精品解析：广东省深圳市宝安区2025--2026学年九年级上学期期末 数学试题

宝安区2025-2026学年第一学期学业质量监测 九年级数学 说明： 1．全卷共6页，答题卡共2页．考试时间90分钟，满分100分． 2．请在答题卡上写上学校、班级、姓名并填涂考生号，不得在其它地方作任何标记． 3．本卷选择题1如8题，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡选择题答题区内对应题目的答案标号涂黑；非选择题的答案（含作辅助线）必须用规定的笔，写在答题卡指定的答题区内，写在本卷或其他地方无效． 第一部分 选择题 一．选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图为在2025年深圳文博会亮相的春碗，是景德镇为庆祝春节申遗成功而特别烧制的．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了简单组合体的三视图，根据三视图的定义求解即可． 【详解】这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同． 故选：A． 2. 若是方程的一个根，则的值为（） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．将代入方程，即可求解． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 即， 解得 故选：B． 3. 如图，已知，点、在直线上，点、在直线上，直线、分别交于点、点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，利用平行线分线段成比例可得答案． 【详解】解：∵， ∴ 故选：A． 4. 石岩沙梨以果大、汁多、味甜而著称．现跟踪调查石岩沙梨树苗的移植成活率，调查数据记录如下： 移植数量 40 100 200 500 1000 成活数量 34 93 176 451 900 成活率 根据调查结果，估计石岩沙梨树苗移植成活的概率（精确到）为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了概率，解题的关键是掌握概率与频率的关系：当试验(移植树苗)次数足够多时，事件发生的频率会稳定在概率附近． 【详解】解：观察表格数据：随着移植数量从40增加到1000，成活率依次为，逐渐稳定在左右， 故选：D． 5. 如图，把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案，点在上，已知矩形的长为，宽为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等，由全等图形的性质可证，即得到，，进而可得是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵矩形和矩形全等， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 6. 如图，在平面直角坐标系中，①号图形“”与②号图形“”位似，位似中心是原点，且①号图形“”的面积是②号图形“”面积的4倍．其中，点在①号图形“”上，则点在②号图形“”上的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，熟练掌握位似变换的性质是解答本题的关键． 根据位似变换的性质计算，即可解答． 【详解】解：∵①号图形“”与②号图形“”位似，位似中心是原点，且①号图形“”的面积是②号图形“”面积的4倍． 号“”与号“”的相似比为， ∵点在①号图形“”上， 点在号“”上的对应点的坐标为，即， 故选：C． 7. 小明运用配方法求解一元二次方程，其步骤如下，在进行最终验算时，发现所得结果有误，计算开始出现错误的步骤为（ ） 解：……① ，即……② ……③ ，……④ A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程的步骤，关键是在方程两边同时除以同一个不为0的数时，等式两边的每一项都要除以这个数． 【详解】解：原方程为， 方程两边同时除以2时，右边的也应除以2， 正确的步骤①应为， 而题目中步骤①写成了， 因此计算开始出现错误的步骤为①． 故选：A． 8. 根据凸透镜的成像规律，当物体到凸透镜的距离大于两倍焦距时，会在凸透镜的另一侧形成倒立、缩小的实像．如图所示，物体到凸透镜的距离，凸透镜的焦距，则实像与物体的比值为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据已知可得，，，，证明得出则，即可求解． 【详解】解：依题意，，，， ∴ ∴ ∴， 故选：B． 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，直接根据比例的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 10. 一个口袋中装有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有69次摸到红球，则可估计这个口袋中红球的数量是 _____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率以及用样本估计总体，解答本题的关键要明确用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 【详解】解：估计这个口袋中红球的数量为（个）， 故答案为：7． 11. 小提琴的设计蕴含着黄金分割的美学智慧．如图，线段表示一把小提琴的长度，点为线段的黄金分割点．若，则的长为______．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割点分成的两线段和原线段之间关系是解决问题的关键，根据黄金分割点的概念得到，即可求解． 【详解】解：∵点为线段的黄金分割点． ， ∴ 故答案为：． 12. 如图，矩形的顶点、在轴上，顶点的坐标为，反比例函数的图象分别与、交于点、点，且点为中点，，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、求反比例函数解析式，熟练掌握知识点是解题的关键．根据题意设，则，，根据在上，得出，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：∵矩形的顶点、在轴上，顶点的坐标为， ∴， ∵ ∴， 设，则 ∵点为中点 ∴ ∵在上， ∴ 解得： ∴ ∴ 故答案为：． 13. 如图，正方形中，，点为中点，点在延长线上，且，连接并延长，交于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．作于点，证明，求得，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵正方形中，，点为中点， ∴，， 作于点， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题8分，第15题8分，第16题8分，第17题8分，第18题8分，第19题10分，第20题11分，共61分） 14. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键． （1）先移项，再利用因式分解法求解即可； （2）直接利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 或． ，． 【小问2详解】 解：， ， 或， ，． 15. 某学校开展“阅兵精神进校园”主题活动，设置了军事武器卡片有奖抽取环节．甲类为“蓝天卫士”卡片，有“歼”“歼”2张，这2张卡片分别用字母、表示；乙类为“国之重器”卡片，有“巨浪”1张，这张卡片用字母C表示． （1）小颖在这三张卡片中随机抽取一张，恰好是甲类的概率______； （2）小颖从这三张卡片里随机抽取两张卡片，若恰好抽到两类卡片各一张，便可领取一枚纪念徽章．请用列表法或画树状图的方法，求小颖领到纪念徽章的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是根据概率公式求概率，用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）根据列表法求概率即可求解． 【小问1详解】 解：小颖在这三张卡片中随机抽取一张，甲类有2张卡片，则恰好是甲类的概率 故答案为：． 小问2详解】 解：列表如图， 共有6种情况，其中恰好是两类卡片各一张的有，，，4种， ∴小颖领到纪念徽章的概率为． 16. 如图所示，为了测量灯杆的高度，小亮在灯杆旁立了一根长为米的标杆，在某一时刻，标杆在阳光下的影子长为米． （1）尺规作图：在射线上作出灯杆的影子线段（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若测得此时灯杆影长为9米，求出灯杆的高度． 【答案】（1）见解析 （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，作一个角等于已知角； （1）作即可； （2）根据题意可得，根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，线段即为所求． 【小问2详解】 解：依题意， ，即． ， 灯杆的高度为米． 17. 第十五届全运会吉祥物“喜洋洋”“乐融融”以中华白海豚为原型，吉祥物玩偶一经发售，深受大家喜爱．玩偶进价为每个45元，当售价为65元时，平均每周可售出200个．经调查发现，该玩偶单个售价每降低1元，每周可多售出20个． （1）若每个玩偶售价降低2元，则销售一个该玩偶获得的利润为______元；若每个玩偶售价降低元，则每周的销售量为______个（用含的代数式表示）； （2）商店希望通过销售该玩偶实现平均每周4500元的盈利，则每个玩偶售价应降价多少元? 【答案】（1）18； （2）5元 【解析】 【分析】本题考查列代数式，一元二次方程的实际应用： （1）当前售价减去降低金额再减去进价即为利润；降低元，周销量增加个，由此列代数式； （2）用含x的式子表示出单个利润及周销量，相乘即为周利润，由此列一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：若每个玩偶售价降低2元，则销售一个该玩偶获得的利润为：（元）； 若每个玩偶售价降低元，则每周的销售量为：个， 故答案为：18，； 【小问2详解】 解：每个玩偶售价应降价元，由题意得： ， 整理得， 解得， 即每个玩偶售价应降价5元． 18. 如图，在四边形纸片中，，，点是上一点，将纸片沿折叠，点恰好落在点处，连接． （1）判断四边形的形状并证明； （2）若，，求的长． 【答案】（1）四边形是菱形，见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理： （1）根据平行线的性质以及折叠的性质可得，从而得到，进而得到，可证明四边形是平行四边形，再由，即可求证； （2）设，在中，利用勾股定理可得，连接，在中，利用勾股定理可得，然后根据，即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，理由如下： 如图， ， ． 纸片沿折叠， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． ， 是菱形． 【小问2详解】 解：由（1）得， 设， 在中，， ∴， ∴， 解得：， 即， 连接， 在中，， ． ， ， ． 19. 在矩形中，连接，为线段上一点，、分别为边、上一点，且． （1）已知，且， ①如图1，若，则______； ②如图2，求的值． （2）如图3，若，，求的值．（用含，的式子表示） 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定． （1）①证明四边形是正方形，四边形是矩形，是等腰直角三角形，进而可得，， ，结合，即可求解； ②过作于点，过作于点，证明，，得出； （2）过作于点，过作于点，证明，，根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 （1）①解：∵矩形中，， ∴四边形是正方形， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴四边形是矩形，是等腰直角三角形 ∴，， 又∵， ∴ 故答案：． ②过作于点，过作于点， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 又， ． ，即． 【小问2详解】 证明：过作于点，过作于点， ，，， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ． ，． ，． ． 20. 某数学兴趣小组对函数图象抱有浓厚兴趣，继而深入探究图形变换对反比例函数图象所产生的影响，他们尝试采用以下方式开展研究． 方式一：先作函数图象关于直线对称图形，再向右平移1个单位长度； 方式二：先将函数图象向右平移1个单位，再作关于直线的对称图形． 【问题提出】 小林认为： 按照方式一的变换，的图象关于的对称图形是其本身，再向右平移1个单位长度，较容易画出的图象； 按照方式二的变换，向右平移1个单位长度后的图象不是关于的轴对称图形，进一步作图变得困难．那么，经历方式二变换后，函数的关系式和图象是怎样的呢? 【问题探究】 （1）小林建议从特殊情况入手，发现规律． ①如图1所示，兴趣小组已画出线段（、在格点上）关于的对称线段，请你在图1的网格中，分别画出线段按照方式一变换得到的线段和按照方式二变换得到的线段； ②观察线段和的位置关系，小林大胆猜测：“先将函数图象向右平移1个单位，再作关于直线的对称图形．”等同于“先作关于直线的对称图形”，再向______平移______个单位；随后，小组成员通过多次实践和严密推理，验证了猜想的正确性． 【问题解决】 （2）请根据猜想，按照方式二的要求对进行变化，所得到的新函数的关系式为______（不需要写自变量的取值范围）． 【问题延伸】 （3）按照方式一变换得到的图象记为，如图2所示，按照方式二变换得到的图象为．已知点是第一象限内一点，将点按照方式一、方式二进行变换，分别得到和，当直线与图象、有且只有两个交点时，请求出关于的函数表达式（不需要写自变量的取值范围）． 【答案】（1）①见解析；②上，1；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，函数图象的平移变换与轴对称变换； （1）①根据题意画出线段，； ②根据两种变换可得平移方式和平移距离； （2）根据方式二的变换，向上平移1个单位，则； （3）设所在直线表达式为：；代入，得，依题意当且仅当与、各有一个交点，且两交点关于对称时成立；联立得出所在直线与仅有1个交点，令，结合图象经过第一象限；得出，则，代入得出，即可求解． 【详解】解：（1）①如图所示， ②“先将函数图象向右平移1个单位，再作关于直线的对称图形．”等同于“先作关于直线的对称图形”，再向上平移1个单位； 故答案为：上，1． （2）按照方式二要求对进行变化，所得到的新函数的关系式为 故答案为：． （3）由题意得， 设所在直线表达式为：； 则 解得 ∴所在直线表达式为：； 又由题意得：与关于对称； 关于对称且所在直线与、共有2个交点 当且仅当与、各有一个交点，且两交点关于对称时成立； 联立 整理得：； ∵所在直线与仅有1个交点 有两个相等的根， 即 解得： ∵图象经过第一象限； 所在直线表达式为：； 代入得： 整理得： 与之间的函数表达式： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝安区2025-2026学年第一学期学业质量监测 九年级数学 说明： 1．全卷共6页，答题卡共2页．考试时间90分钟，满分100分． 2．请在答题卡上写上学校、班级、姓名并填涂考生号，不得在其它地方作任何标记． 3．本卷选择题1如8题，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡选择题答题区内对应题目的答案标号涂黑；非选择题的答案（含作辅助线）必须用规定的笔，写在答题卡指定的答题区内，写在本卷或其他地方无效． 第一部分 选择题 一．选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图为在2025年深圳文博会亮相的春碗，是景德镇为庆祝春节申遗成功而特别烧制的．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 2. 若是方程的一个根，则的值为（） A B. C. 2 D. 4 3. 如图，已知，点、在直线上，点、在直线上，直线、分别交于点、点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 石岩沙梨以果大、汁多、味甜而著称．现跟踪调查石岩沙梨树苗的移植成活率，调查数据记录如下： 移植数量 40 100 200 500 1000 成活数量 34 93 176 451 900 成活率 根据调查结果，估计石岩沙梨树苗移植成活的概率（精确到）为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案，点在上，已知矩形的长为，宽为，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，①号图形“”与②号图形“”位似，位似中心是原点，且①号图形“”的面积是②号图形“”面积的4倍．其中，点在①号图形“”上，则点在②号图形“”上的对应点的坐标为（ ） A B. C. D. 7. 小明运用配方法求解一元二次方程，其步骤如下，在进行最终验算时，发现所得结果有误，计算开始出现错误的步骤为（ ） 解：……① ，即……② ……③ ，……④ A. ① B. ② C. ③ D. ④ 8. 根据凸透镜的成像规律，当物体到凸透镜的距离大于两倍焦距时，会在凸透镜的另一侧形成倒立、缩小的实像．如图所示，物体到凸透镜的距离，凸透镜的焦距，则实像与物体的比值为（ ） A B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知，则________． 10. 一个口袋中装有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有69次摸到红球，则可估计这个口袋中红球的数量是 _____． 11. 小提琴的设计蕴含着黄金分割的美学智慧．如图，线段表示一把小提琴的长度，点为线段的黄金分割点．若，则的长为______．（结果保留根号） 12. 如图，矩形的顶点、在轴上，顶点的坐标为，反比例函数的图象分别与、交于点、点，且点为中点，，则的值为______． 13. 如图，正方形中，，点为中点，点在延长线上，且，连接并延长，交于点，则______． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题8分，第15题8分，第16题8分，第17题8分，第18题8分，第19题10分，第20题11分，共61分） 14 解方程： （1）； （2）． 15. 某学校开展“阅兵精神进校园”主题活动，设置了军事武器卡片有奖抽取环节．甲类为“蓝天卫士”卡片，有“歼”“歼”2张，这2张卡片分别用字母、表示；乙类为“国之重器”卡片，有“巨浪”1张，这张卡片用字母C表示． （1）小颖在这三张卡片中随机抽取一张，恰好是甲类的概率______； （2）小颖从这三张卡片里随机抽取两张卡片，若恰好抽到两类卡片各一张，便可领取一枚纪念徽章．请用列表法或画树状图的方法，求小颖领到纪念徽章的概率． 16. 如图所示，为了测量灯杆的高度，小亮在灯杆旁立了一根长为米的标杆，在某一时刻，标杆在阳光下的影子长为米． （1）尺规作图：在射线上作出灯杆的影子线段（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若测得此时灯杆影长为9米，求出灯杆的高度． 17. 第十五届全运会吉祥物“喜洋洋”“乐融融”以中华白海豚为原型，吉祥物玩偶一经发售，深受大家喜爱．玩偶进价为每个45元，当售价为65元时，平均每周可售出200个．经调查发现，该玩偶单个售价每降低1元，每周可多售出20个． （1）若每个玩偶售价降低2元，则销售一个该玩偶获得的利润为______元；若每个玩偶售价降低元，则每周的销售量为______个（用含的代数式表示）； （2）商店希望通过销售该玩偶实现平均每周4500元的盈利，则每个玩偶售价应降价多少元? 18. 如图，在四边形纸片中，，，点是上一点，将纸片沿折叠，点恰好落在点处，连接． （1）判断四边形的形状并证明； （2）若，，求的长． 19. 在矩形中，连接，为线段上一点，、分别为边、上一点，且． （1）已知，且， ①如图1，若，则______； ②如图2，求的值． （2）如图3，若，，求的值．（用含，的式子表示） 20. 某数学兴趣小组对函数图象抱有浓厚兴趣，继而深入探究图形变换对反比例函数图象所产生的影响，他们尝试采用以下方式开展研究． 方式一：先作函数图象关于直线的对称图形，再向右平移1个单位长度； 方式二：先将函数图象向右平移1个单位，再作关于直线的对称图形． 【问题提出】 小林认为： 按照方式一的变换，的图象关于的对称图形是其本身，再向右平移1个单位长度，较容易画出的图象； 按照方式二的变换，向右平移1个单位长度后的图象不是关于的轴对称图形，进一步作图变得困难．那么，经历方式二变换后，函数的关系式和图象是怎样的呢? 【问题探究】 （1）小林建议从特殊情况入手，发现规律． ①如图1所示，兴趣小组已画出线段（、在格点上）关于的对称线段，请你在图1的网格中，分别画出线段按照方式一变换得到的线段和按照方式二变换得到的线段； ②观察线段和的位置关系，小林大胆猜测：“先将函数图象向右平移1个单位，再作关于直线的对称图形．”等同于“先作关于直线的对称图形”，再向______平移______个单位；随后，小组成员通过多次实践和严密推理，验证了猜想的正确性． 【问题解决】 （2）请根据猜想，按照方式二的要求对进行变化，所得到的新函数的关系式为______（不需要写自变量的取值范围）． 【问题延伸】 （3）按照方式一变换得到图象记为，如图2所示，按照方式二变换得到的图象为．已知点是第一象限内一点，将点按照方式一、方式二进行变换，分别得到和，当直线与图象、有且只有两个交点时，请求出关于的函数表达式（不需要写自变量的取值范围）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $