意画出图象，再利用平面向量基本定理列出方程组即可求解. （2）利用已知条件和的共线得出关系，再利用基本不等式求的最小值. 【解析】（1）由题意画出图像， 因为， 所以且， 注意到共线且共线，所以 解得. （2）由（1）和图象可知，结合. 于是，所以. 所以， 当且仅当，即，时等号成立. 于是的最小值为. 1.设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据平面内不共线的两个向量可以作为一组基底，逐项判断即可. 【解析】A：假设和是共线向量，因此有， 因为，为平面向量的一组基底， 所以，不是共线向量，且，因此不成立， 因此假设不成立，因此和不是共线向量，因此本选项的向量可以做基底； B：假设和是共线向量，因此有， 因为，为平面向量的一组基底， 所以，不是共线向量，且，因此不成立， 因此假设不成立，因此和不是共线向量，因此本选项的向量可以做基底； C：假设和是共线向量，因此有， 因为，为平面向量的一组基底， 所以，不是共线向量，且，因此要想成立， 一定有，显然无实数解，因此假设不成立， 因此和是不共线向量，所以本选项的向量可以做基底； D：因为， 所以和是共线向量，所以本选项的向量不可以做基底， 故选：D 2.如图在三角形中，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平面向量运算法则逐项计算即可. 【解析】因为，所以点是中点， ， 所以. 故选：B 3.已知平面向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】若与的夹角为钝角，则且与不共线，结合向量的坐标运算求得m得取值范围，再根据包含关系分析充分、必要条件. 【解析】若与的夹角为钝角，则且与不共线， 可得，解得且， 因为是的真子集， 所以“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：B. 4.在中，为中点，，，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】选择为平面向量的一组基底，表示出，再根据表示的唯一性，可求的值. 【解析】选择为平面向量的一组基底. 因为为中点，所以； 又. 由. 故选：C 5.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】设夹角为，分析可得，当，则，当时，以为原点，、分别为轴建系，根据正八边形性质，可得各点坐标，分别计算在线段（除）上、在线段上运动和在线段（除）上运动时，的表达式，求出其范围，综合考虑即得答案. 【解析】设的夹角为， 当与重合时，； 当在线段（除）、线段、线段，线段，线段（除）点上运动时， ，所以， 当与重合时，，所以， 以为原点，、分别为轴建立平面直角坐标系， 根据正八边形的性质可知，G到AF的距离为， 则， 当在线段（除）上运动时，设， 所以， 当在线段上运动时，设， 所以， 当在线段（除）上运动时，设， 所以. 综上所述，的最小值为. 故选：C 6.（多选）如图所示，在中，点E为线段上的中点，点F为线段上靠近点C的三等分点，，分别与交于R，T两点．则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量基本定理，由点的位置关系可得出向量的比例关系，再根据平面向量的三角形法则和平行四边形法则运算，对选项逐一验证即可求得结果. 【解析】根据题意可知，且，所以； 对于A，易知， 因此可得，可得A错误； 对于B，点E为线段上的中点，由平行四边形法则可得， 而； 联立，解得，即B正确； 对于C，易知，所以，因此可得， 所以 ，即可得C正确； 对于D，， 因此可得，即D错误. 故选：BC 7.（多选）中，为上一点且满足，若为上一点，且满足，为正实数，则下列结论正确的是（  ） A．的最大值为 B．的最大值为1 C．的最大值为16 D．的最小值为4 【答案】AD 【分析】AB选项，根据向量基本定理和共线定理得到，从而利用基本不等式求出的最大值为；CD选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最值，得到答案. 【解析】AB选项，因为，所以， 故， 因为三点共线，设，即， 故， 令，故， 为正实数，由基本不等式得，解得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，A正确,B错误； CD选项，， 当且仅当，即时，等号成立，C错误，D正确. 故选：AD 8.（多选）在中，是的中点，是线段上的点，过作一直线分别与交于点，设，其中，则下列结论正确的是（  ） A．若，则 B．若，则是等边三角形 C．若，则 D．若，则的最小值为 【答案】AD 【分析】利用平面向量的线性运算，以及数量积公式，基本不等式依次求解即可. 【解析】因为， 则，即， 则， 所以，A正确； 因为，所以， 所以，同理，点是的垂心， 又是边的中点，，易知是等腰三角形，无法确定是等边三角形，B错误； 由题意知，，所以， 又三点共线，则， 所以，即，解得，C错误； ，又三点共线，则， 因此， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，D正确. 故选：AD. 9.如图，在正方形中，，点为的中点，点在边上．若，则 ． 【答案】 【分析】以为坐标原点，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，设()，由，求出，从而可得点的坐标，进而可求出的值 【解析】以为坐标原点，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则，设()， 所以， 所以，得 所以， 所以, 故答案为：4 10.已知向量（其中）.若与共线，则的最小值为 . 【答案】3 【分析】根据题意，由共线向量的坐标表示可得，再结合基本不等式代入计算，即可求解. 【解析】由与共线可得，即，且， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 11.如图中，，，，若，则 . 【答案】 【分析】先设得到，再设得到，再结合平面向量基本定理求得，即可求解. 【解析】设， 则， 设， 则， 所以，解得，则，结合题设有 所以， 故答案为： 12.在等腰梯形ABCD中，已知，，，，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由题意可得，，进一步化为，再利用条件以及基本不等式，求得它的最小值． 【解析】由题意，，， 所以，， 又动点和分别在线段和上，且，，所以，解得， ， 当且仅当时，即时取等号，故的最小值为， 故答案为：． 13.已知是不共线的三点，且满足，直线与交于点，若. (1)求的值； (2)过点任意作一条动直线交射线于两点，，求的最小值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据题意画出图象，再利用平面向量基本定理列出方程组即可求解. （2）利用已知条件和的共线得出关系，再利用基本不等式求的最小值. 【解析】（1）由题意画出图像， 因为， 所以且， 注意到共线且共线，所以 解得. （2）由（1）和图象可知，结合. 于是，所以. 所以， 当且仅当，即，时等号成立. 于是的最小值为. 14.已知圆的半径为2，圆与正的各边相切，动点在圆上，点满足. (1)求的值； (2)若存在，使得，求的最大值. 【答案】(1)51； (2)5 【分析】（1）方法1，由题可得O为正三角形中心，则， ，又由，可得，后注意到 即可得答案； 方法2，以点为坐标原点，直线为轴，过点与直线垂直的直线为轴建立直角坐标系，设，则可得 ，化简后可得答案； （2）方法1，由，可得， 平方后结合（1）可得，后由基本不等式可将其化为 ，即可得答案； 方法2，由（1）结合，可得， 则.后由基本不等式可将其化为，即可得答案. 【解析】（1）方法1，由题意知，且， ， ， 为的中点. ， ； 方法2，如图，以点为坐标原点，直线为轴，过点与直线垂直的直线为轴建立直角坐标系，则. 由得，所以. ，设，则 . 则 ； （2）方法1，. ，，. 两边平方得： ，由（1）得，则. （当且仅当时取“=”号），整理得，即的最大值为5； 方法2，由（1） ，又， 则， . 可得. 则， 整理得（当且仅当时等号成立），整理得，解得.所以的最大值为5. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平面向量基本定理及坐标表示 （九类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、基底的概念及辨析 类型二、结合几何图形利用基底表示向量 类型三、利用平面向量基本定理求参数 类型四、平面向量基本定理的综合应用 类型五、利用平面向量的坐标表示处理平面向量的数量积、垂直、平行问题 类型六、利用平面向量的坐标表示处理平面向量的模长问题 类型七、利用平面向量的坐标表示处理平面向量的夹角问题 类型八、利用平面向量的坐标表示处理投影向量问题 类型九、平面向量基本定理与其他章节的融合 压轴专练 类型一、基底的概念及辨析 基底的概念： 平面内任意不共线的两个向量可作为一对基底。 【技巧方法】 两个向量是否能构成基底的判别方法： 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来. 例1．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（  ） A． B． C． D． 变式1-1．已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（  ） A．， B．， C．， D．， 变式1-2．设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 变式1-3．（多选）如图所示，设是平行四边形的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 类型二、结合几何图形利用基底表示向量 【技巧方法】 1、运用向量的加法、减法、数乘等运算，理解运算的几何意义。 2、运用向量共线定理来表示向量。 例2．（多选）如图，在梯形中，，．且 为的中点．若 ，，则（  ）    A． B． C． D． 变式2-1．如图，在中，，，则下列说法正确的是（  ）    A． B． C． D． 变式2-2．如图，在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，则（  ） A． B． C． D． 变式2-3．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别为CD，AD的中点，若以向量，为基底表示向量，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 类型三、利用平面向量基本定理求参数 平面向量基本定理： 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的． 这说明如果且，那么． ③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础． 注：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量． 【技巧方法】 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种： （1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止． （2）将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解． 例3．（多选）如图所示，四边形为等腰梯形，，，，分别为，的中点，若，则（  ）    A． B． C． D． 变式3-1．设向量和是某一平面内所有向量的一组基底，若，则实数y的值为（　　） A．3 B．4 C．－ D．－ 变式3-2．如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若，则（  ） A． B．1 C． D． 变式3-3．在中，，，，.若，则_____ 变式3-3．如图，已知在中，是的角平分线，与交于点，是的中点，延长交于点，，则 .    类型四、平面向量基本定理的综合应用 平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合． （1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的． （2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、，平面上的任何一个向量都可以用、唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、的代数运算． 【技巧方法】 平面向量基本定理的作用以及注意点： (1)根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算. (2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量　 应用平面向量基本定理一般思路： （1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系． （2）用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的．　 例4．已知中，D，E分别为线段AB，BC上的点，直线AE，CD交于点P，且满足，则的值为 . 变式4-1．在平行四边形中，，分别是，的中点，点在线段上.若，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 变式4-2．在中，为边上一点，且满足，设，，若存在实数，使，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式4-3．（多选）在平行四边形中，点为边中点，点为边上靠近点的三等分点，连接，交于点，连接，点为上靠近点的三等分点，记，，则下列说法正确的是（  ） A．点，，三点共线 B．若，则 C． D．，为平行四边形的面积 变式4-4．如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于为线段上的一个动点．    (1)用和表示； (2)求； (3)设，求的取值范围． 类型五、利用平面向量的坐标表示处理平面向量的数量积、垂直、平行问题 平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2). 数量积 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2 两个向量垂直 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 注：公式a·b＝|a||b|cos<a，b>与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cos<a，b>求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解． 【技巧方法】 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b与a⊥b的坐标表示如下： a∥b⇔x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0； a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0． 两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反． 例5．（1）已知向量，，若与平行，则（  ） A． B． C． D． （2）如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 ． 变式5-1．已知向量，，，若点，，能构成三角形，则实数不可以是（  ） A． B． C．1 D． 变式5-2．已知向量，，若，则（  ） A． B． C． D．7 变式5-3．已知的外接圆圆心为O，且，，点D是线段BC上一动点，则的最小值是（  ） A． B． C． D． 变式5-4．已知菱形的边长为2，，点E，F分别在边，上，，，若，则的值为__________ 类型六、利用平面向量的坐标表示处理平面向量的模长问题 平面向量的模的坐标表示： 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，，则有下表： 坐标表示 模 |a|2＝x＋y或|a|＝ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝ 【技巧方法】 向量的模即向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a＝(x，y)，则在平面直角坐标系中，一定存在点A(x，y)，使得＝a＝(x，y)，∴||＝|a|＝，即|a|为点A到原点的距离．同样，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，∴||＝，即平面直角坐标系中任意两点间的距离．由此可知，向量的模的坐标运算的实质为平面直角坐标系中两点间的距离的运算． 例6．已知，且，则的最小值为（  ） A．1 B． C． D．5 变式6-1．已知向量，，若不超过3，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 变式6-2．在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的最小值为 ． 变式6-3．已知点是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，且．若存在，使得与垂直，且，则的最小值为 ． 类型七、利用平面向量的坐标表示处理平面向量的夹角问题 平面向量的模与夹角的坐标表示： 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有下表： 坐标表示 夹角 cosθ＝＝(a，b为非零向量) 例7．已知向量，若，则与夹角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 变式7-1．已知向量，，若，，则（  ） A．1 B． C． D． 变式7-2．在四边形中，，且，则（  ） A． B． C． D． 变式7-3．已知向量，若与的夹角为锐角，其中，则的取值范围是 ． 变式7-4．已知向量,，，则向量最大夹角的余弦值为 ． 类型八、利用平面向量的坐标表示处理投影向量问题 投影向量的定义： 设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为． 利用向量的坐标表示处理向量的模长、夹角进而表示投影向量。 例8．设向量在向量上的投影向量为，则的最小值为（  ） A． B． C．1 D． 变式8-1．已知向量，则向量在向量上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 变式8-2．已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则（  ） A． B． C．2 D．或2 变式8-3．已知向量，，且在上的投影向量为，则与夹角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 类型九、平面向量基本定理与其他章节的融合 解决数量积的坐标表示与三角函数、不等式融合问题的基本思路： （1）先运用平面向量数量积的坐标表示的相关知识(平面向量数量积的坐标表示、平面向量模与夹角的坐标表示、平面向量平行与垂直的坐标表示等)将问题转化为与三角函数有关的问题(如化简、求值、证明等)，再利用三角函数的相关知识求解即可.解决这类问题时应注意充分挖掘题目中的隐含条件，使问题得到快速解决。 （2）先运用平面向量基本定理以及数量积的相关知识(平面向量数量积、平面向量模与夹角、平面向量平行与垂直等价条件等)将问题转化为利用基本不等式求最值有关的问题，使问题得到快速解决。 例9．（1）在中，，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是（  ） A．3 B．1 C．2 D．4 （2）已知向量． ①求证：； ②若存在不为0的实数和，使，满足，试求此时的最小值． 变式9-1．已知向量，，若，则（  ） A． B．0 C．1 D．2 变式9-2．如图所示，四边形内接于圆，，则四边形的面积为 ． 变式9-3．已知中，，，，，，则的取值范围为___________- 变式9-4．已知是不共线的三点，且满足，直线与交于点，若. (1)求的值； (2)过点任意作一条动直线交射线于两点，，求的最小值. 1.设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 2.如图在三角形中，，则（  ） A． B． C． D． 3.已知平面向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.在中，为中点，，，若，则（  ） A． B． C． D． 5.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 6.（多选）如图所示，在中，点E为线段上的中点，点F为线段上靠近点C的三等分点，，分别与交于R，T两点．则（  ） A． B． C． D． 7.（多选）中，为上一点且满足，若为上一点，且满足，为正实数，则下列结论正确的是（  ） A．的最大值为 B．的最大值为1 C．的最大值为16 D．的最小值为4 8.（多选）在中，是的中点，是线段上的点，过作一直线分别与交于点，设，其中，则下列结论正确的是（  ） A．若，则 B．若，则是等边三角形 C．若，则 D．若，则的最小值为 9.如图，在正方形中，，点为的中点，点在边上．若，则 ． 10.已知向量（其中）.若与共线，则的最小值为 . 11.如图中，，，，若，则 . 12. 在等腰梯形ABCD中，已知，，，，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，，则的最小值为 . 13.已知是不共线的三点，且满足，直线与交于点，若. (1)求的值； (2)过点任意作一条动直线交射线于两点，，求的最小值. 14.已知圆的半径为2，圆与正的各边相切，动点在圆上，点满足. (1)求的值； (2)若存在，使得，求的最大值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $