精品解析：北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题

2025—2026学年度第一学期高二年级期末练习 数学 说明：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷18道题，共100分；Ⅱ卷7道题，共50分. Ⅰ卷、Ⅱ卷共25题，合计150分，考试时间120分钟.考试日期：2026年1月20日；请在密封线内填写个人信息. I卷（共18道题，满分100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 1. 过两点，的直线的倾斜角等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 若直线与垂直，则实数（ ） A. B. -3 C. 3 D. 4. 若直线与圆相离，则实数的取值范围是（ ） A. B. C D. 5. 已知数列的前项和为，且，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，且，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是无穷等差数列，其前项和为，则“为递增数列”是“存在，当时，都有”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 若存在，使得点在圆外，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，战国时期的标准度量衡“环权”，包括木质秤杆、两个铜盘和九枚铜环权，为等臂衡秤式样，其中铜环权类似于砝码，可用于测量物体质量．把铜环权的质量从小到大排列后，前三项成等差数列，后七项成公比为2的等比数列，其中质量最小的为1铢，最大的为8两（古制1两=24铢），若某物体的质量恰为第3，5，8枚铜环权的质量和，则该物体的质量为（ ） A. 3两5铢 B. 3两15铢 C. 4两5铢 D. 4两15铢 10. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线与抛物线交于，两点，点，在准线上的射影分别为点，．给出下列三个结论： ①； ②若为线段的中点且，则点到轴的距离为3； ③若，则． 其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将结果填在答题纸上的相应位置．） 11. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为60°，则C的离心率为___________. 12. 已知是等比数列，若，，则的前项和________． 13. 在正四棱锥中，为顶点在底面内的射影，为侧棱的中点，且，，则直线与平面所成角的正弦值为________． 14. 已知圆的圆心坐标为，与直线交于，两点，且． （1）则圆的标准方程为________； （2）过点与圆相切的直线方程为________． 15. 曲线是平面上到三个点，，的距离之和等于的动点轨迹．给出下列四个结论： ①曲线关于轴对称； ②曲线上存在点，使得； ③曲线上存在点，使得为钝角； ④曲线与椭圆恰有三个交点． 其中所有正确结论序号是________． 三、解答题（本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．） 16. 已知是等差数列，是等比数列，且，，，． （1）求和通项公式； （2）设，记数列的前项和为，求的最小值． 17. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点为椭圆的右焦点． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知，，设直线与椭圆的另一个交点为，求三角形的面积． 18. 如图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面．如图2，的中点为． （1）求证：平面； （2）若的中点为，在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． Ⅱ卷（共7道题，满分50分） 一．选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 19. 已知为坐标原点，，，两点在单位圆上，满足，以线段，为邻边作平行四边形，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 20. 已知数列满足，，若，都有，其中,，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 21. 如图，在正方体中，点是棱的中点，动点沿着线段从点向点移动，给出下列三个结论： ①不存在点，使得面；②四面体的体积逐渐增大；③直线与所成的角逐渐减小．其中正确结论的序号是（     ） A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③ 二．填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分．请将结果填在答题纸上的相应位置．） 22. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过点且倾斜角为30°的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且在线段的垂直平分线上，则双曲线的离心率为________． 23. 数列满足，，其前项和为．给出下列四个结论： ①，； ②，； ③，； ④，当时，都有成立． 其中所有正确结论的序号是________． 三．解答题（本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．） 24. 椭圆的离心率为，其四个顶点构成的四边形面积为． （1）求椭圆方程； （2）直线与椭圆交于两点，，若椭圆上存在点使得四边形是平行四边形，求取值范围． 25. 已知有穷数列，的项数均为，，若对任意，都有（规定），则称数列，是“相关数列”． 记数列的前项和为，． （1）时，已知数列，，判断数列和是否为“相关数列”，并说明理由； （2）数列，是“相关数列”，证明：对任意，都有，这里表示和中较小的数； （3）求最小的整数，使得存在“相关数列”，，满足． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期高二年级期末练习 数学 说明：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷18道题，共100分；Ⅱ卷7道题，共50分. Ⅰ卷、Ⅱ卷共25题，合计150分，考试时间120分钟.考试日期：2026年1月20日；请在密封线内填写个人信息. I卷（共18道题，满分100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 1. 过两点，的直线的倾斜角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜率求倾斜角即可. 【详解】因为， 所以由可得， 故选：D 2. 已知空间向量，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量平行的坐标公式求出即可. 【详解】由，解得，则. 故选：A. 3. 若直线与垂直，则实数（ ） A. B. -3 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线垂直的条件求解即可. 【详解】因为直线与垂直， 所以，即， 故选：D 4. 若直线与圆相离，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，再根据相离的性质解不等式即可得到答案. 【详解】由圆的标准方程可知圆的圆心坐标为，半径为， 根据点到直线的距离公式, 根据已知条件代入可得， 直线和圆相离则有，即， 解含绝对值不等式可得或， 即. 故选： 5. 已知数列的前项和为，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用已知条件求出数列前项的和以及前项的和，然后求解即可. 【详解】因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 又， 所以， 所以，， 所以. 故选：A 6. 如图，在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，且，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过几何法找到异面直线所成角的平面角，结合余弦定理可以求出. 【详解】设F为中点，连接，如图， 因为平面，平面， 所以，， 所以， ， 因为F是BC的中点，E是MC的中点， 所以，，， 则异面直线与所成角为或其补角， 而在正三角形中，， 所以在中，由余弦定理可知. 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C 7. 已知是无穷等差数列，其前项和为，则“为递增数列”是“存在，当时，都有”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列和前n项和性质以及无穷性质依次分析充分性和必要性即可求解. 【详解】设等差数列的公差为d， 若“为递增数列”，则， 则一定存在使得，则，所以， 所以， 令，则对任意，有，故充分性成立； 若“存在，当时，都有”， 则， 若数列为递减数列，则存在，当时，， 则由无穷性可知当时不成立， 反之，若“存在，当时，都有”，该条件不能推出：“为递增数列”. 例如，取，则，不是递增数列，但，取，当时恒成立，故必要性不成立. 所以“为递增数列”是“存在，当时，都有”的充分不必要条件. 故选：A 8. 若存在，使得点在圆外，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点在圆外建立不等式，再由辅助角公式化简后转化为，解不等式即可得解. 【详解】因为点在圆外， 所以， 即存在，使得（其中）， 所以只需， 故，即， 解得， 故选：B 9. 如图，战国时期的标准度量衡“环权”，包括木质秤杆、两个铜盘和九枚铜环权，为等臂衡秤式样，其中铜环权类似于砝码，可用于测量物体质量．把铜环权的质量从小到大排列后，前三项成等差数列，后七项成公比为2的等比数列，其中质量最小的为1铢，最大的为8两（古制1两=24铢），若某物体的质量恰为第3，5，8枚铜环权的质量和，则该物体的质量为（ ） A. 3两5铢 B. 3两15铢 C. 4两5铢 D. 4两15铢 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列、等比数列的知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设九枚铜环权按从小到大的顺序排列后的质量为， 由题意知，，，得， 则，， 所以铢两15铢． 故选：D 10. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线与抛物线交于，两点，点，在准线上的射影分别为点，．给出下列三个结论： ①； ②若为线段的中点且，则点到轴的距离为3； ③若，则． 其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据抛物线的几何意义，求出抛物线方程，根据抛物线的定义可判断①；设、，联立直线与抛物线方程，由韦达定理及焦点弦的性质判断②、③. 【详解】因为抛物线：的焦点到准线的距离为2，所以， 则抛物线：，所以焦点，准线为，如图， 对于①，由抛物线的定义可知，，， 所以，又因为轴， 所以， 所以， 因为， 所以，所以， 所以，故①正确； 对于②，依题意过点的直线的斜率不为，设过点的直线为， 由，消去得， 显然，所以，， 则，， 则，解得， 又为线段的中点，则， 所以点到轴的距离为，故②正确； 对于③，过点作交于点， 由于，不妨设，则，， 由抛物线定义可知，， ， 则在直角中，，此时的倾斜角为， 根据抛物线的对称性可知，的倾斜角为或， 则直线的斜率为或， 由抛物线的对称性，不妨取，则， 则，故③错误； 故选：C 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将结果填在答题纸上的相应位置．） 11. 已知双曲线一条渐近线的倾斜角为60°，则C的离心率为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据渐近线得到，得到离心率. 【详解】由题意可知，，离心率. 故答案为：. 【点睛】本题考查了双曲线的离心率，属于简单题. 12. 已知是等比数列，若，，则的前项和________． 【答案】 【解析】 【分析】根据所给条件列方程求解首项与公比，再由等比数列求和公式得解. 【详解】由可得， 由可得， 又，所以，即， 所以，. 故答案为： 13. 在正四棱锥中，为顶点在底面内的射影，为侧棱的中点，且，，则直线与平面所成角的正弦值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题设利用求出点D到平面的距离为d，即可由线面角定义计算得解. 【详解】由题意可得点Q到平面的距离为2，， 且，即， 所以正四棱锥的侧棱长为， 所以，由正四棱锥结构特征可得，则， 所以， 设点D到平面的距离为d， 由，得， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为：. 14. 已知圆的圆心坐标为，与直线交于，两点，且． （1）则圆的标准方程为________； （2）过点与圆相切的直线方程为________． 【答案】 ①. ②. 和 【解析】 【分析】（1）求出圆心C到直线的距离，然后利用勾股定理即得； （2）首先判断点P在圆外，然后讨论过点P的切线斜率存在时和过点P的直线斜率不存在两种情况，再利用圆心到直线的距离等于圆的半径可求. 【详解】（1）圆心C到直线的距离， 圆C的半径， 圆C的方程为． （2）点满足，所以点P在圆外． 当过点P的切线斜率存在时，设过点P的切线方程为， 即， 由圆心到直线的距离等于圆的半径可得，解得， 所以切线方程为； 当过点P的直线斜率不存在时，方程为， 易知直线与圆相切． 综上所述，过点P的切线方程为和， 故答案为：；和 15. 曲线是平面上到三个点，，的距离之和等于的动点轨迹．给出下列四个结论： ①曲线关于轴对称； ②曲线上存在点，使得； ③曲线上存在点，使得为钝角； ④曲线与椭圆恰有三个交点． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据题意得曲线的方程为，可判断①；假设结论成立，推得曲线不存在判断②；在曲线上取一个特殊点，验证判断③；根据条件得出故P应该在椭圆E：内（含边界）可判断④． 【详解】设曲线上任意一点，由题意可知的方程为 . 在此方程中用取代，方程不变，可知关于轴对称，故①正确； 若，则，曲线不存在，故②错误. 在曲线上取一个特殊点，，代入曲线方程， 则， 把两边平方，整理得， 解得，即或. 因为，则取点， 此时，则，所以，故③正确； 因为，故P应该在椭圆E：内（含边界），当在椭圆上时，因为，所以，即曲线与椭圆E有唯一的公共点，故④错误. 故答案为：①③ 三、解答题（本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．） 16. 已知是等差数列，是等比数列，且，，，． （1）求和的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，求的最小值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由可求得数列的公比，由等比数列通项公式可得，进而得到，由可求得数列的公差，由等差数列通项公式可得； （2）由（1）可得，由等差数列求和公式得，再配方求最值即可. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 则，； 又，， 设等差数列的公差为，则， . 【小问2详解】 由， 故，， 当或时，有最小值. 17. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点为椭圆的右焦点． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知，，设直线与椭圆的另一个交点为，求三角形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据离心率及焦点求出即可得解； （2）求出直线方程，联立椭圆方程求出点，即可求三角形面积. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由，可得， 所以直线：， 由 ，解得（舍），或， 所以. 因为，， 所以三角形的面积为. 18. 如图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面．如图2，的中点为． （1）求证：平面； （2）若的中点为，在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直性质定理即可证明； （2）分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，设，，利用面面角的空间向量公式列出方程求解即可. 【小问1详解】 因为，的中点为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 根据面面垂直的性质可得平面 【小问2详解】 取的中点为，连接，则且， 由直角梯形可知，为正方形， ，，，，. 由（1）平面，可知，，两两互相垂直，分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，    则，，，， 设，因为， 则， ， ， 设平面的法向量为， 取，则，即平面的法向量为， 由平面，取平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 解得或（舍）. 所以线段上存在点，当时，使得平面与平面夹角的余弦值为. Ⅱ卷（共7道题，满分50分） 一．选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 19. 已知为坐标原点，，，两点在单位圆上，满足，以线段，为邻边作平行四边形，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意求出得到点P在以O为圆心、半径为的圆上即可计算求解. 【详解】由题可知以线段，为邻边所作的平行四边形是边长为1的菱形，， 所以， 所以点P在以O为圆心，半径为的圆上， 所以的最大值为. 故选：D 20. 已知数列满足，，若，都有，其中,，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用累加法求出数列的通项公式，求出的最大项和最小项，可得出的最小值. 【详解】因为数列满足，， 当时，， 则 ， 也满足，故对任意的，. 当为奇数时，，数列中的奇数项单调递减， 此时，且，即， 当为偶数时，，数列中的偶数项单调递增， 此时，且，此时， 综上所述，数列中的最小项为，最大项为， 若，都有，其中、，当，时，取最小值，且其最小值为. 故选：C. 21. 如图，在正方体中，点是棱的中点，动点沿着线段从点向点移动，给出下列三个结论： ①不存在点，使得面；②四面体的体积逐渐增大；③直线与所成的角逐渐减小．其中正确结论的序号是（     ） A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】以为原点，为轴为轴为轴建立空间直角坐标系，可设正方体边长为，分别表示出各点坐标，再根据共线定义可知，再根据向量垂直即可判断；根据四面体的体积公式，知道四面体的底面积不变，根据点到平面的距离公式即可求解；用表达异面直线夹角公式，再求导可算出关于的函数单调性，即可求解. 【详解】以为原点，为轴为轴为轴建立空间直角坐标系， 设正方体边长为，则可知， ， 所以，, , 又因共线，则由共线定义可知， 可得，所以，故， 若存在点，使得面，则由, 即，即， 解之可得，而，所以不存在，故①正确； 设平面的法向量为，由平面的法向量公式可以求出平面的法向量， 即, 再由点到面的距离公式可得， 距离随的增大而增大，由四面体的体积公式可得， 所以四面体体积也随的增大而增大，故②正确； 设直线与所成的角度为，则 ， 设， 对其求导可得， 分母恒成立，所以的符号由分子决定， 当时，，所以单调递增， 当时，，则单调递减， 所以先变大再变小，即先变小再变大，所以可知③错误. 故选： 二．填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分．请将结果填在答题纸上的相应位置．） 22. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过点且倾斜角为30°的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且在线段的垂直平分线上，则双曲线的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】结合向量运算、双曲线的定义建立等量关系式，利用直线的斜率列方程，化简求得双曲线的离心率. 【详解】设为的中点，连接，如图， 由题意知，. 设，因为，所以. 因为，所以. 所以. 因为是的中点，，所以. 在Rt中，； 在Rt中，. 所以，解得. 所以. 因为直线斜率为， 所以， 所以，则， 所以离心率为. 故答案为： 23. 数列满足，，其前项和为．给出下列四个结论： ①，； ②，； ③，； ④，当时，都有成立． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】作差法比较大小，可判断①，取倒数变形，可判断②，数学归纳法可判断③，特例可判断④. 【详解】，则， 若，则， 由于，则，则， ， 则，①正确， ， ， ， 则， 即，②正确， 当时，成立， 设时，成立， 则时，， 由于在时单调递减且恒正， 则在时单调递增， 则，成立，③正确， 设，的前n项和为， 则， 由于，则单调递增， ， 例如当时，，不满足，④错误， 故答案为：①②③. 三．解答题（本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．） 24. 椭圆的离心率为，其四个顶点构成的四边形面积为． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于两点，，若椭圆上存在点使得四边形是平行四边形，求的取值范围． 【答案】（1）椭圆的方程为； （2）的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）由题意列出关于的方程组求出即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，设，求出韦达定理，利用求出点C坐标并代入椭圆方程求出m与k的关系式，进而结合弦长公式、两点间距离公式用k表示即可分析计算求解的取值范围. 【小问1详解】 由题可得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 联立得， 则，即 设，则， 所以， 又四边形是平行四边形，所以，即， 因为点C在椭圆上，所以， 所以， ， 所以， 因为，所以，即的取值范围为. 25. 已知有穷数列，的项数均为，，若对任意，都有（规定），则称数列，是“相关数列”． 记数列的前项和为，． （1）时，已知数列，，判断数列和是否为“相关数列”，并说明理由； （2）数列，是“相关数列”，证明：对任意，都有，这里表示和中较小的数； （3）求最小的整数，使得存在“相关数列”，，满足． 【答案】（1）是相关数列，理由见解析 （2）证明见解析 （3）64 【解析】 【分析】（1）通过对新定义数列的理解与应用，逐一代入验证； （2）利用裂项相消消去中间项，再由绝对值不等式的性质、前项和的定义与变形推出证明； （3）通过化简求和式，构造最优数列，再计算和式并解不等式，最后验证临界值. 【小问1详解】 由题知，， 而“相关数列”要求：对任意， 则逐一验证： 当时，成立； 当时，成立； 当时，成立。 可得数列是相关数列. 【小问2详解】 已知数列是相关数列，即 得到 由，得， 对到求和，, ,又，故, 同理，对到，有 对到求和，, ,又， 因此, 综上， 【小问3详解】 令，且， 当且仅当时，取得最大值， 代入化简得 ， 若，即， 解得，故最小整数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $